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年齡相關維修成本下可維修產品之最佳主動維護保證策略
Optimal Preventive Warranty Policy for Repairable Products with Age-dependent Maintenance Cost
計畫編號：NSC 90-2218-E-011-010
執行期限：民國 90 年 8 月 1 日至 91 年 7 月 31 日 計劃主持人：葉瑞徽教授 國立臺灣科技大學工業管理系
計畫參與人員：陳明郁、遲銘璋、王欣怡 國立臺灣科技大學工業管理系 一、中文摘要
本計畫針對賣方的角度提出主動維護 保證策略，亦即在保固期間賣方除了提供 產品失效時的修理或置換外，並主動提供 預防保養服務，期能藉著適當的保養行動 來延長產品可用度，進而降低保證成本。
本計畫考量與產品年齡相關的修理成本及 保養成本，建構主動維護保證成本模式，
推導保固期間內使保證成本最低的最佳主 動維護保證策略，其中決策變數包含最佳 保養次數、保養程度及保養時機。同時進 一步分析最佳解的性質，提供有效的演算 法以快速求得最佳解。
關鍵詞：保證策略、預防保養、小修。
Abstr act
This study proposes preventive maintenance warranty (PMW) policies for repairable products under age-dependent maintenance cost. The primary role of warranty is to offer post-sale remedy for consumers when a product fails to fulfill its intended performance during a warranty period. For repairable products, preventive maintenance is widely adopted in practice to avoid product failures, especially when the product is complex and/or expensive. In designing a PMW, the maintenance degree and product age play important roles in determining the number of maintenance actions as well as the expected warranty cost. In this study, the optimal number of preventive maintenance actions, corresponding maintenance degrees, and maintenance schedule will be jointly determined to minimize the expected total warranty cost. The properties of the optimal PMW are investigated and an efficient algorithm is provided to search for the optimal policy.
二、緣由與目的
由於消費者對於產品品質與售後服務 的重視日益遽增，為了迎合這個趨勢，賣 方往往會提供售後的產品保證來博取顧客 的信賴及提昇品質形象，進而增加產品銷 售量，因而產品保證已成為行銷上不可或 缺的利器之一。
有鑑於大部份產品的失效率會隨著使 用時間的增加而遞增。因此，對可維修產 品而言，在實務上經常會藉由低成本且快 速的保養行動來增加可用度，使產品維持 在低失效率的狀態。因此，賣方若能在產 品保證期間主動提供低成本的預防保養服 務以增加產品可用度，則不僅能使廠商避 免高修理成本，買方避免經歷失效的損 失，更可達到自然資源的有效利用。
Chun[3]首先將主動維護的觀念應用在 保證策略的研究上，其中賣方除了產品發 生故障時給予免費小修外，更提供數次週 期性的不完美預防保養，求得最佳預防保 養之次數，並以韋伯分配為例來作說明。
Jack 及 Dagpunar [4]排除[3]中「週期性」預 防保養的限制，並驗證「非週期性」預防 保養策略比「週期性」預防保養策略更能 節省保證成本。有關預防保養行為的描 述 ， [3] 和 [4] 皆 採 用 產 品 年 齡 回 溯 (age-reduction)法來描述和量化預防保養的 程度，亦即將保養程度比擬為產品壽命可 年 輕 的 程 度 ， 這 種 方 法 在 1981 年 由 Nakagawa [6]率先提出，而且廣被採用於探 討不完美預防保養的數學模式裡。至於其 他描述不完美預防保養的方法則可參見 Nakagawa [5]和 Pham & Wang [8]。
