2-3 複數的極式與幾何意義主題一複數平面 1.

(1)

2-3 複數的極式與幾何意義

主題一複數平面

1. 複數平面：每個複數 z＝a＋bi （其中 a 與 b 皆為實數），都可對應坐標平面上的一個 點（a，b），而用來表示所有複數的坐標平面，稱為複數平面或高斯平面。複數平面上，

x 軸上的點所代表的複數其虛部為 0，故為實數；而 y 軸上的點（原點除外）所代表 的複數其實部為 0，故為純虛數。因此，x 軸又稱為實軸，y 軸又稱為虛軸。

2. 複數加、減法與係數積的幾何意義：

(1) 加法：z1＝a＋bi，z2＝c＋di，則 z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i。

在複數平面上，z1，z2，z1＋z2 的相對位置如圖（一）所示。

(2) 減法：z1＝a＋bi，z2＝c＋di，則 z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i。

在複數平面上，z1，z2，z1－z2 的相對位置，如圖（二）所示。

圖（一）圖（二）

(3) 係數積：z＝a＋bi，則 rz＝ra＋rbi。

在複數平面上，z，rz 的相對位置，如圖（三）所示。（以 r＞0 為例）

(4) 共軛複數：z＝a＋bi，則z ＝a－bi。

在複數平面上，z 的位置為將 z 對實軸作鏡射而得，如圖（四）所示。

圖（三）圖（四）

3. 複數的絕對值：

定義複數 z＝a＋bi 的絕對值為

z



a

²

b

² ，即標在複數平面上時與原點的距離。

4. 複數絕對值的性質：

(1) │z│＝│－z│＝│ z │。 (2)│z│²＝z‧ z 。

(3) │z1‧z2│＝│z1│‧│z2│。 (4) ¹ ¹

2 2

z z

z



z

，但 z2≠0。

(5) │zⁿ│＝│z│ⁿ，其中 n 是正整數。

(2)

(6) 三角不等式： ¹ ² ¹ ²

1 2 1 2

z z z z

 



  



＋＋三角形兩邊和大於第三邊。

三角形兩邊差的絕對值小於第三邊。

例題1 複數與複數的絕對值

(1) 如右圖的複數平面，試寫出 A，B，C，D 所代表的複數。

(2) 已知 z1＝4＋3i，z2＝4－3i，z3＝－4－3i，z4＝－4＋3i，試分別求出

│z1│，│z2│，│z3│，│z4│的值。

解 (1) A 點的坐標為（3，4），故 A 點所代表的複數為 3＋4i 同理，B 點所代表的複數為－2＋2i

C 點所代表的複數為－3 D 點所代表的複數為－1－3i

(2)

z

₁  4²3² 5

z

₂  4² ( 3)² 5

2 2

3 ( 4) ( 3) 5

z

    

z

₄  ( 4) ²3² 5

類題

(1) 如右圖的複數平面，試寫出 A，B，C，D 所代表的複數。

(2) 已知 z1＝1＋ 3i，z2＝ 3 ＋i，z3＝1－ 3i，z4＝ 3 －i，試分別求出 │z1│，│z2│，

│z3│，│z4│的值。

解 (1) A 點的坐標為（3，0），故 A 點所代表的複數為 3 同理，B 點所代表的複數為 2i

C 點所代表的複數為－3－i D 點所代表的複數為 1－2i

(3)

(2) z₁  1²( 3)²  2 z₂  ( 3)²  1² 2

2 2

3 1 ( 3) 2

z     z₄  ( 3)² ( 1)²  2 例題2 複數絕對值的性質

設

2 5

4 4

(1 2 ) (3 4 ) (2 ) ( 4 3 )

i i

z i i

  

     ，試求│z│的值。

注意利用│z1‧z2│＝│z1│‧│z2│、│zⁿ│＝│z│ⁿ 與 ¹ ¹

2 2

z z

z



z

。

解

2 5 2 5

2 5

4 4 4 4 4 4

2 5 2 5

4 4 4 4 2

(1 2 ) (3 4 ) (1 2 ) (3 4 ) (1 2 ) (3 4 )

(2 ) ( 4 3 ) (2 ) ( 4 3 ) (2 ) ( 4 3 ) 1 2 3 4 ( 5) 5 5

( 5) 5 ( 5) 1

2 4 3

i i i i

i i

z i i i i i i

i i

     

  

  

           

   

   

     類題

設

5

3 2

(1 3 ) ( 3 ) (1 ) z i

i i

 

   ，試求 │z│的值。

解

5 5

3 2 3 2 3 2 3 2

(1 3 ) 1 3

(1 3 ) 2

( 3 ) (1 ) ( 3 ) (1 ) 3 1 2 ( 2) 2

i i

z i

i i i i i i

 

     

         

例題3 三角不等式

若 z1＝1－2i，z2＝－3－4i，試求 │z1│，│z2│，│z1＋z2│的值，

並比較│z1│＋│z2│和│z1＋z2│的大小關係。

注意三角不等式。

解 ∵z1＝1－2i ∴

z

₁  1² ( 2)²  5

∵z2＝－3－4i ∴

z

₂  ( 3) ² ( 4)² 5

z1＋z2＝－2－6i ∴

z

₁

z

₂  ( 2) ² ( 6)²  40 2 10

│z1│＋│z2│＝ 5 ＋5 ≈ 7.2，│z1＋z2│＝2 10 ≈ 6.3 ∴│z1│＋│z2│＞│z1＋z2│ 類題

若 z1＝1－2i，z2＝－3－4i，試求│z1│，│z2│，│z1－z2│的值，

並比較││z1│－│z2││與│z1－z2│的大小關係。

解 ∵z1＝1－2i ∴

z

₁  1² ( 2)²  5

(4)

∵z2＝－3－4i ∴

z

₂  ( 3) ² ( 4)² 5

z1－z2＝4＋2i ∴

z

₁

z

₂  4²2²  20 2 5

││z1│－│z2││＝│ 5 －5│＝5－ 5 ≈ 2.8，│z1－z2│＝2 5 ≈ 4.5

∴││z1│－│z2││＜│z1－z2│ 主題二複數的極式

1. 複數的極式：複數 z＝a＋bi 的極式為 z＝r（cos θ＋i sin θ），其中

r



z



a

²

b

² 稱為 z 的“向徑＂，且 θ 滿足

2 2

cos a

a b





 ，

2 2

sin b

a b





 ，稱為複數 z 的“輻角＂；

如果取 0 ≤ θ＜2π，則稱為主輻角。

2. 兩複數極式相等時，向徑相等，而輻角為同界角。

z1＝r1（cos θ1＋i sin θ1），z2＝r2（cos θ2＋i sin θ2） z1＝z2 ⇔ r1＝r2 且 θ1＝θ2＋2kπ，其中 k 為整數。

