在數學及物理中的幾何人生
演講者 : 丘 成桐院士
時 間 : 民國 108 年 7 月 12 日 地 點 : 天文數學館國際會議廳
我將談談我與科學作家 Steve Nadis 合寫、 甫由耶魯大學出版社發行的新書。 這本書是我 的自傳, 闡述我如何開拓數學研究的歷程, 並討論在這個神奇的學科之中, 我最感興趣的領域。
1949 年中共將取得大陸政權之前, 我出生於中國東南瀕海的汕頭市。 不久因戰事迫近, 我 們舉家遷到香港, 我父親認為這是暫時性的舉措, 等候中國的政情恢復原狀。
我們在元朗西邊的小農村定居。 我的父親把微薄的積蓄都投入農場經營, 認為這樣才可能 供養我們的大家庭。 但我的父親是大學教授, 未曾務農; 農場倒閉後, 家裡便一貧如洗。
我的父親在九龍及香港市區接了幾個低薪教職, 工作地點離家很遠, 而且要花大量時間往 返奔波; 這意味著我們幾乎看不到他。 我的母親日夜辛勞, 努力讓家裡的八個孩子衣食溫飽, 這 是不容易的, 微薄的資源讓她左支右絀。
我五歲入學, 當時要進公立學校需先參加 考試, 包括我人生第一回數學測驗, 其中有一個 題目要求學生寫下 1 到 50 的所有數字。 中國傳 統書寫由右至左, 就如我目睹父親所為, 因此我 認為數字也是以同樣的方式書寫。 結果我寫的大 部分數字都錯了: 例如, 當我打算寫 13 時, 卻寫 成 31。
這些錯誤造成嚴重的後果: 我沒上好的公 立學校, 被送到一所鄉村小學。 該校是給程度較差的學生就讀, 不用說, 大多數學生都無法從 低下階層翻身。
最初幾年, 我的成績並不好。 三年級快結束時, 我姐姐巧遇我和一位朋友, 她詢問我們功課 的情況。 我的朋友告訴她我表現得很好。
「多好?」 我姐姐問道。
「他是班上第 36 名!」 我的朋友吹噓道, 其實他自己在 40 多人中名列 40。
天臺小學 培正中學
四年級和五年級時我表現得稍好一些, 但六年級時又遇到困難。 六年級的學生必須參加大 型入學考試。 我考得不是太好, 但僥倖進了培正中學; 這所學校有許多傑出的畢業生, 包括 1998 年諾貝爾物理學獎得主崔琦 (Daniel Chee Tsui)。 當時培正沒有優秀的物理老師, 但是數學老 師十分出色, 給我上了第一回真正的數學入門課。
沒想到, 我父親於 1963 年去世, 當時我 14 歲。 這是家裡難以承受的損失, 家人的悲慟無 法估量。 家裡本已岌岌可危的財務狀況, 因而更加不堪。 我需要盡快開始賺錢, 於是去當數學家 教, 輔導與我年齡相近的學生。
雖然我的動機是想幫忙持家, 但我從這項工作獲得的遠遠超出我的預期。 讓小孩子理解數 學的過程, 有助於釐清我自己對數學的看法。 我發現教數學讓我很有成就感, 而這一發現促我前 行, 助我沿著既定的路線前進。
培正畢業後, 我就讀家附近香港中文大學的崇基學院。 課餘我還教太極拳來賺錢, 那是一 門我並不擅長的武術。
我在崇基認識了 Stephen Salaff, 他是我遇見的第一位真正熟悉現代數學的教授。 他教授 一門 「美式風格」 的微分方程課程, 鼓勵學生隨時發言和參與, 這並不是我或其他學生習慣的方 式。
與 Salaff 的互動, 增長了我對數學的興趣。 他安排我在大三結束後離開中文大學, 在沒拿 到學士學位的情況下, 開始在加州大學柏克萊分校念研究所。
1969年9月, 我人生首次搭飛機, 從香港飛往舊金山國際機場。 約一天後我到達柏克萊, 口 袋裡的錢不到 100 美元, 一心只渴望竭盡所能吸納數學知識。
Campbell-Hall (柏克萊) Evans Hall (柏克萊)
