2-3 複數的極式與幾何意義 主題一 複數平面 1.

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(1)

2-3 複數的極式與幾何意義

主題一 複數平面

1. 複數平面:每個複數 z=a+bi (其中 a 與 b 皆為實數),都可對應坐標平面上的一個 點(a,b),而用來表示所有複數的坐標平面,稱為複數平面或高斯平面。複數平面上,

x 軸上的點所代表的複數其虛部為 0,故為實數;而 y 軸上的點 (原點除外) 所代表 的複數其實部為 0,故為純虛數。因此,x 軸又稱為實軸,y 軸又稱為虛軸。

2. 複數加、減法與係數積的幾何意義:

(1) 加法:z1=a+bi,z2=c+di,則 z1+z2=(a+c)+(b+d)i。

在複數平面上,z1,z2,z1+z2 的相對位置如圖(一)所示。

(2) 減法:z1=a+bi,z2=c+di,則 z1-z2=(a-c)+(b-d)i。

在複數平面上,z1,z2,z1-z2 的相對位置,如圖(二)所示。

圖(一) 圖(二)

(3) 係數積:z=a+bi,則 rz=ra+rbi。

在複數平面上,z,rz 的相對位置,如圖(三)所示。(以 r>0 為例)

(4) 共軛複數:z=a+bi,則z =a-bi。

在複數平面上,z 的位置為將 z 對實軸作鏡射而得,如圖(四)所示。

圖(三) 圖(四)

3. 複數的絕對值:

定義複數 z=a+bi 的絕對值為

z

a

2

b

2 ,即標在複數平面上時與原點的距離。

4. 複數絕對值的性質:

(1) │z│=│-z│=│ z │。 (2)│z│2=z‧ z 。

(3) │z1‧z2│=│z1│‧│z2│。 (4) 1 1

2 2

z z

z

z

,但 z2≠0。

(5) │zn│=│z│n,其中 n 是正整數。

(2)

(6) 三角不等式: 1 2 1 2

1 2 1 2

z z z z

z z z z

 



  



+ + 三角形兩邊和大於第三邊。

三角形兩邊差的絕對值小於第三邊。

例題1 複數與複數的絕對值

(1) 如右圖的複數平面,試寫出 A,B,C,D 所代表的複數。

(2) 已知 z1=4+3i,z2=4-3i,z3=-4-3i,z4=-4+3i,試分別求出

│z1│,│z2│,│z3│,│z4│的值。

解 (1) A 點的坐標為 (3,4),故 A 點所代表的複數為 3+4i 同理,B 點所代表的複數為-2+2i

C 點所代表的複數為-3 D 點所代表的複數為-1-3i

(2)

z

1  4232 5

z

2  42 ( 3)2 5

2 2

3 ( 4) ( 3) 5

z

    

z

4  ( 4) 232 5

類題

(1) 如右圖的複數平面,試寫出 A,B,C,D 所代表的複數。

(2) 已知 z1=1+ 3i,z2= 3 +i,z3=1- 3i,z4= 3 -i,試分別求出 │z1│,│z2│,

│z3│,│z4│的值。

解 (1) A 點的坐標為 (3,0),故 A 點所代表的複數為 3 同理,B 點所代表的複數為 2i

C 點所代表的複數為-3-i D 點所代表的複數為 1-2i

(3)

(2) z1  12( 3)2  2 z2  ( 3)2  12 2

2 2

3 1 ( 3) 2

z     z4  ( 3)2 ( 1)2  2 例題2 複數絕對值的性質

2 5

4 4

(1 2 ) (3 4 ) (2 ) ( 4 3 )

i i

z i i

  

     ,試求│z│的值。

注意 利用│z1‧z2│=│z1│‧│z2│、│zn│=│z│n1 1

2 2

z z

z

z

2 5 2 5

2 5

4 4 4 4 4 4

2 5 2 5

4 4 4 4 2

(1 2 ) (3 4 ) (1 2 ) (3 4 ) (1 2 ) (3 4 )

(2 ) ( 4 3 ) (2 ) ( 4 3 ) (2 ) ( 4 3 ) 1 2 3 4 ( 5) 5 5

( 5) 5 ( 5) 1

2 4 3

i i i i

i i

z i i i i i i

i i

i i

     

  

  

           

   

   

     類題

5

3 2

(1 3 ) ( 3 ) (1 ) z i

i i

 

   ,試求 │z│的值。

5 5

5 5

3 2 3 2 3 2 3 2

(1 3 ) 1 3

(1 3 ) 2

( 3 ) (1 ) ( 3 ) (1 ) 3 1 2 ( 2) 2

i i

z i

i i i i i i

 

     

         

例題3 三角不等式

若 z1=1-2i,z2=-3-4i,試求 │z1│,│z2│,│z1+z2│的值,

並比較│z1│+│z2│和│z1+z2│的大小關係。

注意 三角不等式。

解 ∵z1=1-2i ∴

z

1  12 ( 2)2  5

∵z2=-3-4i ∴

z

2  ( 3) 2 ( 4)2 5

z1+z2=-2-6i ∴

z

1

z

2  ( 2) 2 ( 6)2  40 2 10

│z1│+│z2│= 5 +5 ≈ 7.2,│z1+z2│=2 10 ≈ 6.3 ∴│z1│+│z2│>│z1+z2│ 類題

若 z1=1-2i,z2=-3-4i,試求│z1│,│z2│,│z1-z2│的值,

並比較││z1│-│z2││與│z1-z2│的大小關係。

解 ∵z1=1-2i ∴

z

1  12 ( 2)2  5

(4)

∵z2=-3-4i ∴

z

2  ( 3) 2 ( 4)2 5

z1-z2=4+2i ∴

z

1

z

2  4222  20 2 5

││z1│-│z2││=│ 5 -5│=5- 5 ≈ 2.8,│z1-z2│=2 5 ≈ 4.5

∴││z1│-│z2││<│z1-z2│ 主題二 複數的極式

1. 複數的極式:複數 z=a+bi 的極式為 z=r(cos θ+i sin θ),其中

r

z

a

2

b

2 稱為 z 的“向徑",且 θ 滿足

2 2

cos a

a b

 ,

2 2

sin b

a b

 ,稱為複數 z 的“輻角";

