與簡單彈簧系統相關的一些數學

與簡單彈簧系統相關的一些數學

楊大緯

前言: 身為數學系的學生, 大部分數學證明的訓練, 都十分抽象, 我想去尋找一些數學的應 用面, 所以就去修物理系的“力學”, 其中有一堂課的作業讓我十分感興趣, 是一個有關於兩 個和三個彈簧串聯起來的運動方程問題, 解決這份作業的過程讓我發現一些規律, 並且做了 一些推廣和其他相關的延伸, 這個過程告訴著我們有趣的發現常常來自不同領域的結合且需 要簡單特例的觀察和歸納, 而我在這之中找到了數學的樂趣。

首先我們先從一道物理問題出發, 我們要解一個有兩個方塊串聯的彈簧系統, 舉 2 × 2 的 例子:

其中 x1 和 x2 所代表的是方塊離開平衡點的位移

mx⁰⁰₁ =−kx1− k(x1− x2) =−2kx1+ kx₂ mx⁰⁰₂ =−k(x2− x1)− kx2 = kx₁− 2kx2. 將上面兩個式子整理得

(x₁ x2

)₀₀

=−k m

( 2 −1

−1 2

) (x₁ x2

) .

對 matrix

( 2 −1

−1 2 )

做對角化, 可得 A = P DP⁻¹。

62

將原運動方程式改寫成

p⁻¹ (x₁

x₂ )₀₀

=

(−ω² 0 0 −3ω²

) P⁻¹

(x₁ x₂

)

, 其中 ω² = k

m, P⁻¹ = ( 1

2 1 2 1 2 −1

2

) ,

將 p⁻¹ 帶入可以整理成

(1

2x₁+1

2x₂)⁰⁰=−ω²(1

2x₁+ 1 2x₂) (1

2x₁− 1

2x₂)⁰⁰=−3ω²(1

2x₁− 1 2x₂), 然後解常微分方程式得

1

2x1+1

2x2= c1cos(ωt) + c2sin(ωt) 1

2x1 −1

2x2= c3cos(√

3ωt) + c₄sin(√ 3ωt)

⇒

x₁= c₁cos(ωt) + c₂sin(ωt) + c₃cos(√

3ωt) + c₄sin(√ 3ωt) x₂= c₁cos(ωt) + c₂sin(ωt)− c3cos(√

3ωt)− c4sin(√ 3ωt) 我們想要把結果推廣到 n × n 的情況, 將計算過程歸納成幾個重要的步驟:

1. 列出 n 條運動方程式。

2. 將 n 條方程式寫成矩陣的形式。

3. 對這個矩陣 A 做對角化, 使它可以寫成 A = P DP⁻¹。 4. 將 X⁰⁰ =−ω²AX 改寫成 (P⁻¹X)⁰⁰ =−ω²D(P⁻¹X)。

5. 將方程組 (P⁻¹X)⁰⁰=−ω²D(P⁻¹X) 乘開可以列出 n 條常微分方程。

6. 解完 ODE 之後, 假設 P⁻¹X = Y 則 X = P Y 運動方程組的解就全部找到了。

這個矩陣 A 寫出來如下,

A_n =







2 −1 0

−1 . .. −1 0 −1 2







n×n

.(這類型的矩陣通常被叫做帶狀矩陣)

如何將 An 對角化?

我們先對特徵方程式動一些手腳來簡化計算,

¯¯¯¯

¯¯¯¯

2−λ − 1 0

−1 . .. −1

0 −1 2−λ

¯¯¯¯

¯¯¯¯

n×n

= 0,

令 2 − λ = x 則在 n = 2, 3, 4 時解得 n = 2, x = 1,−1

n = 3, x =√

2, 0,−√ 2

n = 4, x = ¹⁺₂^√5,^√5₂⁻¹,¹⁻₂^√5,⁻¹⁻₂^√5, 如果我們將這些求得的 x 除以 2 並換成弧度制

n = 2, x

2 = cos(π

3), cos(2π 3 ) n = 3, x

2 = cos(π

4), cos(2π

4 ), cos(3π 4 ) n = 4, x

2 = cos(π

5), cos(2π

5 ), cos(3π

5 ), cos(4π 5 ), 這下子就一目了然了。

我們猜測: An 的特徵值為 2− 2 cos( π

n + 1 )