3. 複數極式的乘法公式與除法公式：

令 z1＝r1（cos θ1＋i sin θ1）及 z2＝r2（cos θ2＋i sin θ2），則：

(1) z1z2＝r1r2（cos（θ1＋θ2）＋i sin（θ1＋θ2））。

(2) ¹ ¹

2 2

z r

z r （cos（θ1－θ2）＋i sin（θ1－θ2））。（z2≠0）

4. 複數乘法的幾何意義：若 z＝r（cos θ＋i sin θ），則“將一複數乘上 z＂即“將此複數的 向徑變成 r 倍，輻角增加 θ＂，亦即“將此複數長度變成 r 倍，繞原點轉 θ 角＂。

例題4 複數的極式 將下列複數化為極式：

(1) 1＋i。 (2)－1－ 3 i。 (3)－2i。 (4)－3。

解 (1) 如右圖

∵│1＋i│＝ 2

∴ 1 1

1 2 2 cos sin

4 4

2 2

i  i 



i





       

(2) 如右下圖

∵│－1－ 3 i│＝2

∴ 1 3 4 4

1 3 2 2 cos sin

2 2 3 3

i ^ i^ 



i





        

(5)

(3) 如右圖

∵│－2i│＝2

∴ 3 3

2 2(0 1 ) 2 cos sin

2 2

i i 



i





      

 

(4) 如右下圖 ∵│－3│＝3

∴－3＝3（－1＋0i）＝3（cos π＋i sin π）

類題

將下列複數化為極式：

(1) 2 3 －2i。 (2) －2＋2i。 (3) 2。 (4) 3i。

解 (1) 如圖（一）

∵ 2 3 2

i

 (2 3)² ( 2)² 4

∴ 3 1 11 11

2 3 2 4 4 cos sin

2 2 6 6

i ^ i^ 



i





        圖（一）

(2) 如圖（二）

∵  2 2

i

 ( 2) ²2² 2 2

∴ 1 1 3 3

2 2 2 2 2 2 cos sin

4 4

2 2

i   i 



i





         圖（二）

(3) 如圖（三）

∵│2│＝2 ∴2＝2（1＋0i）＝2（cos 0＋i sin 0）

圖（三）

(4) 如圖（四）

∵│3i│＝3 ∴3i＝3（0＋1i）＝3 cos sin 2 i 2

 

  

 

 

圖（四）

例題5 將複數化為極式 將下列各複數化為極式：

(1) 2（sin 60°＋i cos 60°）。 (2) －2（sin 60°－i cos 60°）。

注意極式為 r（cos θ＋i sin θ）的型態，其中 r＞0。

(6)

解 (1) 2（sin 60°＋i cos 60°）＝r（cos θ＋i sin θ）

∴r＝2 且 cos sin 60 sin cos 60



 

  

 ∴θ 為第一象限角，取 0 ≤ θ＜2π，則 θ＝30°＝

6



故 2（sin 60°＋i cos 60°）＝2 cos sin 6 i 6

 

  

 

 

(2) －2（sin 60°－i cos 60°）＝r（cos θ＋i sin θ）



 

  



＝－ ∴θ 為第二象限角，取 0 ≤ θ＜2π，

則 θ＝90°＋60°＝ 5 150 6

 



故－2（sin 60°－i cos 60°）＝2 5 5 cos sin

6



i 6



  

 

 

類題

將下列各複數化為極式：

(1) sin 30°＋i cos 30°。 (2)－sin 30°－i cos 30°。

解 (1) sin 30°＋i cos 30°＝r（cos θ＋i sin θ）

∴r＝1 且 cos sin 30 sin cos30



 

  

 ∴θ 為第一象限角，取 0 ≤ θ＜2π，則 θ＝60°＝

3



故 sin 30°＋i cos 30°＝cos 3



＋i sin 3



(2) －sin 30°－i cos 30°＝r（cos θ＋i sin θ）



  

   

 ∴θ 為第三象限角，取 0 ≤ θ＜2π，

則 θ＝270°－30°＝240°＝4 3



故－sin 30°－i cos 30°＝1× 4 4 cos sin

3



i 3



  

 

 ＝cos4

3



＋i sin4 3



例題6 極式的乘法公式與除法公式

(1) 試求(cos 24 sin 24 )(cos56 sin 56 ) (cos15 sin15 )(cos35 sin 35 )

i i

     

      的值。

(2) 2(cos 290 sin110 ) 3(cos 40 sin 40 ) z i

i

  

    ，試求 z 的值與│z│。

解 (1) (cos 24 sin 24 )(cos56 sin 56 ) cos80 sin 80 3 1 cos30 sin 30

(cos15 sin15 )(cos35 sin 35 ) cos50 sin 50 2 2

i i i

i i

i i i

               

        

(2) cos 290°＋i sin 110°＝cos（360°－70°）＋i sin（180°－70°）＝cos 70°＋i sin 70°

∴ 2(cos 70 sin 70 ) 2 2 3 1 3 1

(cos30 sin 30 )

3(cos 40 sin 40 ) 3 3 2 2 3 3

z i i i i

i

 

  

            

且 2

z  3

(7)

類題

(1) 試求 cos114 sin114

(cos 65 sin 65 )(cos11 sin11 ) i

i i

  

      的值。

(2) 2(sin 320 cos 40 ) cos 40 sin 40 z i

i

  

    ，試求 z 的值與│z│。

解 (1) ^cos114 ^sin114 ^cos114 ^sin114

(cos 65 sin 65 )(cos11 sin11 ) (cos 65 sin 65 )(cos( 11 ) sin( 11 ))

cos114 sin114 1 3

cos 60 sin 60

cos 54 sin 54 2 2

i i

i i i i

i i i

i

      

             

  

      

  

(2) sin 320°＋i cos 40°＝－cos 50°＋i sin 50°＝cos 130°＋i sin 130°

∴ 2(cos130 sin130 ) cos 40 sin 40 z i

i

  

    ＝2（cos 90°＋i sin 90°）＝2i 且│z│＝2

例題7 複數乘法的幾何意義

如下圖，在正六邊形 ABCDEF 中，已知 A 點在原點，且 B 點坐標為（4，4），

試求：

(1) F 點坐標。

(2) D 點坐標。

注意坐標平面上的點（a，b）與複數平面上的 a＋bi 可互相對應。

解 (1) 視 B 點代表複數 4＋4i，如下圖所示

F 點可由 B 點繞原點逆時針旋轉 120° 而得 故 F 點所代表的複數為

（4＋4i）（cos 120°＋i sin 120°）＝（4＋4i） 1 3 2 2 i

 

  

 

 

＝（－2－2 3 ）＋（－2＋2 3 ）i

故 F 點的坐標為（－2－2 3 ，－2＋2 3 ） (2) 易求得

OD

2

OB

，且∠BOD＝60°

故 D 點可由 B 點繞原點長度乘以 2 倍，且逆時針旋轉 60° 而得 故 D 點所代表的複數為（4＋4i）×2（cos 60°＋i sin 60°）

＝（8＋8i） 1 3 2 2 i

 

