第三章 多媒體輔助幾何學習系統之發展
3-1 系統發展原則
本研究所開發之多媒體學習系統依據下列原則發展：
3-1-1 學習目標之原則
根據國內外學者對於幾何概念發展之各項研究，在此整理後認為對於國小階 段的學童之幾何概念發展，有下列幾個重點：
1. 辨識形狀，並了解幾何圖形與名詞之對應 2. 敘述幾何圖形的特徵，並能夠做出正確的分類 3. 瞭解幾何圖形之相關屬性
本系統以此作為學習目標的設計原則
3-1-2 影響幾何概念發展之原則
本研究主要是依據幾何思考層級論。Battista 在 2001 年，進行兒童幾何學 習的研究時，將 van Hiele 的幾何思考層級論應用在其研究中，當時對 van Hiele 幾何思考發展階層的詮釋如下：
1. 階層 0 － 圖形辨認（Pre-recognition）
2. 階層 1 － 視覺聯想（Visual）
3. 階層 2 － 描述、分析（Descriptive / Analytic）
4. 階層 3 － 抽象、關連（Abstract / Relational）
5. 階層 4 － 正規定義（Formal axiomatic）
本系統以此作為幾何概念引導的設計原則
3-1-3 幾何學習多媒體系統之設計原則
進行幾何教學時，必須提供豐富與刺激性的環境以回應支持兒童的興趣與能 力，使正在發展的能力得以充分發揮，類似「鷹架式」教學支持（Bruner，1964）。
鷹架式教學具體而微的教學原則為：
1. 生活化：
教材內容要盡量從日常生活中取材，不能剝離情境，必須與兒童生活有關，
不宜使用超出兒童認知以外的事物。
2. 遊戲化：
遊戲是激勵兒童產生興趣最直接的做法，兒童生活本就是以遊戲為中心，有 了興趣就會產生動機。Van Hiele（2003）也主張以遊戲來進行幾何學習。
3. 解題化：
人類是有思考的生物，是有能力建構知識的個體，處於適當的引導下會以各 種方式尋求解答，重複處於思考的環境中，人類的思考能力會提升。
4. 具體化:：
兒童的數學發展是非常具體的，紙筆作業與符號操弄與兒童自然學習不符，
皮亞傑也主張：「在數學教育上，必須強調行動的角色，特別是兒童操作物體 對理解算數是不可或缺的」(Piaget,1973)。
5. 直覺化：
直覺想法對兒童而言是有實質意義的，是可以理解的，也是建構知識的基礎，
必須幫助兒童把建立的直覺想法與現有的知識連結。
6. 互動化：
於教學活動中設計的解題情境或遊戲情境，應盡量與兒童互動交流可以刺激 兒童的省思能力，對知識建構很有幫助。
本系統以此作為幾何多媒體系統的設計原則
3-2 教材架構
本研究依據之幾何思考層級論，規劃幾何多媒體教材架構，如圖 3-1 所示：
幾何思考層級 單元活動 幾何教材單元內容
圖 3-1 幾何多媒體教材架構 Level 0
圖形辨認
Level 4 正規定義 Level 3 抽象、關連 Level 2 描述、分析 Level 1 視覺聯想
拼圖樂
圖形急急棒
蓋印章
對影子
排火柴
貨運通
辨識卡
圖形分類盒
幾何問答教室
以拼圖方式輔助專有名詞與幾 何圖形的對應
以畫圖形的方式加深對圖形的 印象
系統給予生活物件，使用者必須 找出正確圖形來對應
系統給予幾何圖形，使用者必須 找出生活物件來對應
利用直線來完成幾何形狀，協助 學生瞭解「邊」的空間關係 以其他的幾何形狀來完成一個 大的幾何圖形
根據幾何屬性來找出正確的幾 何圖形
根據幾何屬性將多個幾何形狀 做出正確分類
以問答方式促進對幾何定義的 思考
幾何思考層級與其學習目的之關係，如表 3-1 所示：
幾何思考層級 層級學習目的 Level 0：圖形辨認
