四技二專

(1)

四技二專

統一入學測驗

數學（Ｃ）

一、試題分析

109 年統測數學 C 是一份有難度的試卷。這次完成整卷需要不少的計算量與觀念技巧，預估滿分人數與 108 年相差無幾！（註：108 年統測數學 C 僅有 17 位滿分，這是統測數學 C 的最低紀錄）這次的試題大多是中等或是偏難題，其中稍難的題目分布在試卷的後半段，而簡單或中等偏易的題目分布在前半段，這是恰當的安排。其他特色如下：

1. 情境試題：

108 數學新課綱強調生活素養，108 年已率先反應，109 年也是持續出現，而且題數也更多，如：第 4、5、9、12、14、19 與 24 題。

2. 圖形試題：

這次圖形題較以往豐富且多元，有統計的次數累積圖、橢圓的各元素、可行解區域、三角函數圖形的伸縮平移、人工智慧的分類坐標圖。這些不需繁瑣的計算，

只要正確的觀念就可以解決，如：第 4、7、10、11、23、24 與 25 題。

3. 綜合試題：

偏重與不等式的搭配，如：第 16 題結合對數，第 22 題結合二項式定理。

4. 爭議試題：

百分等級（PR 值）通常用於討論大數據，第 4 題的資料數少卻要討論，不太適宜。

綜合上述，程度較佳的考生應可有效地拉開得分差距，但是其他容易因不懂題意而隨意猜答的中後段或後段考生，恐怕也會無法有效的鑑別，這些將會影響考生們對於準備數學的意願。由於 108、109 年的試卷水平相近，這或許代表 110 年也是如此，

考生們宜及早適應，並調整練習的方向。

二、配分比例表

單元名稱題數單元名稱題數

直線方程式 1 數列與級數 1

三角函數 2 指數與對數及其運算 2

三角函數的應用 2 排列組合 2

向量 1 機率與統計 2

式的運算 2 圓 1

聯立方程式 2 二次曲線 1

複數 1 微分 3

不等式及其應用 1 積分 1

109 年

(2)

數學 C 參考公式

1. 三角函數的和差角公式： ^cos

^{ }

^



^ ^{cos cos}

^ ^

^ ^{sin sin}

^ ^

2. 若橢圓的長軸長為 2a ，短軸長為 2b ，則正焦弦長為 2b

2

a

3. 對數值： log 1.03 0.0128

₁₀

 、 log 1.3 0.1139

₁₀

 、 log 2 0.3010

₁₀

 、 log 3 0.4771

₁₀

 4. 複利公式：若 P 為本金、 r 為每期利率、 n 為期數，則 n 期後本利和 ^ ^P



¹ ^ ^r

ⁿ

5. 若



、



為一元二次方程式 ax

²

 bx c   的兩根，則 0 b

 

  ^ a 、 c



 a 6. △ ABC 的正弦定理： 2

sin sin sin

a b c

A  B  C  R ， R 為 △ ABC 外接圓的半徑 7. △ ABC 的餘弦定理： a

²

 b

²

 c

²

 2 cos bc A

單選題（每題 4 分，共 100 分）

( ) 1. 關於下列各極限，何者錯誤？

(A)

³

lim

2

2 0

x _

x



  (B)

lim

2

2 0

x _

x



  (C)

³

lim

2

2 0

x _

x



  (D) lim

2

2 0

x _

x



  。

( ) 2. 若 a  tan 480 ， b  sec135 ， ^c ^ ^{cos 60}



  ，則下列有序數對何者在第二象



限？

(A)

 

^{b c} ^, ^(B)

 

^{a b} ^, ^(C)

 

^{c a} ^, ^(D)

 

^{c b 。} ^,

( ) 3. 已知多項式 ^{f x 除以}

  

^x ^ ¹



 ^x

²

^{  所得之餘式為} ^x ¹  ³ ^x

²

^ ⁵ ^x ^{ ，則} ² ^{f x}

^{ }

除以 x

²

  所得之餘式為何？ x 1

(A) 4  (B) 2 x  (C) 6 (D)8 5 x  。 5

總分

109

學年度四技二專統一入學測驗

數學 (C)

(3)

( ) 4.圖(一)為某校一年 A班的英文考試之以下累積次數分配曲線圖，請問由圖(一) 顯示之資訊可推得哪一個選項正確？

圖(一)

(A)全距為100 (B)中位數介於 60 70 ～之間

(C)標準差為80 (D)百分等級（ PR 值）高於90 者只有一位。

( ) 5. 在一次立法委員選舉中，每位選民須投區域立委與不分區政黨兩種選票，

且每種選票均只能圈選一位（個），否則視為廢票。已知某甲的戶籍地有 6 位區域立委候選人，而全國共有14 個政黨可選擇。若某甲決定去投票，且兩種選票均不投廢票，試問某甲有多少種的投票組合？