  

 

 ＝（4－4 3 ）＋（4＋4 3 ）i 故 D 點的坐標為（4－4 3 ，4＋4 3 ）

(8)

類題

在坐標平面上，已知正方形 ABCD 的兩頂點 A（0，0），B（3，2）且 C 點在第一象限，

試求頂點 C，D 的坐標。

解視 B 點代表複數 3＋2i

根據複數乘法的幾何意義，得 D 點所代表的複數為

（3＋2i）（cos 90°＋i sin 90°）＝（3＋2i）‧i＝－2＋3i 故 D 點的坐標為（－2，3）

而

AC

的中點與BD 的中點同（∵ABCD 為正方形）

設 C 點坐標為（x，y），可得 0 0 3 ( 2) 2 3

, ,

2 2 2 2

x y   

   

   

    ∴x＝1，y＝5

故 C 點坐標為（1，5）

主題三棣美弗定理

1. 棣美弗定理：設 z＝r（cos θ＋i sin θ），n 是正整數，則 zⁿ＝rⁿ（cos nθ＋i sin nθ）。

2. 棣美弗定理可推廣 (cos( ) sin( ))

(cos sin ) (cos sin )

n n

z r n i n

z r i z r n i

 

   

 

     



    



指數為負整數

。 例題8 棣美弗定理

設 z＝r（cos θ＋i sin θ），n 是正整數，試證明：

(1) zⁿ＝rⁿ（cos nθ＋i sin nθ）。

(2) z^－ⁿ＝r^－ⁿ（cos（－nθ）＋i sin（－nθ））。

注意利用數學歸納法。

證 (1) 我們利用數學歸納法證明：

① 當 n＝1 時，z¹＝r（cos θ＋i sin θ）＝r¹（cos（1×θ）＋i sin（1×θ））

故 n＝1 時，等式成立

② 假設 n＝k 時，等式成立，即 z^k＝r^k（cos kθ＋i sin kθ）

則當 n＝k＋1 時，

z^k^＋¹＝z^k×z＝r^k（cos kθ＋i sin kθ）×r（cos θ＋i sin θ）

＝r^k^＋¹（（cos kθ cos θ－sin kθ sin θ）＋i（sin kθ cos θ＋cos kθ sin θ））

＝r^k^＋¹（cos（kθ＋θ）＋i sin（kθ＋θ））

＝r^k^＋¹（cos（k＋1）θ＋i sin（k＋1）θ）

故 n＝k＋1 時，等式亦成立

由數學歸納法可知，zⁿ＝rⁿ（cos nθ＋i sin nθ）對所有正整數 n 皆成立

(9)

(2) ¹ ¹

(cos sin )

1 1 1

( cos sin ) cos sin

(cos( ) sin( )) (cos( ) sin( ))

n n n

n

n n

n

z z r i

r i r i

r i

r n i n

 



 

       

 

     

   

類題

(1) 若 z＝2（cos 15°＋i sin 15°），試計算 z¹⁰ 與 z^－¹⁰ 的值。

(2) 若 z＝2（cos 15°－i sin 15°），試計算 z¹⁰ 的值。

解 (1) 由棣美弗定理

z¹⁰＝（2（cos 15°＋i sin 15°））¹⁰＝2¹⁰（cos 150°＋i sin 150°）

＝1024 3 1 2 2i

 

 

 

 ＝－512 3 ＋512i

z^－¹⁰＝（2（cos 15°＋i sin 15°））^－¹⁰＝2^－¹⁰（cos（－150°）＋i sin（－150°））

＝ 1

1024（cos 150°－i sin 150°）＝ 1 3 1 1024 2 2i

 

 

 ＝－ 3

2048－ 1 2048i (2) 由棣美弗定理的推廣

z¹⁰＝（2（cos 15°－i sin 15°））¹⁰＝2¹⁰（cos 150°－i sin 150°）

＝1024 3 1 2 2i

 

 

 

 ＝－512 3 －512i 例題9 棣美弗定理的應用（一）

試求下列各值：

(1)（1 3i）⁶。 (2)

1 3 6

1 i i

  

 

  

  。解 (1) 將1 3i寫成極式

1 3

1 3 2 2 cos sin

2 2 3 3

i ^ i^ _



i



_

       

棣美弗定理

6

6 6

(1 3 ) 2 cos sin 2 (cos 2 sin 2 ) 64(1 0 ) 64

3 3

i

^ ^

 i 

^^

 i  i

         

(2) 分別將 1＋ 3i 與 1＋i 寫成極式

(10)

1 3

2 2 2 2 cos sin

1 3 3 3 2 cos sin

1 1

1 2 2 cos sin 12 12

4 4

2 2

i i

i i i

 

    

    

           

棣美弗定理

6 6

1 3 6

2 cos sin ( 2) cos sin 8(0 ) 8

1 12 12 2 2

i i i i i

i

   

            

      

       

 

類題

試求下列各值：

(1)（2－2 3i）⁵。 (2)

6 4

7

(cos8 sin 8 ) (cos 25 sin 25 ) (cos 4 sin 4 )

i i

i

     

   。

解 (1) 將 2－2 3i 寫成極式 1 3

2 2 3 4 4 cos sin

2 2 3 3

5 5

4 cos sin 4 cos sin

3 3 3 3

i i i

i i

 

   

   

       

      

         棣美弗定理

5

5 5 5 5 25 25

(2 2 3 ) 4 cos sin 4 cos sin

3 3 3 3

1 3

1024 cos sin 1024 512 512 3

3 3 2 2

i i i

   

 

    

        

 

       

(2) (cos8 sin 8 ) (cos 25⁶ ₇ sin 25 )⁴ (cos 48 sin 48 ) (cos100⁶ sin100 ) (cos 4 sin 4 ) (cos 28 sin 28 )

1 3 cos120 sin120

2 2

i i i i

i i

           

      

       例題10 棣美弗定理的應用（二）

設 n 為正整數，試求滿足（ 3 －i）ⁿ 為實數的最小正整數 n。

解將 3 －i 寫成極式， 3 1 11 11

3 2 2 cos sin

2 2 6 6

i ^ i^ _



i



_

       

∴( 3 ) 2 cos¹¹ sin¹¹ 2 cos ¹¹ sin ¹¹

6 6 6 6

n

n n

i

 

 i 

  

 n



i



 n



            

但（ 3 －i）ⁿ 為實數 ∴ 11

sin 6



n必須為 0 滿足此條件的最小正整數 n 為 6

(11)

類題若 3

1 i n

i

  

 

  

