規範場論及微分幾何
邵錦昌
一. 敘論
場論及微分幾何分別是物理和數學中的 兩門重要的學科。 場論肇始於馬克士威爾的 電磁學 (我們姑且不論牛頓的重力理論), 如 今已是解釋基本粒子的最有力的工具。 這兩 門學科在歷史上雖然是各自發展, 但是現在 大家已了解, 事實上它們卻是同一件事情的 一體兩面。 然而這種認知過程卻是相當曲折, 前後歷經了將近百年的時間, 並且經過歷史 上最聰明的頭腦的努力才達成的。 在本文中 我們來看一下這段發展的過程, 並且來瞭解 它們的內涵及密切關係。
二. 高斯、 黎曼及嘉當的微分幾 何:
微分 幾 何 在 尤 拉 (Euler) 及 孟 日 (Monge) 的手上固然已經有了很多的發展, 但是真正決定性的結果則無疑的是在高斯 (Gauss) 1827 年的那篇“曲面概論”論文上 建立的。 高斯引進了一種全新的概念, 那就是 把曲面本身視為一個空間, 而不僅是三度空
間中的附屬品, 他賦予曲面自己的座標 x1, x2, 並引進第一基本量:
ds2= E(x1, x2)dx21+ 2F (x1, x2)dx1dx2
+G(x1, x2)dx22 (1) 來描述曲面上的弧長元素, 從而曲面上的距 離和角度都可由 E、 F 和 G 三個函數來決 定, 他把這些僅與 E、F 和 G 有關的幾何性 質稱之為曲面的內在性質。
高斯下一個重要的貢獻則是關於曲面曲 率的研究。 高斯先是經由曲面的法線在三度 空間的變動來定義曲率 K, 然而出乎他意外 的是, 他發現曲率僅用 E、F 和 G 三個量就 可以完全的表示出來, 因此曲率是一種曲面 的內在性質, 而與它所存在的三度空間無關。
這個結果, 充分的顯示了曲率在幾何學裡的 中心地位, 高斯很得意地稱之為“theorema egregium”—最漂亮的定理。 高斯還證明了 一個關於曲率和測地線所圍成的三角形的有 名定理。 他證明了曲面上一個由測地線所圍 成的三角形的內角和, 並不像在平面上一樣 等於 π, 而是由下面的公式來表述:
Z Z
A
KdA= α1+ α2+ α3− π (2)
15
α3
A
α2
α1
而當曲率的積分範圍擴充到整個曲面時, 右 邊的積分值又等於曲面的拓撲量— 尤拉示 性數 (Euler Characteristic)。 這個漂亮的 定理現在一般稱之為高斯-伯涅特 (Gauss- Bonner) 定理, 它是第一個將曲面上的局部 量 (曲率) 與大域量 (示性數) 連繫在一起的 定理, 而它更進一步的推廣, 則更是幾何學發 展的關鍵。
同時, 高斯也是非歐幾何學的創始人之 一。 非歐幾何學的建立, 是希臘時代以來在 空間觀念上最重大及革命性的一步, 而高斯 除了認清非歐幾何在邏輯上的合理性外, 他 還實地測量三座山峰所形成的三角形的內角 和, 來判定我們的空間是否真屬於非歐的空 間。 雖然由於那個三角形實在是太小了, 因而 沒有得到有意義的結果, 然而高斯的確是歷 史上認知到幾何學即是真實物理學的第一個 人。
眾所周知的, 高斯也在物理領域電磁學 上做過巨大的貢獻, 但是超凡如高斯者, 可能 也想像不到, 這其實也是一種幾何學, 而且是 比他的曲面論更簡單的幾何學。
高斯的工作很快的就被他的偉大的繼承 者黎曼 (Riemann) 所推廣, 他在 1854 年 面對哥庭根大學教授團 (高斯也在座) 作了 一次資格審核演講, 演講的題目名為“幾何 學基礎所依據的假設”。 黎曼在這篇劃時代
的論文中將高斯的曲面論推廣到 n 維流形 上。 他將 n 維流形的每個點賦予 n 個座 標 (x1, x2,· · · , xn) 而兩個極靠近點間的距 離平方設定為:
ds2 =
n
X
i,j=1
gij(x)dxidxj (3) 流形上所有的幾何量都可以由 gij 的組合 來表示。 黎曼最大的成就是將高斯曲率由二 維推廣到 n 維的流形上, 一般稱之為黎曼 曲率張量, 形狀相當複雜。 為了要寫出它的 樣子, 我們必須透過所謂克利斯多夫符號 Γ (Christoffel symbol):
Γlki = 1 2
n
X
j=1
gjl(∂igkj+ ∂kgji− ∂jgki) (4) 而黎曼曲率張量則為:
