金門地區第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書
科 別：數學科 組 別：國小組
作品名稱：2 魔術士─2 進位魔術解碼 關 鍵 詞：2 進位、10 進位、魔術
編 號：
2 魔術士─2 進位魔術解碼 摘要
大家可能玩過或聽過猜生日的魔術吧！？魔術師拿出幾張佈滿數字的卡片，讓遊戲 者在卡片上尋找數字後就可以猜出對方的生日，看起來厲害的手法到底有什麼秘密呢？
我們透過實際的觀察分析，熟悉魔術的操作流程及技巧，尋找魔術的數學規律，蒐集魔術 的基本型及變化類型，運用數學基本的歸納、推理、演繹及四則運算能力，將魔術技巧、
規則及變化的可能性整理成「魔術密技」，讓不會變魔術的人也能輕鬆入門！
壹、研究動機
數學老師上課時曾經和我們玩猜生日的魔術，我們覺得很神奇，老師怎麼可以用幾 張數字卡片很快的就猜出我們的生日呢？
數學老師只透漏：「與二進位數有關，有機會再帶我們了解...」
電腦老師在上 Scratch 程式撰寫時曾經提過：「二進位是將人的語言轉換成給電腦讀 的語言，他的轉換是有一定的規則...」
我們反覆看著從網路上下載的魔術卡，覺得這些數字之間有一定的關聯性，破解猜 生日魔術應該不難，我們甚至進一步想：有沒有可能破解魔術手法開發出屬於我們的小 魔術呢？所以我們決定找出二進位魔術的密碼，當一個厲害的「2 魔術士」！
貳、研究目的
當我們決定研究猜生日魔術的秘密時，分別向數學老師和電腦老師請教這個魔術的 研究方向和破解方法，我們討論出以下幾個研究目的：
一、 學會二進位魔術並了解二進位魔術的規則。
二、 探究二進位魔術的規律與魔術牌卡的關聯性。
三、 探討二進位魔術的規則變化，找出魔術變化的可能性。
參、研究設備及器材
鉛筆、原子筆 橡皮擦、修正帶
計算及記錄用白紙 魔術數字卡
肆、研究過程或方法
我們依照猜生日魔術的操作流程，實際進行操作實驗、觀察、分析魔術數字卡的數 字關係與原理並記錄在分析表格紙上，了解魔數卡上的數字與二的次方、二進位數及十 進位數的關係，發現與探究其中的規律性，並將研究資料紀錄在記錄紙中，最後並透過訪 問及網路蒐尋整理基本二進位魔術及變化型魔術的種類，探索變化的可能性。以下是研 究流程圖：
學會二進位
魔術規則 • 學會二進位魔術並了解二進位魔術的規則
探究二進位
魔術規律 • 探究二進位魔術的規律與魔術牌卡的關聯性
探討二進位魔術 變化的可能性
• 探討二進位魔術的規則變化，找出魔術變 化的可能性
研究一：學會二進位魔術規則
一、二進位魔術操作流程
(一) 魔術師讓遊戲者在心中先確認一個數字 (數字大小可隨魔術卡設計而改變，
常見用在猜生日月、日)。
(二) 讓遊戲者依序看過數字卡，並一張一張確認數字卡是否有心中的數字。
(三) 魔術師將遊戲者表示有出現數字的數字卡左上角數字加起來，即是遊戲者 心中的數字。
(四) 操作舉例一：
1. 遊戲者心中數字設定：9
2. 魔術師一張一張出示下列卡片：
數字卡 A 數字卡 B 數字卡 C 數字卡 D
1 3 5 7 9 11 13 15
2 3 6 7 10 11 14 15
4 5 6 7 12 13 14 15
8 9 10 11 12 13 14 15 3. 遊戲者表示數字卡 A 及數字卡 D 有出現心中的數字。
4. 魔術師將數字卡 A 左上角的「1」和數字卡 D 左上角的「8」相加，可 得到遊戲者心中的數字「9」。( 1 + 8 = 9 )
(五) 操作舉例二：
1. 遊戲者心中數字設定：26
2. 魔術師一張一張出示下列卡片：
數字卡 A 數字卡 B 數字卡 C 數字卡 D 數字卡 E
1 3 5 7 2 3 6 7 4 5 6 7 8 9 10 11 16 17 18 19 9 11 13 15 10 11 14 15 12 13 14 15 12 13 14 15 20 21 22 23 17 19 21 23 18 19 22 23 20 21 22 23 24 25 26 27 24 25 26 27 25 27 29 31 26 27 30 31 28 29 30 31 28 29 30 31 28 29 30 31
3. 遊戲者表示數字卡 B、D、E 有出現心中的數字。
4. 魔術師將數字卡 B 左上角的「2」、數字卡 D 左上角的「8」和數字卡 E 左上角「16」的相加，可得到遊戲者心中的數字「26」。( 2 + 8 + 16 = 26 )
(六) 操作舉例三：
1. 遊戲者心中數字設定：57
2. 魔術師一張一張出示下列卡片：