  是實數，且 n 為正整數，試求 n 的最小值。

解將 3 1

i i



 寫成極式

2 23 12 2 cos sin

3 6 6 2 cos5 sin5

1 1

1 12 12

2 2 cos sin

4 4

2 2

i i

i i i

 

    

    

          

          

∴ 3 5 5 5 5

( 2) cos sin ( 2) cos sin

1 12 12 12 12

n n

i i n i n

i

   

                

           

            

 

但 3 1

i n

i

  

 

  

  為實數 ∴ 5 sin12



n

 必須為 0 滿足此條件的最小正整數 n 為 12 主題四複數的 n 次方根

1. 1 的 n 次方根有兩種表示方法：

(1) cos2k n



＋i sin2k n



，k＝0，1，2，……，n－1。

(2) 1，ω，ω²，ω³，……，ωⁿ^－¹，其中 ω＝cos2 n



＋i sin2 n



。

2. 方根的性質：若 ω＝cos2 n



＋i sin2 n



，則 (1) ωⁿ＝1。

(2) 1＋ω＋ω²＋……＋ωⁿ^－¹＝0。

說明：1＋ω＋ω²＋……＋ωⁿ^－¹＝1 1 1

1 1



n

 

  

  ＝0

(3) （z－ω）（z－ω²）……（z－ωⁿ^－¹）＝zⁿ^－¹＋zⁿ^－²＋……＋z²＋z＋1。

說明：zⁿ－1＝（z－1）（zⁿ^－¹＋zⁿ^－²＋……＋z＋1） ... ① 又 zⁿ－1＝（z－1）（z－ω）（z－ω²）……（z－ωⁿ^－¹） ... ② 比較①與②得 zⁿ^－¹＋zⁿ^－²＋……＋z＋1＝（z－ω）（z－ω²）……（z－ωⁿ^－¹）

3. n 次方根的幾何意義：若 zⁿ＝1 的 n 個根為 1，ω，ω²，……，ωⁿ^－¹，則這 n 個根在複數平面上對應單位圓上 P0，P1，P2，……，Pn^－1 的 n 個等分點，可連成正 n 邊形，其中

(1) 正 n 邊形的面積為 n×△OP0P1＝n×1

2×1×1×sin2 n



＝ 2 nsin2

n



。

(2) 正 n 邊形的周長為 n×

P P

_{0 1}，其中P P ＝1_{0 1}² ²＋1²－2×1×1×cos2 n



（餘弦定理）

(12)

如下圖所示。

4. 複數的 n 次方根：任意非零的複數 α 也都有 n 個 n 次方根。

若 α＝│α│‧（cos ＋i sin ），則

zⁿ＝α 的根 z0，z1，z2，……，zn^－1 可表示為下列形式：

2 2

cos sin

k n

k k

z i

n n

   



^ ^ ^ ^

   ，其中 k＝0，1，2，……，n－1。

例題11 1 的 n 次方根 (1) 試求 1 的六次方根。

(2) 將 z⁶＝1 的 6 個根描繪在複數平面上，並求此正六邊形的面積及周長。

注意 (1) 解 zⁿ＝1，假設極式 z＝r（cos θ＋i sin θ）為 zⁿ＝1 的根，左式代棣美弗定理，

右式將 1 化成極式。

(2) 若兩個極式相等 r1（cos θ1＋i sin θ1）＝r2（cos θ2＋i sin θ2），則有絕對值相等 r1＝r2，角度為同界角 θ1＝θ2＋2kπ，k 的關係。

解 (1) 欲求 1 的六次方根，即求解 z⁶＝1

設 z＝r（cos θ＋i sin θ），由棣美弗定理可知 z⁶＝r⁶（cos 6θ＋i sin 6θ）

我們也將 1 寫成極式，1＝1×（cos 0＋i sin 0）

故 r⁶（cos 6θ＋i sin 6θ）＝1×（cos 0＋i sin 0）

可得

6 1

6 0 2

r r

k k

 

 

  

，為正實數

，為整數⇒ 1

2 6 r

k



k



 



  ，為整數

∴對於任意整數 k cos2

6 k



＋i sin2 6 k



＝cos 3 k



＋i sin 3 k



都是 1 的六次方根取 k＝0，得根 cos0

3



＋i sin0 3



＝1；取 k＝1，得根 cos 3



＋i sin 3



＝1 2＋ 3

2 i；

取 k＝2，得根 cos2 3



＋i sin2 3



＝－1 2＋ 3

2 i；



＋i sin3 3



＝－1；



＋i sin4 3



＝－1 2－ 3

2 i；



＋i sin5 3



＝1 2－ 3

2 i

(13)

又 k＝6，7，8，……分別和 k＝0，1，2，……重複了故 1 的六次方根為 cos

3 k



＋i sin 3 k



，k＝0，1，2，3，4，5 (2) 將這六個根描繪在複數平面上，如下圖所示：

此正六邊形的面積為 1 1 3 3 3

6 1 1 sin 6 1 1

2 3 2 2 2



^ ^

 

         

若 z0、z1、z2、z3、z4、z5 在複數平面上的對應點分別為 P0、P1、P2、P3、P4、P5

則此正六邊形的周長為 6

P P

_{0 1}

由餘弦定理可知P P ＝1_{0 1}² ²＋1²－2×1×1×cos 3



＝1＋1－1＝1 ∴6

P P

_{0 1}＝6

類題

(1) 試求 1 的五次方根。

(2) 將 z⁵＝1 的 5 個根描繪在複數平面上。

解 (1) 欲求 1 的五次方根，即求解 z⁵＝1

設 z＝r（cos θ＋i sin θ），由棣美弗定理可知 z⁵＝r⁵（cos 5θ＋i sin 5θ）

我們也將 1 寫成極式，1＝1×（cos 0＋i sin 0），

故 r⁵（cos 5θ＋i sin 5θ）＝1×（cos 0＋i sin 0）

可得

5 1

5 0 2

r r

k k

 

   



，為正實數

，為整數⇒ 1

2 5 r

k



k



 



  ^{，為整數}

∴對於任意整數 k, cos2 5 k



＋i sin2 5 k



都是 1 的五次方根取 k＝0，得根 cos0

5



＋i sin0 5



＝1；取 k＝1，得根 cos2 5



＋i sin2 5



；

取 k＝2，得根 cos4 5



＋i sin4 5



；取 k＝3，得根 cos6 5



＋i sin6 5



；



＋i sin8 5



又 k＝5，6，7，……分別和 k＝0，1，2，……重複了 故 1 的五次方根為 cos2

5 k



＋i sin2 5 k



，k＝0，1，2，3，4 (2) 將這五個根描繪在複數平面上，如下圖所示：

(14)

