幾何 II

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幾何 II

座標轉動與基底變換

第 1 頁，共 27 頁幾何 II

(2)

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函數空間

基底函數與其正交性、完備性

函數空間裏的內積 (1) 定義與範例 (2) 投影與分量

投影本身就是一個非常幾何的名詞

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如果定義域是長度而不是角度

(5)

http://mathworld.wolfram.com/FourierSeries.html

基本技巧 sin(x)sin(y) 怎麼積分積化和差

捲積 (convolution)

http://mathworld.wolfram.com/Convolution.html

http://mathworld.wolfram.com/ConvolutionTheorem.html

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繞射與晶體結構

原子的假說（原子論的復興）

原子論的復興

反應物與生成物的比例氣體動力論預測氣體方程式解釋布朗運動導出出擴散係數

有序的排列與晶體的天然外形

有人用原子的模型想像形成固定特定晶面的理由

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佛朗豪爾 (平行光) 繞射

什麼是傅氏光學？

利用繞射來了解晶體結構

回想（單、雙）狹縫繞射的反置性結果常數函數

delta 函數

常態分佈（高斯）函數週期性 delta 函數

X-射線繞射與原子的週期性排列

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倒空間

雙螺旋

http://163.13.111.54/bio_rev/x-ray_diffraction.htm

蛋白質胰島素

第一個結晶出來的蛋白質葉綠體的光合作用系統

這是第一個被長晶出來的膜蛋白質（它是嵌在脂質雙層膜上面）。它是三個相同的單元構成的扁平巨大分子複合體。每個單元都有十幾個蛋白質，共同容納葉綠素及類胡蘿蔔素。

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光合作用的中心在一個很像血紅素帶氧中心的部分，含有 heme 分子

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晶體與幾何

（本節與結晶學有關的圖片，引用自 Marder 所著的 Comdensed Matter Physics 教科書）

晶體為何會形成

週期性是描述晶體的利器利用對稱性來分類晶體

對稱操作與對稱群七大晶系與 14 類晶格 32 點群與 230 空間群

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http://newton.ex.ac.uk/research/qsystems/people/goss/symmetry/Solids.html

立體對圖

如何看？近視法（交叉）（鬥雞眼）

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另一張範例（近視法）

再一張範例，有輔助點的（近視法）

用立體對來看幾種常見的晶體結構簡單立方

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面心最密堆積

六角最密堆積

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鑽石氯化鈉

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wuzite

http://cst-www.nrl.navy.mil/lattice/struk.jmol/b3.html

Crystallographic Restriction Theorem 五重與八重對稱性不存在的證明

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準晶

令人驚異五重對稱結晶

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這是怎麼回事？

一維準週期性系統的例子

先看一個一維的例子，Fibonacci 數列（介紹、圖表），有一種寫下該數列的方法是：

從一條數線上來看，這個數列有或大小兩種不同的間隔，不是 1 就是 τ

其中

是有名的 "黃金比例"。

此數列有一個重要的特性叫 deflation rule，意指如果我們寫下此數列任何相鄰兩個數字之間的差，並把 1 換成 τ 、把 τ 換成兩個數的小數列 τ, 1 ，則與原數列一樣。

例如，有一個序列

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就會得回到

在此介紹此一數列的原因是要找一個蠻有規律性的數列，然而它卻不具有週期性。事實上，這個數列被稱為具有準週期，意味著它在高維度是有週期性的，只是被投影地低維度。

另一種建構的方法：

重從 2D 來看

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把一維結構這樣做的好處在於，方便基於其二維是週期性的特性，作 Fourier 轉換（會用到捲積理論）

潘洛斯鋪磚 (Penrose Tiling) 園藝雜誌 Gardener (1977)

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滿足 deflation rule ，在原來的兩種 tiles 上刻出分割線及記號，注意灰色面積與原來的瓦片面積一樣。

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在實驗上有觀察到的，有複雜結構的合金具有形變的二十面體（最密堆積如面心及六角最密堆積矽排列方法，每個原子都被十二個原子包圍，若把這十二個原子的中心用直線互連，則形成一個理想二十面體）。一般認為，是各種變形的二十面體實現了在空間中連續排列填

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