幾何 II

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(1)

幾何 II

座標轉動與基底變換

第 1 頁,共 27 頁 幾何 II

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函數空間

基底函數與其正交性、完備性

函數空間裏的內積 (1) 定義與範例 (2) 投影與分量

投影本身就是一個非常幾何的名詞

第 3 頁,共 27 頁 幾何 II

(4)

如果定義域是長度而不是角度

(5)

http://mathworld.wolfram.com/FourierSeries.html

基本技巧 sin(x)sin(y) 怎麼積分 積化和差

捲積 (convolution)

http://mathworld.wolfram.com/Convolution.html

http://mathworld.wolfram.com/ConvolutionTheorem.html

第 5 頁,共 27 頁 幾何 II

(6)

繞射與晶體結構

原子的假說(原子論的復興)

原子論的復興

反應物與生成物的比例 氣體動力論預測氣體方程式 解釋布朗運動導出出擴散係數

有序的排列與晶體的天然外形

有人用原子的模型想像形成固定特定晶面的理由

(7)

佛朗豪爾 (平行光) 繞射

什麼是傅氏光學?

利用繞射來了解晶體結構

回想(單、雙)狹縫繞射的反置性結果 常數函數

delta 函數

常態分佈(高斯)函數 週期性 delta 函數

X-射線繞射與原子的週期性排列

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倒空間

雙螺旋

http://163.13.111.54/bio_rev/x-ray_diffraction.htm

蛋白質 胰島素

第一個結晶出來的蛋白質 葉綠體的光合作用系統

這是第一個被長晶出來的膜蛋白質(它是嵌在脂質雙層膜 上面)。它是三個相同的單元構成的扁平巨大分子複合 體。每個單元都有十幾個蛋白質,共同容納葉綠素及類胡 蘿蔔素。

第 9 頁,共 27 頁 幾何 II

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光合作用的中心在一個很像血紅素帶氧中心的部分,含有 heme 分子

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第 11 頁,共 27 頁 幾何 II

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晶體與幾何

(本節與結晶學有關的圖片,引用自 Marder 所著的 Comdensed Matter Physics 教科書)

晶體為何會形成

週期性是描述晶體的利器 利用對稱性來分類晶體

對稱操作與對稱群 七大晶系與 14 類晶格 32 點群 與 230 空間群

第 13 頁,共 27 頁 幾何 II

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(15)

http://newton.ex.ac.uk/research/qsystems/people/goss/symmetry/Solids.html

立體對圖

如何看?近視法(交叉)(鬥雞眼)

第 15 頁,共 27 頁 幾何 II

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另一張範例(近視法)

再一張範例,有輔助點的(近視法)

用立體對來看幾種常見的晶體結構 簡單立方

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面心最密堆積

六角最密堆積

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鑽石 氯化鈉

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wuzite

http://cst-www.nrl.navy.mil/lattice/struk.jmol/b3.html

Crystallographic Restriction Theorem 五重與八重對稱性不存在的證明

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準晶

令人驚異五重對稱結晶

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第 21 頁,共 27 頁 幾何 II

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這是怎麼回事?

一維準週期性系統的例子

先看一個一維的例子,Fibonacci 數列(介紹、圖表),有一種寫下該 數列的方法是:

從一條數線上來看,這個數列有或大小兩種不同的間隔,不是 1 就是 τ

其中

是有名的 "黃金比例"。

此數列有一個重要的特性叫 deflation rule,意指如果我們寫下此數列任 何相鄰兩個數字之間的差,並把 1 換成 τ 、把 τ 換成兩個數的小數列 τ, 1 ,則與原數列一樣。

例如,有一個序列

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就會得回到

在此介紹此一數列的原因是要找一個蠻有規律性的數列,然而它卻不 具有週期性。事實上,這個數列被稱為具有準週期,意味著它在高維 度是有週期性的,只是被投影地低維度。

另一種建構的方法:

重從 2D 來看

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把一維結構這樣做的好處在於,方便基於其二維是週期性的特性,作 Fourier 轉換 (會用到捲積理論)

潘洛斯鋪磚 (Penrose Tiling) 園藝雜誌 Gardener (1977)

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滿足 deflation rule ,在原來的兩種 tiles 上刻出分割線及記號,注意灰 色面積與原來的瓦片面積一樣。

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在實驗上有觀察到的,有複雜結構的合金具有形變的二十面體(最密 堆積如面心及六角最密堆積矽排列方法,每個原子都被十二個原子包 圍,若把這十二個原子的中心用直線互連,則形成一個理想二十面 體)。一般認為,是各種變形的二十面體實現了在空間中連續排列填

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第 27 頁,共 27 頁 幾何 II

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