數字卡 A 數字卡 B 數字卡 C 數字卡 D 數字卡 E 數字卡 F
1 3 5 7 2 3 6 7 4 5 6 7 8 9 10 11 16 17 18 19 32 33 34 35 9 11 13 15 10 11 14 15 12 13 14 15 12 13 14 15 20 21 22 23 36 37 38 39 17 19 21 23 18 19 22 23 20 21 22 23 24 25 26 27 24 25 26 27 40 41 42 43 25 27 29 31 26 27 30 31 28 29 30 31 28 29 30 31 28 29 30 31 44 45 46 47 33 35 37 39 34 35 38 39 36 37 38 39 40 41 42 43 48 49 50 51 48 49 50 51 41 43 45 47 42 43 46 47 44 45 46 47 44 45 46 47 52 53 54 55 52 53 54 55 49 51 53 55 50 51 54 55 52 53 54 55 56 57 58 59 56 57 58 59 56 57 58 59 57 59 61 63 58 59 62 63 60 61 62 63 60 61 62 63 60 61 62 63 60 61 62 63
3. 遊戲者表示數字卡 A、D、E、及 F 有出現心中的數字。
4. 魔術師將數字卡 A 左上角的「1」、數字卡 D 左上角的「8」、數字卡 E 左上角的「16」和數字卡 F 左上角「32」的相加，可得到遊戲者心中的 數字「57」。( 1 + 8 + 16 + 32 = 57 )
二、二進位魔術規則、二的次方與二進位數及十進位數的分析
1. n 為正整數，則 2 的 n 次方表示是 N 個 2 連乘的結果，用 2n表示。
2. 十進位數是一種滿 10 進位，基底為 10 的數字系統，由 0 到 9 等十個 數字組成，是日常生活中普遍使用的數制。例 12310，而基底通常被省 略，也就是常見的 123。
3. 二進位數是一種滿 2 進位，基底為 2 的數字系統，由 0 和 1 兩個數字 所組成，是電腦最基本的數字系統。通常表示時會在數字前加"B"或基 底加 2 以便於識別，例 B1101 或 1102。
4. 二的次方與二進位數及十進位數的分析表如下：
二的次方 2
0
21
22
23
24
25
26
意義表示 1 1X2 1X2X2 1X2X2X2 1X2X2X2X2 1X2X2X2X2X2 1X2X2X2X2X2X2
十進位數 1 2 4 8 16 32 64
二進位數 1 10 100 1000 10000 100000 1000000
(二) 二進位數轉換十進位數
在二進位數中 1 表示對應的位值有數值、0 表示對應的位值沒有數值，
二進位數轉換為十進位數的方法是將二進位數中為 1 的每一位數，由右至 左從 20到 2N一一對應，從 20到 2N依序分別乘以其位值，再把所乘的結果 加起來即可。
計算範例如下：
範例一 10012 = 1 X 23 + 1 X 20 = 8 + 1 = 9
範例二 110102 = 1 X 24 + 1 X 23 + 1 X 21 = 16 + 8 + 2 = 26
範例三 1110012 = 1 X 25 + 1 X 24 + 1 X 23 + 1 X 20 = 32 + 16 + 8 + 1 =57
(三) 二進位魔術規則二進位魔術規則其實就是將二進位數轉換為十進位數的計 算規則加以運用。舉例說明如下：
範例一 10012 = 1 X 23 + 1 X 20 = 8 + 1 = 9
魔術卡 數字卡 D 數字卡 C 數字卡 B 數字卡 A
卡面數字 8 9 10 11 12 13 14 15
4 5 6 7 12 13 14 15
2 3 6 7 10 11 14 15
1 3 5 7 9 11 13 15
二的次方 2
3
22
21
20
二進位數 1 0 0 1
十進位數 8 4 2 1
範例二 110102 = 1 X 24 + 1 X 23 + 1 X 21 = 16 + 8 + 2 = 26
魔術卡 數字卡 E 數字卡 D 數字卡 C 數字卡 B 數字卡 A
卡面 數字
16 17 18 19 8 9 10 11 4 5 6 7 2 3 6 7 1 3 5 7 20 21 22 23 12 13 14 15 12 13 14 15 10 11 14 15 9 11 13 15 24 25 26 27 24 25 26 27 20 21 22 23 18 19 22 23 17 19 21 23 28 29 30 31 28 29 30 31 28 29 30 31 26 27 30 31 25 27 29 31 二的