(A) 6 (B)14 (C) 20 (D)84 。

( ) 6. 若sin80   ，cos59 a   ，則 cos 21  ？ b

(A) a 1  b

²

 b 1  a

²

(B) a 1  b

²

 b 1  a

²

(C) ab  1  a

²

1  b

²

(D) ab  1  a

²

1  b

²

。

( ) 7. 若給定一橢圓標準式



⁴

 ²

²

²

₁

25 144 x  y 

  ，則下列何者正確？

(A)



^{4, 2} ^{ 為其中一焦點}



(B)



^{9, 2}  為其中一長軸頂點



(C)



4,10 為其中一短軸頂點



(D)正焦弦長為 25 6 。

( ) 8. 設  ³ ^ ^{i z}  ^{ } ^{2 3 2} ^{ ，其中} ⁱ ⁱ   ，則 z 之主幅角為何？ ¹ (A) 3



(B) 2 3



(C) 5 6



(D) 7 6



。

( ) 9. 某棒球投手自 4 月1日開始每天練投，他每日投球數為等差數列。若 4 月5 日投球數為 41個， 4 月13 日為 73個，則他 4 月份有幾天投球數超過100 個？

(A)10 (B)11 (C)12 (D)13 。

(4)

( ) 10. 在

2 6 0 10 0 2 9 x y x y

x

  

    

   



的條件下，求其可行解區域的面積（平方單位）為何？

(A) 119

4 (B) 59

2 (C) 117

4 (D) 55 2 。

( ) 11. 設函數 ^{f x}

 

^ ^2cos3 ^x ^ ^1, ^x ^  ^0,2

^

 ^{，若其圖形和} x 軸的交點個數與函數的最大值分別為 a 、b ，則 ab  ？

(A) 6 (B)9 (C)12 (D)18 。

( ) 12. 保險公司推出躉繳型保單（即於一開始存入一固定本金），且宣告年利率為 3% 的複利，每年計算一次。若某人於 20 歲時，花10 萬元購買此保單，則當保單價值達 20 萬元時，某人約幾歲？

(A) 24 (B)34 (C) 44 (D)54 。

( ) 13. 設 ^{f x}

 

^ ^x

³

^ ³ ^x

²

^ ²⁴ ^x ^ ³² ^在閉區間  ^ ^3,3  內的最大值與最小值分別為 m 、 n ，則 m n   ？

(A)90 (B)98 (C)100 (D)108 。

( ) 14. 坊間的擲骰子遊戲，一次擲出四顆公正骰子，在下列情形之下才可以計算其得點數（設 x 、 y 、 z 均不同），

(1)若骰子點數出現 x 、 x 、 y 、 z 時，則玩家之得點數為 y z  ；

(2)若骰子點數出現 x、x、 y、 y 時，則玩家之得點數為 2x 與 2y 中較大者。

求玩家擲出得點數為3（即「BG」）的機率為何？

(A) 1

12 (B) 1

18 (C) 1

27 (D) 1 36 。

( ) 15. 若 k 為實數，且點 ^P

 

^1, ^{k 為曲線} ^kx

²

^ ^y

²

^ ² ^x ^ ⁴ ^{y k}    上之一點，求曲 ^{1 0} 線之圖形為何？

(A)圓 (B)拋物線 (C)橢圓 (D)雙曲線。

( ) 16. 滿足 log

10__x²

 x

²

 3 x  有意義的整數 x 共有多少個？ 2 

(A)3 (B) 4 (C)5 (D) 7 。 ( ) 17. 設

 

²

₂

^1, ²

2 3, 2

x x

f x x x x

 

  

  

 ，則 ^{f }

 

² ^{ ？}

(A)1 (B) 2 (C)3 (D)不存在。

( ) 18. 設



、



為方程式 x

²

 5 x k   之二根，已知多項式 0 ^{f x}

 

^ ² ^x

²

^ ⁷ ^x ^{ 除} ⁵

以 x  、 x



 所得的餘式分別為 1



 、 2 ，則 k  ？

(A) 4 (B)5 (C) 6 (D) 7 。

(5)

( ) 19. 某家口罩工廠擁有5 台 A型機器和3台 B 型機器來製造口罩，平時每日總產量為11070 個口罩。今因應肺炎疫情日趨嚴重，緊急添購3台 A型機器和9 台 B 型機器，並提高所有機器的每日產能至原先的150% ，使得該工廠每日總產量增為 42120 個口罩，試問一台 A型機器原先的每日產能為多少個？

(A)1350 (B)1380 (C)1410 (D)1440 。

( ) 20. 已知三階行列式

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

2 3 2

2 3 2 8

2 3 2

a b c a c a a b c a c a a b c a c a

  

   

  

，則

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c a b c a b c

 ？

(A) 4  (B) 2  (C) 2 (D) 4 。

( ) 21. 設平面上三點 ^A

 

^1,1 ^、 ^B



^{5, 2} ^{ 、}



^C

 

^{5, 2} ^，且 ^AC 

在 AB 

的正射影為 AD 

，若

 