(pre-recognition) 教導學生將基本幾何圖形與專有名詞做正確的對應 Level 1：視覺聯想
(visual) 引導學生將幾何形狀與日常生活物件做聯想 Level 2：描述、分析
(descriptive/analytic) 協助學生分析圖形，而非單純以輪廓判斷圖形 Level 3：抽象、關連
(abstract/relational) 幫助學生清楚圖形的屬性，更進一步去正確分類圖形 Level 4：正規定義
(formal axiomatic) 引導學生思考幾何正規定義，並做出正確的回答 表 3-1 幾何思考層級與其學習目的
主選單
根據幾何思考階層論，幾何概念之發展是循序漸進的，當某個層級完成之後 才可以進級到下一層級，即具有不可跳躍性。因此，主選單的設計必須限制學習 者選擇教材單元的自由度，當低層級的單元完成後，才可以選擇高層級的單元，
必須循序漸進。本研究將主選單設計如圖 3-2 所示，使用者點選樹上的幾何圖形 即可以進入對應的活動單元，完成某層級的活動之後，才開放下一層級活動的點 選。
圖 3-2 主選單畫面
根據幾何思考層級論，幾何概念具有順序性，因此本教材主選單設計如圖 3-3 所示，將循序引導學生發展幾何思考。
圖 3-3 主選單示意圖 起點
圖形急急棒 拼圖樂
完成 Level 0 — 圖形辨認階段
蓋印章 對影子
完成 Level 1 — 視覺聯想階段
排火柴 貨運通
完成 Level 2 — 描述、分析階段
辨識卡 圖形分類盒
完成 Level 3 — 抽象、關連階段
幾何問答教室
完成 Level 4 — 正規定義階段
完全達成
3-3 教材內容說明
本研究所設計的幾何多媒體學習教材可分為九個學習活動，用來協助國小階 段的學童發展幾何思考五個層級，每個學習活動皆經過難度設計，循序漸進發展 學童的幾何概念，以下就各個活動單元分別說明：
（一）拼圖樂
圖 3-4 拼圖樂畫面 1. 活動目標：
藉由拼圖遊戲的過程，幫助使用者瞭解幾何圖形與專有名詞的對應。
2. 設計理念：
根據幾何思考層級論，在層級 0 — 圖形辨認階段（Pre-recognition）上，
Pierre M. van Hiele（2003）也是以拼圖遊戲當作幾何課程的開始，逐步引 導學生發展幾何思考。有別於傳統的拼圖遊戲，當使用者將滑鼠游標移至幾 何拼塊上時，畫面上會同時顯現對應於該圖形的專有名詞，預期藉由此拼圖 遊戲的過程，讓使用者對幾何圖形有基本的認識，同時能夠對應幾何形狀與 專有名詞。
3. 遊戲內容：
(1)操作方式 — 使用者可以藉由滑鼠來控制幾何圖形的位置，必須將畫面 下方所有的幾何拼塊放入正確的位置中，找出所有拼塊的正確位置即可 完成任務。
(2)成功回饋 — 當完成任務時會有成功回饋，每個任務皆配合一個小動畫 作為完成時的回饋，當整個活動完成後則會有額外的總回饋動畫。
(3)失敗回饋 — 當幾何圖形的位置放錯時，會有失敗回饋，幾何圖形將會 彈回去，使用者必須重新找尋正確位置。
(4)難度設計 — 本活動有難度層次設計，一到五題必須完成五個幾何拼 塊，六到十題則有六片拼塊，十一到十五題則有七片幾何拼塊需要完成。
（二）圖形急急棒
圖 3-5 圖形急急棒畫面 1. 活動目標：
幫助學生瞭解幾何形狀，同時了解基本幾何名詞的意義，並且以繪圖的方式 更進一步加深學習印象。
2. 設計理念：
畫面中會出現幾何圖形的輪廓與專有名詞的提示，使用者必須使用滑鼠將該 幾何圖形之輪廓繪製完成，本活動期望使用者在操作過程中，可以認識幾何 形狀的視覺外觀，同時了解幾何名詞的意義，並以繪製幾何圖形之方式，更 進一步加深對幾何圖形視覺外觀之印象。
3. 遊戲內容：