如果取 0 ≤ θ<2π,則稱為主輻角。

2. 兩複數極式相等時,向徑相等,而輻角為同界角。

z1=r1(cos θ1+i sin θ1),z2=r2(cos θ2+i sin θ2) z1=z2 ⇔ r1=r2 且 θ1=θ2+2kπ,其中 k 為整數。

3. 複數極式的乘法公式與除法公式:

令 z1=r1(cos θ1+i sin θ1) 及 z2=r2(cos θ2+i sin θ2),則:

(1) z1z2=r1r2(cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2))。

(2) 1 1

2 2

z r

zr (cos(θ1-θ2)+i sin(θ1-θ2))。(z2≠0)

4. 複數乘法的幾何意義:若 z=r(cos θ+i sin θ),則“將一複數乘上 z"即“將此複數的 向徑變成 r 倍,輻角增加 θ",亦即“將此複數長度變成 r 倍,繞原點轉 θ 角"。

例題4 複數的極式 將下列複數化為極式:

(1) 1+i。 (2)-1- 3 i。 (3)-2i。 (4)-3。

解 (1) 如右圖

∵│1+i│= 2

∴ 1 1

1 2 2 cos sin

4 4

2 2

ii 

i

       

(2) 如右下圖

∵│-1- 3 i│=2

∴ 1 3 4 4

1 3 2 2 cos sin

2 2 3 3

i i

i

        

(5)

(3) 如右圖

∵│-2i│=2

∴ 3 3

2 2(0 1 ) 2 cos sin

2 2

i i

i

      

 

(4) 如右下圖 ∵│-3│=3

∴-3=3(-1+0i)=3(cos π+i sin π)

類題

將下列複數化為極式:

(1) 2 3 -2i。 (2) -2+2i。 (3) 2。 (4) 3i。

解 (1) 如圖(一)

∵ 2 3 2

i

 (2 3)2 ( 2)2 4

∴ 3 1 11 11

2 3 2 4 4 cos sin

2 2 6 6

i i

i

        圖(一)

(2) 如圖(二)

∵  2 2

i

 ( 2) 222 2 2

∴ 1 1 3 3

2 2 2 2 2 2 cos sin

4 4

2 2

i   i 

i

         圖(二)

(3) 如圖(三)

∵│2│=2 ∴2=2(1+0i)=2(cos 0+i sin 0)

圖(三)

(4) 如圖(四)

∵│3i│=3 ∴3i=3(0+1i)=3 cos sin 2 i 2

 

  

 

 

圖(四)

例題5 將複數化為極式 將下列各複數化為極式:

(1) 2(sin 60°+i cos 60°)。 (2) -2(sin 60°-i cos 60°)。

注意 極式為 r(cos θ+i sin θ) 的型態,其中 r>0。

(6)

(1) 2(sin 60°+i cos 60°)=r(cos θ+i sin θ)

∴r=2 且 cos sin 60 sin cos 60

 

  

 ∴θ 為第一象限角,取 0 ≤ θ<2π,則 θ=30°=

6

故 2(sin 60°+i cos 60°)=2 cos sin 6 i 6

 

  

 

 

(2) -2(sin 60°-i cos 60°)=r(cos θ+i sin θ)

∴r=2 且 cos sin 60 sin cos 60

 

  

=- ∴θ 為第二象限角,取 0 ≤ θ<2π,

θ=90°+60°= 5 150 6

 

故-2(sin 60°-i cos 60°)=2 5 5 cos sin

6

i 6

  

 

 

類題

將下列各複數化為極式:

(1) sin 30°+i cos 30°。 (2)-sin 30°-i cos 30°。

(1) sin 30°+i cos 30°=r(cos θ+i sin θ)

∴r=1 且 cos sin 30 sin cos30

 

  

 ∴θ 為第一象限角,取 0 ≤ θ<2π,則 θ=60°=

3

故 sin 30°+i cos 30°=cos 3

+i sin 3

(2) -sin 30°-i cos 30°=r(cos θ+i sin θ)

∴r=1 且 cos sin 30 sin cos30

  

   

 ∴θ 為第三象限角,取 0 ≤ θ<2π,

則 θ=270°-30°=240°=4 3

故-sin 30°-i cos 30°=1× 4 4 cos sin

3

i 3

  

 

 =cos4

3

+i sin4 3

例題6 極式的乘法公式與除法公式

(1) 試求(cos 24 sin 24 )(cos56 sin 56 ) (cos15 sin15 )(cos35 sin 35 )

i i

i i

     

      的值。

(2) 2(cos 290 sin110 ) 3(cos 40 sin 40 ) z i

i

  

    ,試求 z 的值與│z│。

解 (1) (cos 24 sin 24 )(cos56 sin 56 ) cos80 sin 80 3 1 cos30 sin 30

(cos15 sin15 )(cos35 sin 35 ) cos50 sin 50 2 2

i i i

i i

i i i

               

        

(2) cos 290°+i sin 110°=cos(360°-70°)+i sin(180°-70°)=cos 70°+i sin 70°

∴ 2(cos 70 sin 70 ) 2 2 3 1 3 1

(cos30 sin 30 )

3(cos 40 sin 40 ) 3 3 2 2 3 3

z i i i i

i

 

  

            

且 2

z  3

(7)

類題

(1) 試求 cos114 sin114

(cos 65 sin 65 )(cos11 sin11 ) i

i i

  

      的值。

(2) 2(sin 320 cos 40 ) cos 40 sin 40 z i

i

  

    ,試求 z 的值與│z│。

解 (1) cos114 sin114 cos114 sin114

(cos 65 sin 65 )(cos11 sin11 ) (cos 65 sin 65 )(cos( 11 ) sin( 11 ))

cos114 sin114 1 3

cos 60 sin 60

cos 54 sin 54 2 2

i i

i i i i

i i i

i

      

             

  

      

  

(2) sin 320°+i cos 40°=-cos 50°+i sin 50°=cos 130°+i sin 130°

∴ 2(cos130 sin130 ) cos 40 sin 40 z i

i

  

    =2(cos 90°+i sin 90°)=2i 且│z│=2

例題7 複數乘法的幾何意義

如下圖,在正六邊形 ABCDEF 中,已知 A 點在原點,且 B 點坐標為(4,4),

試求:

(1) F 點坐標。

(2) D 點坐標。

注意 坐標平面上的點 (a,b) 與複數平面上的 a+bi 可互相對應。

解 (1) 視 B 點代表複數 4+4i,如下圖所示

F 點可由 B 點繞原點逆時針旋轉 120° 而得 F 點所代表的複數為

(4+4i)(cos 120°+i sin 120°)=(4+4i) 1 3 2 2 i

 

  

 

 

=(-2-2 3 )+(-2+2 3 )i

F 點的坐標為 (-2-2 3 ,-2+2 3 ) (2) 易求得

OD

2

OB

,且∠BOD=60°

D 點可由 B 點繞原點長度乘以 2 倍,且逆時針旋轉 60° 而得 D 點所代表的複數為(4+4i)×2(cos 60°+i sin 60°)

=(8+8i) 1 3 2 2 i

 

  

 

 =(4-4 3 )+(4+4 3 )i 故 D 點的坐標為(4-4 3 ,4+4 3 )

(8)

類題

在坐標平面上,已知正方形 ABCD 的兩頂點 A(0,0),B(3,2) 且 C 點在第一象限,

試求頂點 C,D 的坐標。

解 視 B 點代表複數 3+2i

根據複數乘法的幾何意義,得 D 點所代表的複數為

(3+2i)(cos 90°+i sin 90°)=(3+2i)‧i=-2+3i 故 D 點的坐標為(-2,3)

AC

的中點與BD 的中點同 (∵ABCD 為正方形)

C 點坐標為 (x,y),可得 0 0 3 ( 2) 2 3

, ,

2 2 2 2

xy   

   

   

    ∴x=1,y=5

C 點坐標為 (1,5)

主題三 棣美弗定理

1. 棣美弗定理:設 z=r(cos θ+i sin θ),n 是正整數,則 zn=rn(cos nθ+i sin nθ)。

2. 棣美弗定理可推廣 (cos( ) sin( ))

(cos sin ) (cos sin )

n n

n n

z r n i n

z r i z r n i

 

   

 

     



    



指數為負整數

例題8 棣美弗定理

z=r(cos θ+i sin θ),n 是正整數,試證明:

(1) zn=rn(cos nθ+i sin nθ)。

(2) zn=rn(cos(-nθ)+i sin(-nθ))。

注意 利用數學歸納法。

證 (1) 我們利用數學歸納法證明:

① 當 n=1 時,z1=r(cos θ+i sin θ)=r1(cos(1×θ)+i sin(1×θ))

n=1 時,等式成立

② 假設 n=k 時,等式成立,即 zk=rk(cos kθ+i sin kθ)

則當 n=k+1 時,

zk1=zk×z=rk(cos kθ+i sin kθ)×r(cos θ+i sin θ)

=rk1((cos kθ cos θ-sin kθ sin θ)+i(sin kθ cos θ+cos kθ sin θ))

=rk1(cos(kθ+θ)+i sin(kθ+θ))

=rk1(cos(k+1)θ+i sin(k+1)θ)

n=k+1 時,等式亦成立

由數學歸納法可知,zn=rn(cos nθ+i sin nθ) 對所有正整數 n 皆成立

(9)

(2) 1 1

(cos sin )

1 1 1

( cos sin ) cos sin

(cos( ) sin( )) (cos( ) sin( ))

n n n

n

n

n n

n n

n

z z r i

r i r i

r i

r n i n

 

 

 

 

 

 

       

 

     

   

   

類題

(1) 若 z=2(cos 15°+i sin 15°),試計算 z10z10 的值。

(2) 若 z=2(cos 15°-i sin 15°),試計算 z10 的值。

解 (1) 由棣美弗定理

z10=(2(cos 15°+i sin 15°))10=210(cos 150°+i sin 150°)

=1024 3 1 2 2i

 

 

 

 

 =-512 3 +512i

z10=(2(cos 15°+i sin 15°))10=210(cos(-150°)+i sin(-150°))

= 1

1024(cos 150°-i sin 150°)= 1 3 1 1024 2 2i

 

 

 

 =- 3

2048- 1 2048i (2) 由棣美弗定理的推廣

z10=(2(cos 15°-i sin 15°))10=210(cos 150°-i sin 150°)

=1024 3 1 2 2i

 

 

 

 

 =-512 3 -512i 例題9 棣美弗定理的應用(一)

試求下列各值:

(1)(1 3i6。 (2)

1 3 6

1 i i

  

 

  

  。 解 (1) 將1 3i寫成極式

1 3

1 3 2 2 cos sin

2 2 3 3

i i

i

       

棣美弗定理

6

6 6

(1 3 ) 2 cos sin 2 (cos 2 sin 2 ) 64(1 0 ) 64

3 3

i

i

ii

         

(2) 分別將 1+ 3i 與 1+i 寫成極式

(10)

1 3

2 2 2 2 cos sin

1 3 3 3 2 cos sin

1 1

1 2 2 cos sin 12 12

4 4

2 2

i i

i i

i i i

 

 

 

    

    

           

棣美弗定理

6 6

1 3 6

2 cos sin ( 2) cos sin 8(0 ) 8

1 12 12 2 2

i i i i i

i

   

            

      

       

 

類題

試求下列各值:

(1)(2-2 3i)5。 (2)

6 4

7

(cos8 sin 8 ) (cos 25 sin 25 ) (cos 4 sin 4 )

i i

i

     

   。

解 (1) 將 2-2 3i 寫成極式 1 3

2 2 3 4 4 cos sin

2 2 3 3

5 5

4 cos sin 4 cos sin

3 3 3 3

i i i

i i

 

   

   

       

      

         棣美弗定理

5

5 5 5 5 25 25

(2 2 3 ) 4 cos sin 4 cos sin

3 3 3 3

1 3

1024 cos sin 1024 512 512 3

3 3 2 2

i i i

i i i

   

 

    

        

 

 

       

(2) (cos8 sin 8 ) (cos 256 7 sin 25 )4 (cos 48 sin 48 ) (cos1006 sin100 ) (cos 4 sin 4 ) (cos 28 sin 28 )

1 3 cos120 sin120

2 2

i i i i

i i

i i

           

      

       例題10 棣美弗定理的應用(二)

n 為正整數,試求滿足 ( 3 -i)n 為實數的最小正整數 n。

解 將 3 -i 寫成極式, 3 1 11 11

3 2 2 cos sin

2 2 6 6

i i

i

       