^,

DC   x y

，則 x y   ？ (A) 34

25 (B) 89

25 (C) 104

25 (D) 112 25 。

( ) 22. 設 a 為實數，將



^ax ^ ¹

⁴

^{展開後，若} x 之係數大於其他各項係數，則 a 的範

³

圍為何？

(A) a  (B) 4 3

a  (C) 2 a  或 4 3

a  (D) 2 3

2   。 a 4 ( ) 23. 在 △ ABC 中，若  之內角平分線交 BC 於 D ，其中 A

3 AB  、 AC  ，且 6   A 120 ，如圖(二)，則CD  ？ (A) 26 (B)3 3 (C) 2 7 (D) 7 。

( ) 24. 在人工智慧的分類技術中，用到以直線分類不同物件的概念。設平面上有七個點 ^A

 

^1,3 ^、 ^B

 

^{3, 2} ^、



^{1, 4}



C  、 ^D



^ ^{1, 2}



^、 ^E



^{1, 2} ^{ 、}



^F



^{  、} ^{2, 1}



^G



^ ^{3, 2}



分屬●、▲二類，其中直線 L x : 3  4 y  12 0  未能將它們正確分類，如圖(三)標示。若將 L 平行移動至新的位置成為新直線 L 且能達到正確分類目的，

₁

則下列何者可為 L 的直線方程式？

₁

(A)3 x  4 y   (B)3 2 0 x  4 y   6 0 (C) 6 x  8 y   (D)6 3 0 x  8 y   。 3 0

( ) 25. 設 ^{g x}

 

^ ² ^x ^{ ，已知在閉區間} ¹  ^ ^1,1  ^上 ^{f x}

 

^{ 且} ¹ 

¹_₁

^{f x dx}

 

^ ⁵ ^，則此兩

曲線 ^y ^ ^{f x}

 

^與 ^{y g x} ^

 

^在閉區間  ^ ^1,1  所圍成區域的面積為何？

(A) 4 (B)5 (C) 6 (D) 7 。

圖(二)

圖(三)

(6)

109 年統一入學測驗數學 (C)

本試題答案係依據統一入學測驗中心公布之標準答案

1.

(1) 當 x a 且 x ，會使得a ^{f x}

 

^{ ，則}^L

稱 ^{f x 在}

 

a 的左極限為 L ，記作

 

xlima f x L

  

(2) 當 x a 且 x ，會使得a ^{f x}

 

^^M^，則

稱 ^{f x 在}

 

a 的右極限為 M ，記作

 

x alim_ f x M

 

(3) 若函數 f x 定義域中的 x 無法滿足

 

x a ，則_{x a}^lim  ^{f x}

 

不存在

(4) 若函數 f x 定義域中的 x 無法滿足

 

x a ，則_{x a}^lim  ^{f x}

 

不存在

(1) 令 ^{f x}₁

 

^³ ^x^²

則 f x 的定義域為所有實數 1

 

故 ³ ³

lim2 2 2 2 0

x _ x

    

3 3

lim2 2 2 2 0

x _ x

     (2) 令 f x2

 

 x 2

則 f x 的定義域為2

  

^{x x}^^2,^{x R}^



∵ x 不在定義域 2

∴ lim2 2

x _ x

  不存在 lim2 2 2 2 0

x _ x

     由(1)、(2)可知，選項(B)錯誤

2.

任意角三角函數的正負：

(1) ∵ 480 360 120 且90 120 180

∴ 480 是第二象限角則atan 480  0 (2) ∵ 90 135 180

∴ 135 是第二象限角則bsec135  0 (3) ∵   是第四象限角 60

∴ ^c^^{cos 60}



^{  }



⁰

由(1)、(2)、(3)可知點

 

^{b c 在第二象限}^,

點

 

^{a b 在第三象限}^,

點

 

^{c a 和點}^,

 

^{c b 在第四象限}^,

故選(A)

3.

除法原理：

若 ^{f x}

 

^^{g x}

 

^^{Q x}

 

^...^{R x}

 

則 ^{f x}

 

^^{g x}

 

^^{Q x}

 

^^{R x}

 

設 ^{f x 除以}

  

^x^¹

 

^x²^{  所得之商式為}^x ¹



 

Q x

1.B 2.A 3.B 4.B 5.D 6.A 7.D 8.B 9.B 10.A

11.A 12.C 13.C 14.C 15.A 16.A 17.B 18.C 19.A 20.C

21.D 22.D 23.C 24.D 25.D

(7)

則 ^{f x}

  

^^_ ^x^¹

 

^x²^{ }^x ¹



^_

 

^{... 3}



² ⁵ ²



Q x x x

  

由除法原理

  

¹

 

² ¹

 ^{ } 

³ ² ⁵ ²



f x  x x  x Q x  x  x 依上式可知， ^{f x 除以}

 

^x²^{  的餘式就是}^x ¹

3x25x 除以2 x²  的餘式 x 1 3

1 1 1 3 5 2 3 3 3 2 5

   

 

 故所求餘式為2x 5

4.

