數 學 考 科

全 國 公 私 立 高 級 中 學

1 05 學 年 度 學 科 能 力 測 驗 第 一 次 聯 合 模 擬 考 試

考試日期：105 年 7 月 26~27 日

數 學 考 科

－作答注意事項－

考試時間：100 分鐘

題型題數：單選題 6 題，多選題 7 題，選填題第 A 至 G 題共 7 題 作答方式：用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦

拭，切勿使用修正液（帶）。未依規定畫記答案卡，致機 器掃描無法辨識答案者，其後果由考生自行承擔。

選填題作答說明：選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式 每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每 一個列號只能在一個格子畫記。請仔細閱讀下面的 例子。

例：若第 B 題的答案格式是 ，而依題意計算出來的答案是

8

3，則考生必須 分別在答案卡上的第 18 列的 與第 19 列的 畫記，如：

例：若第 C 題的答案格式是

50 ，而答案是

50

7時，則考生必須分別在答案 卡的第 20 列的 與第 21 列的 畫記，如：

※試題後附有參考公式及可能用到的數值

○²⁰○²¹

○¹⁹

○¹⁸

第壹部分：選擇題（占 65 分）

一、單選題（占 30 分）

說 明 ： 第 1 題 至 第 6 題 ， 每 題 有 5 個 選 項 ， 其 中 只 有 一 個 是 正 確 或 最 適 當 的 選 項 ， 請 畫 記 在 答 案 卡 之「 選 擇（ 填 ）題 答 案 區 」。 各 題 答 對 者 ， 得 5 分 ； 答 錯 、 未 作 答 或 畫 記 多 於 一 個 選 項 者 ， 該 題 以 零 分 計 算 。

1. 滿 足 f x( ) 2 x⁴5x³2x² 4x  的 整 數 有 幾 個 ？ 1 0 (1) 1

(2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5

2. f x( ) 3 ^{| log3x|}在 下 列 哪 個 區 間 為 遞 增 函 數 ？ (1) 0  x 1

(2) 1  x 2 (3) 2  x 3 (4) 3  x 4 (5) 4  x 5

3. 已 知 f x( )x²53x196 | x²53x196 |， 則 (20)f  f(14) ？ (1) 928

(2) 300 (3) 0 (4) 300 (5) 928

4. 已 知 a 為 實 數 ， 函 數 2 ₂

4 9

y x a x

 

 與 y 只 有 一 個 交 點 ， 則 滿 足 此 條 件 的 a 值 有 幾 個 ？ 1 (1) 0

(2) 1 (3) 2 (4) 3 (5) 4

5. 若 a 、 b 是 方 程 式 2(log )x ²4logx  的 根 ， 則1 0 (log )a ²

b 的 值 為 ？ (1) 1

(2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5

6. 化 簡 log ( 17 12 22   17 12 2 )  ？ (1) log 3₂

(2) 2 (3) 1 ₂

log 17 2 (4) 5 2 (5) log 6 ₂

二、多選題（占 35 分）

說 明 ： 第 7 題 至 第 13 題 ， 每 題 有 5 個 選 項 ， 其 中 至 少 有 一 個 是 正 確 的 選 項 ， 請 將 正 確 選 項 畫 記 在 答 案 卡 之「 選 擇（ 填 ）題 答 案 區 」。 各 題 之 選 項 獨 立 判 定 ， 所 有 選 項 均 答 對 者 ， 得 5 分 ； 答 錯 1 個 選 項 者 ， 得 3 分 ； 答 錯 2 個 選 項 者 ， 得 1 分 ； 答 錯 多 於 2 個 選 項 或 所 有 選 項 均 未 作 答 者 ， 該 題 以 零 分 計 算 。 7. 若 對 任 意 實 數 x ，t² 5t | 2x 4 | |x 恆 成 立 ， 下 列 哪 些 t 值 滿 足 此 條 件 ？ 2 |

(1) 0 (2) 1 (3)   (4) 11

 3 (5) 17

 4

8. 若 a 、 b 、 c 、 d 為 滿 足 方 程 式 x⁴7x²   的 解 ， 請 選 出 正 確 的 選 項 。 x 2 0 (1) a、 b 、 c 、 d 為 四 實 根

(2) a、 b 、 c 、 d 為 兩 實 根 兩 虛 根

(3) 當 3   ， 則x 0 x⁴7x²   無 實 根 x 2 0

(4) 若 ( )f x 是 領 導 係 數 為 1 的 四 次 多 項 式 且 滿 足 ( )f a  f b( ) f c( ) f d( )  ， 則 ( ) 01 f x  有 兩 實 根 兩 虛 根

(5) 若 ( )f x 是領導係數為 1 的四次多項式且滿足 ( )f a  f b( ) f c( ) f d( )  ，則當 11   ，x 2 ( )

f x 恆 負

9. 已 知 a 為 實 數 且 ( 2)( 3) ( 1)( 3) ( 1)( 2)

( ) 3 4

(1 2)(1 3) (2 1)(2 3) (3 1)(3 2)

x x x x x x

f x a        

      ， 請 選 出 正 確 的 選 項 。

(1) f x( )為 二 次 多 項 式

(2) 若a ， 則4 y f x( )有 最 小 值 為 3

(3) 若 2

( ) ( 2)( 3) ( 2) 3 2

g x a x x x

      ， 則 ( )f x g x( )