我在柏克萊的指導教授是幾何學家陳省身先生, 中國出身的數學家中, 他被認為是史上最 著名的大師。 選擇博士論文的題目時, 陳先生建議我研究黎曼猜想 (Riemann hypothesis), 但 我心目中另有其它問題。 在柏克萊兩年後, 我於 1971 年 6 月獲得博士學位。 陳先生鼓勵我接 受普林斯頓高等研究院 (IAS) 的獎學金。 我採納他的建議, 那年夏天前往普林斯頓。
陳省身 教授 普林斯頓
Eugenio Calabi 教授
在高等研究院時, 我探索了一個在柏克萊 時就感興趣的問題, 亦即 Calabi 猜想。 1954 年, Eugenio Calabi 從幾何的角度嚴格地提出 這個問題。 他想知道, 所謂的 K¨ahler 空間的體 積, 如何與同一空間內的路徑長度或距離相關。
但我看出這個問題與愛因斯坦廣義相對論的關聯。
就我所見, 與 Calabi 的問題等價的問題 是: 重力及非零曲率是否仍存在於真空 (一個沒 有物質的空間)? 這個問題讓我勞碌多年。
1972 年至 1973 年, 我在 Stony Brook 任教, 除了研究之外, 也要開始教課, 由於沒有經驗, 許多學 生抱怨我的口音, 覺得很難聽懂。 我受邀自 1973 年 至 1974 年訪問史丹佛大學, 這給我很大的方便, 因 為我正計劃 1973 年夏天參加在史丹佛舉行的一個微 分幾何重要會議。
我和 Stony Brook 的一名研究生開我那輛老
福斯旅行車, 沿途觀光, 體會美國究竟有多大多美, 至少在我們去過的一些地方, 比如黃石國家 公園。
得以參加史丹佛大學的會議, 讓我備感興奮, 部分原因是我可藉機見到幾何領域的知名人 士, 並可望與他們交談。
會議期間有消息說我可能找到了 Calabi 猜想的反例, 意即我可以證明這個猜想是錯的。
某日晚餐後, 我被要求就這個問題做個非正式的報告。 演講進展順利, 大多數人似乎確信我證明 Calabi 錯了, Calabi 本人好像也支持我的論點。 陳先生告訴我, 我的演講是整場會議最精采的 部分。 因此我離開會場時不免洋洋自得。
但是好景不常, 良好的感覺並沒有持續多久。 幾個月後, 我收到 Calabi 的短信, 說他反思 之後, 發現我的演講在某些方面令人費解。 他問我可否把論證寫在紙上, 好讓他更透徹地理解。
這是一個合理的要求, 於是我開始專注進行, 但工作並不順遂。 我一再試圖證明他的猜想 有反例, 但每次嘗試, 我的論證都在最後一刻崩解。
我廢寢忘食工作了兩個星期, 幾乎無休無止, 但始終無法證明我的主張。 我心力交瘁, 最後 不得不承認自己錯了。 我下了結論 : Calabi 猜想並沒有錯, 它必然是正確的。 我決心證明事實 確是如此。
三年後 (1976 年) , 我終於證明了 Calabi 猜想, 當 時我甫獲加州大學洛杉磯分校一年教職, 也才剛結婚一兩 週。 由於我之前犯過錯, 這次想要全然確定自己是對的。 我 竭盡所能多次檢查證明, 反覆核實, 並盡力構想出多種不 同的方式來查核。 我的論證經受得住每一次的檢驗。
1976 年 12 月的聖誕日, 我與 Calabi 及紐約大學的 數學家 Louis Nirenberg 會面。 Nirenberg 和 Calabi 逐 步檢驗證明。 在他們當時看來, 證明是完好的; 如今 40 多 年後, 證明依然有效。
1977年我發出一份關於證明的簡短公告, 並於翌年發表完整證明。 很快就有幾所大學想聘 用我, 我也終究因這項工作榮獲一些數學獎項。
然而, 我仍不完全滿意。 Calabi 猜想與廣義相對論的聯 繫是我已知的, 除此之外, 我總覺得這項數學結果對物理極為 重要, 這種感覺讓我很困擾。 我不知道這個連結可能會以何種 形式呈現, 儘管我覺得它確實存在、 將在某處找到。 耗時八年 後, 物理學家在弦論上發現了聯繫上 Calabi/Yau 定理的管 道; 這是我夢寐以求的結果, 確實是值得等待。
在此期間, 我進行了一趟影響深遠的旅行...