了解統計的全距、中位數、標準差、百分等級（PR 值）的意義

(A) 最高分落在90 100～分有可能是100 分最低分落在20 30～分有可能是20 分故全距為100 20 80～ 

(B) 全班有39 人，



^{39 1}^{  }



^{2 20}

所以成績的中位數是成績由低到高的第 20 位，介於 60 70～分之間

(C) ∵ 全班成績的全距為 80 ，而且成績分布並不極端

∴ 標準差不可能為80 (D) 成績 80 分以上的有 3 位

而第3 名的成績勝過 39 3 36  位

又36

100 92.3 39 

則第3 名的百分等級（ PR 值）為 92，因此百分等級（PR 值）高於 90 者不只有一位

故選(B)

5.

乘法原理：

完成一件事需分成2 個步驟，步驟1有n 種方₁ 法，步驟2 有n 種方法，則完成此件事有₂

1 2

n  種方法 n

區域立委的選擇有6 種不分區政黨的選擇有14 種由乘法原理可知

投票組合有6 14 84  種

6.

(1) 餘角關係：

 

sin 90  cos

 

cos 90  sin (2) 餘弦的差角公式：

 

cos   cos cos sin sin 

(1) ∵ ^sin80^{ }^{sin 90}



^{   }¹⁰



^cos10^

∴ cos10  a 以cos10

1 a a

   來作圖

則

2 2

sin10 1 1

1

a a

    

(2) ∵ ^cos59^{ }^{cos 90}



^{   }³¹



^{sin 31}^

∴ sin 31  b 以sin 31

1 b b

   來作圖

則

2 2

cos31 1 1

1

b b

    

(8)

(3) 由餘弦的差角公式，則 cos 21^^{cos 31}



^{  }¹⁰



cos31 cos10 sin 31sin10

2 2

1 b a b 1 a

     

2 2

1 1

a b b a

   

7.   

²



²

2 2 1

x h y k

b a

 

  （a b  ） 0 為上下焦點的橢圓，若a² b² ，則 c² (1) 長軸頂點



^{h k a}^, ^



(2) 短軸頂點



^{h b k}^ ^,



(3) 焦點



^{h k c}^, ^



(4) 正焦弦長 2b2

a

橢圓：



4



²

 

² ²

25 144 1

x    y  

∵ y 項的分母² x²項的分母

∴ 橢圓有上、下焦點，中心



^{4, 2}^



(1) a²144  a12 長軸頂點



^{4, 2 12}^{ }







^{4,10 、}

 

^{4, 14}^



(2) b²25  b 5 短軸頂點



^{4 5, 2}^{ }







^{9, 2}^{ 、}

 

^{ }^{1, 2}



(3) a²b²  c² 144 25 c  ²

 c² 119  c 119 焦點



^{4, 2}^{ } ¹¹⁹



(4) 正焦弦長

2 2 2 25 25 12 6 b

a

   由(1)～(4)，故選(D)

8. 〈法一〉

設a 、 b 、 c 、 d 均為實數，則

  

a bi c di a bi

c di c di c di

 

 

  

   

2 2

ac bd bc ad i c d

  

 



³^^{i z}



^{ }^{2 3 2}^ⁱ



  

2 3 2 3 2 3 2

3 3 3

i i

z i

i i i

  

 

 

  

 

2

2 2

6 2 3 2 3 2 4 4 3 3 1 4

i i i i

     

 

 4 4 3

1 3

4 4

i i

    

 

¹²

 

³ ² ^{4 2}

z     

如圖，z 的主幅角為 2

180 60 120 3

      

〈法二〉

設^z₁^^r₁



^cos^₁^ⁱ^sin^₁



^，

 

2 2 cos 2 sin 2 0

z r  i   ，則 ¹ ¹



₁ ₂

 

₁ ₂



2 2

cos sin

z r

z  r    i   



³^^{i z}



^{ }^{2 3 2}^{ }ⁱ ^z^^^{2 3 2}₃_^_i ⁱ

令z₁ 2 3 2 ，i z₂ 3 i (1) z 的極式： ₁

 

² ²

1 2 3 2 16 4

z     

(9)

如圖，z 的主幅角為180₁    30 150 則z14 cos150



 isin150



(2) z 的極式： ₂

 

² ²

2 3 1 4 2

z    

如圖，z 的主幅角為₂ 30

則z22 cos30



 isin 30



由(1)和(2)可知：

 

1 2

4 cos150 sin150 2 cos30 sin 30 z i

z z i

  

 

  

   

4 cos 150 30 sin 150 30

2 i

          

 

2 cos120 isin120

   

因此z 的主幅角為 2 120 3

  

9.