形成一個正五邊形 例題12 方根的性質 令 ω＝cos2

5



＋i sin2 5



，試求：

(1) ω⁵⁰。

(2) 1＋ω＋ω²＋……＋ω⁴⁹。

(3) （3－ω）（3－ω²）（3－ω³）（3－ω⁴）。

注意若 ω＝cos2 5



＋i sin2 5



，則 ω⁵＝1 且 1＋ω＋ω²＋ω³＋ω⁴＝0。

解由題意可知 ω 為 1 的五次方根，故 ω⁵＝1，且 1＋ω＋ω²＋ω³＋ω⁴＝0 (1) ω⁵⁰＝（ω⁵）¹⁰＝1¹⁰＝1

(2) 1＋ω＋ω²＋……＋ω⁴⁹

＝（1＋ω＋ω²＋ω³＋ω⁴）＋（ω⁵＋ω⁶＋ω⁷＋ω⁸＋ω⁹）＋……＋

（ω⁴⁵＋ω⁴⁶＋ω⁴⁷＋ω⁴⁸＋ω⁴⁹）

＝（1＋ω＋ω²＋ω³＋ω⁴）＋ω⁵（1＋ω＋ω²＋ω³＋ω⁴）＋……＋ω⁴⁵ （1＋ω＋ω²＋ω³＋ω⁴）

＝0＋0＋……＋0＝0

(3) 1 的五次方根為 1，ω，ω²，ω³，ω⁴

即 z⁵－1＝（z－1）（z－ω）（z－ω²）（z－ω³）（z－ω⁴）

5 1

1 z

z



 ＝（z－ω）（z－ω²）（z－ω³）（z－ω⁴）

z⁴＋z³＋z²＋z＋1＝（z－ω）（z－ω²）（z－ω³）（z－ω⁴）

令 z＝3，可得（3－ω）（3－ω²）（3－ω³）（3－ω⁴）＝3⁴＋3³＋3²＋3＋1＝121 類題

令 ω＝cos2 7



＋i sin2 7



，試求：

(1) 1＋ω＋ω²＋……＋ω⁴⁹。

(2) （1－ω）（1－ω²）（1－ω³）（1－ω⁴）（1－ω⁵）（1－ω⁶）。

(3) │1－ω││1－ω²││1－ω³││1－ω⁴││1－ω⁵││1－ω⁶│。

解由題意可知 ω 為 1 的七次方根，則 ω⁷＝1 且 1＋ω＋ω²＋ω³＋ω⁴＋ω⁵＋ω⁶＝0 (1) 1＋ω＋ω²＋……＋ω⁴⁹

＝（1＋ω＋ω²＋ω³＋ω⁴＋ω⁵＋ω⁶）＋（ω⁷＋ω⁸＋ω⁹＋ω¹⁰＋ω¹¹＋ω¹²＋ω¹³）＋……

＋（ω⁴²＋ω⁴³＋ω⁴⁴＋ω⁴⁵＋ω⁴⁶＋ω⁴⁷＋ω⁴⁸）＋ω⁴⁹

＝0＋0＋……＋0＋1＝1

(2) 1 的七次方根為 1，ω，ω²，ω³，ω⁴，ω⁵，ω⁶

(15)

即 z⁷－1＝（z－1）（z－ω）（z－ω²）（z－ω³）（z－ω⁴）（z－ω⁵）（z－ω⁶）

7 1

1 z

z



 ＝（z－ω）（z－ω²）（z－ω³）（z－ω⁴）（z－ω⁵）（z－ω⁶） z⁶＋z⁵＋z⁴＋z³＋z²＋z＋1

＝（z－ω）（z－ω²）（z－ω³）（z－ω⁴）（z－ω⁵）（z－ω⁶）

令 z＝1，可得（1－ω）（1－ω²）（1－ω³）（1－ω⁴）（1－ω⁵）（1－ω⁶）＝7 (3) 由(2)可知 │（1－ω）（1－ω²）（1－ω³）（1－ω⁴）（1－ω⁵）（1－ω⁶）│＝7

而由複數絕對值的性質可得

│（1－ω）（1－ω²）（1－ω³）（1－ω⁴）（1－ω⁵）（1－ω⁶）│

＝│1－ω││1－ω²││1－ω³││1－ω⁴││1－ω⁵││1－ω⁶│＝7 例題13 複數的 n 次方根

(1) 試求 8＋8 3i 的四次方根。

(2) 將 z⁴＝8＋8 3i 的 4 個根描繪在複數平面上，並求此四邊形的面積及周長。

注意 (1) 解 zⁿ＝a，假設極式 z＝r（cos θ＋i sin θ）為 zⁿ＝a 的根，左式代棣美弗定理，

右式將 a 化成極式。

(2) 若兩個極式相等 r1（cos θ1＋i sin θ1）＝r2（cos θ2＋i sin θ2），則有絕對值相等 r1＝r2，角度為同界角 θ1＝θ2＋2kπ，k 的關係。

解 (1) 欲求 8＋8 3i 的四次方根，即求解 z⁴＝8＋8 3i

設 z＝r（cos θ＋i sin θ），由棣美弗定理可知 z⁴＝r⁴（cos 4θ＋i sin 4θ）

我們也將 8＋8 3i 寫成極式，

1 3

8 8 3 16 16 cos sin

2 2 3 3

i ^ i^ _



i



_

       

故 ⁴(cos 4 sin 4 ) 16 cos sin

3 3

r



i



 ^



i



^

可得

4 16

4 2

3

r r

k k

  

 

  



，為正實數

，為整數⇒ 2

12 2

r

k k

 



 

  

 ，為整數

∴對於任意整數 k

2 cos sin

12 2 12 2

k k

 

i

 

      

    

 都是 8＋8 3i 的四次方根

取 k＝0，得根 2 cos sin 12



i 12



  

 

 ；取 k＝1，得根 7 7

2 cos sin 12



i 12



  

 

 

取 k＝2，得根 13 13

2 cos sin 12



i 12



  

 

 ；取 k＝3，得根 19 19

2 cos sin 12



i 12



  

 

 

(16)

又 k＝4，5，6，……分別和 k＝0，1，2，……重複了 故 8＋8 3i 的四次方根為 2 cos sin

12 2 12 2

k k

 

i

 

      

    

 ，k＝0，1，2，3

(2) 將這四個根描繪在複數平面上，如下圖所示：

此正方形的面積為 1

4 2 2 sin 90 8 2

 

     

  而此正方形的周長為4 2²2² 8 2 類題

(1) 試求 i 的四次方根。

(2) 將 z⁴＝i 的 4 個根描繪在複數平面上，並求此四邊形的面積及周長。

解 (1) 欲求 i 的四次方根，即求解 z⁴＝i

設 z＝r（cos θ＋i sin θ），由棣美弗定理可知 z⁴＝r⁴（cos 4θ＋i sin 4θ）

我們也將 i 寫成極式， 1 cos sin

2 2

i _



i



_

    故 r⁴（cos 4θ＋i sin 4θ）＝1 cos sin

2 i 2

 

 

  