1979 年, 中國開始對外開放, 知名數學家華羅庚邀請我, 5 月下旬在北京中國科學院數學研究所進行一系列演講。
對我來說, 這趟旅程意義重大, 因為自三十年前 在襁褓中離鄉後, 我未曾到過中國。 這次返鄉之旅並 不孤單, 有大量旅外人士同行, 同在長期缺席後返回 故土。
降落北京時, 我非常興奮。 我在機側彎下腰, 然 後觸地。 對我來說, 這個時刻如千鈞雷霆, 因為儘管真 正的回憶付之闕如, 中國始終深遠地影響我的生活。
除了在科學院演講, 閒暇時我還在北京觀光, 參 觀了頤和園。
這趟旅程裡我還走訪中國蕉嶺的祖厝, 但是行程似乎很難安排, 我後來才發現原因 : 官員 拖延我的訪問, 直到他們在田壠上埔了一條幾十公里的黃沙路, 讓給我們的車子行走。
我及時回到美國, 自 1979 年 9 月起, 在高等研究院舉辦 「特別年」(special year)。 活動 聚焦於 「幾何分析」, 這是我與同事和朋友一起開發的新領域, 使用非線性微分方程來解決幾何 問題。 Calabi 猜想的證明屬該領域的第一個重大成就, 之外另有許多重大斬獲。
IAS
當年, 一些重要的幾何分析學者齊聚高等研究院, 包括 Calabi、 鄭紹遠 (S. Y. Cheng)、
李偉光 (Peter Li)、 Richard Schoen、 Leon Simon 及 Karen Uhlenbeck。 我很滿意當年完 成的所有工作, 其中大部分都曾在每週三次的研討會上提出。 除了數學之外, 會期中還有一些熱 烈的排球和乒乓球比賽, 以及一些大型派對; 據我所知, 其中最精彩的活動發生在身為 「老闆」
的我不在時。
我認為提出 120 個幾何分析的 「未解決 (open) 問題」 來結束特殊年是恰當的。 陳先生告 訴我, 這是為該領域的學者做出貢獻的最佳方式之一。 正如美國發明家 Charles Kettering 所 言 : 「問題一旦妥為陳述, 已經解決了一半」。
所有這些問題後來都廣泛流傳, 為從事幾何分析的學者所共知。 約 30 個問題至少已部分 解決, 其它問題一直是眾人思考的素材。
1984 年, 我轉到加州大學聖地亞哥分校任教, 主因是我的妻子在聖地亞哥附近工作, 但我 也與一群志同道合的優秀的同事合作, 做出很重要的工作。 兩位傑出的數學家暨合作者 Schoen (我昔日的研究生) 及 Richard Hamilton 同意轉職來聖地亞哥。 我們預期這裡會是開發幾何 分析新途徑的絕佳環境, 也會是 Hamilton 找到衝浪新門路的好地方 (這是他除了數學之外的 一項主要愛好)。
Richard Schoen 教授 Richard Hamilton 教授
很快就出現出人意表的好消息, 而我其實曾模糊地預期到一些。 物理學家當時正對弦論感 到興奮, 設想了一個十維宇宙, 試圖將所有大自然中的作用力和粒子統一於單一框架。
一群理論物理學家, 諸如 Philip Candelas、 Gary Horowitz、
Andrew Strominger 和 Edward Witten, 試圖找出四維時空 之外 「隱藏的」 六維可能呈現的形狀。
他們認為答案可能是某類空間, 而 且其數學存在性已見諸我對 Cal- abi 猜想的證明。 他們描述了這