∴( 3 ) 2 cos11 sin11 2 cos 11 sin 11

6 6 6 6

n

n n

i

 

i

  

n

i

n



            

但( 3 -i)n 為實數 ∴ 11

sin 6

n必須為 0 滿足此條件的最小正整數 n 為 6

(11)

類題 若 3

1 i n

i

  

 

  

  是實數,且 n 為正整數,試求 n 的最小值。

解 將 3 1

i i

 寫成極式

2 23 12 2 cos sin

3 6 6 2 cos5 sin5

1 1

1 12 12

2 2 cos sin

4 4

2 2

i i

i i

i i i

 

 

 

    

    

          

          

∴ 3 5 5 5 5

( 2) cos sin ( 2) cos sin

1 12 12 12 12

n n

n n

i i n i n

i

   

                

           

            

 

但 3 1

i n

i

  

 

  

  為實數 ∴ 5 sin12

n

 必須為 0 滿足此條件的最小正整數 n 為 12 主題四 複數的 n 次方根

1. 1 的 n 次方根有兩種表示方法:

(1) cos2k n

+i sin2k n

,k=0,1,2,……,n-1。

(2) 1,ω,ω2,ω3,……,ωn1,其中 ω=cos2 n

+i sin2 n

2. 方根的性質:若 ω=cos2 n

+i sin2 n

,則 (1) ωn=1。

(2) 1+ω+ω2+……+ωn1=0。

說明:1+ω+ω2+……+ωn1=1 1 1

1 1

n

 

  

  =0

(3) (z-ω)(z-ω2)……(z-ωn1)=zn1+zn2+……+z2+z+1。

說明:zn-1=(z-1)(zn1+zn2+……+z+1) ... ① 又 zn-1=(z-1)(z-ω)(z-ω2)……(z-ωn1) ... ② 比較①與②得 zn1+zn2+……+z+1=(z-ω)(z-ω2)……(z-ωn1

3. n 次方根的幾何意義:若 zn=1 的 n 個根為 1,ω,ω2,……,ωn1,則這 n 個根在複 數平面上對應單位圓上 P0,P1,P2,……,Pn1 的 n 個等分點,可連成正 n 邊形,其

(1) 正 n 邊形的面積為 n×△OP0P1=n×1

2×1×1×sin2 n

= 2 nsin2

n

(2) 正 n 邊形的周長為 n×

P P

0 1,其中P P =10 12 2+12-2×1×1×cos2 n

(餘弦定理)

(12)

如下圖所示。

4. 複數的 n 次方根:任意非零的複數 α 也都有 n 個 n 次方根。

若 α=│α│‧(cos +i sin ),則

zn=α 的根 z0,z1,z2,……,zn1 可表示為下列形式:

2 2

cos sin

k n

k k

z i

n n

   

   ,其中 k=0,1,2,……,n-1。

例題11 1 的 n 次方根 (1) 試求 1 的六次方根。

(2) 將 z6=1 的 6 個根描繪在複數平面上,並求此正六邊形的面積及周長。

注意 (1) 解 zn=1,假設極式 z=r(cos θ+i sin θ) 為 zn=1 的根,左式代棣美弗定理,

右式將 1 化成極式。

(2) 若兩個極式相等 r1(cos θ1+i sin θ1)=r2(cos θ2+i sin θ2),則有絕對值相等 r1=r2,角度為同界角 θ1=θ2+2kπ,k 的關係。

(1) 欲求 1 的六次方根,即求解 z6=1

設 z=r(cos θ+i sin θ),由棣美弗定理可知 z6=r6(cos 6θ+i sin 6θ)

我們也將 1 寫成極式,1=1×(cos 0+i sin 0)

故 r6(cos 6θ+i sin 6θ)=1×(cos 0+i sin 0)

可得

6 1

6 0 2

r r

k k

 

 

  

, 為正實數

, 為整數⇒ 1

2 6 r

k

k

 



  , 為整數

∴對於任意整數 k cos2

6 k

+i sin2 6 k

=cos 3 k

+i sin 3 k

都是 1 的六次方根 取 k=0,得根 cos0

3

+i sin0 3

=1;取 k=1,得根 cos 3

+i sin 3

=1 2+ 3

2 i;

取 k=2,得根 cos2 3

+i sin2 3

=-1 2+ 3

2 i;

取 k=3,得根 cos3 3

+i sin3 3

=-1;

取 k=4,得根 cos4 3

+i sin4 3

=-1 2- 3

2 i;

取 k=5,得根 cos5 3

+i sin5 3

=1 2- 3

2 i

(13)

又 k=6,7,8,……分別和 k=0,1,2,……重複了 故 1 的六次方根為 cos

3 k

+i sin 3 k

,k=0,1,2,3,4,5 (2) 將這六個根描繪在複數平面上,如下圖所示:

此正六邊形的面積為 1 1 3 3 3

6 1 1 sin 6 1 1

2 3 2 2 2

 

         

若 z0、z1、z2、z3、z4、z5 在複數平面上的對應點分別為 P0、P1、P2、P3、P4、P5

則此正六邊形的周長為 6

P P

0 1

由餘弦定理可知P P =10 12 2+12-2×1×1×cos 3

=1+1-1=1 ∴6

P P

0 1=6

類題

(1) 試求 1 的五次方根。

(2) 將 z5=1 的 5 個根描繪在複數平面上。

解 (1) 欲求 1 的五次方根,即求解 z5=1

z=r(cos θ+i sin θ),由棣美弗定理可知 z5=r5(cos 5θ+i sin 5θ)

我們也將 1 寫成極式,1=1×(cos 0+i sin 0),

r5(cos 5θ+i sin 5θ)=1×(cos 0+i sin 0)

可得

5 1

5 0 2

r r

k k

 

   

, 為正實數

, 為整數⇒ 1

2 5 r

k

k

 



  , 為整數

∴對於任意整數 k, cos2 5 k

+i sin2 5 k

都是 1 的五次方根 取 k=0,得根 cos0

5

+i sin0 5

=1;取 k=1,得根 cos2 5

+i sin2 5

k=2,得根 cos4 5

+i sin4 5

;取 k=3,得根 cos6 5

+i sin6 5

k=4,得根 cos8 5

+i sin8 5

k=5,6,7,……分別和 k=0,1,2,……重複了 故 1 的五次方根為 cos2

5 k

+i sin2 5 k

,k=0,1,2,3,4 (2) 將這五個根描繪在複數平面上,如下圖所示:

