嚴密幾何模式與有理函數模式於 QuickBird 衛星影像幾何改正之比較

(1)

Volume 10, 2, June 2005, pp. 183-190

嚴密幾何模式與有理函數模式於 QuickBird 衛星影像幾何改正之比較

張智安

¹

陳良健

²

摘要

本研究之目的為使用 QuickBird 衛星影像進行嚴密幾何改正模式(Rigrous Sensor Model, RSM)及有理函數幾何改正模式(Rational Functions Model, RFM)之比較。嚴密幾何改正使用載體參數修正模式，以衛星載體資料(On-Board Data)所提供之軌道為初始值，將衛星軌道修正量視為時間之低階多項式，以地面控制點進行修正，在地面控制點足夠時，使用最小二乘過濾模式對軌道進行過濾修正。有理函數幾何改正模式，研究中使用衛星公司提供之有理函數轉換係數(Rational Polynomial Coefficients, RPC)建立物空間與像空間之轉換關係，並使用地面控制點提升有理函數幾何改正模式之精度。實驗結果顯示，

就 QuickBird 原始影像而言，使用嚴密幾何改正模式及有理函數幾何改正模式，在使用 9 個地面控制點時，其檢核點均方根誤差於像平面上可達 2 個像元以內之精度。

關鍵詞：QuickBird 衛星影像、嚴密幾何改正模式、有理函數幾何改正模式

1. 前言

地理資訊系統的空間資料整合與分析，隨著電腦運算能力的提昇以及自動化資料處理的開發，於現今社會中漸漸普及化，而衛星遙測影像資料也因此提高其實用性及應用層面。於地理資訊系統中，

為了提高衛星遙測影像與其他空間資料進行整合分析時的效能，得到更有價值的分析結果，衛星遙測影像的幾何改正是不可或缺的要素之一。

在過去的文獻中，針對衛星影像進行幾何改正之研究甚多，主要可分為有理函數幾何改正模式 (Rational Functions Model)及嚴密幾何改正模式 (Rigorous Sensor Model)(Toutin, 2004)。嚴密幾何改正模式考慮成像幾何的物理特性，包括焦距、感測器大小、衛星成像時之方位等，利用這些參數建立

物空間與像空間之關係。由於嚴密幾何改正模式具物理義意，使用此模式可得到高精度的成果，因此 廣泛應用於衛星影像幾何改正(Toutin et al., 2002;

Robertson, 2003)。近年來有理函數幾何改正模式廣 泛被應用在高解析衛星影像之幾何改正(Fraser et al., 2002; Tao and Hu, 2002a; Mayumi, et al., 2004)，如 IKONOS、QuickBird 等等，有理函數幾何改正模式為一數學模式，此模式使用兩個多項式的比值關係，描述三維的地面座標與二維的影像座標間之關係(Tao and Hu,2000)。一般而言，高解析衛星的視角都很小，且衛星的定位系統及姿態系統有很高的精度，因此使用衛星公司所提供之有理函數轉換係數及地面控制點進行幾何改正可得到不錯的成果。

收到日期:民國 93 年 02 月 20 日修改日期:民國 93 年 09 月 02 日接受日期:民國 93 年 09 月 04 日

1國立中央大學土木工程學系博士生

2國立中央大學太空及遙測研究中心與土木工程學系教授

(2)

本研究之目的為使用 QuickBird 衛星影像進行嚴密幾何改正模式及有理函數幾何改正模式之比較。本文將針對 QuickBird 之原始影像進行幾何改正，由於 QuickBird 原始影像同時提供衛星載體參數及有理函數轉換係數，因此分別建立嚴密幾何改正模式及有理函數幾何改正模式進行比較。嚴密幾何改正模式使用衛星公司提供之載體資料進行改正，以載體參數修正模式(Chen and Teo, 2002)進行衛星軌道修正，其主要工作可分為三個階段，第一階段將使用載體資料建立衛星之初始方位，初始方位包括衛星觀測之方向及衛星成像之位置，第二階段以最小二乘軌道密合對軌道進行整體性的修正，使用合理之時間多項式描述衛星軌道修正量，