, 2− 2 cos( 2π n + 1

)

, . . . , 2− 2 cos( nπ n + 1

)

由前面的計算我們猜測

det







2 cos θ−1 0

−1 . .. −1 0 −1 2 cos θ







n×n

有 sin((n + 1)θ) 的因子

我們先考慮一個行列式的計算

令 B_n=







a c 0 b . .. c 0 b a







n×n

.

這個矩陣所對應的行列式值有如下的遞迴關係

det B_n= a· det Bn−1− bc · det Bn−2. 設 det Bn= pⁿ⁺¹,

得方程式 p²− ap + bc = 0, 解方程式得 p = a +√

a²− 4bc

2 , a−√

a²− 4bc

2 ,

則 det Bn= α

(a +√

a²− 4bc 2

)n+1

+ β

(a−√

a²− 4bc 2

)n+1

, 帶入初始值 det(B2) = a² − bc, det(B3) = a³− 2abc

得 α = 1

√a²− 4bc, β = √ −1

a²− 4bc, 故 det(B_n) = 1

√a²− 4bc

((a +√

a²− 4bc 2

)n+1

−(a−√

a²− 4bc 2

)n+1)

. (∗) 令 a = 2 cos(θ), b = c = −1, 得

¯¯¯¯

¯¯¯¯

2 cos θ − 1 0

−1 . .. −1 0 −1 2 cos θ

¯¯¯¯

¯¯¯¯

n×n

= sin((n + 1)θ) sin(θ) ,

當 θk = kπ

n + 1, k = 1, 2, . . . , n, 則

¯¯¯¯

¯¯¯¯

2 cos θ_k − 1 0

−1 . .. −1 0 −1 2 cos θk

¯¯¯¯

¯¯¯¯

n×n

= 0,

換句話說,

¯¯¯¯

¯¯¯¯

x − 1 0

−1 . .. −1 0 −1 x

¯¯¯¯

¯¯¯¯

n×n

= 0 的根為 xk= 2 cos( kπ

n + 1), k = 1, 2, . . . , n.

至此我們就證明了我們的猜測。

再來我們想要找出型如







a c 0 b . .. c 0 b a







n×n

的矩陣的特徵值, 而我們將發現這個過程與前面提

及的方法如出一轍。 首先,

¯¯¯¯

¯¯¯¯

2√

bc cos θ c 0

b . .. c

0 b 2√

bc cos θ

¯¯¯¯

¯¯¯¯

n×n

= (bc)ⁿ² sin((n + 1)θ) sin(θ) .

這條公式可由令 a = 2√

bc cos(θ) 代入式子 (∗) 得到。

因此

¯¯¯¯

¯¯¯¯

a c 0 b . .. c 0 b a

¯¯¯¯

¯¯¯¯

n×n

的特徵根為 λk = a− 2√

bc cos( kπ

n + 1), k = 1, 2, . . . , n.

接下來我們要進行一些跟這個結果相關的延伸, 導出費伯那契數列的另一種表達式。

對於 Bn 當取 a = 1, b = 1, c = −1 det(B₁) = =| 1 |= 1, det(B2) = =

¯¯¯¯

¯

1 − 1 1 1

¯¯¯¯

¯= 2,

det(B₃) = =

¯¯¯¯

¯¯¯¯

1 − 1 0 1 1 − 1

0 1 1

¯¯¯¯

¯¯¯¯= 3,

det(B4) = = 1· det(B3)− (−1)B2 = 3 + 2 = 5.