(14)

形成一個正五邊形 例題12 方根的性質 ω=cos2

5

+i sin2 5

,試求:

(1) ω50

(2) 1+ω+ω2+……+ω49

(3) (3-ω)(3-ω2)(3-ω3)(3-ω4)。

注意 若 ω=cos2 5

+i sin2 5

,則 ω5=1 且 1+ω+ω2+ω3+ω4=0。

解 由題意可知 ω 為 1 的五次方根,故 ω5=1,且 1+ω+ω2+ω3+ω4=0 (1) ω50=(ω510=110=1

(2) 1+ω+ω2+……+ω49

=(1+ω+ω2+ω3+ω4)+(ω5+ω6+ω7+ω8+ω9)+……+

(ω45+ω46+ω47+ω48+ω49

=(1+ω+ω2+ω3+ω4)+ω5(1+ω+ω2+ω3+ω4)+……+ω45 (1+ω+ω2+ω3+ω4

=0+0+……+0=0

(3) 1 的五次方根為 1,ω,ω2,ω3,ω4

z5-1=(z-1)(z-ω)(z-ω2)(z-ω3)(z-ω4

5 1

1 z

z

 =(z-ω)(z-ω2)(z-ω3)(z-ω4

z4+z3+z2+z+1=(z-ω)(z-ω2)(z-ω3)(z-ω4

z=3,可得 (3-ω)(3-ω2)(3-ω3)(3-ω4)=34+33+32+3+1=121 類題

ω=cos2 7

+i sin2 7

,試求:

(1) 1+ω+ω2+……+ω49

(2) (1-ω)(1-ω2)(1-ω3)(1-ω4)(1-ω5)(1-ω6)。

(3) │1-ω││1-ω2││1-ω3││1-ω4││1-ω5││1-ω6│。

解 由題意可知 ω 為 1 的七次方根,則 ω7=1 且 1+ω+ω2+ω3+ω4+ω5+ω6=0 (1) 1+ω+ω2+……+ω49

=(1+ω+ω2+ω3+ω4+ω5+ω6)+(ω7+ω8+ω9+ω10+ω11+ω12+ω13)+……

+(ω42+ω43+ω44+ω45+ω46+ω47+ω48)+ω49

=0+0+……+0+1=1

(2) 1 的七次方根為 1,ω,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6

(15)

z7-1=(z-1)(z-ω)(z-ω2)(z-ω3)(z-ω4)(z-ω5)(z-ω6

7 1

1 z

z

 =(z-ω)(z-ω2)(z-ω3)(z-ω4)(z-ω5)(z-ω6z6+z5+z4+z3+z2+z+1

=(z-ω)(z-ω2)(z-ω3)(z-ω4)(z-ω5)(z-ω6

z=1,可得(1-ω)(1-ω2)(1-ω3)(1-ω4)(1-ω5)(1-ω6)=7 (3) 由(2)可知 │(1-ω)(1-ω2)(1-ω3)(1-ω4)(1-ω5)(1-ω6)│=7

而由複數絕對值的性質可得

│(1-ω)(1-ω2)(1-ω3)(1-ω4)(1-ω5)(1-ω6)│

=│1-ω││1-ω2││1-ω3││1-ω4││1-ω5││1-ω6│=7 例題13 複數的 n 次方根

(1) 試求 8+8 3i 的四次方根。

(2) 將 z4=8+8 3i 的 4 個根描繪在複數平面上,並求此四邊形的面積及周長。

注意 (1) 解 zn=a,假設極式 z=r(cos θ+i sin θ) 為 zn=a 的根,左式代棣美弗定理,

右式將 a 化成極式。

(2) 若兩個極式相等 r1(cos θ1+i sin θ1)=r2(cos θ2+i sin θ2),則有絕對值相等 r1=r2,角度為同界角 θ1=θ2+2kπ,k 的關係。

解 (1) 欲求 8+8 3i 的四次方根,即求解 z4=8+8 3i

z=r(cos θ+i sin θ),由棣美弗定理可知 z4=r4(cos 4θ+i sin 4θ)

我們也將 8+8 3i 寫成極式,

1 3

8 8 3 16 16 cos sin

2 2 3 3

i i

i

       

4(cos 4 sin 4 ) 16 cos sin

3 3

r

i



i



可得

4 16

4 2

3

r r

k k

  

 

  



, 為正實數

, 為整數⇒ 2

12 2

r

k k

 

 

  

 , 為整數

∴對於任意整數 k

2 cos sin

12 2 12 2

k k

 

i

 

      

    

 都是 8+8 3i 的四次方根

k=0,得根 2 cos sin 12

i 12

  

 

 ;取 k=1,得根 7 7

2 cos sin 12

i 12

  

 

 

k=2,得根 13 13

2 cos sin 12

i 12

  

 

 ;取 k=3,得根 19 19

2 cos sin 12

i 12

  

 

 

(16)

k=4,5,6,……分別和 k=0,1,2,……重複了 故 8+8 3i 的四次方根為 2 cos sin

12 2 12 2

k k

 

i

 

      

    

 ,k=0,1,2,3

(2) 將這四個根描繪在複數平面上,如下圖所示:

此正方形的面積為 1

4 2 2 sin 90 8 2

 

     

  而此正方形的周長為4 2222 8 2 類題

(1) 試求 i 的四次方根。

(2) 將 z4=i 的 4 個根描繪在複數平面上,並求此四邊形的面積及周長。

解 (1) 欲求 i 的四次方根,即求解 z4=i

z=r(cos θ+i sin θ),由棣美弗定理可知 z4=r4(cos 4θ+i sin 4θ)

我們也將 i 寫成極式, 1 cos sin

2 2

i

i

    故 r4(cos 4θ+i sin 4θ)=1 cos sin

2 i 2

 

 

  

可得

4 1

4 2

2

r r

k k

  

 

  



, 為正整數

, 為整數⇒ 1

8 2 r

k k

 

 



   , 為整數

∴對於任意整數 k

cos sin

8 2 8 2

k k

 

i

 

     