次方 2
4
23
22
21
20
二進
位數 1 1 0 1 0
十進
位數 16 8 4 2 1
範例三 1110012 = 1 X 25 + 1 X 24 + 1 X 23 + 1 X 20 = 32 + 16 + 8 + 1 =57
魔術卡 數字卡 F 數字卡 E 數字卡 D 數字卡 C 數字卡 B 數字卡 A
卡面 數字
32 33 34 35 16 17 18 19 8 9 10 11 4 5 6 7 2 3 6 7 1 3 5 7 36 37 38 39 20 21 22 23 12 13 14 15 12 13 14 15 10 11 14 15 9 11 13 15 40 41 42 43 24 25 26 27 24 25 26 27 20 21 22 23 18 19 22 23 17 19 21 23 44 45 46 47 28 29 30 31 28 29 30 31 28 29 30 31 26 27 30 31 25 27 29 31 48 49 50 51 48 49 50 51 40 41 42 43 36 37 38 39 34 35 38 39 33 35 37 39 52 53 54 55 52 53 54 55 44 45 46 47 44 45 46 47 42 43 46 47 41 43 45 47 56 57 58 59 56 57 58 59 56 57 58 59 52 53 54 55 50 51 54 55 49 51 53 55 60 61 62 63 60 61 62 63 60 61 62 63 60 61 62 63 58 59 62 63 57 59 61 63 二的
次方 2
5
24
23
22
21
20
二進
位數 1 1 1 0 0 1
十進
位數 32 16 8 4 2 1
觀察魔術卡用找魔術密碼 二次方與二進位數及十進位數的分析
研究二：探究二進位魔術規律
厲害的魔術師從小數字的猜生日的月、日到大數字的猜西元年、電話號碼等都可以利 用二進位的魔術來進行，但是不太可能每個魔術師心算都很厲害，極短的時間進行六位數 以上的數字連加，是什麼樣的規律技巧讓魔術師可以快速的透過魔術卡牌猜出數字呢？
一、二進位數轉換十進位數規律
我們企圖透過將二的次方、二進位數與十進位數的分析表，試著找出三者 之間的關係，以下為二的次方、二進位數與十進位數關係分析表：
二進位
十進位
二進位
27 26 25 24 23 22 21 20
128 64 32 16 8 4 2 1
1 1
2 1 0
3 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
11 1 0 1 1
12 1 1 0 0
13 1 1 0 1
14 1 1 1 0
15 1 1 1 1
16 1 0 0 0 0
17 1 0 0 0 1
18 1 0 0 1 0
19 1 0 0 1 1
20 1 0 1 0 0
21 1 0 1 0 1
22 1 0 1 1 0
23 1 0 1 1 1
24 1 1 0 0 0
25 1 1 0 0 1
26 1 1 0 1 0
27 1 1 0 1 1
28 1 1 1 0 0
29 1 1 1 0 1
30 1 1 1 1 0
31 1 1 1 1 1
32 1 0 0 0 0 0
33 1 0 0 0 0 1
34 1 0 0 0 1 0
35 1 0 0 0 1 1
36 1 0 0 1 0 0
二進位
十進位
二進位
27 26 25 24 23 22 21 20
128 64 32 16 8 4 2 1
37 1 0 0 1 0 1
38 1 0 0 1 1 0
39 1 0 0 1 1 1
40 1 0 1 0 0 0
41 1 0 1 0 0 1
42 1 0 1 0 1 0
43 1 0 1 0 1 1
44 1 0 1 1 0 0
45 1 0 1 1 0 1
46 1 0 1 1 1 0
47 1 0 1 1 1 1
48 1 1 0 0 0 0
49 1 1 0 0 0 1
50 1 1 0 0 1 0
51 1 1 0 0 1 1
52 1 1 0 1 0 0
53 1 1 0 1 0 1
54 1 1 0 1 1 0
55 1 1 0 1 1 1