陳慶能[1] 推廣 Chun [3]的模式，假設 製造商可以任意選擇不同保養成本將產品 保養至不同的程度。Yeh 及 Lo[9]則進一步 統合並推廣 Jack 及 Dagpunar [4]及陳慶能
2
[1]的模式，在上述的主動維護產品保證 下，事先不預設「固定保養程度」及「週 期性」的前提，而尋求最佳保養次數、保 養程度及保養時機以使保證成本最低。
上述研究中每次保養成本與小修成本 大都為假設為固定常數，這與實際情況相 較顯然有相當程度的出入。一般來說，「保 養成本除了與保養程度有關外，還可能受 保養時產品狀態的影響。因此，本計劃針 對可維修產品，研究保養成本與年齡相關 的主動維護保證策略，亦即在保固期間 內，賣方除了免費提供產品失效時的小修 外，並主動提供預防保養服務，並且考慮 每次小修成本和保養成本均與產品年齡相 關，在不預設「固定保養程度」及「週期 性」的前提下，尋求使得保證成本最低的 最佳預防保養策略。
三、研究方法及成果
本計劃針對可維修產品提出主動維護 之保證策略，以下我們將建構本研究所要 探討的成本模式。
考慮賣方在保證期w內，在產品年齡為
tn
t
t1, 2,L, 時免費為產品實施n次的不完美 預防保養，其中0<t1<t2 <L<tn≤w。假設 一產品具有隨年齡 t 遞增的失效率h(t)。在 產品年齡 t 時若實施保養程度為x（產品年 齡年輕單位）的預防保養，賣方要負擔的 預防保養成本為Cp(t,x)。另外，當產品在 保證期間發生故障時則給予小修處理，即 產品經修理後並沒有改變失效率。設產品 在年齡 t 時每次小修賣方要負擔的修理成 本為Cm(t)。模式的基本假設如下：
假設 1：修理及預防保養所需的時間可以 忽略不計。
假設 2：在保證期間內產品失效或需做預防 保養時，消費者都會立刻回來修理 和保養。
假設 3：產品經修理後保證期不更新。
假設 4：產品在賣出時沒有失效。
假設 5：Cp(t,x)對t與x為非負遞增函數。
如果第i次預防保養的保養程度為xi
(xi ≥0)，令
∑
=
= i
k k
i x
y
1
， i=0,1,2,L,n，其中
i
i t
y ≤
<
0 。因為經過先前的預防保養，時間
ti時產品年齡減為ti−yi−1，則賣方第i次需 負擔的預防保養成本為Cp(ti−yi−1,xi)。假如 產品經保養後並沒有改變失效率，賣方仍 需負擔檢驗成本Cp(ti−yi−1,0)>0。
在[0,t]區 間 內 產 品 故 障 均 以 小 修 處 理，所以令N(t)表示時間區間[0,t]內的小 修次數，則{N(t),t≥0}為一非齊次波瓦松隨 機過程[7]，且E[N(t)]=
∫
0th(u)du。若相鄰兩次預防保養期間(ti ,ti+1]內的某個時間點Sk
時 產 品 發 生 故 障 ， 則 小 修 成 本 為
)
( k i
m S y
C − 。 所以區間(ti,ti+1]內的期望修理
成本為
∑
− −∑
−=
=
+ ( )
1 )
(
1
) ( )
(
1 i
i Nt
k
i k m t
N
k
i k
m S y C S y
C
E ，其
中t0= y0 =0及tn+1=w。
所以，保證期w內的總期望保證成本為
∑ ∑ ∑
∑
= = =
= −
− − −
+
−
=
+ n
i
t N
k
i k m t
N
k
i k m n
i
i i i p N
i i
y S C y
S C E
x y t C n
C
0
) (
1 )
(
1 1
1
) ( )
(
) , ( )
, , (
1
t x
(1)
其中x=(x1,x2,L,xn),t =(t1,t2,L,tn),t0=y0=0, 及tn+1=w。
當{N(t),t≥0}為一強度r(t)≥0的非齊次 波瓦松隨機過程時，E[N(t)]=
∫
0tr(u)du且連續到達時間(arrival times)為S1,S2,L。假設 在時間Sk需負擔成本Ck(Sk)，且C(t)表示在 時間區間[0,t]內的總成本，則由[2]可知
∑ ∫
+=
=
= Nt t Nu
k k
k S EC u r u du
C E t C E
0 ( ) 1
) (
1
) ( )]
( [ ) ( )]
(
[ (2)
令r(u)=h(u−yi)，Ck(Sk)=Cm(Sk−yi)， 及 E[CN(u)+1(u)]=Cm(u−yi) ， 則 時 間 區 間
] ,
(ti ti+1 內的故障處理期望成本為
∑
− −∑
−=
=
+ ( )
1 )
(
1
) ( )
(
1 i
i Nt
k
i k m t
N
k
i k
m S y C S y
C E
∫
+ − −= i1 ( ) ( )
i t
t Cm u yi hu yi du。 (3) 綜合以上討論可得保證期w內的總期 望保證成本為
3
∑∫
。∑
=
= −
+ − −
+
−
=
n
i t
t m i i
n
i