   

   都是 i 的四次方根 k=0,得根 cos

8

+i sin 8

;取 k=1,得根 cos5 8

+i sin5 8

k=2,得根 cos9 8

+i sin9 8

;取 k=3,得根 cos13 8

+i sin13 8

k=4,5,6,……分別和 k=0,1,2,……重複了 i 的四次方根為 cos sin

8 2 8 2

k k

 

i

 

     

   

   ,k=0,1,2,3

(2) 將這四個根描繪在複數平面上,如下圖所示

(17)

此正方形的面積為 1

4 1 1 sin 90 2 2

 

     

  而此正方形的周長為4 12 12 4 2 例題14 複數的平方根

試求 8-6i 的平方根。

注意 (1) 設平方根為 a+bi,則(a+bi)2=8-6i,展開後比較係數。

(2) 也可利用棣美弗定理。

解 設(a+bi)2=8-6i,兩邊展開比較係數得

2 2 8

2 6

a b

ab

  

  





利用 (a2-b22+(2ab)2=(a2+b22,可得 a2+b2=10 ... ③

由①與③解得 a2=9,b2=1 但因為 2ab=-6,得兩組解 3

1 a b

 

  

 或 3

1 a b

  

  故 8-6i 的平方根為 3-i 或-3+i 類題

試求-21-20i 的平方根。

解 設(a+bi)2=-21-20i,兩邊展開比較係數得

2 2 21

2 20

a b

ab

   

  





利用(a2-b22+(2ab)2=(a2+b22,可得 a2+b2=29 ... ③

由①與③解得 a2=4,b2=25 但因為 2ab=-20,得兩組解 2

5 a b

 

  

 或 2

5 a b

  

  故-21-20i 的平方根為 2-5i 或-2+5i

重要性:★★★★★

2-3 段考實力演練 一、基礎題

1. 將下列複數寫成極式:

(1) 1-i。 (2) -3i。

(3) sin 50°+i cos 50°。 (4) sin 40°-i cos 40°。

解 (1)

(18)

如上圖

∵│1-i│= 2

∴ 1 1 7 7

1 2 2 cos sin

4 4

2 2

ii 

i

        (2)

如上圖

∵│-3i│=3

∴-3i=3(0-i)= 3 3

3 cos sin 2

i 2

  

 

 

(3) sin 50°+i cos 50°=r(cos θ+i sin θ)

∴r=1 且 cos sin 50 sin cos50

 

  

∴θ 為第一象限角,取 0°≦θ<360° 則 θ=40°

故 sin 50°+i cos 50°=cos 40°+i sin 40°

(4) sin 40°-i cos 40°=r(cos θ+i sin θ)

∴r=1 且 cos sin 40 sin cos 40

 

   

∴θ 為第四象限角,取 0°≦θ<360° 則 θ=270°+40°=310°

故 sin 40°-i cos 40°=cos 310°+i sin 310°

2. 試求下列各值:

(1)(1-i)10。 (2)

( 3 )5

1 3 i

i

  。

(3)(sin 75°+i cos 75°)20。 (4)(cos 170°+i sin 170°)(cos 35°-i sin 35°)。

解 (1) 將 1-i 寫成極式

1 1 7 7

1 2 2 cos sin

4 4

2 2

ii 

i

       

由棣美弗定理得

10

7 7 10 35 35

2 cos sin ( 2) cos sin

4 4 2 2

3 3

32 cos sin 32

2 2

i i

i i

   

 

       

    

 

 

    

(19)

(2) 將 3 +i 寫成極式 3 1

3 2 2 cos sin

2 2 6 6

i i

i

       

由棣美弗定理得

5

5 5 5 5 5 5

( 3 ) 2 cos sin 2 cos sin 32 cos sin

6 6 6 6 6 6

i

  

i

   

i

   

i

 

           

再將-1+ 3i 寫成極式 1 3 2 2

1 3 2 2 cos sin

2 2 3 3

i i

i

        

5

5 5

32 cos sin

( 3 ) 6 6 16 cos sin 16 3 1

2 2 6 6 2 2

1 3 2 cos sin

3 3

8 3 8 i i

i i

i i

i

 

 

 

  

   

         

        

 

 

(3) 將 sin 75°+i cos 75° 寫成極式

sin 75°+i cos 75°=cos 15°+i sin 15°=cos 12

+i sin 12

由棣美弗定理得

20

(sin 75 cos 75 )20 cos sin

12 12

20 20 5 5

cos sin cos sin

12 12 3 3

1 3

cos 300 sin 300

2 2

i i

i i

i i

 

   

 

     

   

     

(4) (cos 170°+i sin 170°)(cos 35°-i sin 35°)

=(cos 170°+i sin 170°)×(cos(-35°)+i sin(-35°))

=cos(170°-35°)+i sin(170°-35°)

=cos 135°+i sin 135°

=- 2 2 + 2

2 i

3. 設 z=(1+i)6( 3 -i)4,試求 │z│ 之值。

解 利用複數絕對值的運算性質

│z1•z2│=│z1││z2│

│z│=│(1+i)6( 3 -i)4

=│(1+i)6│•│( 3 -i)4

=│1+i│6•│ 3 -i│4 =( 2)6•24=27 =128

(20)

4. 已知( 3 +i)(cos θ+i sin θ)= 3 -i,試問 θ 為第幾象限角?

解 ∵( 3 +i)(cos θ+i sin θ)= 3 -i

2 3 1 2 2 cos sin 3

3 3 1

2 2 2

11 11

2 cos sin

11 11

6 6 cos sin

6 6 6 6

2 cos sin

6 6

10 10 5 5

cos sin cos sin

6 6 3 3

i i

i i

i

i

i i

i i

 

 

   

 

   

 

  

  

  

 

   

 

  

     

 

          

   

將一複數 3 +i 乘上極式(cos θ+i sin θ)後得到 3 -i ,表示長度不變 角度逆時針旋轉5

3

,故 θ=5 3

而5 3

為第四象限角,故 θ 為第四象限角

5. 如下圖,A 點坐標為(2,4)且△AOB 是正三角形,試求 B 點坐標。

解 視 A 點代表複數 2+4i 如右圖所示:

B 點可由 A 點繞原點逆時針旋轉 60° 而得 故 B 點所代表的複數為

(2+4i)(cos 60°+i sin 60°)=(2+4i) 1 3 2 2 i

 

