3 微分法則
3.1 多項式與指數函數的微分
多項式與指數函數的微分
在這一節我們要計算常數函數、冪函數、多項式以及指數函 數的微分。
先從最簡單的常數函數開始，
考慮 f(x) = c 。
其函數圖形 y = c 即右圖的 水平線，顯然其切線斜率均
多項式與指數函數的微分
嚴格的證明我們可以從導數的定義來計算：
用萊布尼茲的符號寫下：
常數函數的微分
冪函數
冪函數
接著我們看冪函數的導數。假設 f(x) = xn ，其中 n 為正整數 當 n = 1 時， f(x) = x 的函數圖形就正好是斜率為 1 的直線，
如下圖二：
y = x 的圖，是斜率為 1 的直線，
因此可以知道 f’(x) = 1
冪函數
因此我們有
當然我們從定義也可以得到同樣的結果。
利用定義我們可以簡單計算 x2 跟 x3 的結果：
冪函數
對更高次的情況， n = 4 時，計算稍為複雜一點：
冪函數
因此
綜合以上的結果，直覺上我們可以猜測，當 n 為正整數時，
我們有：
[冪函數的微分公式] 給定 n 為一正整數，則
範例一
(a) 給定 f(x) = x6 ，則 f
(x) = 6x
5 。(b) 若 y = x1000 ，則 y
= 1000x
999 。(c) 若 y = t4 ，則 = 4t3 。
(d) = 3r2
冪函數
更一般的狀況，我們可以推廣到任意實數的版本。有了這些 公式以後，我們在求導數時便不用再重新利用定義去計算。
甚至可以反過來利用公式求切線，或者再更進一步求得法線
[廣義的冪函數微分公式] 給定 n 為任意實數，則
利用已知函數導數求微分
利用已知函數導數求微分
我們一般常見的函數都是由基本函數所組成的，當一個函數 可以寫成我們已知函數的相加、減、乘、除時，此時我們便 有一些方法來計算新函數的導數。
例如，已知函數乘上常係數，其微分結果就和先微分再乘上 常係數結果相同：
[係數積的導數公式] 給定 c 為常數， f(x) 為可微函數，則
範例四
利用已知函數導數求微分
再來我們討論相加的微分公式：
加法公式可以推廣到任意有限多項，例如說三項相加的微分，
可以兩項先拆得到：
[函數相加的微分公式] 假設 f, g 都是可微函數，則
利用已知函數導數求微分
利用加法與係數積的公式，我們可以將函數相減 f – g 寫成 f + (-1)g ，則有下面的減法公式：
再來，由加、減法以及係數積的公式，我們可以組合不同次 方的冪函數，得到任意多項式函數的微分公式。
[函數相減的微分公式] 假設 f, g 均為可微函數，則
指數函數的微分
指數函數的微分
我們現在從定義來計算指數函數 f(x) = ax 的微分。
由於 ax 跟 h 無關，可以視為常數提出極限，於是有
指數函數的微分
注意到剩下的即現剛好是 f 在 x = 0 的導數：
因此我們可知，只要 f(x) = ax 在 x = 0 可微，則 f(x) 在任意 點均可微，且其值為
f (x) = f (0)a
x指數函數的微分
我們從數值結果來看這個極 限，當 h 越小，增量的比值 越小，看起來這個極限是存 在的，而且可以大略估計：
for a = 2,
for a = 3,
指數函數的微分
利用數值逼近到小數第六位：
從前述的方程式，我們可以得到 2x 跟 3x 的微分估計：
指數函數的微分
由於我們從圖觀察，指數函數 ax 隨著底數 a 增加而增加，
很自然的我們想定義一個指數函數 f(x) 滿足 f’(0) = 1 。
而 2x 和 3x 在 0 的導數分別約為 0.69 跟 1.10 ，因此我們所 期望的指數函數 f(x)，其底數會介於 2, 3 之間。
我們定義 e 如下：
[定義]
我們定義自然底數 e 為恰好滿足後式的數：
指數函數的微分
從幾何圖形上來看，所有指數函數，在 (0,1) 的切線斜率恰 好為一的函數也只有惟一一個，因此 e 的定義是合理的。
指數函數的微分
定義完 e 以後，從前述的公式我們可以得到 f(x) = ex 的微分 便是以下這個重要的結果：
這個的意思便是 ex 的變化率會與其函數值相等，也就是函 數圖形的切線斜率等於其 y 座標值。
[自然指數函數的微分]
範例八
給定 f(x) = ex
– x，求 f
及 f。比較 f 與
f’ 之函數圖形。解:
利用函數相減的微分公式，可得到：
範例八 / 解
接著再微分一次：
cont’d
範例八 / 解
f 跟 f‘ 的函數圖形如右圖所示
注意到 f 在 x = 0 時有水平切線，這 也代表 f‘(0) = 0 ，而剛好 x = 0 也是
f’ 正負號的分界，在 x > 0 時 f 為遞 增，而 x < 0 時， f 為遞減。
圖八
cont’d
