數學考科

數學考科

 作答注意事項

考試時間：

題型題數：

作答方式：‧

‧

作答說明：

（一）填答選擇題時，只用 1，2，3，4，5 等五個格子，而不需要用到−，±，以及 6，7，

8，9，0 等格子。

例：若第 1 題的選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而考生得到的答案為 7，亦即 選項(3)時，考生要在答案卡第 1 列的 劃記（注意不是 7），如：

解 答 欄

例：若多選題第 10 題考生認為正確的選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡第 10 列的 與 劃記，如：

（二）選填題的題號是 A，B，C，…，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格 式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

例：若第 B 題的答案格式是 ，而依題意計算出來的答案是 8

3，則考生

必須分別在答案卡上的第 18 列的 與第 19 列的 劃記，如：

例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是 ⁷ 50

− 時，則考生必須分別在答 案卡的第 20 列的 與第 21 列的 劃記，如：

1 ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 − ±}

1

10 ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 − ±}

3

18

3

18 ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 − ±} 19 ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 − ±}

20 ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 − ±} 21 ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 − ±}

3

7

−

8

20 21 50 19

第 壹 部 分 第 壹 部 分 第 壹 部 分

第 壹 部 分 ： ： ： 選 擇 題 ： 選 擇 題 選 擇 題 選 擇 題 （ （ 佔 （ （ 佔 佔 佔 6 0 分 分 分 ） 分 ） ） ） 一

一 一

一 、 、 、 單 選 題 、 單 選 題 單 選 題 （ 單 選 題 （ 佔 （ （ 佔 佔 佔 3 5 分 分 分 分 ） ） ） ）

說明：第 1 至 7 題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每 題答對得 5 分，答錯不倒扣。

1. 若數列a a1, ,2 …,a_k,…,a10中每一項皆為1或 1− ，則a₁+a₂++a_k ++a₁₀之值有多少種可能？

(1) 10 (2) 11 (3) P₂¹⁰ (4) C¹⁰₂ (5) 2¹⁰

2. 已知 a, b 為整數且行列式 5 7 4 a

b = ，則絕對值 a b+ 為何？

(1) 16 (2) 31 (3) 32 (4) 39 (5) 條件不足，無法確定

3. 箱中有三顆紅球與三顆白球。一摸彩遊戲是從箱中隨機同時抽出兩顆球。如果抽出的兩球顏

色不同，則得獎金100 元；如果兩球顏色相同，則無獎金。請問此遊戲獎金的期望值為何？

(1) 20 元 (2) 30 元 (3) 40 元 (4) 50 元 (5) 60 元

4. 坐標平面上給定兩點 (1,0)A 與 (0,1)B ，又考慮另外三點 ( ,1)P π 、 (Q − 3, 6)與R(2,log 32)₄ 。令 PAB

∆ 的面積為 p 、 QAB∆ 的面積為 q 、∆RAB的面積為 r 。請問下列哪一個選項是正確的？

(1) p<q<r (2) p<r<q (3) q< p<r

(4) q<r< p

(5) r<q< p

5. 在密閉的實驗室中，開始時有某種細菌 1 千隻，並且以每小時增加8%的速率繁殖。如果依此 速率持續繁殖，則 100 小時後細菌的數量最接近下列哪一個選項？

(1) 9 千隻 (2) 108 千隻 (3) 2200 千隻 (4) 3200 千隻 (5) 32000 千隻

6. 坐標空間中 O 為原點，點 A 的坐標為 (1,2,1)。設 S 是以 O 為球心、4 為半徑的球面。請問在S

上滿足內積

OA

⋅

(1) 空集合 (2) 一個點 (3) 兩個點 (4) 一個圓 (5) 兩個圓

7. 令橢圓 1: ²2 2² 1 5 3 x y

Γ + = 、

2 2

2: 2 2 2

5 3 x y

Γ + = 、

2 2

3 2 2

: 2

5 3 5

x y x

Γ + = 的長軸長分別為l 、₁ l 、₂ l 。請問₃ 下列哪一個選項是正確的？

(1) l₁=l₂ =l₃ (2) l₁=l₂<l₃

(3) l₁<l₂<l₃

(4) l₁=l₃<l₂

(5) l₁<l₃<l₂

二 二 二

二 、 、 、 多 選 題 、 多 選 題 多 選 題 （ 多 選 題 （ 佔 （ （ 佔 佔 佔 2 5 分 分 分 分 ） ） ） ）

說明：第 8 至 12 題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，

選出正確選項劃記在答案卡之「解答欄」 。每題皆不倒扣，五個選項全部答 對者得 5 分，只錯一個選項者可得 2.5 分，錯兩個或兩個以上選項者不給分。

8. 設θ1、θ₂、θ₃、θ₄分別為第一、第二、第三、第四象限角，且都介於 0 與 2π之間。已知

1 2 3 4

cos cos cos cos 1

θ = θ = θ = θ =3，請問下列哪些選項是正確的？

(1) ₁ 4 θ <π

(2) θ₁+θ₂ =π (3) ₃ 1

cosθ = −3 (4) ₄ 2 2

sinθ = 3 (5) _{4 3}

2 θ =θ +π

9. 下列哪些方程式有實數解？

(1) x³+x− =1 0 (2) 2^x+2^−x=0 (3) log₂x +log 2 1_x = (4) sinx+cos 2x= 3

(5) 9

4sin 3cos x+ x=2

10. 設a a1, 2,…,a_n,…為一實數數列，且對所有的正整數n滿足 _n n n a_n

a + −

+ =

2 ) 1 (

1 。請問下列哪些

選項是正確的？

(1) 如果a₁

= 1

= 1

(2) 如果a1是整數，則此數列的每一項都是整數 (3) 如果a1是無理數，則此數列的每一項都是無理數 (4) a₂≤a₄≤≤a_2n≤（n 為正整數）

(5) 如果a 是奇數，則k a_k+2,a_k+4,…,a_k+2n,…都是奇數（n 為正整數）

11. 坐標空間中，直線 L 上距離點 Q 最近的點稱為 Q 在 L 上的投影點。已知 L 為平面 2x−y=2上 通過點 (2, 2,2) 的一直線。請問下列哪些選項中的點可能是原點 O 在 L 上的投影點？