56 1 1 1 0 0 0
57 1 1 1 0 0 1
58 1 1 1 0 1 0
59 1 1 1 0 1 1
60 1 1 1 1 0 0
61 1 1 1 1 0 1
62 1 1 1 1 1 0
63 1 1 1 1 1 1
64 1 0 0 0 0 0 0
65 1 0 0 0 0 0 1
66 1 0 0 0 0 1 0
67 1 0 0 0 0 1 1
68 1 0 0 0 1 0 0
69 1 0 0 0 1 0 1
70 1 0 0 0 1 1 0
71 1 0 0 0 1 1 1
72 1 0 0 1 0 0 0
二進位
十進位
二進位
27 26 25 24 23 22 21 20
128 64 32 16 8 4 2 1
73 1 0 0 1 0 0 1
74 1 0 0 1 0 1 0
75 1 0 0 1 0 1 1
76 1 0 0 1 1 0 0
77 1 0 0 1 1 0 1
78 1 0 0 1 1 1 0
79 1 0 0 1 1 1 1
80 1 0 1 0 0 0 0
81 1 0 1 0 0 0 1
82 1 0 1 0 0 1 0
83 1 0 1 0 0 1 1
84 1 0 1 0 1 0 0
85 1 0 1 0 1 0 1
86 1 0 1 0 1 1 0
87 1 0 1 0 1 1 1
88 1 0 1 1 0 0 0
89 1 0 1 1 0 0 1
90 1 0 1 1 0 1 0
91 1 0 1 1 0 1 1
92 1 0 1 1 1 0 0
93 1 0 1 1 1 0 1
94 1 0 1 1 1 1 0
95 1 0 1 1 1 1 1
96 1 1 0 0 0 0 0
97 1 1 0 0 0 0 1
98 1 1 0 0 0 1 0
99 1 1 0 0 0 1 1
100 1 1 0 0 1 0 0
101 1 1 0 0 1 0 1
102 1 1 0 0 1 1 0
103 1 1 0 0 1 1 1
104 1 1 0 1 0 0 0
105 1 1 0 1 0 0 1
106 1 1 0 1 0 1 0
107 1 1 0 1 0 1 1
108 1 1 0 1 1 0 0
二進位
十進位
二進位
27 26 25 24 23 22 21 20
128 64 32 16 8 4 2 1
109 1 1 0 1 1 0 1
110 1 1 0 1 1 1 0
111 1 1 0 1 1 1 1
112 1 1 1 0 0 0 0
113 1 1 1 0 0 0 1
114 1 1 1 0 0 1 0
115 1 1 1 0 0 1 1
116 1 1 1 0 1 0 0
117 1 1 1 0 1 0 1
118 1 1 1 0 1 1 0
119 1 1 1 0 1 1 1
120 1 1 1 1 0 0 0
121 1 1 1 1 0 0 1
122 1 1 1 1 0 1 0
123 1 1 1 1 0 1 1
124 1 1 1 1 1 0 0
125 1 1 1 1 1 0 1
126 1 1 1 1 1 1 0
127 1 1 1 1 1 1 1
128 1 0 0 0 0 0 0 0
129 1 0 0 0 0 0 0 1
130 1 0 0 0 0 0 1 0
131 1 0 0 0 0 0 1 1
132 1 0 0 0 0 1 0 0
133 1 0 0 0 0 1 0 1
134 1 0 0 0 0 1 1 0
135 1 0 0 0 0 1 1 1
136 1 0 0 0 1 0 0 0
137 1 0 0 0 1 0 0 1
138 1 0 0 0 1 0 1 0
139 1 0 0 0 1 0 1 1
140 1 0 0 0 1 1 0 0
141 1 0 0 0 1 1 0 1
142 1 0 0 0 1 1 1 0
143 1 0 0 0 1 1 1 1
144 1 0 0 1 0 0 0 0
二進位
十進位
二進位
27 26 25 24 23 22 21 20
128 64 32 16 8 4 2 1
145 1 0 0 1 0 0 0 1
146 1 0 0 1 0 0 1 0
147 1 0 0 1 0 0 1 1
148 1 0 0 1 0 1 0 0
149 1 0 0 1 0 1 0 1
150 1 0 0 1 0 1 1 0
151 1 0 0 1 0 1 1 1
152 1 0 0 1 1 0 0 0
153 1 0 0 1 1 0 0 1