並配合少量地面控制點對衛星軌道進行初步修正，第三階段以最小二乘軌道精密修正對軌道進行局部性的微調修正，消除局部之系統誤差，以重建衛星觀測時之方位。在有理函數幾何改正模式中，

使用衛星公司提供之有理函數轉換係數進行有理函數幾何改正模式，第一階段將使用有理函數轉換係數建立物空間與像空間之轉換關係，第二階段使用地面控制點精化有理函數模式之精度(Tao and Hu, 2002b; Fraser and Hanley,2003)，有理函數模式之轉換誤差將以控制點所建立之六參數轉換進行改正。

2. 嚴密幾何改正模式

由於 QuickBird 衛星載體資料包括衛星掃描成像之衛星狀況及相關資料，故可利用載體資料計算衛星成像時的軌道位置及觀測向量，但由於直接利用載體資料所求得的衛星軌道具有誤差，因此須配合已知的地面控制點對衛星之軌道加以修正。本研究中使用載體參數修正模式進行衛星軌道修正，首先以載體資料建立衛星之初始方位(軌道位置及觀測向量)，利用少量地面控制點及初始方位進行最小二乘軌道密合，接著以最小二乘過濾法進行最小二乘軌道精密修正。

2.1. 建立衛星之初始方位

QuickBird 衛星載體資料記錄衛星掃描成像時衛星位置及姿態相關資料，經由載體資料可計算影像上每一個像元所對應之軌道位置及觀測向量。QuickBird 衛星載體資料中記錄第一條掃描線的成像時間，同時每間隔 0.02 秒記錄一組軌道位置時間、軌道位置向量及軌道速度向量，利用第一條掃描線成像時間及軌道位置時間，經由內插計算可求得任一掃描線的軌道位置向量。QuickBird 衛星載體資料中使用 Quaternion (Mikhail and Bethel,2001)描述攝影軸的觀測向量，每間隔 0.02 秒記錄一組時間及 Quaternion 參數，使用焦距及 CCD 大小可求出任一像元與攝影軸的關係，經由內插計算可求得任一像元的觀測向量。

2.2. 最小二乘軌道密合

完成載體資料計算衛星初始軌道及觀測向量後，可建立影像空間及衛星方位之關係，由於衛星載體資料尚有誤差存在，因此必須對衛星方位進行修正。因載體資料具有誤差存在，導致衛星觀測向量無法通過其對應之地面控制點，因此使用少量地面控制點配合初始軌道進行初步修正。衛星視角僅 2 度，在視角很小的情況下，衛星位置及姿態將會產生高相關，導致求解不穩定，因此維持衛星觀測方向不變，僅修正衛星位置，利用空間中直線方程式配合地面控制點以最小二乘法求解修正量。

如圖 1 所示，X、Y 及 Z 三個軸向表示為地心地固直角座標系統，虛線之橢圓為衛星之軌道，Pr 為衛星位置與地心所構成之向量，Gr

為地面控制點與地心所構成之向量，Ur

為單位觀測向量，Ｓ為尺度量，地面控制點、衛星軌道位置及觀測方向此三者之關係可使用方程式 1 表示。在直角座標系統中，Pr

、Gr 及Ur

各有三個分量，方程式 2 為方程式 1 以向量分量的方式表示。

(3)

U S P G v v v

=

−

⁽¹⁾

圖 1. 空間直線方程式示意圖

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

∗

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

U U U

P P P

G G G

Z Y X S Z Y X

Z Y X

其中：

Gr

=(XG, YG, ZG)：控制點地面座標，

Pr

=(XP, YP, ZP )：衛星軌道位置，

Ur

=(XU, YU, ZU)：衛星觀測向量，

S：尺度量。

(2)

研究中在空間觀測向量不變的情況下，僅修正軌道位置，如圖 2 所示，以虛線之弧線部份表示修正前之軌道位置，以實線部份表示修正後軌道，經軌道修正使控制點觀測向量能通過控制點。加入軌道位置修正量之空間共線方程式如方程式 3 所示，方程式 4 為方程式 3 以向量分量的方式表示。