當 n ≥ 3 時, 行列式值滿足 det(Bn+1) = det(B_n) + det(B_n−1)。

將這些行列式值依序列出 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .。 不難發現他就是赫赫有名的費伯那契數列:

F₁ = 1, F₂ = 1, F_n+2 = F_n+1+ F_n, F_n+1 = det(B_n), n≥ 1,

det(B_n) =

∏n k=1

(

1− 2i cos( kπ n + 1)

) . 兩邊取絕對值

| det(Bn)| =¯¯

¯¯¯

∏n k=1

(

1− 2i cos( kπ n + 1))¯¯¯

¯¯ =

∏n k=1

¯¯¯¯

¯ (

1− 2i cos( kπ n + 1))¯¯¯

¯¯

=

∏n k=1

√

1 + 4 cos( kπ n + 1)²

⇒ | det(Bn)| = det(Bn) =

∏n k=1

√

1 + 4 cos( kπ n + 1)².

因為 Fn+1 = det(B_n), 所以我們就得到了費伯那契數列的另一種表達式

F_n+1 =

∏n k=1

√

1 + 4 cos( kπ n + 1)²,

原本較常見的版本是

F_n= 1

√5

((1 +√ 5 2

)n

−(1−√ 5 2

)n

) , 應用這兩種不同的表達式可以做如下的積分:

∫ π 0

ln(1 + 4 cos²(x))dx = 2π ln

(1 +√ 5 2

) . 証明:

F_n+1=

∏n k=1

√

1 + 4 cos( kπ n + 1)²

⇒ ln(Fn+1) = ln ( _n

∏

k=1

√

1 + 4 cos( kπ n + 1)²

)

=

∑n k=1

1 2ln

(

1 + 4 cos( kπ n + 1)²

)

⇒ 2π ln(F_n+1) n + 1 =

∑n k=1

ln (

1 + 4 cos( kπ n + 1)²

) π n + 1, 其中左式的極限

nlim→∞

2π ln(F_n+1)

n + 1 = lim

n→∞

2π ln (

√1 5

((1 +√ 5 2

)n+1

−(1−√ 5 2

)n+1))

n + 1

= lim

n→∞

−π ln(5) + 2π (

(n + 1) ln

(1 +√ 5 2

) + ln

(

1−(1−√ 5 1 +√

5

)n+1))

n + 1

= 2π ln

(1 +√ 5 2

) , (右式)

nlim→∞

( _n

∑

k=1

ln (

1 + 4 cos ( kπ

n + 1

)2) π n + 1

)

= lim

n→∞

( _n

∑

k=0

ln (

1 + 4 cos ( kπ

n + 1

)2) π n + 1

)

=

∫ _π

0

ln(1 + 4 cos²(x))dx (黎曼積分),

所以我們得到了 ∫ _π

0

ln(1 + 4 cos²(x))dx = 2π ln

(1 +√ 5 2

) .

結論

很多發現都需要靠簡單特例的觀察, 以及在不同的領域中找到連結, 我們常常會一直待在 自己喜好或擅長的領域, 然後忽視或迴避其他不甚了解的領域, 只因為害怕挫折和犯錯, 但這裡 頭可能埋藏著許多寶藏或是糾纏你已久的難題的鑰匙, 我們應該多多去嘗試, 不要害怕挫折和 犯錯。

—本文作者投稿時是國立成功大學數學系學生—

SINICA-NCTS/TPE Mini-Course on Geometry Nonlinear partial differential equations in

conformal and CR geometries

講 者 : Professor Alice Chang 張聖容院士 (Princeton University) 時 間 : 10:30 am ∼ 12:00 pm

2013年01月17日 (四) — Conformally compact Einstein Spaces 2013年01月18日 (五) — Renormalized volume

講 者 : Professor Paul Yang 楊建平教授 (Princeton University) 時 間 : 10:30 am ∼ 12:00 pm

2013年01月24日 (四) — CR Geometry: Introduction to CR structure, contact structure, and almost complex structure 2013年01月25日 (五) — The P-mean curvature equation

2013年01月31日 (四) — Embedding problem 2013年02月01日 (五) — The CR Yamabe problem

地 點 : 台北市大安區羅斯福路四段1號 天文數學館6樓中研院數學所

演講廳 (639研討室)

詳見中研院數學所網頁 http://www.math.sinica.edu.tw