154 1 0 0 1 1 0 1 0
155 1 0 0 1 1 0 1 1
156 1 0 0 1 1 1 0 0
157 1 0 0 1 1 1 0 1
158 1 0 0 1 1 1 1 0
159 1 0 0 1 1 1 1 1
160 1 0 1 0 0 0 0 0
161 1 0 1 0 0 0 0 1
162 1 0 1 0 0 0 1 0
163 1 0 1 0 0 0 1 1
164 1 0 1 0 0 1 0 0
165 1 0 1 0 0 1 0 1
166 1 0 1 0 0 1 1 0
167 1 0 1 0 0 1 1 1
168 1 0 1 0 1 0 0 0
169 1 0 1 0 1 0 0 1
170 1 0 1 0 1 0 1 0
171 1 0 1 0 1 0 1 1
172 1 0 1 0 1 1 0 0
173 1 0 1 0 1 1 0 1
174 1 0 1 0 1 1 1 0
175 1 0 1 0 1 1 1 1
176 1 0 1 1 0 0 0 0
177 1 0 1 1 0 0 0 1
178 1 0 1 1 0 0 1 0
179 1 0 1 1 0 0 1 1
180 1 0 1 1 0 1 0 0
二進位
十進位
二進位
27 26 25 24 23 22 21 20
128 64 32 16 8 4 2 1
181 1 0 1 1 0 1 0 1
182 1 0 1 1 0 1 1 0
183 1 0 1 1 0 1 1 1
184 1 0 1 1 1 0 0 0
185 1 0 1 1 1 0 0 1
186 1 0 1 1 1 0 1 0
187 1 0 1 1 1 0 1 1
188 1 0 1 1 1 1 0 0
189 1 0 1 1 1 1 0 1
190 1 0 1 1 1 1 1 0
191 1 0 1 1 1 1 1 1
192 1 1 0 0 0 0 0 0
193 1 1 0 0 0 0 0 1
194 1 1 0 0 0 0 1 0
195 1 1 0 0 0 0 1 1
196 1 1 0 0 0 1 0 0
197 1 1 0 0 0 1 0 1
198 1 1 0 0 0 1 1 0
199 1 1 0 0 0 1 1 1
200 1 1 0 0 1 0 0 0
201 1 1 0 0 1 0 0 1
202 1 1 0 0 1 0 1 0
203 1 1 0 0 1 0 1 1
204 1 1 0 0 1 1 0 0
205 1 1 0 0 1 1 0 1
206 1 1 0 0 1 1 1 0
207 1 1 0 0 1 1 1 1
208 1 1 0 1 0 0 0 0
209 1 1 0 1 0 0 0 1
210 1 1 0 1 0 0 1 0
211 1 1 0 1 0 0 1 1
212 1 1 0 1 0 1 0 0
213 1 1 0 1 0 1 0 1
214 1 1 0 1 0 1 1 0
215 1 1 0 1 0 1 1 1
216 1 1 0 1 1 0 0 0
二進位
十進位
二進位
27 26 25 24 23 22 21 20
128 64 32 16 8 4 2 1
217 1 1 0 1 1 0 0 1
218 1 1 0 1 1 0 1 0
219 1 1 0 1 1 0 1 1
220 1 1 0 1 1 1 0 0
221 1 1 0 1 1 1 0 1
222 1 1 0 1 1 1 1 0
223 1 1 0 1 1 1 1 1
224 1 1 1 0 0 0 0 0
225 1 1 1 0 0 0 0 1
226 1 1 1 0 0 0 1 0
227 1 1 1 0 0 0 1 1
228 1 1 1 0 0 1 0 0
229 1 1 1 0 0 1 0 1
230 1 1 1 0 0 1 1 0
231 1 1 1 0 0 1 1 1
232 1 1 1 0 1 0 0 0
233 1 1 1 0 1 0 0 1
234 1 1 1 0 1 0 1 0
235 1 1 1 0 1 0 1 1
236 1 1 1 0 1 1 0 0
237 1 1 1 0 1 1 0 1
238 1 1 1 0 1 1 1 0
239 1 1 1 0 1 1 1 1
1240 1 1 1 1 0 0 0 0
241 1 1 1 1 0 0 0 1
242 1 1 1 1 0 0 1 0
243 1 1 1 1 0 0 1 1
244 1 1 1 1 0 1 0 0
245 1 1 1 1 0 1 0 1