研究中軌道修正量為時間之函數，在此使用時間一次多項式函數描述軌道修正量。使用地面控制點配合最小二乘平差求解軌道位置多項式系數。經由上述運算可修正衛星軌道位置之誤差。

U S P P

G v − ( v + ∆ r

_t

) = v

(3)

圖 2. 軌道修正示意圖

∗

=

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

+ +

−

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

P P P

G G G

S t Z Z Z

t Y Y Y

t X X X Z

Y X

1 0

其中：

Prt

∆ ：軌道位置修正量，

X0~Z1：軌道修正量多項式係數，

t ：時間。

(4)

2.3. 最小二乘軌道精密修正

使用上述修正後，整體性的系統誤差已被消除，接著使用最小二乘過濾法 (Mikhail and Ackermann, 1982)進行軌道精密修正，以消除局部性之誤差。最小二乘過濾法是以一些參考點上的已知參考量為基礎，推算任意點上的內插值。在此假設軌道位置三維方向獨立不相關，以三個一維之最

小二乘過濾模式實施軌道精密修正，以修正局部性之誤差，軌道精密修正使用之最小二乘過濾模式函數如下：

k k k

k

l

S = σ [ Σ ]

⁻¹ k=x 或 y 或 z 三維方向 (5) 其中：

Sk：經最小二乘過濾後待求點於 k 方向上的修正量，

σ

k：待求點與每個控制點於 k 方向之協變方，

Z

X

Y P

G SU

GCP GCP

GCP 觀測向量Ua

衛星軌道修正後

( x0 ,y0 ,z0) 修正前 ( x,y,z)

(4)

Σ

k：控制點間在 k 方向之協變方矩陣，

l

k：每個控制點在 k 方向上之殘差。

由於最小二乘過濾中之協變方矩陣無法由實際之控制點直接計算，因此使用協變方函數組成協變方矩陣，在此採用高斯函數進行給定(Chen and Chang, 1998)。

3. 有理函數幾何改正模式

有理函數幾何改正模式 (Rational Functions Model, RFM)是使用兩個多項式的比值關係，從三維的地面座標來計算二維影像座標，其數學形式如方程式 6 所示。相對嚴密幾何模式而言，RFM 是較為簡易的模式，RFM 的優點在於使用者不需研究感測器成像時的相關資料，即可建立影像空間與物空間之關係。RFM 之轉換係數稱有理函數轉換係數(Rational Polynomial Coefficient, RPC)，RPC 之取得可分成兩種方式，第一種方式是使用地面控制點配合 RFM 求解 RPC，在求解 RPC 高階多項式的過程中時需要使用大量的地面控制點，第二種方式是使用衛星公司所提供的 RPC，這些 RPC 是由衛星之原始方位參數所產生，衛星公司產生 RPC 的方法是在物空間不同高度產生密集的網格點，利用原始方位參數計算每個網格點所對應的影像座標，經由這些大量的對應點求解有理函數轉換係數，如圖 3 所示。因此衛星公司所提供的 RPC 有很高的相對精度(Grodecki and Dial, 2003)，祇需少量地面控制點配合衛星公司所提供的 RPC 即可進行幾何改正。

∑ ∑ ∑

= = =

=

1

0 2

0 3

0 1

0 2

0 3

0 1

0 2

0 3

0 1

0 2

0 3

0

m

i m

j m

k

k j i ijk m

i m

j m

k

k j i ijk m

i m

j m

k

k j i ijk m

i m

j m

k

k j i ijk

Z Y X d

Z Y X c y

Z Y X b

Z Y X a x

(6)

其中，

x,y：影像座標，

X,Y,Z：地面座標，

aijk,bijk,cijk：有理函數轉換係數。

通常衛星公司使用三階的 RFM，因此提供 80 個 RPC 進行物空間與像空間之轉換，使用高階 RFM 的目的是希望藉由這 80 個 RPC 來近似嚴密幾何模式，但這樣的近似化是有條件的，必須在衛星視角很小，且高精度方位參數下，以 RPC 來近似嚴密幾何模式才會有義意。而這樣的近似化也使 RPC 有所限制，即衛星公司提供的 RPC 祇能使用在單張影像上，且單張影像的長度不能太長，當衛星影像的取樣長度很長時，僅使用一組 RPC 來近似嚴密幾何模式，近似化的誤差會變大。