可得

4 1

4 2

2

r r

k k

  

 

  



，為正整數

，為整數⇒ 1

8 2 r

k k

 



 



   ^{，為整數}

∴對於任意整數 k

cos sin

8 2 8 2

k k

 

i

 

     

   

   都是 i 的四次方根 取 k＝0，得根 cos

8



＋i sin 8



；取 k＝1，得根 cos5 8



＋i sin5 8



＋i sin9 8



；取 k＝3，得根 cos13 8



＋i sin13 8



又 k＝4，5，6，……分別和 k＝0，1，2，……重複了 故 i 的四次方根為 cos sin

8 2 8 2

k k

 

i

 

     

   

   ，k＝0，1，2，3

(2) 將這四個根描繪在複數平面上，如下圖所示

(17)

此正方形的面積為 1

4 1 1 sin 90 2 2

 

     

  而此正方形的周長為4 1² 1² 4 2 例題14 複數的平方根

試求 8－6i 的平方根。

注意 (1) 設平方根為 a＋bi，則（a＋bi）²＝8－6i，展開後比較係數。

(2) 也可利用棣美弗定理。

解設（a＋bi）²＝8－6i，兩邊展開比較係數得

2 2 8

2 6

a b

ab

  

  





①

②

利用（a²－b²）²＋（2ab）²＝（a²＋b²）²，可得 a²＋b²＝10 ... ③

由①與③解得 a²＝9，b²＝1 但因為 2ab＝－6，得兩組解 3

1 a b

 

  

 或 3

1 a b

  

  故 8－6i 的平方根為 3－i 或－3＋i 類題

試求－21－20i 的平方根。

解設（a＋bi）²＝－21－20i，兩邊展開比較係數得

2 2 21

2 20

a b

ab

   

  







①

②

利用（a²－b²）²＋（2ab）²＝（a²＋b²）²，可得 a²＋b²＝29 ... ③

由①與③解得 a²＝4，b²＝25 但因為 2ab＝－20，得兩組解 2

5 a b

 

  

 或 2

5 a b

  

  故－21－20i 的平方根為 2－5i 或－2＋5i

重要性：★★★★★

2-3 段考實力演練 一、基礎題

1. 將下列複數寫成極式：

(1) 1－i。 (2) －3i。

(3) sin 50°＋i cos 50°。 (4) sin 40°－i cos 40°。

解 (1)

(18)

如上圖

∵│1－i│＝ 2

∴ 1 1 7 7

1 2 2 cos sin

4 4

2 2

i  i 



i





        (2)

如上圖

∵│－3i│＝3

∴－3i＝3（0－i）＝ 3 3

3 cos sin 2



i 2



  

 

 

(3) sin 50°＋i cos 50°＝r（cos θ＋i sin θ）



 

  



∴θ 為第一象限角，取 0°≦θ＜360° 則 θ＝40°

故 sin 50°＋i cos 50°＝cos 40°＋i sin 40°

(4) sin 40°－i cos 40°＝r（cos θ＋i sin θ）



 

   



∴θ 為第四象限角，取 0°≦θ＜360° 則 θ＝270°＋40°＝310°

故 sin 40°－i cos 40°＝cos 310°＋i sin 310°

2. 試求下列各值：

(1)（1－i）¹⁰。 (2)

( 3 )5

1 3 i

i



  。

(3)（sin 75°＋i cos 75°）²⁰。 (4)（cos 170°＋i sin 170°）（cos 35°－i sin 35°）。

解 (1) 將 1－i 寫成極式

1 1 7 7

1 2 2 cos sin

4 4

2 2

i  i 



i





       

由棣美弗定理得

10

7 7 10 35 35

2 cos sin ( 2) cos sin

4 4 2 2

3 3

32 cos sin 32

2 2

i i

   

 

       

    

 

 

    

(19)

(2) 將 3 ＋i 寫成極式 3 1

3 2 2 cos sin

2 2 6 6

i ^ i^ 



i





       

5

5 5 5 5 5 5

( 3 ) 2 cos sin 2 cos sin 32 cos sin

6 6 6 6 6 6

i

  

i

   

i

   

i

 

           

再將－1＋ 3i 寫成極式 1 3 2 2

1 3 2 2 cos sin

2 2 3 3

i ^ i^ 



i





        

∴

5

5 5

32 cos sin

( 3 ) 6 6 16 cos sin 16 3 1

2 2 6 6 2 2

1 3 2 cos sin

3 3

8 3 8 i i

i i

i

 

  

   

         

        

 

 

(3) 將 sin 75°＋i cos 75° 寫成極式

sin 75°＋i cos 75°＝cos 15°＋i sin 15°＝cos 12



＋i sin 12



20

(sin 75 cos 75 )20 cos sin

12 12

20 20 5 5

cos sin cos sin

12 12 3 3

1 3

cos 300 sin 300

2 2

i i

 

   

 

     

   

     

(4) （cos 170°＋i sin 170°）（cos 35°－i sin 35°）

＝（cos 170°＋i sin 170°）×（cos（－35°）＋i sin（－35°））

＝cos（170°－35°）＋i sin（170°－35°）

＝cos 135°＋i sin 135°

＝－ 2 2 ＋ 2

2 i

3. 設 z＝（1＋i）⁶（ 3 －i）⁴，試求 │z│ 之值。

解利用複數絕對值的運算性質

│z1•z2│＝│z1││z2│

│z│＝│（1＋i）⁶（ 3 －i）⁴│

＝│（1＋i）⁶│•│（ 3 －i）⁴│

＝│1＋i│⁶•│ 3 －i│⁴ ＝（ 2）⁶•2⁴＝2⁷ ＝128

(20)

4. 已知（ 3 ＋i）（cos θ＋i sin θ）＝ 3 －i，試問 θ 為第幾象限角？

解 ∵（ 3 ＋i）（cos θ＋i sin θ）＝ 3 －i

∴

2 3 1 2 2 cos sin 3

3 3 1

2 2 2

11 11

2 cos sin

11 11

6 6 cos sin

6 6 6 6

2 cos sin

6 6

10 10 5 5

cos sin cos sin

6 6 3 3

i i

i

i i

 

 

   

 

   

 

  

  

  

 

   

 

  

     

 

          

   

將一複數 3 ＋i 乘上極式（cos θ＋i sin θ）後得到 3 －i ，表示長度不變 角度逆時針旋轉5

3



，故 θ＝5 3



而5 3



為第四象限角，故 θ 為第四象限角

5. 如下圖，A 點坐標為（2，4）且△AOB 是正三角形，試求 B 點坐標。

解視 A 點代表複數 2＋4i 如右圖所示：

B 點可由 A 點繞原點逆時針旋轉 60° 而得 故 B 點所代表的複數為

（2＋4i）（cos 60°＋i sin 60°）＝（2＋4i） 1 3 2 2 i

 