設 a 為等差數列，公差為 d ， _n 則^a_n^{ }^a₁



ⁿ^¹



^{d a}^ _m^



^{n m d}^



設4 月 n 日的投球數是a 個 _n 則a a a₁, , , ,₂ ₃ a₃₀為等差數列設此等差數列的公差為d 由題意知：a₅ 41，a₁₃73 則a13a5



13 5 



d

 73 41 8d   8d 32  d 4 若a_n100

 

13 13

an a  n  d

 

73 n 13 4 4n 21

      則4n21 100

 4n79  79

19.75

n 4  ，取n20 故4 月 20 日起，每日的投球數超過100 個從4 月 20 日到 4 月 30 日共有11 天

因此4 月份有11 天投球數超過100 個

10.

(1) 圖解聯立不等式 (2) 求出可行解區域的頂點滿足不等式條件的區域如下圖

四邊形ABCD 為梯形 3 5

1 2 2

AB   

  8 2 6 CD  

9 2 7 BH   

梯形ABCD 的面積

5 6 7 2 119

2 4

  

 

 

 

故可行解區域的面積為119

4 （平方單位）

11.

(1) 若 f x 的週期為T ，

 

則 ^{f kx 的週期為}

 

^T

k （k  ） 0

(2) 熟悉三角函數的圖形，並了解其伸縮和平移

(1) 由於 cos x 的週期是 2 ，故cos3x 的週期 是2

3

 ，把ycosx的圖形以y 軸為基準

壓縮1

3倍，就是ycos3x的圖形

(10)

(2) 把 ycos3x的圖形以x 軸為基準拉伸 2 倍，就是y2cos3x的圖形

(3) 把y2cos3x的圖形向下平移1單位，就是y2cos3x 的圖形 1

故 ^{f x}

 

^^2cos3^x^{ 在閉區間}¹



^0,2^



^的圖形

和x 軸有 6 個交點，其最大值為1，即a 、6 1

b

因此ab   6 1 6

12.

複利公式：

若P 為本金，r 為每期利率，n 為期數，則 n 期後的本利和^^P



¹^^r



ⁿ

n 年後

此人的保單價值為100000 1 3% 

 

ⁿ元令100000 1 3% 

 

ⁿ200000





^1.03



ⁿ^²

 log 1.0310

 

ⁿlog 210

 nlog 1.03 log 2₁₀  ₁₀

 n0.0128 0.3010

 0.3010

23.52 0.0128

n  ，取n24 故此人24 年後，保單價值超過 20 萬元其年紀是20 24 44  歲

13.

設多項式函數 ^{f x 在閉區間}

   

^{a b ，其最大}^,

（小）值會出現在閉區間

 

^{a b 的端點或導數}^,

為0 的點

 

³ ³ ² ²⁴ ³²

f x x  x  x

 

³ ² ⁶ ^{24 3}



² ² ⁸



f x  x  x  x  x

  

3 x 2 x 4

  

令^{f x}^

 

^⁰

 ³



^x^²



^x^⁴



^{ }⁰ ^x^{  或 4}²

∵ x 不在閉區間4



^^3,3



^內

∴ x 不予考慮 4

將閉區間



^^3,3



^的端點^x^{  與}³ ^x^{ ，以及}³

2

x  代入 ^{f x 求值：}

 

   

³ ³ ³ ³

 

³ ² ²⁴

 

³ ^{32 50}

f           

 

³ ³³ ^{3 3}² ^{24 3 32} ⁴⁰

f        

   

² ² ³ ³

 

² ² ²⁴

 

² ^{32 60}

f            故^{f x 在閉區間}

  

^^3,3



^{內的最大值}^m^⁶⁰

最小值n  40

因此^{m n}^{ }⁶⁰^{ }



⁴⁰



^¹⁰⁰

14.

事件A 的機率：

   

 

P A n A

 n S ，其中S 為樣本空間

(11)

設樣本空間為S ，則^{n S}

 

^⁶⁴^¹²⁹⁶

∵ x 、 y 、 z 均不同

∴ 擲出得點數為3 的有以下 4 類：

(1) 3 、 3 、1、 2 ：4!

2!12 (2) 4 、 4 、1、 2 ：4!

2!12 (3) 5 、 5 、1、 2 ：4!

2!12 (4) 6 、 6 、1、 2 ：4!

2!12 共有12 4 48  種

因此擲出得點數為3 的機率為 48 1 129627

15.

曲線



^{x h}^

 

²^ ^{y k}^



²^^r²^（^r^{ ）是圓}⁰

∵ 點^P

 

^1,^{k 為曲線上一點}

∴ k 1² k²       2 1 4 k k 1 0  k²2k   1 0



^k^¹



²^⁰

 k   1 0 k 1 曲線為x²y²2x4y 0





^x²^²^x^¹^

 

^ ^y²^{   }^{2 2} ^y ²²



^{ }^{1 4}





^x^¹

 

²^ ^y^²



²^⁵

故此曲線之圖形為圓

16.