圖 3. 衛星公司產生 RPC 之示意圖

研究中使用衛星公司所提供的 RPC 建立有理函數幾何改正模式，QuickBird 原始影像提供 80 個有理函數轉換係數，利用這 80 個有理函數轉換係數可建立物空間與像空間之關係，如方程式 7 所示，由於有理函數轉換係數仍含有誤差，因此以地面控制點進行精化。首先以有理函數轉換係數及控制點地面座標計算影像座標，當控制點點數大於 3 個時，利用計算得到的影像座標與控制點影像座標求取六參數轉換係數，如方程式 8 所示，以六參數轉換係數修正有理函數轉換係數之誤差。

(5)

( )( )

( GCP GCP GCP GCP GCP)( )^T

T GCP

GCP GCP GCP GCP RFM

T GCP

GCP GCP GCP GCP

T GCP

GCP GCP GCP GCP RFM

d d d Z Y X Y Z

c c c Z Y X Y y Z

b b b Z Y X Y Z

a a a Z Y X Y x Z

20 2 1 3 3

...

1

...

1

...

1

...

1

⋅

= ⋅

⋅

= ⋅ (7)

6 5

4

3 2

1

e y

e x

e y

e x

RFM RFM

GCP

RFM RFM

GCP

+ +

=

+ +

=

(8)

其中，

20 1 20 1 20 1 20

1~a ,b ~b ,c ~c ,d ~d

a ：衛星公司提供之

有理函數轉換係數，

GCP GCP

GCP

Y Z

X , ,

：控制點地面座標，

RFM RFM y

x , ：由地面座標與有理函數轉換係數計算而得的影像座標，

GCP GCP

y

x ,

：控制點影像座標，

6 1

~ e

e

：六參數轉換係數，

4. 實驗結果

研究中所使用 QuickBird 全色態原始影像進行幾何改正，測試資料為鶯歌地區影像，拍攝時間為 2002 年 5 月 2 日，地面解析度為 61 公分，影像含蓋地面約 16.8km*17.5 km 的範圍。地面控制點及檢核點使用正射化航空照片量測取得，量得控制點及檢核點共 23 個，控制點及檢核點分佈如圖 4 所示，三角形標示者為控制點，正方形標示者為檢核點。測試區之地形起伏為 9 到 704 公尺之間，對應之數值地形模型如圖 5 所示，其他相關資料如表 1 所示。實驗程序可分為兩大部份，即嚴密幾何改正模式及有理函數幾何改正模式之精度評估兩部份。

表 1. 測試影像相關參數

影像等級 Basic Image

地點鶯歌

日期 2002 年 5 月 2 日底點解析度(m) 0.61

測區大小(km*km) 16.8 * 17.5 影像大小(pixel*pixel) 27552*28716 入射角(deg) 2.2

圖 4. 鶯歌地區 Quickbird 衛星影像

圖 5. 鶯歌地區數值地形模型

首先分別就兩種幾何改正模式，測試不同控制點點數下檢核點之誤差情形，使用 1～15 個地面控制點，探討相同 8 個檢核點之均方根誤差。嚴密幾何改正模式實驗成果如圖 6 所示，有理函數幾何改正模式實驗成果如圖 7 所示，橫軸為控制點點數，

縱軸為檢核點均方根誤差，單位為公尺。比較圖 6 及圖 7，當控制點點數少於 3 個時有理函數模式優於嚴密幾何模式，此時檢核點誤差約為 2.5 個像元之等級，隨著控制點數量增加，嚴密幾何模式優於

274000 276000 278000 280000 282000 284000 286000 288000 2754000

2756000 2758000 2760000 2762000 2764000 2766000 2768000 2770000

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700

(6)