  

 

 ＝（1－2 3 ）＋（2＋ 3 ）i 故 B 點坐標為（1－2 3 ，2＋ 3 ）

6. 設 ω＝cos4 3



＋i sin4 3



，試求下列各式的值：

(1) ω³。 (2) 1＋ω＋ω²。

(3) 1＋ω＋ω²＋……＋ω²⁰¹²。 (4) 1－ω＋ω²－ω³＋ω⁴－……＋ω¹²。

(21)

解 (1) 由棣美弗定理知 ω 為 1 的三次方根 故 ω³＝1

(2) ω³＝1 ⇒ ω³－1＝0 ⇒（ω－1）（ω²＋ω＋1）＝0，但 ω≠1

∴1＋ω＋ω²＝0

(3) 1＋ω＋ω²＋……＋ω²⁰¹²

＝（1＋ω＋ω²）＋（ω³＋ω⁴＋ω⁵）＋……＋（ω²⁰¹⁰＋ω²⁰¹¹＋ω²⁰¹²）

＝（1＋ω＋ω²）＋ω³（1＋ω＋ω²）＋……＋ω²⁰¹⁰（1＋ω＋ω²）＝0 (4) 1－ω＋ω²－ω³＋ω⁴－……＋ω¹² ^{1 (} ⁾¹³ ¹ ¹³ ¹ 1

1 ( ) 1 1

  

   

   

   

〔〕

7. (1) 試求 1 的八次方根。

(2) 將 z⁸＝1 的 8 個根描繪在複數平面上，並求此正八邊形的面積。

解 (1) 欲求 1 的八次方根，即求解 z⁸＝1 設 z＝r（cos θ＋i sin θ）

棣美弗定理 z⁸＝r⁸（cos 8θ＋i sin 8θ）

將 1 寫成極式 1＝1×（cos 0＋i sin 0）

故 r⁸（cos 8θ＋i sin 8θ）＝1×（cos 0＋i sin 0）

可得

8 1

8 0 2

r r

k k

 





＝，為正實數

＝＋，為整數⇒

1 2

8 r

k





 

 

 ，k 為整數

∴對於任意整數 k , 2 2

cos sin cos sin

8 8 4 4

k k k k

i i



_



_



_



都是 1 的八次方根取 k＝0，得根 0 0

cos sin 1 4



_i 4



_

取 k＝1，得根 2 2

cos sin

4 i 4 2 2 i

 

  

取 k＝2，得根 2 2 cos sin

4



_i 4



_i

取 k＝3，得根 3 3 2 2

cos sin

4



i 4



2 2 i

  

取 k＝4，得根 4 4

cos sin 1

4



_i 4



_{ }

取 k＝5，得根 5 5 2 2

cos sin

4



i 4



2 2 i

   

4



_i 4



_{ }i

取 k＝7，得根 7 7 2 2

cos sin

4



i 4



2 2 i

  

又 k＝8，9，10，……分別和 k＝0，1，2，……重複了故 1 的八次方根為 cos sin

4 4

k k



_i



k＝0，1，2，3，4，5，6，7

(22)

(2)

將這八個根描繪在複數平面上如上圖所示：

zk＝cos sin

4 4

k k



_i



k＝0，1，2，3，4，5，6，7

此正八邊形的面積為 1 1 2

8 1 1 sin 8 1 1 2 2

2 4 2 2



^ ^

 

         

8. 試求－8i 的平方根。

解設（a＋bi）²＝－8i 兩邊展開比較係數得

2 2 0

2 8

a b

ab

  

  





①

②

利用（a²－b²）²＋（2ab）²＝（a²＋b²）² 可得 a²＋b²＝8 ... ③

由①與③解得 a²＝4，b²＝4 但因為 2ab＝－8

得兩組解 2

2 a b

 

  

 或 2

2 a b

  

 

故－8i 的平方根為 2－2i 或－2＋2i 二、進階題

9. 試求 i 的三次方根。（提示：利用棣美弗定理）

解欲求 i 的三次方根，即求解 z³＝i 設 z＝r（cos θ＋i sin θ）

棣美弗定理 z³＝r³（cos 3θ＋i sin 3θ）

將 i 寫成極式i＝0＋1×i＝1× cos sin 2 i 2

 

  

 

 

故 r³（cos 3θ＋i sin 3θ）＝1× cos sin 2 i 2

 

  

 

 

可得

3 1

3 2

2

r r

k k

  





＝，為正實數

＝＋，為整數⇒

1 2 6 3 r

k k

 





  



＝

，為整數

∴對於任意整數 k 2 2

cos sin

6 3 6 3

k k

 

i

 

      

    

  都是 i 的三次方根

(23)

6 i 6 2 2i

 

  

取 k＝1，得根 5 5 3 1

cos sin

6



i 6



2 2i

   

2



_i 2



_{ }i

又 k＝3，4，5，……分別和 k＝0，1，2，……重複了故 i 的三次方根為 3 1

2 2i， 3 1 2 2i

  ，－i

10. 化簡

1 tan 8 1 tan

8 i i







。

sin 8 tan8 cos

8

 



 

 

  

 

 

提示：

解

sin8 1

1 tan cos cos sin cos sin

8 8 8 8 8 8

1 tan sin cos sin cos sin

8 1 8 8 8 8 8

cos8 i

i i i

i



     



 

 

  

 

  

 

  

     

        

 

 

2 2

cos sin cos sin

8 8 i 8 8 4 i 4 2 2 i

     

     

           

11. 設 1 1 2 z

z

  且z 1 z

 的主輻角為 3



，試求複數 z。 1 1

cos sin

2 3 3

z i

z

 

     

  

提示： 

解 z 1 z

 的“向徑”為1

2，“主輻角”為 3



將z 1 z

 寫成極式為1

cos sin 2



3 i



3

 

∴ 1 1 1 1 3 1 3 1 3

cos sin

2 3 3 2 2 2 4 4 4

z i

i i i

z

 

^ ^

          

又 1 1 1 3

1 4

z i

z z

 

  

∴1 1 3 3 3

1 4 4

i i

z

 

  

故 4 4(3 3 ) 3 3

3 3 (3 3 )(3 3 ) 3

i i

z i i i

 

  

  

(24)

三、歷屆試題

12. 若（4＋3i）（cos θ＋i sin θ）為小於 0 的實數，則 θ 是第幾象限角？

(A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角

(D)第四象限角 (E)條件不足，無法判斷 92.學測

（提示：複數極式乘法的幾何意義）

13. 如下圖，複數 z 在平面上對應的點 P 在單位圓 O 的外部，問複數 1

z對應的點大概是哪一點？

(A) A (B) B (C) C (D) D (E) E 1 1

(cos sin ) cos( ) sin( )

z r i i

z r

   

        

 