(1) (2, 2, 2) (2) (2,0, 2) (3) 4 2 , ,0 5 5

 

 − 

  (4) 4 2 , , 2 5 5

 

− −

 

  (5) 8 2 2 , , 9 9 9

 

− −

 

 

12. 想要了解台灣的公民對某議題支持的程度所作的抽樣調查，依性別區分，所得結果如下表：

女性公民 男性公民

贊成此議題的比例pˆ 0.52 0.59

pˆ的標準差 pˆ(1 pˆ) n

− 0.02 0.04

請問從此次抽樣結果可以得到下列哪些推論？

(1) 全台灣男性公民贊成此議題的比例大於女性公民贊成此議題的比例

(2) 在 95%的信心水準之下，全台灣女性公民贊成此議題之比例的信賴區間為[0 48 0 56]. , .

（計算到小數點後第二位，以下四捨五入）

(3) 此次抽樣的女性公民數少於男性公民數

(4) 如果不區分性別，此次抽樣贊成此議題的比例pˆ介於 0.52 與 0.59 之間

如果不區分性別，此次抽樣 pˆ(1− pˆ)

第 第 第

第 貳 貳 貳 部 分 貳 部 分 部 分 ： 部 分 ： ： 選 填 題 ： 選 填 題 選 填 題 選 填 題 （ （ （ （ 佔 佔 佔 佔 4 0 分 分 分 分 ） ） ） ）

說明：1.第 A 至 H 題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號 (13–32)。

2.每題完全答對得 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 坐標平面上有一個平行四邊形 ABCD，其中點 A 的坐標為 (2,1) ，點 B 的坐標為 (8,2) ，點 C 在 第一象限且知其 x 坐標為12 。若平行四邊形 ABCD 的面積等於 38 平方單位，則點 D 的坐標為 ( , )。

B. 設 ( )f x 為滿足下列條件的最低次實係數多項式： f x 最高次項的係數為 1，且( ) 3 2i− 、 i 、5 皆 為方程式 ( ) 0f x = 的解（其中i = − ）。則² 1 f x 之常數項為 。 ( )

C. 有一個兩列三行的表格如右下圖。在六個空格中分別填入數字 1、2、3、4、5、6（不得重複），

則 1、2 這兩個數字在同一行或同一列的方法有 種。

D. 設實數a >

0

2 1

2 122 x y x y a

x ay

− =



− =

 − =



有解，則a = 。 21 22 15 16 17

18 19 20 13 14

E. 如右圖，直角三角形 ABD 中， A∠ 為直角，C 為 AD 邊上的點。

已知BC =6，AB = ，5 ∠ABD= ∠2 ABC，則

BD = 。（化成最簡分數）

C

Α B

D

F. 設a、b為實數。已知坐標平面上拋物線y

=

+

+

=

+

+ (

+ 2 )

G. 已知 ABC∆ 中，AB =2、BC =3且∠ = ∠A 2 C，則 AC = 。（化成最簡分數）

H. 坐標平面上給定點 9 ( , 2)

A 4 、直線 :L y = − 與拋物線5 Γ:x²=8y。以 ( , )d P L 表示點P 到直線L的 距離。若點 P 在 Γ 上變動，則 d P L( , )−AP 之最大值為 。（化成最簡分數）

23 24 25

29 28

26 27

30 31 32

可 能 用 到 的 可 能 用 到 的 可 能 用 到 的

可 能 用 到 的 參 考 公 式 及 數 值 參 考 公 式 及 數 值 參 考 公 式 及 數 值 參 考 公 式 及 數 值

1. 一元二次方程式 ax²+bx+c=0 的公式解：

a ac b x b

2

2 4

−

±

=−

2. 平面上兩點P x y ，1( ,1 1) P x y₂( ₂, ₂)間的距離P P_{1 2}= (x₂−x₁) +(² y₂−y₁)² 3. 通過( ,x y 與1 1) (x y₂, ₂)的直線斜率 ^{2 1}

2 1

y y m x x

= −

− , x₂≠x₁

4.

n 2

n a n d

S + −

=

首項為 a 且公比為 r 的等比數列前 n 項之和 (1 ) , 1 1

n n

a r

S r

r

= − ≠

− 5. 三角函數的和角公式： sin(A+B)=sinAcosB+cos sinA B

6. ∆ABC 的正弦定理： 2

sin sin sin

a b c

A= B= C = R ∆ABC 的餘弦定理： c²=a²+b²−2abcosC 7. 算術平均數： 1 2

1

1 1

( )

n

n i

i

X x x x x

n n =

= + + ⋅ ⋅ ⋅ + =

∑

(樣本)標準差：

( )

1 1

1 1

1 1

n n

i i

i i

S x X x n X

n ₌ n ₌

  

= −

∑

∑

ˆ 2 p p , ˆ 2 p p

p p

n n

 − − 

− +

 

 

9. 參考數值： 2 1.414 , 3 1.732 , 5 2.236 , 6 2.449 ,≈ ≈ ≈ ≈ π≈3.142 10. 對數值：log 210 ≈0.3010, log 310 ≈0.4771, log 510 ≈0.6990, log 710 ≈0.8451