(1)操作方式 — 畫面會出現幾何形狀的輪廓，使用者必須使用滑鼠沿著幾 何圖形的輪廓繪製出整個形狀，當圖形沿著輪廓繪製完成之後，即可完 成任務，反之則有失敗回饋。
(2)成功回饋 — 當使用者繪製完成活動中所提供的幾何輪廓，則會出現音 效回饋，當整個活動完成後則會有額外的總回饋動畫。
(3)失敗回饋 — 使用者必須依循幾何圖形之輪廓來繪製形狀，若不按照輪 廓繪製或是隨便移動滑鼠則無法完成任務，此時會有失敗回饋，除了音 效回饋之外，使用者還必須重新會繪製該失敗圖形。
(4)難度設計 — 難度設計以滑鼠操作難易為主，一開始是直線構成的幾何 形狀，如：正方形、長方形等，到後面會出現弧線段的圖形，如：圓形、
橢圓形等。
（三）蓋印章
圖 3-6 蓋印章畫面 1. 活動目標：
藉由本活動讓學生加深幾何形狀外觀的印象，並能將幾何圖形與日常生活物 件產生聯想，協助使用者建立自我概念。
2. 設計理念：
Battista（2001）提到，教師在層級 1 的教學可以使用日常生活的物件來引 導學生將幾何形狀與物件產生聯想，協助學生建立辨認圖形的方式。本教學 活動會提供幾何圖形相關的日常生活物件，而學生必須找出對應於該物件的 幾何圖形，藉此活動期望學生能夠將幾何圖形與日常生活的實物產生聯想，
然後可以更進一步建立辨認形狀的幾何概念，如：門看起來像長方形、球是 圓形。
3. 遊戲內容：
(1)操作方式 — 本活動會在畫面的右方提供一個生活物件與該物件的幾何 形狀名詞，使用者則必須參考這些資料，然後由左上方的數個圖形印章 中找出所對應的幾何圖形，接著使用滑鼠點選拖曳到該物件上。
(2)成功回饋 — 當使用者由數個圖形印章中找到正確的形狀並完成任務 後，則會給予成功的音效回饋，而所有任務完成時，會有屬於該活動的 總回饋動畫。
(3)失敗回饋 — 當使用者找到的形狀印章不屬於該物件所屬之形狀時，則
會產生失敗回饋，除了語音回饋之外，該任務畫面會重置，使用者必須 再重做一次直到完成任務。
(4)難度設計 — 難易度設計是以圖形干擾為主，一開始的任務所提供的圖 形印章是外觀較不相似的圖形，如：圓形、正方形、三角形為一群，到 後面較深難度時，所提供的印章則為外觀較為相似的圖形印章群，如：
正方形、長方形、平行四邊形為一群（圖 3-6）。
（四）對影子
圖 3-7 對影子畫面 1. 活動目標：
藉由本活動讓學生加深幾何形狀外觀的印象，並能將幾何圖形與日常生活物 件產生聯想，協助使用者建立自我概念。
2. 設計理念：
根據幾何思考層級論，層級 1 — 視覺聯想階段（Visual）
同，都是根據 Battista（2001）的建議，引導學生把幾何圖形與生活物件做 聯想，並協助學生發展圖形辨認的幾何概念。但呈現的方式與蓋印章活動不 同，採取與蓋印章活動相反的作法，本活動提供幾何圖形，而學生則必須找 出所對應的日常生活物件，藉此活動期望學生能夠將幾何圖形與日常物件產 生聯想，然夠更進一步建立屬於自我的圖形辨認概念。
3. 遊戲內容：
(1)操作方式 — 本活動會將物件隱藏在布幕後面，然後以燈光將該物件的 影子投影在畫面的左方，使用者則必須根據該物件的影子，由畫面下方 的控制板中找出與該影子對應的幾何物件。每個影子出現時，下方的控 制板中會有五個物件提供選取，使用者必須由五個物件中找出正確的選 項。
(2)成功回饋 — 當使用者找出正確的物件時即可完成任務，任務完成後會 有成功回饋，除了語音回饋鼓勵使用者之外，布幕會自動升起，讓使用 者確認布幕後方的物件是否與自己所選的物件相同，而所有任務完成 時，會有屬於該活動的總回饋動畫。
(3)失敗回饋 — 當使用者選取了錯誤的物件，則會有語音出現告訴使用者 選取錯誤的訊息，使用者則必須再選起一次，直到做對為止。