i i i p N
i i
dt y t h y t C
x y t C n
C
0 1
1
1 ( ) ( )
) , ( )
, , ( xt
(4)
給定保證期w時，我們的目標在於決定 預防保養次數、保養程度、與保養時機使 得期望保證成本最低，也就是尋求最佳的 預防保養策略(n*,x*,t*)使得式(4)中的期望 保證成本CN(n,x,t)最低。
【最佳策略】
當產品失效率h(t)隨時間 t 遞增時，以 下依序探討遞增失效率產品的最佳策略。
首先定義gm(t)=Cm(t)h(t)及gp(x)=Cp(x,x)。 在給定保固期間之保養次數 n 和保養程度 x 的 情 況 下 ， 利 用 Karush-Kuhn-Tucker (KKT)條件檢視對應之 Lagrange function 在t =t*時的 Hessian 矩陣，可以推導出最 佳保養時機t*，如下列定理所述。
定理 1 給定 n>0 和x>0的情況下，若
) , (t x
Cp 隨 t 而遞增，且gm′ (t)>0，則可以得 到最佳保養時機為t∗=(y1,y2,L,yn)。
定理 1 的結果顯示，實施預防保養的 最佳時間間隔恰等於產品保養後可年輕的 程度，這表示每次保養後產品狀態又回到 如新的一樣。根據這個結果，可將式(4)中 的ti*以yi取代，保證期間的期望保證成本可 以簡化為
∑∫ ∫
∑
∑∫ ∫
∑
−
=
=
−
=
= −
+ +
=
+ +
−
=
n i
n i
y w
m n
i x
m n
i
i i p
y w
m n
i x
m n
i
i i i p N
dt t g dt
t g x
x C
dt t g dt
t g x
y y C n C
1 0 0 1
1 0 0 1
1
) ( )
( )
, (
) ( )
( )
, (
) , ,
( xy
(5) 利用gp(x)=Cp(x,x)，式(5)可以再簡化為
∑∫ ∫
∑
−=
=
+ +
= n i w yn m
i x
m n
i i p N
dt t g dt
t g x
g n C
1 0 0 1
) ( )
( )
( ) , ( x
(6) 所以，本論文所探討的問題可簡化為尋 找最佳解(n*,x*)使得式(6)最小。在固定 n 的情況下，可以得到最佳保養程度之間的 關係，整理如定理 2。
定理 2 當g′m(t)>0和gp′′(x)≥0時，給定任一 正整數n，若x*=(x1*,x*2,L,x*n)為n次預防保 養的最佳保養程度，則x1*=x2*=L=x*n。
若保養次數和最佳保養程度（或保養間 隔）分別為 n 與 x 時，則所需的期望保證 成本應為
∫
∫
+ −+
= p x m w nx m
N n x ng x n g t dt g t dt
C ( , ) ( ) 0 () 0 () 。(7)
為了求得最佳解(n*,x*)，對式(7)中之 函數CN(n,x)分別對n和x作偏微分可得
)]
( ) ( ) ( ) [
,
( n g x g x g w nx
x x n C
m m p
N = ′ + − −
∂
∂ (8)
和
) ( )
( )
) ( , (
0g t dt xg w nx
x n g
x n C
m x
m p
N = + − −
∂
∂
∫
(9)檢視式(8)後，我們可得到定理 3 的結果。
定 理 3 若 對 所 有t>0 及 x>0 ， 均 存 在
0 ) ( >
′ t
gm 及gp′′(x)≥0，而且g′p(0)≥gm(w)，則
*=0
n 。
由定理 3 的結果可知具有遞增失效率 的 產 品 ， 如 果 保 養 成 本 太 高 ( 即
) ( ) 0
( g w
g′p ≥ m )，則寧可負擔產品失效所帶來 的小修成本而不必執行預防保養。至於，
在g′p(0)<gm(w)的情況下，我們得到下列結 果。
定 理 4 若 對 所 有t>0 及 x>0 ， 均 存 在
0 ) ( >
′ t
gm 及gp′′(x)≥0，而且g′p(0)<gm(w)，則 給定任一 n>0，存在唯一的最佳解x~使得
) , (n x
CN 最小，其中~x為下列方程式的唯一 解。
0 ) ( ) ( )
( + − − =
′ x g x g w nx
gp m m 。 (10) 定理 4 證明了在給定任一非零的保養 次數(即n>0)時，存在唯一的最佳保養程度
~x，而且確認此最佳解x~一定會落於有限區 間(0,w/n]中。下面定理則有助於尋求最佳 保養策略(n*,x*)。
4
定理 5 對所有t>0及x>0而言，若g′m(t)>0
且gp′′(x)≥0時，則下列兩個性質成立。
(i) ~x為n的嚴格遞減函數。
(ii) CN(n,~x)為n的凹函數。
綜合上述的結果，我們將本節探討最 佳解的過程，整理成一套有效的演算法來 尋求產品在保固期間的最佳保養策略，步 驟如下。
【演算法】尋求(n*,x*,t*)
步驟 1: 若g′p(0)≥gm(w)，則令n*=0，然後 停止；否則，進行步驟 2。