若對數log_ab 有意義，

則(1)底數a 且0 a 1 (2)真數b 0

對數log10__x²



x²3x2



有意義，則 (1) 底數10x²  且0 10x² 1

 x²10 0 且x² 9





^x^ ¹⁰



^x^ ¹⁰



^{ 且}⁰ ^x^{ }³

  10 x 10且x  3

(2) 真數x²3x  2 0





^x^²



^x^{ }¹



⁰

 x 2或x  1

由(1)、(2)可知，x 的範圍如下：

使對數有意義的整數x 為 0、1或 2，共有 3 個

17.

函數 ^{f x 在 x a}

 

^{ 處的導數定義：}

 

_lim

   

x a

f x f a f a ^ x a

  



當x 時，2 ^{f x}

 

^^x²^²^x^³

則^f

 

² ^²²^{   }^{2 2 3 3}

由導數的定義：

     

2

2 lim 2

2

x

f x f

f ^ x

  

 (1) 當x 時 2

    

²



2 2

2 3 3

lim 2 lim

2 2

x x

x x f x f

x x

 

 

  

 

 

 

2

2 2 2

2 2

lim lim lim 2

2 2

x x x

x x x x

x x x

  

  

 

   

 

(2) 當x 時 2

     

2 2

2 2 1 3

lim lim

2 2

x x

f x f x

x x

 

 

  

  

 

2 2 2

2 2 2 4

lim lim lim 2 2

2 2

x x x

x x

  

  

 

   

 

由(1)、(2)可知：

   

2

lim 2 2

2

x

f x f x



 

 因此 ^{f }

 

² ^²

18.

若方程式ax²bx c  有兩根0 、 ，則

(1) 兩根和 b

    a (2) 兩根積 c

  a

∵ 、 為方程式x²5x k  之二根 0

∴ 兩根和 5

1 5

     

(12)

兩根積 1 k k

  

而^²^^²^



^{ }^



²^²^ ^{ }

 

⁵ ²^{ }^{2 k}

25 2k 

∵ ^{f x}

 

^²^x²^⁷^x^{ 除以 x}⁵ ^{ 、 x}^ ^{ 的}^

餘式分別為 、 2 1

∴ ^f

 

^ ^²^²^⁷^    ⁵ ¹ ^f

 

^ ^²^²^⁷^ ^{  }^{5 2}



  ：²



^²^^²



^⁷

^

^{ }^

^

^^{10 1}^

 ²^



^{25 2}^ ^k



^{   }⁷

 

⁵ ^{10 1}^

 ^{50 4}^ ^k^{ }



³⁵



^^{10 1}^

 4 k    24 k 6

19.

(1) 依據題意列出相關的方程式 (2) 利用加減消去法解聯立方程式

設A 、 B 型機器原先一台的每日產能分別為 x 、 y 個口罩，由題意可知

平時口罩的每日總產量：

5x3y11070

目前緊急添購機器後

A 型有 5 3 8  台， B 型有 3 9 12  台

∵ 目前提高所有機器的每日產能至原先的 150%

∴ 目前口罩的每日總產量：



⁸^x^¹²^y



^^{150% 42120}^

 12x18y42120 ^⁶ 2x3y7020



  ： 3x4050  ^³ x1350

因此一台A 型機器原先的每日產能為1350 個口罩

20.

行列式的運算性質：

(1) 某行的k 倍加到另一行時，行列式的值不 變

(2) 當某行的元素有公因數時，可提出 (3) 任意兩行互換時，行列式的值會變號

∵

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

2 3 2

a b c a c a

  

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

2 3 2

b c c a

  

   

  

1 1 1

2 2 2

3 3 3

2 2

b c a

 

  

 

   

¹2 ¹2 ¹2

3 3 3

2 2

b c a b c a b c a

    

 

¹2 ¹2 ¹2 ¹2 ¹2 ¹2

3 3 3 3 3 3

4 4

a c b a b c

    

∴

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 8

a b c a b c a b c

 

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 2

a b c a b c a b c

 

21.

向量



u

在



v _{上的正射影：}

2

u v v v

 

  

 

 

   

 

¹

  ^{ }

 

¹

3 2

 

  

(13)

∵ ^A

 

^1,1 ^、^B



^{5, 2}^{ 、}



^C

 

^5,2

∴ ^AC



^



^{5 1, 2 1}^ ^{ }

  

^4,1



^{5 1, 2 1}

 

^{4, 3}



AB



      AC



在AB



_{上的正射影}

2

AC AB

AD AB

AB

 

  

 

 

 

 

    

   



^4,1⁴² ^

 

^{4, 3}³^²



²

^

^{4, 3}

^

 

 

    

2

4 4 1 3 13

4, 3 4, 3

5 25

   

   

13 13

 

52 39

4, 3 ,

25 25 25 25

   

        

∵ CD CA AD

    

   AC AD



^{4, 1}



⁵²^, ³⁹

25 25

 

     

52 39

4 , 1

25 25

  

      

48 64 25, 25

 

   

∴ 48 64

25 25, DC CD  

 

 

而^DC



^

 

^{x y}^,

，則 48

x25， 64 y25 因此 48 64 112

25 25 25 x y   

22.