些空間需要具備的性質, 我告 訴他們 : Calabi 證明中的空 間 — 亦即他們所謂的 「Calabi- Yau 流形」— 確實具備他們 想要的性質。
Calabi-Yau 流形很快就躋身弦論核心, 被當作幾何基礎, 據稱從這些基礎會湧現出宇宙 所恪遵的物理定律。 這些流形在數學及物理中的重要性速獲提昇。
1987 年, 我再次搬遷, 轉赴哈佛大學, 之後一直留在哈佛大學。
我很快發覺自己被一大群來自中國的學生及 研究人員所包圍, 其規模之大引發了美國中央情 報局 (CIA) 的關注。 我被要求定期報告所有這 些人的動態。 但我提供的細節, 盡是 Calabi-Yau 流形、 Ricci 流、 Yang-Mills 理論等等, 極其無 聊, 因此提交幾年的這些報告後, 中央情報局不 再找我了。
我念研究所時, 初認識愛因斯坦的廣義相對
論, 此後始終對物理感興趣。 我常喜歡在數學和物理的交界處做研究, 認為此處令人興奮。 我跟 上物理學發展的一種方法, 是聘任恰好是物理學家的博士後研究人員。
Brian Greene 教授
1980 年代後期, 物理學家 Brian Greene 成為我的博士後。 他與哈佛大學物理系研究生 Ronen Plesser 合作, 完成了一些有趣的工作。 他們協助揭露一個令了興奮的理論, 名為 「鏡對 稱 (mirror symmetry)」。 30 年後, 這個概念仍然引起數學家和物理學家的興趣。
鏡對稱是對偶性 (duality) 的一例 : 兩個截然不同的 Calabi-Yau 形體可以產生相同的 物理性質。 它之所以重要, 是因為某些物理問題或許在一個 Calabi-Yau 流形上幾乎不可解, 但 在其 「鏡伴」(mirror partner)」 流形上卻很容易解決。
在數學也是如此。 鏡對稱已引導出許多的突破, 特別 是在枚舉幾何 (enumerative geometry) 的領域, 計算出 給定的幾何空間或曲面上曲線或某類物件的數量。
1990 年代初期, 就已證實鏡對稱極其有用。 1996 年, Strominger、 Eric Zaslow 和我合寫了一篇論文, 提出所 謂的 SYZ (Strominger-Yau-Zaslow) 猜想, 對這種現象 做出幾何解釋, 揭示如何構造鏡流形。 SYZ 仍是個猜想, 除特殊情況外未經證明, 但它一直是活躍的研究領域。
我一直與中國有密切聯繫, 儘管我僅在襁褓中待在那 裡數月, 30 歲時才又造訪。 我與亞洲強化聯繫的方法, 是 去努力改善當地的數學研究。 迄今, 我已在兩岸三地建立 了六個數學研究所, 並且試圖在各個中心建立風氣以促發 研究。
第一個這樣的中心是香港中文大學數學 科學研究所, 成立於 1993 年。 當時我必須大 量籌款, 十分棘手, 但整個過程進行得相當順 利。
然而, 籌設北京中國科學院的新數學中 心時, 事情就沒那麼如意了。 這個新中心已由
晨興基金會取得資金, 並於 1996 年 6 月舉行奠基儀式。 某位北京大學有影響力的數學家在儀 式中演說, 竟然誓言要將該中心搬遷到他的大學, 其後續效應令人徹骨心寒。
一場爭鬥繼之而至, 中國科學院最終勝出而主事。 晨興數學中心於 1998 年竣工, 不久之 後開始運作。