(4)難度設計 — 本活動難易度設計與蓋印章活動的設計相同，是以圖形干 擾為主，一開始的任務所提供的生活物件是外觀較不相似的物件，如：
圓形物件、正方形物件、三角形物件為一群，到後面較深難度時，所提 供的則為外觀較為相似的生活物件，如：正方形物件、長方形物件、平 行四邊形物件為一群。
（五）排火柴
圖 3-8 排火柴畫面 1. 活動目標：
藉由此活動引導學生開始分析圖形、描述圖形，注意圖形各部分的空間關係，
而不再只是以視覺外觀的方式來辨識圖形。
2. 設計理念：
本活動期望能夠引導學生開始注意圖形屬性，因此必須從分析圖形開始著 手，所以本單元的設計將要求使用者以火柴棒拼出幾何形狀，藉由組合幾何 形狀的方式來注意幾何形狀中「邊」的空間關係，同時畫面的左下角也提供 了該圖形屬性的說明，期望使用者藉由這些屬性說明能夠清楚了解圖形的屬 性。
3. 遊戲內容：
(1)操作方式 — 畫面的左方會出現幾何形狀物件與名詞，用以告訴使用者 將要完成的幾何圖形，同時左下方也提供屬性說明，使用者可以參考輔 助說明完成任務，使用者必須由畫面下方的火柴盒中選取火柴棒，火柴 棒可以用滑鼠右鍵改變角度，接著必須利用火柴棒拼出與左方物件相同
形狀的幾何圖形，即可完成任務。
(2)成功回饋 — 當指定的幾何圖形組合成功後，即可完成任務，同時系統 將提供音效回饋，並進入下一任務，而所有任務完成時，會有屬於該活 動的總回饋動畫。
(3)失敗回饋 — 當指定的幾何圖形一直無法組合完成，火柴棒會一直彈回 火柴盒中，使用者則必須一直不斷去組合直到完成為止。
(4)難度設計 — 本單元難度設計是以火柴棒數目多寡與火柴棒可旋轉的角 度多寡而定，在幾何圖形中，邊的數目越多，所需的火柴棒也越多，組 合的難度即越高，因此題目設計一開始以三角形為主，越到後面的題目 則火柴棒越多，且火柴棒可旋轉的角度也越多。
（六）貨運通
圖 3-9 貨運通畫面
1. 活動目標：
藉由此活動引導學生開始分析圖形，而不再只是以形狀的視覺外觀來做為辨 識圖形的唯一依據，引導學生注意圖形的結構，圖形的組成可以由數個不同 的幾何圖形來構成。
2. 設計理念：
Battisa（2001）進行兒童幾何教學研究時，曾建議教學者可以引導學生分析 圖形，讓學生瞭解圖形可以由多個幾何形狀來構成，這種想法極為類似教師 進行幾何教學時所使用的七巧板。本活動於是採用類似七巧板的做法來設 計，使用者必須使用下方的幾何拼塊來完成一個大的幾何圖形，期望藉此活 動可以增進使用者分析圖形的能力。
3. 遊戲內容：
(1)操作方式 — 畫面的左方會出現系統所要求的幾何形狀，畫面右下角則 有該形狀的屬性說明，使用者必須參考說明與左方幾何圖形外觀，並利 用滑鼠拖曳下方的拼塊來完成所要求的形狀。
(2)成功回饋 — 當使用者利用拼塊完成所指定的圖形後，便會有成功回 饋，除了音效回饋之外，還會有貨車移動的動畫回饋，而所有任務完成 時，會有屬於該活動的總回饋動畫。
(3)失敗回饋 — 當使用者一直無法利用拼塊完成指定圖形時，幾何拼塊將 會一直彈回原來位置，使用者必須重新思考其正確位置，直到完成任務 才可以離開。
(4)難度設計 — 本活動之難度設計以幾何拼塊的數目與圖形的切割方式為 主要考量，越後面的任務所提供的拼塊越多，同時組合的方式也越難。
（七）辨識卡
圖 3-10 辨識卡畫面 1. 活動目標：
藉由本活動期望學生可以瞭解幾何形狀的屬性關係，了解視覺外觀不相同的 圖形也可能是同一種類的幾何形狀，並且能夠根據抽象的幾何屬性來辨認幾 何圖形。
2. 設計理念：