Rlijk = ∂kΓlij − ∂jΓlik+ ΓlnkΓnij − ΓlnjΓnik (5) 這個式子表示了與黎曼曲率張量有直接關係 的並不是 gij, 而是克利斯多夫符號 Γlki。 克 利斯多夫符號還有另一重要的用途: 如果我 們把黎曼流形上的一個向量函數 vi 對於座標 xj 求導數, 所得的 ∂x∂vi
j 並不是性質很好的量, 必須要作下列的組合:
Djvi = ∂jvi− Γlijvl (6) 才是有用的量, 這個導數叫做協變導數 (Co- variant derivative)。 經由協變導數, 黎曼 曲率張量還符合所謂畢安其恆等式 (Bianchi identity):
DmRlijk+ DjRlikm+ DkRlimj = 0 (7) 這些都是曲率張量的重要性質。 黎曼除了發 明彎曲空間的概念, 並解釋如何計算曲率外,
他其實也認真的考慮過整個的宇宙模型或許 不是普通的歐幾理得空間, 而是屬於一種 「常 數正曲率」 的球形空間。 不過他這個觀念實在 超越他的時代太遠了, 而且必需用到的場論 觀念也還未成熟, 因此還得再等半個世紀另 一個天才誕生之後才能完成這項工作。
微分幾何下一個飛躍是由嘉當 (E. Car- tan) 帶領的, 他引進了所謂活動標架 (mov- ing frame) 及外微分形式 (exterior differ- ential form) 的技巧使黎曼幾何中繁複的計 算簡化不少。 不過更重要的是他拓展了微分 幾何的範疇, 他在活動標架之間介紹進所謂 嘉當聯絡 (Carton Connection), 這是一 個類似克利斯多夫符號的幾何量, 但是它不 一定要與長度度量有任何關係。 因此嘉當的 幾何空間不必要有長度及角度的觀念, 但是 仍然可以有曲率及平行位移等觀念。 因此嘉 當推廣了空間的觀念, 而黎曼空間是它的一 個特例。 這樣的觀點最後由愛禮曼在 1950 年 推廣到纖維叢 (fiber bundle) 的聯絡論上。
纖維叢的理論我們可以簡述如下: 所謂黎曼 幾何可以看成是在底空間的每一點上黏上一 個切空間 (tangent space), 而不同點上的 切空間之間則利用克利斯多夫符號所定義的 協變導數來作聯繫。 而纖維叢理論是在底空 間的每一點上黏上別的我們有興趣向量空間, 而愛禮曼則能成功的定義“聯絡”, 將不同點 上的向量空間聯繫起來, 從而討論一種新的 幾何學。 在這種架構底下, 黎曼幾何可以叫 做“切叢”(tangent bundle) 上的聯絡論, 而 克利斯多夫符號就是切空間之間的聯絡。 至 此微分幾何的最後面貌就告完成了。
三. 馬克士威爾、 愛因斯坦及楊 振寧的 規範場論:
場的觀念最先是由法拉第提出用來描述 電磁現象的, 不過法拉第的數學能力不夠, 沒 能建立一個精確的定量理論。 完成電與磁二 者的最後統合是馬克士威爾, 他綜合了前人 觀察的結果, 在 1864 年用下面四個簡單 (看 起來) 的方程式:
div−→
E = ρ (8) curl−→
B − ∂−→ E
∂t =−→
j (9) curl−→
E +∂−→ B
∂t = 0 (10) div−→
B = 0 (11) 就將所有的電磁現象一網打盡。 這四個方程 式中, 第一個方程式是庫倫定律, 描述靜電現 象。 第三個方程式是法拉第-亨利 (Faraday- Henry) 定律, 描述磁場的變化可以產生電 場。 第四個方程式則是單純的指出磁單荷的 不存在。 第二個方程式是畢奧-薩伐爾-安培 定律, 用來描述電流可以產生磁場。 而其中 神來之筆的是 ∂−→
E
∂t 那一項; 這一項叫做 位移電流, 最先並不是在實驗中發現的, 而 純粹是馬克士威爾為了數學上的一致性加上 去的。 不過如此一來電磁的波動性質就出現 了, 而馬克士威爾也預言了光就是一種電磁 波。 不僅是在解釋物理現象上, 馬克士威爾方 程式有驚人的威力, 它們在數學結構上更有 很神妙的性質。 首先愛因斯坦及閔可夫斯基
(Minkowski) 發現經由下面的對應:
Fµv =
0 E1 E2 E3
−E1 0 −B3 B2
−E2 B3 0 −B1
−E3 −B2 B1 0
.