  

 

 =(1-2 3 )+(2+ 3 )i 故 B 點坐標為(1-2 3 ,2+ 3 )

6. 設 ω=cos4 3

+i sin4 3

,試求下列各式的值:

(1) ω3(2) 1+ω+ω2

(3) 1+ω+ω2+……+ω2012(4) 1-ω+ω2-ω3+ω4-……+ω12

(21)

(1) 由棣美弗定理知 ω 為 1 的三次方根 故 ω3=1

(2) ω3=1 ⇒ ω3-1=0 ⇒(ω-1)(ω2+ω+1)=0,但 ω≠1

∴1+ω+ω2=0

(3) 1+ω+ω2+……+ω2012

=(1+ω+ω2)+(ω3+ω4+ω5)+……+(ω2010+ω2011+ω2012

=(1+ω+ω2)+ω3(1+ω+ω2)+……+ω2010(1+ω+ω2)=0 (4) 1-ω+ω2-ω3+ω4-……+ω12 1 ( )13 1 13 1 1

1 ( ) 1 1

  

  

   

   

   

〔 〕

7. (1) 試求 1 的八次方根。

(2) 將 z8=1 的 8 個根描繪在複數平面上,並求此正八邊形的面積。

(1) 欲求 1 的八次方根,即求解 z8=1 設 z=r(cos θ+i sin θ)

棣美弗定理 z8=r8(cos 8θ+i sin 8θ)

將 1 寫成極式 1=1×(cos 0+i sin 0)

故 r8(cos 8θ+i sin 8θ)=1×(cos 0+i sin 0)

可得

8 1

8 0 2

r r

k k

 



= , 為正實數

= + , 為整數⇒

1 2

8 r

k

 

 

 ,k 為整數

∴對於任意整數 k , 2 2

cos sin cos sin

8 8 4 4

k k k k

i i

都是 1 的八次方根 取 k=0,得根 0 0

cos sin 1 4

i 4

取 k=1,得根 2 2

cos sin

4 i 4 2 2 i

 

  

取 k=2,得根 2 2 cos sin

4

i 4

i

取 k=3,得根 3 3 2 2

cos sin

4

i 4

2 2 i

  

取 k=4,得根 4 4

cos sin 1

4

i 4

 

取 k=5,得根 5 5 2 2

cos sin

4

i 4

2 2 i

   

取 k=6,得根 6 6 cos sin

4

i 4

 i

取 k=7,得根 7 7 2 2

cos sin

4

i 4

2 2 i

  

又 k=8,9,10,……分別和 k=0,1,2,……重複了 故 1 的八次方根為 cos sin

4 4

k k

i

k=0,1,2,3,4,5,6,7

(22)

(2)

將這八個根描繪在複數平面上 如上圖所示:

zk=cos sin

4 4

k k

i

k=0,1,2,3,4,5,6,7

此正八邊形的面積為 1 1 2

8 1 1 sin 8 1 1 2 2

2 4 2 2

 

         

8. 試求-8i 的平方根。

解 設(a+bi)2=-8i 兩邊展開比較係數得

2 2 0

2 8

a b

ab

  

  





利用(a2-b22+(2ab)2=(a2+b22 可得 a2+b2=8 ... ③

由①與③解得 a2=4,b2=4 但因為 2ab=-8

得兩組解 2

2 a b

 

  

 或 2

2 a b

  

 

故-8i 的平方根為 2-2i 或-2+2i 二、進階題

9. 試求 i 的三次方根。(提示:利用棣美弗定理)

解 欲求 i 的三次方根,即求解 z3=i 設 z=r(cos θ+i sin θ)

棣美弗定理 z3=r3(cos 3θ+i sin 3θ)

將 i 寫成極式i=0+1×i=1× cos sin 2 i 2

 

  

 

 

故 r3(cos 3θ+i sin 3θ)=1× cos sin 2 i 2

 

  

 

 

可得

3 1

3 2

2

r r

k k

  





= , 為正實數

= + , 為整數⇒

1 2 6 3 r

k k

 



  



, 為整數

∴對於任意整數 k 2 2

cos sin

6 3 6 3

k k

 

i

 

      

    

  都是 i 的三次方根

(23)

取 k=0,得根 3 1 cos sin

6 i 6 2 2i

 

  

取 k=1,得根 5 5 3 1

cos sin

6

i 6

2 2i

   

取 k=2,得根 3 3 cos sin

2

i 2

 i

又 k=3,4,5,……分別和 k=0,1,2,……重複了 故 i 的三次方根為 3 1

2 2i, 3 1 2 2i

  ,-i

10. 化簡

1 tan 8 1 tan

8 i i

sin 8 tan8 cos

8

 

 

 

  

 

 

提示:

sin8 1

1 tan cos cos sin cos sin

8 8 8 8 8 8

1 tan sin cos sin cos sin

8 1 8 8 8 8 8

cos8 i

i i i

i i i

i

     

     

 

 

  

 

  

 

  

     

        

 

 

2 2

cos sin cos sin

8 8 i 8 8 4 i 4 2 2 i

     

     

           

11. 設 1 1 2 z

z

  且z 1 z

 的主輻角為 3

,試求複數 z。 1 1

cos sin

2 3 3

z i

z

 

     

  

提示: 

z 1 z

 的“向徑”為1

2,“主輻角”為 3

z 1 z

 寫成極式為1

cos sin 2

3 i

3

 

∴ 1 1 1 1 3 1 3 1 3

cos sin

2 3 3 2 2 2 4 4 4

z i

i i i

z

 

          

又 1 1 1 3

1 4

z i

z z

 

  

∴1 1 3 3 3

1 4 4

i i

z

 

  

故 4 4(3 3 ) 3 3

3 3 (3 3 )(3 3 ) 3

i i

z i i i

 

  

  

(24)

三、歷屆試題

12. 若 (4+3i)(cos θ+i sin θ) 為小於 0 的實數,則 θ 是第幾象限角?

(A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角

(D)第四象限角 (E)條件不足,無法判斷 92.學測

(提示:複數極式乘法的幾何意義)

13. 如下圖,複數 z 在平面上對應的點 P 在單位圓 O 的外部,問複數 1

z對應的點大概是哪 一點?