為了引導學生認識幾何圖形的屬性，並且能夠正確的辨認圖形，本活動採用 辨識卡的方式進行，在畫面的上方系統會提供幾何圖形卡片與對應於該圖形 的屬性說明，學生則必須在畫面下方的四張卡片中找出與上方卡片相同種類 的幾何圖形卡片，正確解答的卡片會經過旋轉、翻轉與顏色的干擾，學生必 須依照圖形的屬性才可以找出正確的卡片，期望經過此活動後使用者可以用 幾何圖形的屬性來做為形狀辨認的依據。
3. 遊戲內容：
(1)操作方式 — 畫面的上方會由系統提供幾何圖形卡片，畫面的左上方會 有對應於該形狀的屬性說明，使用者必須根據上面的卡片形狀與屬性說 明，由畫面下方的四張卡片中找出與上面相同者。
(2)成功回饋 — 當使用者成功的找出正確卡片後，系統會提供語音回饋，
提示使用這完成任務，並有動畫帶出下一任務進行，而所有任務完成時，
(3)失敗回饋 — 當使用者回答錯誤時，會有語音的失敗回饋，使用者必須 重新思考再選擇一次，直到正確為止。
(4)難度設計 — 本活動難度設計以顏色干擾、形狀分類方式與圖形旋轉為 主，前五個題組是單純的顏色干擾，中間五個題組是顏色干擾與近似圖 形同組的方式，如：正方形、長方形、梯形的卡片一起出現，最後五個 題組則是以顏色干擾、近似形狀同組與圖形旋轉三種干擾一起出現的方 式來呈現。
（八）圖形分類盒
圖 3-11 圖形分類盒畫面 1. 活動目標：
藉由本活動期望學生可以根據幾何形狀的屬性正確地分類圖形，不再受到視 覺外觀的誤導，發展更深一層的思考方式。
2. 設計理念：
本活動將引導學生正確地做出幾何圖形的分類，系統會隨機丟出數個不同的 幾何形狀，學生必須根據圖形的屬性來思考它們的關連性，不再只是以視覺 來主導幾何概念，期望學生可以發展更深層的幾何屬性相關的概念，不再被 圖形外觀所困惑，如：正方形是菱形的一種。
3. 遊戲內容：
(1)操作方式 — 畫面右方會提供數個幾何圖形要求使用者分類，分類的項 目則根據左邊的分類盒項目，使用者必須將所有幾何形狀拖曳到正確的 分類盒中，然後按下面下方的 OK 鈴，即可完成任務。
(2)成功回饋 — 當使用者正確完成分類後，系統會提供成功的回饋音效，
並帶到下一個任務，而所有任務完成時，會有屬於該活動的總回饋動畫。
(3)失敗回饋 — 若使用者分類錯誤時，會出現失敗語音，使用者必須再分 類一次直到成功為止。
(4)難度設計 — 前面的題組分類的項目越少，後面的題組所提供的分類項 目越多，且後面的題組會有更深一層的幾何思考，如：長方形是平行四 邊形的一種。
（九）幾何問答教室
1. 活動目標：
本活動以綜合練習的方式來設計，以教室問答的方式來呈現，利用多個幾何 題目來引導使用者思考幾何相關概念，期望使用者經過回答問題的方式可以 對幾何概念有更深層的印象。
2. 設計理念：
根據 Battisa 在 2002 對此幾何思考階段的詮釋，在這個階段學生不只瞭解幾 何正規定義，甚至能夠對定理做證明的動作，通常此階段概念發展的課程會 放在高中的幾何課程來實施，由於本活動之對象為國小階段之學童，因此在 這裡本活動的設計主要著重於使用者對幾何定義的理解，不強調定理的證 明，為了引導使用者瞭解幾何定義，最直接的方式就是以問答的方式進行。
3. 遊戲內容：
(1)操作方式 — 在畫面中間的黑板上會出現問題與選項，使用者必須根據 問題經過思考後找出正確的選項，並以滑鼠選取之。
(2)成功回饋 — 答對選項後會有語音回饋，如果第一次回答就答對，在畫 面的左邊計分格會有獎勵的蘋果累積，而所有問題皆完成時，會有屬於 該活動的總回饋動畫。
(3)失敗回饋 — 答錯時有失敗的語音回饋，使用者必須重新思考再選擇正 確的選項。
(4)難度設計 — 根據幾何思考的層級，一開始的題目著重於視覺概念並有 圖形輔助，越後面的題目越著重於幾何屬性與定義的思考，而且沒有圖 形輔助，只有文字的呈現。