(1) 二項式定理



^{x y}



⁴^{C x}^{4 4}₀ C x y C x y₁^{4 3}  ^{4 2}₂ ²

4 3 4 4

3 4

C xy C y

 

(2) 一元高次不等式的解由二項式定理知



^ax^¹



⁴

 

⁴

 

³

4 4

0 1 1

C ax C ax

    

 

²

 

4 2 4 3 4 4

2 1 3 1 4 1

C ax C ax C

       

4 4 4 3 3 6 2 2 4 1

a x a x a x ax

    

其x 之係數為³ 4a ³

而其他各項係數為a 、⁴ 6a 、 4a 、1 ² 由題意知x 之係數大於其他各項係數，故 ³

3 4

4a a ，4a³6a²，4a³4a，4a³ 1 (1) 4a^a⁴  a⁴4a³ 0

 ^{a a}²



²^⁴^a



^⁰ ^^â² â²^⁴â^⁰

 ^{a a}



^⁴



^{  0}⁰ ^{ }^a ⁴

(2) 4a³6a²  4a³6a² 0

 ²^a²



²^a^{ }³



⁰ ^^{ 2}^2a² ^a^{ }^{3 0}

 3 a 2 由(1)和(2)可得3

2  a 4

而3

2  滿足a 4 4a³4a和4a³ 1 因此a 的範圍為3

2  a 4

(14)

23.

(1) 角平分線性質：

如圖，若AD 平分 BAC 則AB AC BD CD:  :

(2) 餘弦定理：

2 2 2 2 cos a b c  bc A

∵  之內角平分線交 BC 於 D A 且AB AC: 3: 6 1: 2

∴ BD CD: 1: 2

設BD k ，CD2k，其中k 0 則BC k 2k3k

令a BC ，b AC ，c AB 由餘弦定理知：

2 2 2 2 cos a b c  bc A



 

³k ²⁶²³²   2 6 3 cos120

 ² 1

9 36 9 2 6 3

k        2

 

 k²  7 k  7（ 7不合）

因此CD2k2 7

24.

平行於ax by c   的直線 0 可以假設為ax by k   0

(1) 設通過點^D



^^1,2



^且平行^{L 的直線為}

2: 3 4 1 0

L x y n 

把^D



^^1,2



^代入得3     

 

1 4 2 n1 0

 n₁  5

則L₂: 3x4y  5 0

(2) 設通過點^G



^^3,2



且平行L 的直線為

3: 3 4 2 0

L x y n 

把^G



^^3,2



^代入得3    

 

3 4 2 n2 0

 n₂ 1

則L₃: 3x4y  1 0

(3) ∵ L₁//L 且L 可把平面上七個點分成 ₁ ●、▲二類

∴ 直線L 位於₁ L 和₂ L 之間 ₃ 因此L 可以寫成 3₁ x4y k  0 其中   5 k 1

則(A) 3x4y  （不合） 2 0 (B) 3x4y  （不合） 6 0 (C) 6x8y  3 0  ^² 3

3 4 0

x y  （不合） 2 (D) 6x8y  3 0

 ^² 3

3 4 0

x y  （符合） 2 故選(D)

(15)

25.

設兩函數 ^{f x 、}

 

^{g x 在閉區間}

   

^{a b}^,

若 ^{f x}

 

^^{g x}

 

，則兩函數在閉區間所圍成區域的面積為



^b_a^_^{f x}

 

^^{g x dx}

 

^_

(1) 令y2x 1 x  1 1 y  3 1 則^{y g x}^

 

^{的圖形如圖}

在閉區間



^^1,1



^上的^{g x}

 

^¹

(2) ∵ 在閉區間



^^1,1



^上的^{f x}

 

^¹

∴ ^y^ ^{f x}

 

與^{y g x}^

 

在閉區間



^^1,1



所圍成區域的面積為



¹_₁^_^{f x}

 

^^{g x dx}

 

^_

^



¹_₁^{f x dx}

 

^



¹_₁^{g x dx}

 

由題意知



¹_₁^{f x dx}

 

^⁵

而

_

¹_₁^{g x dx}

 

^

_

¹_₁



²^x^¹



^dx^



^x²^^x



¹_₁



¹² ¹



^

^{   }

¹ ² ¹ ^

      

  2

故所求的面積^{   }⁵

 