(A) A (B) B (C) C (D) D (E) E 1 1

(cos sin ) cos( ) sin( )

z r i i

z r

   

        

 

提示: 〔 〕 92.學測補考

14. 若複數 z 與 3 +i 之積為-2 3 +2i,則z 的主輻角為 。 86.自然組 2 3 2

3 z i

i

   

 

  

提示: = 

15. 設 z=cos2 7

+i sin2 7

,試問複數 1-z 的絕對值為以下哪一個選項?

(A) 2 sin 7

(B) sin2 7

(C) 2sin2 7

(D) 2

2 1 cos 7

 

 

  (E) 1 cos2 7

96.指考甲

1 cos2 sin 7

7 2

 

 

  

  

 

 

 

提示:

16. 下圖陰影部分所示為複數平面上區域

3 5

: (cos sin ),0 1,

4 4

Az z r

i

 r

 

 

 之略圖。

令 D={w:w=z3,zA},試問下列選項中之略圖,何者之

陰影部分與區域 D 最接近? 93.學測

(25)

(A) (B) (C) (D) (E)

(提示:利用棣美弗定理)

17. 複數 z1=cos 4

+i sin 4

z2=cos 3

+i sin 3

與它們的乘積 z1z2 在複數平面上對應的點分 別為 P、Q 與 R。則∠QPR 等於下列哪一個選項?

(A)12

(B) 10

(C) 9

(D) 8

(E) 6

98.指考甲

1 QPR 2RQ

   

 

提示: 所對應的圓周角 

18. 設 O、A、B 分別為複數平面上代表 0、1+i 以及 1-i 的點。請問下列哪些選項所對應 的點落在△OAB 的內部?

(A) cos 60° (B) cos 50°+i sin 50° (C)4 3 5

i

(D)1 3 2

i

(E)(cos 30°+i sin 30°)25 100.學測

(提示:寫成複數的極式並利用棣美弗定理)

19. 設 O 為複數平面上的原點,並令點 A、B 分別代表非零複數 z、w。若∠AOB=90°,則 下列哪些選項必為負實數?

(A) z

w (B) zw (C)(zw)2

(D) z22

w (E)(z

w

2(其中

w

為 w 的共軛複數) 101.學測 簡 答

一、基礎題

1.(1) 7 7

2 cos sin 4

i 4

  

 

 ;(2) 3 3

3 cos sin 2

i 2

  

 

 ;(3) cos 40°+i sin 40°;

(4) cos 310°+i sin 310° 2.(1) -32i;(2) 8 3 +8i;(3)1 2- 3

2 i;(4) - 2 2 2  2 i

(26)

3.128 4.第四象限角 5.(1-2 3 ,2+ 3 ) 6.(1) 1;(2) 0;(3) 0;(4) 1 7.(1) cos

4 k

+i sin 4 k

,k=0,1,2,3,4,5,6,7;(2) 圖略,2 2 8.2-2i 或-2+2i

二、進階題 9. 3

2 +1

2i,- 3 2 +1

2i,-i 10. 2 2

2  2 i 11.3 3 3

i

三、歷屆試題

12.(B) 13.(D) 14.2 3

15.(A) 16.(E) 17.(D) 18.(A)(C)(E) 19.(D)(E)

能力提升特訓

範例1 棣美弗定理的應用 設 n 是正整數,若 z+1

z=2 cos θ,試證:zn+ 1

zn =2 cos nθ。

注意 棣美弗定理。

證 ∵z+1

z=2 cos θ ⇒ z2-2 cos θ z+1=0

∴z=

2cos 4cos2 4 2

=cos θ±i sin θ (1) 當 z=cos θ+i sin θ 時,1

z=cos θ-i sin θ 由棣美弗定理可知:zn+ 1

zn =cos nθ+i sin nθ+cos nθ-i sin nθ=2 cos nθ (2) 當 z=cos θ-i sin θ 時,1

z=cos θ+i sin θ 由棣美弗定理可知:zn+ 1

zn =cos nθ-i sin nθ+cos nθ+i sin nθ=2 cos nθ 由(1)與(2)得證 zn+ 1

zn =2 cos nθ 類題

設 1

3

z z ,試求 2012 20121

zz 的值。

解 1 3

2 2cos

2 6

z z

   

2012 20121 1006 4 1

2cos 2012 2cos 2cos 2 1

6 3 3 2

z z

  

     

            範例2 根與複數平面

(27)

試解出 x6+x4+x2+1=0 的六個根,並將這六個根描繪在複數平面上,求此六邊形的面積。

注意 (x2-1)(x6+x4+x2+1)=x8-1。

解 (x2-1)(x6+x4+x2+1)=x8-1

1 的八次方根可表示為 1,ω,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6,ω7,其中 ω=cos2 8

+i sin2 8

扣除 1 及-1(ω4), ω,ω2,ω3,ω5,ω6,ω7 為方程式 x6+x4+x2+1=0 的六個根 此六根在複數平面上的位置,如下圖所示

此六邊形的面積為 4△OAB+2△OAC

△OAB=1

2×1×1×sin 45°= 2

4 ,而△OAC=1

2×1×1×sin 90°=1 2 故此六邊形的面積為 4× 2

4 +2×1

2= 2+1

類題

試解出 x5+x4+x3+x2+x+1=0 的五個根,並將這五個根描繪在複數平面上,求此五邊形的 面積。

x6-1=(x-1)(x5+x4+x3+x2+x+1)

1 的六次方根可表示為 1,ω,ω2,ω3,ω4,ω5,其中 ω=cos2 6

+i sin2 6

故 x5+x4+x3+x2+x+1=0 的五個根為 ω,ω2,ω3,ω4,ω5 此五根在複數平面上的位置,如下圖所示

此五邊形的面積為 4△OP1P2+△OP1P5

△OP1P2=1

2×1×1×sin 60°= 3

4 ,而△OP1P5=1

2×1×1×sin 120°= 3 4

故此五邊形的面積為 3 3 5 3

4 4  4  4 歷屆試題

若 z 為複數,且滿足 z+1

z=1,則 101 1101

zz = 。 82.社會組

解 ∵z+1

z=2×1

2=2 cos 3

101 1011 101 5 1

2cos 101 2cos 2cos 2 1

3 3 3 2

z z

  

 

        

Figure

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