步驟 2: 設CN(0,~x0)=CN(0,0)，計算CN(0,0)
之值，然後令n=1，進行步驟 3。
步驟 3: 對目前給定之n，解方程式(10)，
將所得之根設為~xn，並計算
~) ,
( n
N n x
C ，然後進行步驟 4。
步驟 4:若CN(n,~xn)≥CN(n−1,~xn−1)，則令
*=n−1
n 且x*=~xn−1，然後進行步驟 5； 否則，改取n為n+1，進行步 驟 3。
步驟 5: 若n*=0，則停止；否則，令x*k =x*
且tk*=kx*，其中k=1,2,L,n*，然後 停止。
四、結論與討論
本計畫考量在與產品年齡相關的修理 成本及保養成本之下，事先不預設「固定 保養程度」及「週期性」的前提，而推導 求得保固期間之最佳預防保養策略而使保 證成本最低，此策略包含最佳保養次數、
保養程度及保養時機。
本計畫採用產品年齡回溯法來描述和 量化不完美預防保養的數學模式。至於其 他描述不完美預防保養的方法則可參見 Nakagawa [5]和 Pham & Wang [8]。
五、計畫成果自評
本計畫完成原計畫中，考量與產品年 齡相關的修理成本及保養成本，建構主動 維護保證成本模式。針對期望修理成本，
參酌系統維護策略有關小修成本隨年齡變
動之相關討論，進行成本模式化簡。進而 推導保固期間內使保證成本最低的最佳主 動維護保證策略，其中決策變數包含最佳 保養次數、保養程度及保養時機。同時進 一步分析最佳解的性質，提供有效的演算 法以快速求得最佳解，研究成果已投稿於 國際學術期刊。
其他描述不完美預防保養的方法之相 關主動維護保證成本模式的建構與最佳策 略，則為未來進一步深入探討之主題。
六、參考文獻
Baxter, L. A., Scheuer E. M., McConalogue, D. J. and Blischke, W. R. (1982). “On the Tabulation of the Renewal Function,”Technometrics, 24-2, pp 151-156.
[1]陳慶能(1996)，「規範預防保養之保證策略分
析」，碩士論文，管理技術研究所工業管理 學程，台灣工業技術學院。
[2]Block, H. W., Borges, W. S. and Savits, T. H.,
“A General Age Replacement Model with Minimal Repair,”Naval Research Logistics, 35, 365-372 (1988).
[3] Chun, Y. H.,“Optimum Number of Periodic Preventive Maintenance Operations under Warranty, ” Reliability Engineering and System Safety, 37, 223-225 (1992).
[4]Jack, N. and Dagpunar, J. S.,“An Optimum Imperfect Maintenance Policy over a Warranty Period,”Microelectronics and Reliability, 34, 529-934 (1994).
[5]Nakagawa, T., “Imperfect Preventive Maintenance,” IEEE Transactions on Reliability,28, 402 (1979).
[6]Nakagawa, T., “A Summary of Periodic Replacement with Minimal Repair at Failure,”
Journal of the Operations Research Society of Japan, 24, 213-227 (1981).
[7]Nakagawa, T., and Kowada, M., “Analysis of a System with Minimal Repair and its Application to Replacement Policy,” European Journal of Operational Research , 12, 176-182 (1983).
[8]Pham, H. and H. Wang, “Imperfect Maintenance,” European Journal of Operational Research,94, 425-438 (1996).
[9]Yeh, R. H. and H.-C. Lo, “Optimal Preventive-maintenance Warranty Policy for Repairable Products” European Journal of Operational Research,134, 59-69 (2001).