246 1 1 1 1 0 1 1 0
247 1 1 1 1 0 1 1 1
248 1 1 1 1 1 0 0 0
249 1 1 1 1 1 0 0 1
250 1 1 1 1 1 0 1 0
251 1 1 1 1 1 0 1 1
252 1 1 1 1 1 1 0 0
二進位
十進位
二進位
27 26 25 24 23 22 21 20
128 64 32 16 8 4 2 1
253 1 1 1 1 1 1 0 1
254 1 1 1 1 1 1 1 0
255 1 1 1 1 1 1 1 1
二、二進位數轉換十進位數與魔術卡的關係
我們嘗試比對魔術數字卡與上面二的次方、二進位數與十進位數關係分析 表分析如下：
二進位
十進位
二進位/魔術數字卡
27 26 25 24 23 22 21 20
128 64 32 16 8 4 2 1
數字卡 卡 F 卡 E 卡 D 卡 C 卡 B 卡 A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
二進位
十進位
二進位/魔術卡
27 26 25 24 23 22 21 20
128 64 32 16 8 4 2 1
數字卡 卡 F 卡 E 卡 D 卡 C 卡 B 卡 A
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
二進位
十進位
二進位/魔術卡
27 26 25 24 23 22 21 20
128 64 32 16 8 4 2 1
數字卡 卡 F 卡 E 卡 D 卡 C 卡 B 卡 A
60
61
62
63
嘗試從分析表中找規律 二的次方、二進位數與十進位數關係分析
研究三：探討二進位魔術變化的可能性
我們先透過與受訪者玩猜生日的魔術，讓受訪者了解魔術操作後，訪問同學及師長再 加上並上網搜尋等方法蒐集到以下二進位數各種的魔術，依照數字區間整理如下列兩類 表格：
一、訪問問題：
1. 請問曾經接觸過其他與猜生日類似的魔術嗎？魔術名稱是什麼？
2. 請問建議到哪裡可以找到類似猜生日魔術的相關資料呢？
二、網路搜尋關鍵字：
我們使用了「二進位魔術、讀心術猜數字、猜心術」等關鍵字在蒐尋引擎 中進行相關蒐尋並篩選出符合我們的目標資料。
三、魔術分類：
統計訪問學校 6 位師長及 12 位同學並蒐尋網錄資料後，我們將單純猜數 字型的魔術歸為一類，將利用一個數字配對一個魔術內容物的對應方式類魔術 歸為一類(例如：1 對應水瓶座、2 對應雙魚座，以此類推)，整理歸納二進位魔 術資料如下兩類表格。
1. 二進位數字類魔術 (猜純數字型)
數字區間 魔術名稱
1 ~ 15 猜生日(月)、心電感應、猜幸運數字(0~9)
1 ~ 31 猜生日(日) 、心電感應、猜幸運數字(1~10)、猜座號 1 ~ 63 心電感應、猜幸運數字
1 ~ 127 猜生日魔術(民國年)、心電感應、猜年齡魔術、猜幸運數字
(1~99)、猜年齡、猜體重
1 ~ 99999999 猜電話號碼、心電感應、猜身高(1~255)、猜體重(1~255) 、猜 連續劇集數、猜西元年
2. 二進位數字類變化型魔術 (對應魔術內容物型)
數字區間 魔術名稱
1 ~ 15 猜星座、猜生肖、猜人名、猜物品
1 ~ 31 猜人名、猜物品(歷史文物 1、名畫、作家等)、猜顏色、猜水 果、猜情緒、猜英文字母
1 ~ 63 猜撲克牌、猜注音符號、猜天干地支
手繪自製魔術卡 魔術練習並準備訪問同學
伍、研究結果與討論
一、二進位魔術的操作技巧
魔術師操作二進位相關魔術時，除了理解魔術數字卡牌本身應用到二的次 方、二進位數與十進位數的關係原理，還要考量到魔術的流暢度與營造厲害及 神秘的氣氛，需要以下幾個技巧及規則：
(一) 魔術數字卡排列出示給遊戲者的順序是依照二的次方順序排列，從 20 (數字 卡 A)、21 (數字卡 B)、22 (數字卡 C)、23 (數字卡 D)……依序排列操作，這將 是計算( 20 + 21 + 22 + 23 + …… = 1 + 2 + 4 + 8 + …… = 魔術結果 )魔術結果正 確性的關鍵因素。
(二) 熟練心算 2 進位數轉換為 10 進位數的加法 ( 1 + 2 + 4 + 8+ …… )，這會明 顯影響魔術的流暢度與魔術的氣氛。
(三) 考量魔術的快與準，建議魔術設計的數量區間範圍與魔術數字卡面的數字 區間範圍能互相對應，例如：猜星座、生肖、月份等魔術適用 15 以內數字 的魔術數字卡；猜日期、英文字母等適用 31 以內數字的魔術數字卡；猜幸 運數字、撲克牌等適用 63 以內數字的魔術數字卡。