(12) 電磁場 −→
E 和 −→
B 可以看成為四維時空 (x0, x1, x2, x3) 中的四維張量 Fµ,ν, 而馬克 士威爾方程式則可以寫為更簡潔的形式:
3
X
µ=0
∂µFµν = jν (13)
∂µFνλ+ ∂νFλµ+ ∂λFµν = 0 (14) 其中 jν = (−→
j , ρ) 是電流密度及電荷密度。
第 (14) 式是電磁學中的畢安其恆等式, 不過 樣子比黎曼幾何中的簡單多了。 由畢安其恆 等式我們看出 Fµν 可以表為:
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ (15) 的樣子, 其中 Aµ叫做電磁位勢。 比較一下黎 曼幾何中的量, Aµ 就好像克利斯多夫符號, 而電磁場 Fµν 就好像黎曼曲率張量, 不過關 係當然簡單很多。 (15) 中隱藏了一個極重要 的性質, 那就是如果我們將 Aµ 作如下的轉 換:
Aµ(x) → Aµ(x) + ∂µφ(x) (16) 很容易看得出來 Fµν 不變。 由於電磁場 Fµν
才是可量測的物理量, 因此轉換 (16) 是電磁 場的對稱性, 叫做規範轉換。 如果我們在引入 另一物理場 φ, 並考慮下面的轉換:
ψ(x) → eiφ(x)ψ(x) (17)
則很容易證明組合 ∂µψ− iAµψ 在(16) 及 (17) 轉換之下也做如 (17) 式的轉換:
∂µψ− iAµψ → eiφ(x)(∂µψ− iAµψ) (18) 組合 ∂µψ− iAµψ 也是一種協變導數, 它提 供了物理場 φ 及電磁位勢 A 作用的方式。
轉換 (17) 非常簡單, 它純粹只是乘上一個絕 對值等於 1 的函數而已, 因此稱為 U(1) 轉 換。 所以會考慮 U(1) 轉換的動機是: φ 場 的絕對值 |φ| 才是可測的物理量, 因此 (17) 式是 φ 場的一個對稱性。 最先認識到規範轉 換 (16) 及 U(1) 轉換 (17) 重要性的是韋爾 (Weyl, 1918), 但是它們卻有非常不尋常的 推廣, 可以把所有的關節聯繫在一起。
不過在進一步討論這個推廣以前, 我們 必須要來看一下另一個重要的發現, 那就是 愛因斯坦在 1915年所建立的重力場論或叫做 廣義相對論。 由於愛因斯坦過人的洞察力, 他 發現在一輛加速進行的火車中, 一個人會感 受到像重力一樣的吸引力。 因此他提出了所 謂“等效原則”, 認為重力應該是一種時空現 象, 可以用幾何的方法來處理, 重力是時空彎 曲之後的一種物理表現。 在這種認知之後, 他 馬上就體會到他所需要的數學工具早就由黎 曼替他準備好了, 而他也將高斯及黎曼在六、
七十年前的臆測給具體化了。 1917 年愛丁頓 爵士利用了一次日蝕的機會, 觀察到廣義相 對論所預言的光線彎曲, 一時轟動了整個世 界。 從此重力場是幾何的說法也就為世人所 接受, 我們生存的空間一種黎曼空間, 其彎曲 情況則由物質分佈來決定。 愛因斯坦可以說 是歷史上第一個確實的認識到物理學就是幾 何學的人, 因此他下一個雄心壯志就是想將 電磁學也能幾何化, 以完成統一場論的鴻圖
大業。 不過很不幸的這卻是窮他後半生精力 所未能完成的事。
正確的發展是建立在楊振寧和密爾斯 (Mills)1954 年所發表的論文上。 他們的出發 點是如下的考慮: 質子和中子除了在電荷 有無及壽命長短不同外, 它們其他的性質幾 乎完全一樣。 因此海森堡 (Heisenberg) 認 為這兩種粒子可以看成是同一種粒子的兩種 表態, 而引進了一個二維的同位旋空間, 把 質子場及中子場看成是這個空間的兩個分量
ψn
ψp
!
