解: y = 0是解

浙浙浙江江江大大大学学学2014——2015学学学年年年春春春夏夏夏学学学期期期

《《《常常常微微微分分分方方方程程程》》》课课课程程程期期期末末末考考考试试试试试试卷卷卷答答答案案案 一. 求解下列方程（25分）

1. _dx ^dy

_x+y ^2y

解: y = 0是解

当y = 0时,

=

x +

x = Cp|y| + 1

3 y

, C 为任意常数 所以解是y = 0或x = Cp|y| +

y

, C 为任意常数

2.

²



dy dx



2

= 4

解: 设y = √

2 sin t, y

=

√ 5

5

cos t, x = x. 则 2 √

5

5 cos t = y

= d( √ 2 sin t) dx = √

2 cos t dt dx t =

√ 10

5 x + C或 cos t = 0 y = √

2 sin(

√ 10

5 x + C), C 为任意常数 或特解y = ± √

2

3.

^{2 d} _dx

^y

^dy _dx

²

解: 令x = e

d

y

dt

− 4 dy

dt + 5y = e

sin t 特征方程

λ

− 4λ + 5 = 0, λ = 2 ± i.

齐次方程解Y = c

e

cos t + c

e

sin t

设非齐次方程解为y

= Ate

cos t + Bte

sin t, 得 到 A = − 1

2 , B = 0.

y = c

e

cos t + c

e

sin t − t

2 e

cos t

= c

x

cos ln x + c

x

sin ln x − ln x

2 x

cos ln x

二. 求解下列方程（组）（25分）

1.

⁰⁰

⁰

解：设y = P

a

x

2a

+

∞

X

n=1

[a

(n + 2)(n + 1) + 4a

]x

= 0 所以a

= 0, a

=

, n = 1, 2, . . . 则

a

= (−1)

4

(3k)(3k − 1) . . . (3 · 2) a

= (−1)

4

(3k − 2)!!!

(3k)! a

a

= (−1)

4

(3k + 1)(3k) . . . (4 · 3) a

= (−1)

4

(3k − 1)!!!

(3k + 1)! a

a

= 0, k = 1, 2, . . .

因为y(0) = 1, y

(0) = 0, 所 以a

= 1, a

= 0 y = 1 +

∞

X

k=1

(−1)

4

(3k − 2)!!!

(3k)! x

2.

_dx

dt

^−t

dy

dt

^−2t

解：(1)得到

y = 1

2 (x

+ 5x − e

) 代入(2)，

x

+ 11x

+ 28x = 5e

+ 2e

特征方程λ

+ 11λ + 28 = 0

λ

= −4, λ

= −7 齐次方程解

X = c

e

+ c

e

设x

+ 11x

+ 28x = 5e

解为x

= Ae

，则A =

, x

=

e

设x

+ 11x

+ 28x = 2e

解为x

= Be

，则B =

, x

=

e

x = c

e

+ c

e

+ 5

18 e

+ 1 5 e

则

y = c

2 e

− c

e

+ 1

18 e

+ 3 10 e

3.









dx

dt

^dy _dt

^dz _dt

dx

dt

^dy _dt

^dz _dt

dx

dt

^dy _dt

^dz _dt

解：(1)+(2)得2x

− 2y

+ 2x − 2z = 0 (4) (1)+(3)得2x

− 2z

+ 2x + 2y − 2z = 0 (5)