二、二進位魔術規則：
常見魔術師設計並操作的二進位魔術其實就是應用二進位數轉換為十進 位數的計算規則來獲得魔術結果。
(一) 數字卡與二的次方及十進位數的對應規則：
從魔術計算規則可以推算得知數字卡 A 對應 20也就表示十進位數的 1、數字卡 B 對應 21也就表示十進位數的 2；數字卡 C 對應 22也就表示十進 位數的 4……，以此類推，可用於推算其他數字的計算規則。
(二) 推算二進位數轉換十進位數規則：
承上規則，我們可以推算 44 在數字卡 C、D、F 三張卡上有，表示將 22 + 23 + 25 可以得到 4 + 8 + 32 = 44 的結果；39 在數字卡 A、B、C、F 四張 卡上有，表示將 20 +21 + 22 + 25 可以得到 1 + 2 + 4 + 32 = 39 的結果。請參
考下表說明：
魔術卡 數字卡 F 數字卡 E 數字卡 D 數字卡 C 數字卡 B 數字卡 A
卡面 數字
32 33 34 35 16 17 18 19 8 9 10 11 4 5 6 7 2 3 6 7 1 3 5 7 36 37 38 39 20 21 22 23 12 13 14 15 12 13 14 15 10 11 14 15 9 11 13 15 40 41 42 43 24 25 26 27 24 25 26 27 20 21 22 23 18 19 22 23 17 19 21 23 44 45 46 47 28 29 30 31 28 29 30 31 28 29 30 31 26 27 30 31 25 27 29 31 48 49 50 51 48 49 50 51 40 41 42 43 36 37 38 39 34 35 38 39 33 35 37 39 52 53 54 55 52 53 54 55 44 45 46 47 44 45 46 47 42 43 46 47 41 43 45 47 56 57 58 59 56 57 58 59 56 57 58 59 52 53 54 55 50 51 54 55 49 51 53 55 60 61 62 63 60 61 62 63 60 61 62 63 60 61 62 63 58 59 62 63 57 59 61 63 二的
次方 2
5
24
23
22
21
20
十進
位數 32 16 8 4 2 1
二 進 位 數
9 1 0 0 1
26
1 1 0 1 057
1 1 1 0 0 144
1 0 1 1 0 039
1 0 0 1 1 1三、二進位魔術規律
魔術師若能掌握二進位魔術的規律，在設計大數字的魔術時，如猜電話號 碼、西元年……等魔術，相信能更快、狠、準的獲得正確的魔術結果。以下為研 究中所分析、歸納的結果：
(一) 二進位數轉換十進位數規律
從研究二中「二的次方、二進位數與十進位數關係分析表」我們可以 發現並歸納以下幾個規律：
1. 二進位數的位值包含有 20時，轉換十進位數 ( 20 = 1) 時必定為奇數 ( 1、
3、5、7……)。反之，若二進位數的位值不包含 20時，轉換十進位數時 必定為偶數 ( 2、4、6、8……)。
2. 二進位數的位值包含有 20及 2n兩個位值時，轉換十進位數時必定為 2n
+ 1。例如： 20 + 21 =1 + 2 = 3 20 + 22 =1 + 4 = 5 20 + 23 =1 + 8 = 9
3. 二進位數的位值包含有 20到 2n的全部位值時，轉換十進位數時必定為 2n+1 - 1。例如：
20 + 21 = 3 = 21+1 – 1 = 4 - 1 20 + 21 + 22 = 7 = 22+1 – 1 = 8 - 1 20 + 21 + 22 + 23 = 15 = 23+1 – 1 =16 - 1
4. 二進位數的位值包含有 21及 2n兩個位值時，轉換十進位數時必定為 2n + 2。例如： 21 + 22 = 2 + 4 = 6
21 + 23 = 2 + 8 = 10 21 + 24 = 2 + 16 = 18
5. 二進位數的位值包含有 2n位值時，轉換十進位數時最大值可以計算到 2n+1 -1 的數字，例如：包含 23位值時，轉換十進位數時(23 = 8)最大值可 以計算到 23+1 -1 = 24 – 1 = 16 - 1 = 15；包含 25位值時，轉換十進位數 時(25 = 16)最大值可以計算到 25+1 -1 = 26 – 1 = 64 - 1 = 63，以此類推。