有理函數模式，且在控制點點數為 9 個時，檢核點均方根誤差已趨近穩定，因此將使用相同的 9 個控制點分別進行兩種幾何改正，比較檢核點之誤差。

圖 6. 嚴密幾何改正模式檢核點在不同控制點點數下之均方根誤差

圖 7. 有理函數幾何改正模式檢核點在不同控制點點數下之均方根誤差

嚴密幾何改正模式使用 QuickBird 衛星載體資料，配合地面控制點進行幾何改正，經軌道修正後，以檢核檢核點之誤差，研究結果顯示，在使用的 9 個分佈均勻的控制點時，控制點均方根誤差在兩軸方向分別是 0.94 及 0.73 個像元，檢核點之均方根誤差分別為 1.24 及 1.44 個像元，精度在 1.5 個像元內。誤差向量圖繪製如圖8所示，橫軸為sample 方向，縱軸為 line 方向，三角形標示者為控制點誤差向量，以圓形標示者為檢核點誤差向量。

有理函數幾何改正模式，利用控制點產生的六參數轉換係數修正有理函數係數之誤差，以檢核點檢核物空間與像空間之轉換關係。有理函數幾何改正模式中使用和嚴密幾何改正模式相同控制點及檢核點，在 9 個控制點時，控制點均方根誤差在兩

軸方向分別是 1.87 及 1.82 個像元，檢核點之均方根誤差分別為 1.40 及 1.72 個像元，精度在 2 個像元內，誤差向量圖繪製如圖 9 所示。整理實驗結果如表 2 所示。

表 2. 幾何改正均方根誤差總表單位: 像

元

嚴密幾何改正模式

有理函數幾何改正模式

RMSE

S RMSE L RMSE S RMSE L 控制點 0.94 0.73 1.87 1.82 檢核點 1.24 1.44 1.40 1.72

圖 8. 嚴密幾何改正模式誤差向量圖

圖 9. 有理函數幾何改正模式誤差向量圖

嚴密幾何改正模式

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

-1 1 3 5 7 9 11 13 15

Number of GCPs

RMSE (Pixel)

RMSE_S RMSE_L

有理函數幾何改正模式

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-1 1 3 5 7 9 11 13 15

Number of GCPs

RMSE (Pixel)

RMSE_S RMSE_L

(7)

5. 結論

本研究針對 QuickBird 衛星影像建立嚴密幾何改正模式及有理函數幾何改正模式。茲就測試成果提出結論如下：(1)在使用載體資料配合地面控制點進行嚴密幾何改正模式，檢核點在兩方向之均方根誤差可達 1.5 個像元之精度，嚴密幾何改正模式可應用於推掃方式成像之衛星影像。(2)在衛星公司提供之有理函數轉換係數進行有理函數幾何改正模式時，檢核點在兩方向之均方根誤差可達 2 個像元之精度，但有理函數幾何改正模式之限制較多。

參考文獻

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(8)

Comparisons of Rigorous Sensor Model and Rational Functions Model for QuickBird Images

Tee-Ann Teo

¹

Liang-Chien Chen

²

ABSTRACT

This investigation is to compare the geometric precision of Rigorous Sensor Model and Rational Function Model for QuickBird images. In the Rigorous Sensor Model, the on-board data are used to initialize the satellite orbit. Then, we employ the ground control points for preliminary orbit fitting. Finally, a least squares filtering technique is applied to collocate the orbit. In the Rational Function Model, the Rational Polynomial Coefficients provided by the satellite company are used to build up the transformation between object space and image space.

Then the bias of the transformation is compensated by an affine transformation using ground control points. Experimental results indicate that, both of the RSM and RFM may reach an accuracy of 2 pixels when 9 ground control points are employed.

Key Words: QuickBird Satellite Images, Rigorous Sensor Model, Rational Functions Mode.

Received Date: Feb. 20, 2004 Revised Date: Sep. 02, 2004 Accepted Date: Sep. 04, 2004

1 Ph.D Student, Department of Civil Engineering, National Central University

2 Professor, Center for Space and Remote Sensing Research and Department of Civil Engineering, National Central University.

嚴密幾何模式與有理函數模式於 QuickBird 衛星 影像幾何改正之比較