第2页

(2)+(3)得2x

+ 2x + 2y = 0 (6) (5)-(6)得z

+ z = 0,

z = c

e

(4)-(5)得−2y

+ 2z

− 2y = 0

y

+ y = −c

e

y = c

e

− c

te

代入(6)得x

+ x + c

e

− c

te

= 0

x = c

e

+ c

2 t

e

− c

te

三.（20分）对于系统

⁰

²

y

⁰

找出所有平衡点（奇点），写出关于这些 平衡点所相应的线性化系统，判断平衡点的类型，并画出平衡点附近相图的草图。

解: 奇点: M

(0, −1), M

(1, 1), M

(−1, −1) M

(0, −1)所 相应的线性化系统  x

= −x + y

y

= x

A

=  −1 1 1 0



特征λ =

, 鞍点

k = 1

−1 + k , k = 1 ± √ 5 2 (1,

√ 5

2

) 点x

> 0, y

> 0

M

(1, 1)所 相应的线性化系统  x

= −3x + y y

= x − y

A

=  −3 1 1 −1

 特征λ = −2 ± √

2, 稳 定结点

k = 1 − k

−3 + k , k = 1 ± √ 2

dy

dx

|

= 0 < 1

M

(−1, −1)所 相应的线性化系统  x

= x + y y

= −x + y

A

=  1 1

−1 1

 特征λ = 1 ± i, 不稳定焦点

xy

− yx

= −x

− y

< 0 ，顺时针

四.（15分）讨论下面2个方程组零解的李雅普诺夫稳定性 (1) ( x

= 4y

− x

y

= −4x − y

(2) ( x

= −x

y

y

= x

y

构造

V (x, y) = y

+ 2x

,

V

(x, y) = 4x(4y

− x

) + 4y

(−4x − y

) = −4x

− 4y

渐近稳定 首次积分V = xy

V

(x, y) = y(−x

y) + x(x

y

) = 0 不稳定或者：区域A = {x > 0, y > 0}，构造

V (x, y) = xy

V

(x, y) = y

(−x

y) + 2xy(x

y

) = x

y

不稳定或者：区域A = {x > 0, y < 0}，构造

V (x, y) = −x

y

V

(x, y) = −2xy(−x

y) − x

(x

y

) = x

y

不稳定

五.（15分）给定区间I = [0, a]，非负连续函数u(t) ≤ 1，u(0) = 0，连续可微函数f : (t, x) ∈ I × R → R，以及区间[−2, 0]中的一个连续可微函数φ(t)，并满足φ

(0−) = f (0, φ(0)).

考虑如下问题



dt

= f (t, x(t − u(t))) t ∈ [0, a]

x(t) = φ(t) t ∈ [−2, 0]

(1) 试证明存在一个α > 0使得该问题在t ∈ [0, α]至少存在一个解。

(2) 更进一步，这样的解是否有唯一性，给出充足的理由。

1. 方程在[−2, T ]的解与积分方程的等价性 x(t) =

 φ(0) + R

0

f (s, x(s − u(s)))ds t ∈ [0, T ]

φ(t) t ∈ [−2, 0]

2. 基本设定。记

M = max

t∈[−2,0]

|φ(t)|

N = max

t∈[−2,a],x∈[−2M,2M ]

|f (t, x)|, L = max

t∈[−2,a],x∈[−2M,2M ]

| ∂f

∂x (t, x)|

B

= {x ∈ C

([−2, α]) : |x(t)| ≤ 2M, x(t) = φ(t), t ≤ 0}

3. 存在性。可以用欧拉折线法，或者Picard迭代，或者压缩映射。这里用压缩映射来说明。

对于0 < α ≤ min(

,

, a) ，我们定义映射

T : B

→ C

([−2, α]) y(t) = (T x)(t) :=

 φ(0) + R

0

f (s, x(s − u(s)))ds, t > 0,

φ(t), t ≤ 0 .

所以

|y(t)| ≤ |y(t) − φ(0)| + |φ(0)| ≤ N α + M ≤ 2M, T : B

→ B

另外，如果t ≥ 0，x, y ∈ B

，kxk = max

|x(t)| ，

|T x − T y(t)| ≤ L Z

0

|x(s − u(s))) − y(s − u(s))|ds ≤ Lαkx − yk ≤ 1/2kx − yk

4. 唯一性。

需要证明区间[−2, β](0 < β ≤ a)中的两个解x(t), y(t)相等即可。记 M

= max

t∈[−2,β]

|x(t)| + |y(t)|, L

= max

t∈[−2,β],x∈[−M⁰,M⁰]

| ∂f

∂x (t, x)|

则如果t ∈ [0, β]，记非负非减函数kx − yk(t) := max

|x − y(s)| ，则kx − yk(0) = 0，并且

|x − y(t)| ≤ L

Z

β

kx − yk(s)ds ⇒ kx − yk(t) ≤ L

Z

β

kx − yk(s)ds ⇒ kx − yk(t) ≡ 0

（Gronwall不等式）证毕。