(二) 二進位數轉換十進位數與魔術卡的關係
從研究二中「魔術數字卡與二的次方、二進位數與十進位數關係分析 表」我們可以發現並歸納以下幾個規律：
1. 魔術數字卡中所包含的數字全部可以對應到二的次方、二進位數與十
進位數之間的關係，即數字卡 A 對應到 20與十進位數所換算的欄位、
數字卡 B 對應到 21的欄位、數字卡 C 對應到 22的欄位，以此類推。
2. 二進位魔術數字區間範圍在 1 ~ 2n - 1，則魔術數字卡製作張數為 n 張。
例如：魔術數字區間為 1 ~ 15，則製作數字卡為 4 張 (15 = 24 - 1) 魔術數字區間為 1 ~ 31，則製作數字卡為 5 張 (31 = 25 - 1) 魔術數字區間為 1 ~ 63，則製作數字卡為 6 張 (7 = 26 - 1) 以此類推，若需製作魔術數字區間為 1 ~ 127，則需製作 7 張數字
卡；製作魔術數字區間為 1 ~ 255，則需製作 8 張數字卡。若需製作猜 八位數電話號碼的數字區間( 1 ~ 99999999 )，則需製作 27 張卡(226 <
99999999 < 227)。
3. 包含 20 = 1 位值的魔術數字卡 A 全為奇數。若二進位魔術數字區間範 圍在 1 ~ 2n – 1，則魔術數字卡 A 上為 1、3、5……至 2n – 1，範例請 參考研究一之魔術數字卡 A。
4. 若二進位魔術數字區間範圍在 1 ~ 2n – 1，則最後一張魔術數字卡上包 含 2 n-1 到 2n – 1 的全部數字，範例請參考研究一之每組魔術數字卡最 後一張。
5. 若魔術數字區間範圍為 1 ~ 2n - 1 的魔術數字卡中數字的數量為 2n-1個。
例如：
區間為 1 ~ 15 ( 24 - 1 )，則魔術數字卡中數字的數量為 8 (24-1 = 23 )個 區間為 1 ~ 31 ( 25 - 1 )，則魔術數字卡中數字的數量為 16 (25-1 = 24 )個 區間為 1 ~ 63 ( 26 - 1 )，則魔術數字卡中數字的數量為 32(26-1 = 25 )個
以此類推，區間為 1 ~ 127 ( 27 - 1 )，則卡中數字的數量為 64 (27-1
= 26 )個、區間為 1 ~ 255 ( 28 - 1 )，則卡中數字的數量為 128 (28-1 = 27 ) 個。
四、二進位魔術變化的可能性
透過訪談及網路蒐尋等資料蒐集的方法，將蒐集到的魔術分類為猜純數字 型的魔術及對應所設計之魔術內容名稱的變化型魔術兩大類。如下表：
類型 魔術名稱
純數字型的魔術
猜生日、心電感應、猜幸運數字、猜座號、猜年齡、猜體重、猜 身高、猜西元年、猜電話號碼等
對應名稱的變化型魔術
猜星座、猜生肖、猜人名、猜物品、猜顏色、猜水果、猜英文字 母、猜注音符號、猜撲克牌、猜天干地支、猜情緒等
變化型魔術雖然將數字替換為其他名稱或符號，分析背後規則仍與二進位 魔術相同。延伸二進位魔術，之前已透過資料蒐尋發現有其他學校師長帶領同 學研究三進位魔術，那我們是否可以進一步可以探究：四進位魔術？五進位魔 術？除了用名稱替換數字的變化型魔術，有沒有可能在以數字運算為基礎的規 則中增加一些變因，研發不同類型的魔術呢？這些都是值得探究的方向。
陸、結論
經過一連串的操作、觀察、分析、蒐集資料與歸納整理後，我們破解了二進位魔術 的操作技巧與規則，更進一步分析二的次方、二進位數與十進位數的關係及可延伸的魔 術變化可能性。透過這次的研究過程我們更想到：有沒有可能延伸成四進位魔術、五進位 魔術呢？或是除了數字與不同種類的對應名稱魔術變化，有沒有可能發展添加其他變因 的變化魔術呢？對於魔術有興趣的我們，未來會繼續探究更多數學魔術的秘密，希望有 機會成為厲害的魔術士喔！
捌、參考文獻資料
一、中華民國第 49 屆中小學科學展覽會國小組數學科‧「魔術紙牌遊戲之數理探
究」
二、金門地區第 57 屆中小學科學展覽會‧「我懂你的心」
三、張正龍（2021 年 1 月 25 日）•魔科技：初次見面，就能猜中對方的生日！•取 自：https://www.cool3c.com/article/126935
四、數字系統（2021 年 2 月 26 日）•取自：
http://www.chwa.com.tw/TResource/VS/book1/ch2/2-5.htm 五、魔術數字卡（2021 年 2 月 26 日）•取自：
https://blog.xuite.net/wrb.unei/twblog/127909776-
%E9%AD%94%E8%A1%93%E6%95%B8%E5%AD%97%E5%8D%A1