類似的地位或地盤之爭之後又再爆發, 肇因是我在 1998 年提議國際數學家大會 (ICM) 在北京召開。 一開始事情十分順利。 我和昔日的指導教授陳先生一起去見中國國家主席江澤民, 討論召開國際數學大會的計劃。 談話結束時, 我們獲江主席批准。
會議定於 2002 年在北京舉行。 但主事的委員會在選擇中國數學家擔任大會講者時, 顯然
多出於政治考量或任人唯親, 而非基於學術成就, 而後者是我一向認定的行事準則。 最後, 我見 學術盛事竟如此腐壞, 只好決定不出席。
與 Stephen Hawking 教授
我反倒把精力集中在我籌劃的國際弦論會議。
該會議在北京舉行, 時間是 2002 年 8 月國際數 學家大會召開前一周。 諸多知名人士參加了這個會 議, 包括 Stephen Hawking、 Witten、 Strominger 及諾貝爾獎得主 David Gross。
這個為期三天的會議令我十分欣慰, 因為它匯 聚了數學及物理、 東方及西方的學者, 而這兩者正 是我投注大量精力的重要起因。 我也很高興地看到, 來自世界各地的兩百多名研究人員, 在我的祖國召 開如此高規格的會議, 吸引了當地和國際媒體的關 注。
會議期間, 我抽空與 Hawking 及他的昔日門生共遊中國杭州的西湖。
同月, 即 2002 年 8 月, 我在杭州浙江大學創立的數學中心開張。 此外, 我創立了北京清 華大學的丘成桐數學中心、 海南省三亞的相關中心, 以及目前位於國立台灣大學的數學中心。
當然, 我投注的心力不全在東方。 2014 年, 我率先在哈佛創設了數學科學與應用中心 (CMSA)。
雖然我主要以純數學方面的工作而知名, 但我相 信在許多不同領域 — 包括生物學、 化學、 經濟
學、 工程學, 以及物理學—應用數學日益重要, 因此值得關注與支持。
我在哈佛和中國的諸多職務, 致使我必須頻繁遊走美國及亞洲。 我如此來回奔波, 以至於 很難說哪裡是我真正的家, 或者我是否有兩個家; 我從未全然歸屬於何地。
這種感覺讓我位處奇特之地, 不能在傳統地圖上定位, 而是居於兩種文化及兩個國家之間
— 它們在歷史、 地理和哲學上截然有別, 也因烹飪美食的顯著差異而彼此隔閡。
但我還有第三個家, 我待在那裡的時間更長 久得多, 那裡就是數學。 對我來說, 數學提供了一 本普世通用的護照, 允許我在世界各地自由行動, 也讓我用它強大的工具去理解世界。
數學具有一些看似神奇的性質 : 它可以彌合 距離、 語言和文化的差距, 能夠引領那些善於駕馭 數學威力的人, 瞬間到達同一交流空間或同一思想 平台。
只是一張紙、 一支筆, 以及專注的能力。 有時你甚至不需要紙筆, 在腦中就可以進行最重要的工 作。
2018 年, 從我的祖籍地中國蕉嶺, 有官員來與我接洽。 他們正在石窟河岸興建公園, 想 要放置一座我的雕像。 我轉而建議他們安放一座 Calabi-Yau 流形的雕塑, 由我的朋友 Andy Hanson 及另一位共事的藝術家設計。
我思忖, 一個好奇的孩子可能會被這座雕塑吸引, 甚至可能會好奇地閱讀基座的銘文, 其內描述了 Cal- abi 猜想的證明, 以及它如何影響我們對數學、 物理, 甚至宇宙的想法。
一個年輕人如果被這件藝術品吸引, 進而投身數 學研究, 也許將卓然有成, 因為在我的領域, 賦予一個 人一點天賦、 衝勁和運氣, 是可以有一番作為的。
—演講者丘成桐為哈佛大學講座教授—