, 而任何適當的物理理論在質子及中 子的角色調換之下應該不變。 但是場是時空 的函數, 因此場論是一種局部性的理論, 所以 楊振寧及密爾斯便認為, 如果這個對稱成立 的話, 不同地方的人對於中子及質子的認定 未必須要一樣。 因此楊振寧及密爾斯認為真 正的同位旋對稱應該是:
ψn(x) ψp(x)
!
→ eiw(x) ψn(x) ψp(x)
!
. (19) 這個式子與電磁學中的轉換 (17) 非常相似, 但是卻有一個極大的不同, 那就是現在 ω(x) 是一個二階矩陣函數, 而不是單純的函數了。
與電磁學時的情況一樣, 我們需要協變導數 來建立適當的物理量, 因此也就需要引進類 似電磁位勢的楊-密爾斯位勢 Aµ, 只不過現 在它也必須是一個矩陣, 而它的規範轉換則 需如下規定:
Aµ(x) → eiw(x)Aµ(x)e−iw(x) +(∂µeiw(x))e−iw(x) (20) 如此與 (19) 配合之後才能使協變導數 ∂µψ
−iAµψ 具有良好的轉換性質。 下一步所需完
成的工作就是找出在規範轉換 (20) 下變換 性質良好的楊-密爾斯場, 他們的結果是:
Fµν = ∂rAν − ∂νAµ− [Aµ, Aν] (21) 這個結果最值得注意的是, 與電磁場比較 起來它多出了一項不尋常的 [Aµ, Aν] 項。
[A, B] 的意思是 AB − BA , 它的來源是 來自於二階矩陣乘法的非交換性; 用更精確 的話來說, 楊振寧及密爾斯將規範轉換由可 交換的 U(1) 群推廣到不可交換的 SU(2) 群。 但是如果我們將楊-密爾斯場 (21) 與黎 曼曲率張量 (5) 比較的話, 則又會發現它們 之間驚人的相似了。 然則楊-密爾斯理論也是 一種幾何學嗎?
不像廣義相對論就是黎曼幾何那樣明 顯, 楊振寧足足花了將近二十年的時間, 在與 幾何學家西蒙斯長期討論之下才找到了答案。
現在一切都很清楚了, 由於每個時空點上的 同位旋空間不必看成是一樣, 所以每個時空 點都可以有其各自的同位旋空間, 物理空間 事實上是一個向量叢, 而規範位勢 Aµ 則是 其上的聯絡。 另一方面, 七 O 年代的物理學 家們也成功的利用規範場解釋了電弱及強作 用, 因此和重力理論一樣, 所有的基本作用都 是幾何的。 當楊振寧在 1975 年瞭解了規範場 正是向量叢上的聯絡時, 他是深受感動的, 他 也相信如果愛因斯坦知道此事也會感到高興, 因為愛因斯坦曾多次強調, 基本場就其本性 而言必須是幾何的。 大概最令楊振寧意外的 是, 纖維叢理論是他的世交摯友—中國當代 幾何學大師陳省身的畢生功業。 他們二人交 情非淺, 但卻不知道對方早已在自己的領域 上作過了決定性的貢獻。 因此後來楊振寧對 陳省身說 「這確實令人激動和費解, 你們數學
家憑空想像出了這些概念。」 但陳省身當即反 駁道 「不, 不, 這些概念不是憑空想像出來的, 而是自然的, 真實的。」 這正是 「眾裡尋它千 百度, 驀然回首, 那人卻在燈火闌珊處」。 最 後我們以楊先生的一首詩作為本文的結束:
贊陳氏類
(原載 (七十年代), 1983 年 2 月) 天衣豈無縫 匠心剪接成 渾然歸一體 廣連妙絕倫 造化愛幾何 四力纖維能
千古寸心事 歐高黎嘉陳
參考文獻
1. M.Kline原著, 林炎全、 洪萬生、 楊康景松譯,
“數學史”, 九章出版社。
2. R. Osserman 原著, 葉李華、 李國偉譯, “宇 宙的詩篇”, 天下文化。
3. 楊振寧著, “讀書教學再十年”, 時報文化。
—本文作者任教於交通大學應用數學系—