² ⁷

四技二專

四技二專

數學（Ｃ）

1. 情境試題：

108 數學新課綱強調生活素養，108 年已率先反應，109 年也是持續出現，而且題 數也更多，如：第 4、5、9、12、14、19 與 24 題。

2. 圖形試題：

這次圖形題較以往豐富且多元，有統計的次數累積圖、橢圓的各元素、可行解區 域、三角函數圖形的伸縮平移、人工智慧的分類坐標圖。這些不需繁瑣的計算，

只要正確的觀念就可以解決，如：第 4、7、10、11、23、24 與 25 題。

3. 綜合試題：

偏重與不等式的搭配，如：第 16 題結合對數，第 22 題結合二項式定理。

4. 爭議試題：

百分等級（PR 值）通常用於討論大數據，第 4 題的資料數少卻要討論，不太適宜。

考生們宜及早適應，並調整練習的方向。

單元名稱 題數 單元名稱 題數

直線方程式 1 數列與級數 1

三角函數 2 指數與對數及其運算 2

三角函數的應用 2 排列組合 2

向量 1 機率與統計 2

式的運算 2 圓 1

聯立方程式 2 二次曲線 1

複數 1 微分 3

不等式及其應用 1 積分 1

109 年

數學 C 參考公式

1. 三角函數的和差角公式： cos



 cos cos

 sin sin

2. 若橢圓的長軸長為 2a ，短軸長為 2b ，則正焦弦長為 2b

a

3. 對數值： log 1.03 0.0128

 、 log 1.3 0.1139

 、 log 2 0.3010

 、 log 3 0.4771

 4. 複利公式：若 P 為本金、 r 為每期利率、 n 為期數，則 n 期後本利和  P

1  r

5. 若

、

為一元二次方程式 ax

 bx c   的兩根，則 0 b

   a 、 c

 a 6. △ ABC 的正弦定理： 2

sin sin sin

a b c

A  B  C  R ， R 為 △ ABC 外接圓的半徑 7. △ ABC 的餘弦定理： a

 b

 c

 2 cos bc A

單選題（每題 4 分，共 100 分）

( ) 1. 關於下列各極限，何者錯誤？

(A)

lim

2 0

x

  (B)

lim

2 0

x

  (C)

lim

2 0

x

  (D) lim

2 0

x

  。

( ) 2. 若 a  tan 480 ， b  sec135 ， c  cos 60

  ，則下列有序數對何者在第二象

限？

(A)

b c , (B)

a b , (C)

c a , (D)

c b 。 ,

( ) 3. 已知多項式 f x 除以

x  1

 x

  所得之餘式為 x 1  3 x

 5 x  ，則 2 f x

除以 x

108 數學新課綱強調生活素養，108 年已率先反應，109 年也是持續出現，而且題數也更多，如：第 4、5、9、12、14、19 與 24 題。

這次圖形題較以往豐富且多元，有統計的次數累積圖、橢圓的各元素、可行解區域、三角函數圖形的伸縮平移、人工智慧的分類坐標圖。這些不需繁瑣的計算，

單元名稱題數單元名稱題數

1. 三角函數的和差角公式： ^cos

^

^ ^{cos cos}

^ ^{sin sin}

 4. 複利公式：若 P 為本金、 r 為每期利率、 n 為期數，則 n 期後本利和 ^ ^P

¹ ^ ^r

  ^ a 、 c

( ) 2. 若 a  tan 480 ， b  sec135 ， ^c ^ ^{cos 60}

^{b c} ^, ^(B)

^{a b} ^, ^(C)

^{c a} ^, ^(D)

^{c b 。} ^,

( ) 3. 已知多項式 ^{f x 除以}

^x ^ ¹

 ^x

^{  所得之餘式為} ^x ¹  ³ ^x

^ ⁵ ^x ^{ ，則} ² ^{f x}

(A)全距為100 (B)中位數介於 60 70 ～之間

且每種選票均只能圈選一位（個），否則視為廢票。已知某甲的戶籍地有 6 位區域立委候選人，而全國共有14 個政黨可選擇。若某甲決定去投票，且兩種選票均不投廢票，試問某甲有多少種的投票組合？

⁴

²

₁

^{4, 2} ^{ 為其中一焦點}

^{9, 2}  為其中一長軸頂點

( ) 8. 設  ³ ^ ^{i z}  ^{ } ^{2 3 2} ^{ ，其中} ⁱ ⁱ   ，則 z 之主幅角為何？ ¹ (A) 3

( ) 9. 某棒球投手自 4 月1日開始每天練投，他每日投球數為等差數列。若 4 月5 日投球數為 41個， 4 月13 日為 73個，則他 4 月份有幾天投球數超過100 個？

( ) 11. 設函數 ^{f x}

^ ^2cos3 ^x ^ ^1, ^x ^  ^0,2

 ^{，若其圖形和} x 軸的交點個數與函數的最大值分別為 a 、b ，則 ab  ？

( ) 12. 保險公司推出躉繳型保單（即於一開始存入一固定本金），且宣告年利率為 3% 的複利，每年計算一次。若某人於 20 歲時，花10 萬元購買此保單，則當保單價值達 20 萬元時，某人約幾歲？

( ) 13. 設 ^{f x}

^ ^x

^ ³ ^x

^ ²⁴ ^x ^ ³² ^在閉區間  ^ ^3,3  內的最大值與最小值分別為 m 、 n ，則 m n   ？

( ) 14. 坊間的擲骰子遊戲，一次擲出四顆公正骰子，在下列情形之下才可以計算其得點數（設 x 、 y 、 z 均不同），