(4) 存 在 ( )g x 為 一 次 多 項 式 ， 滿 足 (1)g  f(1)， (2)g  f(2)， (3)g  f(3) (5) 存 在 ( )g x 為 三 次 多 項 式 ， 滿 足 (1)g  f(1)， (2)g  f(2)， (3)g  f(3)

10. 設 ( ) 2f x  ^x， ( ) 3g x  ^x，h x( ) log 2x，k x( ) log 3x， 請 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) ( )y f x 與 y h x ( )兩 圖 形 對 稱 於 直 線 y x

(2) 當 x 時 ， 則1 y k x ( )恆 大 於 y h x ( ) (3) ( )y f x 與 y k x ( )兩 圖 形 不 相 交 (4) ( )y g x 與 y g x  兩 圖 形 對 稱 於 x 軸 ( )

(5) (y f  與x) y h x( )兩 圖 形 的 交 點 落 在 直 線 y x 上

11. 設 1

a ，7 ₁₂₈3 log 2

b ， 2

log 2

c 3， 請 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) a b c 

(2) 14a7b c  2

(3) 若 將 2^c化 成 小 數 ， 則 2^c為 循 環 小 數 (4) 若 將 1

a 化 成 小 數 ， 小 數 點 後 第 100 位 的 數 字 為 8 7 (5) log 2^7b的 首 數 為 0

12. 已 知 a 、 b 為 任 意 正 實 數 且 a b ， 設 數 線 上 6 個 點 , , , , ,A B P Q R S的 坐 標 分 別 為 ：

5 2 7 5 2

( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( )

6 2 5 3

a b a b a b a b

A a B b P  Q  R   S 

， 請 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) , , ,A B P Q四 點 在 數 線 上 由 左 至 右 為 , , ,A P Q B

(2) , , ,A B P S四 點 在 數 線 上 由 左 至 右 為 , , ,A P S B (3) 有 3 個 點 在 ,A B之 間

(4) 在 , , ,P Q R S中 ， S 是 最 靠 近 A 的 點 (5) 數 線 上 一 點 (C ab)， 則 Q 在 C 的 右 方

13. 已 知 函 數 ²₁

2

log (1 ) 0 ( ) log (1 ) 0

x x

f x x x

 

   



，

， ， 請 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) 函 數 y f x( )為 奇 函 數

(2) 函 數 y f x( )對 y 軸 對 稱

(3) 對 所 有 的 實 數 x ， 函 數 y f x( ) 0 恆 成 立

(4) 任 意 兩 個 實 數 a 、 b ， 當 a b  ， 則 ( )0 f a  f b( ) 0 (5) (10)f  f( 21) 0 

第貳部分：選填題（占 35 分）

說 明 ： 1.第 A 至 G 題 ， 將 答 案 畫 記 在 答 案 卡 之「 選 擇（ 填 ）題 答 案 區 」所 標 示 的 列 號（14–27） 。

2.每 題 完 全 答 對 得 5 分 ， 答 錯 不 倒 扣 ， 未 完 全 答 對 不 給 分 。

A. 已 知 集 合 ^A













B. 若 函 數 f x( ) log ( _a x²2ax 1 2 )a² (a ，0 a ， x 為 實 數 )的 最 大 值 是 2， 則 a 1 。

(化 成 最 簡 分 數 )

C. 若 |x  ， |3 | 1 y  ， 則3 | 1 2 1 y x



 的 最 小 值 為 。

D. 已 知 ( )f x 是 三 次 實 係 數 多 項 式 ， 若 (1 ) 3f   ， ( 1)i f    ， (0) 52 f  ， 則 (1) f 。

E. 已 知 ( )f x 、 ( )g x 為 實 係 數 多 項 式 ， 且 ( )f x 為 偶 函 數 ， ( )g x 為 奇 函 數 ， 若 ( ) ( ) 2 10 8

f x g x x  x ， 則 (10)g  。

F. 若 正 實 數 a 、 b 滿 足log8alog4b²  和5 log₈blog₄a²  ， 則7 log₄alog₈b²  。

G. 已 知 二 次 函 數 ( )f x 滿 足 對 任 意 實 數 x，x²2x 2 f x( ) 2 x²4x 恆 成 立 。若 (11) 1813 f  ， 則 (16)f  。

18 19

21 22 23

25 26 27

16 17

24 20

參考公式及可能用到的數值

1. 對 定 義 域 內 每 個 x ， 函 數 ( )f x 恆 有 ( )f   x f x( )時 ， 則 稱 ( )f x 為 奇 函 數 。 2. 對 定 義 域 內 每 個 x ， 函 數 ( )f x 恆 有 ( )f  x f x( )時 ， 則 稱 ( )f x 為 偶 函 數 。 3. 一 元 二 次 方 程 式 ax² bx c  的 公 式 解 ：0 ² 4

2

b b ac

x a

  



4. 若 a 、 b 、 c 、 d 皆 為 實 數 ， 且_、_、 _為ax³bx² cx d  的 三 根 ， 則0 b

  _{    ，}a c

     ，a d

   a 5. 算 幾 不 等 式

(1) 設a 、0 b ， 則0 2

a b ab

 (2) 當 a b 時 ，

2

a b  ab； 當 a b 時 ， 2

a b  ab 6. 參 考 數 值 ： log 2 0.301 ， log3 0.4771 ， log7 0.8451