提示：〔〕 92.學測補考

14. 若複數 z 與 3 ＋i 之積為－2 3 ＋2i，則z 的主輻角為。 86.自然組 2 3 2

3 z i

i

   

 

  

提示：＝ 

15. 設 z＝cos2 7



＋i sin2 7



，試問複數 1－z 的絕對值為以下哪一個選項？

(A) 2 sin 7



(B) sin2 7



(C) 2sin2 7



(D) 2

2 1 cos 7

 





 

  (E) 1 cos² 7





96.指考甲

1 cos2 sin 7

7 2

 

 

  

  

 

 

提示：

16. 下圖陰影部分所示為複數平面上區域

3 5

: (cos sin ),0 1,

4 4

A^z z r



i



 r



 

 

^

 之略圖。

令 D＝｛w：w＝z³，zA｝，試問下列選項中之略圖，何者之

陰影部分與區域 D 最接近？ 93.學測

(25)

(A) (B) (C) (D) (E)

（提示：利用棣美弗定理）

17. 複數 z1＝cos 4



＋i sin 4



、z2＝cos 3



＋i sin 3



與它們的乘積 z1z2 在複數平面上對應的點分別為 P、Q 與 R。則∠QPR 等於下列哪一個選項？

(A)12



(B) 10



(C) 9



(D) 8



(E) 6



98.指考甲

1 QPR 2RQ

   

 

提示：所對應的圓周角 

18. 設 O、A、B 分別為複數平面上代表 0、1＋i 以及 1－i 的點。請問下列哪些選項所對應 的點落在△OAB 的內部？

(A) cos 60° (B) cos 50°＋i sin 50° (C)4 3 5

 i

(D)1 3 2

 i

(E)（cos 30°＋i sin 30°）²⁵ 100.學測

（提示：寫成複數的極式並利用棣美弗定理)

19. 設 O 為複數平面上的原點，並令點 A、B 分別代表非零複數 z、w。若∠AOB＝90°，則 下列哪些選項必為負實數？

(A) z

w (B) zw (C)（zw）²

(D) z²₂

w (E)（z

w

）²（其中

w

為 w 的共軛複數） 101.學測簡答

一、基礎題

1.(1) 7 7

2 cos sin 4



i 4



  

 

 ；(2) 3 3

3 cos sin 2



i 2



  

 

 ；(3) cos 40°＋i sin 40°；

(4) cos 310°＋i sin 310° 2.(1) －32i；(2) 8 3 ＋8i；(3)1 2－ 3

2 i；(4) － 2 2 2  2 i

(26)

3.128 4.第四象限角 5.（1－2 3 ，2＋ 3 ） 6.(1) 1；(2) 0；(3) 0；(4) 1 7.(1) cos

4 k



＋i sin 4 k



，k＝0，1，2，3，4，5，6，7；(2) 圖略，2 ₂ 8.2－2i 或－2＋2i

二、進階題 9. 3

2 ＋1

2i，－ 3 2 ＋1

2i，－i 10. 2 2

2  2 i 11.3 3 3

 i

三、歷屆試題

12.(B) 13.(D) 14.2 3



15.(A) 16.(E) 17.(D) 18.(A)(C)(E) 19.(D)(E)

能力提升特訓

範例1 棣美弗定理的應用 設 n 是正整數，若 z＋1

z＝2 cos θ，試證：zⁿ＋ 1

zn ＝2 cos nθ。

注意棣美弗定理。

證 ∵z＋1

z＝2 cos θ ⇒ z²－2 cos θ z＋1＝0

∴z＝

2cos 4cos2 4 2









＝cos θ±i sin θ (1) 當 z＝cos θ＋i sin θ 時，1

z＝cos θ－i sin θ 由棣美弗定理可知：zⁿ＋ 1

zn ＝cos nθ＋i sin nθ＋cos nθ－i sin nθ＝2 cos nθ (2) 當 z＝cos θ－i sin θ 時，1

z＝cos θ＋i sin θ 由棣美弗定理可知：zⁿ＋ 1

zn ＝cos nθ－i sin nθ＋cos nθ＋i sin nθ＝2 cos nθ 由(1)與(2)得證 zⁿ＋ 1

zn ＝2 cos nθ 類題

設 1

3

z z ，試求 ²⁰¹² ₂₀₁₂1

z z 的值。

解 1 3

2 2cos

2 6

z z

   



∴ ²⁰¹² ₂₀₁₂1 1006 4 1

2cos 2012 2cos 2cos 2 1

6 3 3 2

z z

  

     

            範例2 根與複數平面

(27)

試解出 x⁶＋x⁴＋x²＋1＝0 的六個根，並將這六個根描繪在複數平面上，求此六邊形的面積。

注意（x²－1）（x⁶＋x⁴＋x²＋1）＝x⁸－1。

解（x²－1）（x⁶＋x⁴＋x²＋1）＝x⁸－1

1 的八次方根可表示為 1，ω，ω²，ω³，ω⁴，ω⁵，ω⁶，ω⁷，其中 ω＝cos2 8



＋i sin2 8



扣除 1 及－1（ω⁴）， ω，ω²，ω³，ω⁵，ω⁶，ω⁷ 為方程式 x⁶＋x⁴＋x²＋1＝0 的六個根此六根在複數平面上的位置，如下圖所示

此六邊形的面積為 4△OAB＋2△OAC

△OAB＝1

2×1×1×sin 45°＝ 2

4 ，而△OAC＝1

2×1×1×sin 90°＝1 2 故此六邊形的面積為 4× 2

4 ＋2×1

2＝ 2＋1

類題

試解出 x⁵＋x⁴＋x³＋x²＋x＋1＝0 的五個根，並將這五個根描繪在複數平面上，求此五邊形的面積。

解 x⁶－1＝（x－1）（x⁵＋x⁴＋x³＋x²＋x＋1）

1 的六次方根可表示為 1，ω，ω²，ω³，ω⁴，ω⁵，其中 ω＝cos2 6



＋i sin2 6



故 x⁵＋x⁴＋x³＋x²＋x＋1＝0 的五個根為 ω，ω²，ω³，ω⁴，ω⁵ 此五根在複數平面上的位置，如下圖所示

此五邊形的面積為 4△OP1P2＋△OP1P5

△OP1P2＝1

2×1×1×sin 60°＝ 3

4 ，而△OP1P5＝1

2×1×1×sin 120°＝ 3 4

故此五邊形的面積為 3 3 5 3

4 4  4  4 歷屆試題

若 z 為複數，且滿足 z＋1

z＝1，則 ¹⁰¹ 1₁₀₁

z z ＝。 82.社會組

解 ∵z＋1

z＝2×1

2＝2 cos 3



∴ ¹⁰¹ ₁₀₁1 101 5 1

2cos 101 2cos 2cos 2 1

3 3 3 2

z z

  

 

        

2-3 複數的極式與幾何意義 主題一 複數平面 1.