有趣的牽制數列

金門地區第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

科 別：數學科 組 別：高中組

作品名稱：有趣的牽制數列

關 鍵 詞：費氏數列、盧卡斯數列、遞迴關係式

編 號：

1

摘要

原始的問題：找出「𝑎² − 5 是𝑏的倍數，𝑏²− 5 是𝑎的倍數」的正整數解(𝑎, 𝑏)，其解恰 為Lucas(盧卡斯) 〈𝐿_𝑛〉的偶數項，即滿足(𝑎, 𝑏) = (𝐿_2𝑛, 𝐿_2𝑛+2)。於是，我們將原問題依序改 成「𝑎² − ℎ 是𝑏的倍數，𝑏²− ℎ 是𝑎的倍數」→ 「𝑎²+ ℎ 是𝑏的倍數，𝑏²+ ℎ 是𝑎的倍數」，

若將前者的首項設為ℎ − 1，則其正整數解(𝑎, 𝑏)會構成一數列且滿足

a

_n2

 ( h  2) a

_n1

 a

_n； 若將後者的首項𝑎₁設為1，第二項𝑎₂為ℎ + 1或是ℎ + 1的因數(1 除外)，則第三項以後的數字 可由遞迴式𝑎_𝑛+2 = (ℎ + 𝑥)𝑎_𝑛+1− 𝑎_𝑛導出，其中𝑥 =^𝑎3+𝑎1

𝑎2 − ℎ。

另外，前者的解數列對應一個廣義的費氏數列

b

_n2

 h 

4

b

_n1

 b

_n的偶數項，而後者的 一組解數列恰好是其奇數項。無獨有偶，後者的解數列也對應一個廣義的費氏數列

𝑏_𝑛+2 = √ℎ𝑏_𝑛+1+ 𝑏_𝑛的奇數項，而前者的一組解數列也恰好是其偶數項。

壹、研究動機

在「科學研習月刊」有定期刊出「森棚教官的數學題」，老師推薦我們研究其中一道數 學題目--互相牽制，我們很感興趣，便上網查了相關資料，發現已經有人研究出部分結果，

竟然與盧卡斯數列相關，剛好高一也有數列的課程，著手試算後，我們決定繼續推廣他們的 研究，看能否有更多不一樣的發現。

貳、研究目的

一、將[𝑎²− ℎ 是𝑏的倍數，𝑏²− ℎ 是𝑎的倍數]的正整數解(𝑎, 𝑏)寫成數列〈𝑎_𝑛〉，並觀察其規 律性(ℎ為任意正整數)。

二、依據上述問題在ℎ = 5時的解數列恰為盧卡斯數列的間格項，試著找出與其它解數列

〈𝑎_𝑛〉相對應的廣義費氏數列〈𝑏_𝑛〉及其關聯性。

三、將[𝑎²+ ℎ 是𝑏的倍數，𝑏²+ ℎ 是𝑎的倍數]的正整數解(𝑎, 𝑏)寫成數列〈𝑎_𝑛〉，並觀察其規 律性(ℎ為任意正整數)。

四、找出[𝑎²+ ℎ 是𝑏的倍數，𝑏²+ ℎ 是𝑎的倍數]的解數列〈𝑎_𝑛〉相對應的廣義費氏數列〈𝑏_𝑛〉及 其關聯性。

五、找出[𝑎²+ ℎ²是𝑏的倍數，𝑏²+ ℎ²是𝑎的倍數]的解數列〈𝑎_𝑛〉之間的關係，並觀察其規律 性(ℎ為任意正整數)。

2

參、研究設備及器材

紙、筆、計算機、Excel

肆、研究方法與過程

一、研究方法

(一)原題：小智跟小定在抽上台報告的順序，一個抽到 4 號，另一個抽到 11 號。小定說 ：「這兩個數字很有趣，你看，4²− 5 是 11 的倍數，而且11²− 5 是 4 的倍數」

小智說：「你也想太多了吧？這種數應該非常多才對，一點都不奇怪啊。」那你

可以找到多少組正整數對(𝑎, 𝑏)滿足{𝑎²− 5 是𝑏的倍數 𝑏² − 5 是𝑎的倍數？ (二)文獻探討：

1. 費氏數列與Lucas(盧卡斯)數列 (1)費氏數列〈𝐹_𝑛〉：

費氏數列〈𝐹_𝑛〉：1,1,2,3,5,8,13,21, ⋯，前兩項相加會等於下一項，即

{

𝐹₁ = 1 𝐹₂ = 1

𝐹_𝑛+2 = 𝐹_𝑛+1+ 𝐹_𝑛(𝑛 ≥ 1)

，其一般項為𝐹_𝑛 = ¹

√5[(^1+√5

2 )

𝑛

− (^1−√5

2 )

𝑛

]。

(2)Lucas(盧卡斯)數列〈𝐿_𝑛〉：

Lucas(盧卡斯)數列〈𝐿_𝑛〉：2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,521, ⋯，

與費氏數列〈𝐹_𝑛〉相似，前兩項相加會等於下一項，即

{

𝐿₀ = 2 𝐿₁ = 1

𝐿_𝑛+2 = 𝐿_𝑛+1+ 𝐿_𝑛(𝑛 ≥ 0)

，其一般項為𝐿_𝑛 = (^1+√5

2 )

𝑛

+ (^1−√5

2 )

𝑛

。

2. 李妙芸、張愷庭、李沛蓁。互相牽制─原來與 Lucas(盧卡斯)數列有關 (1)滿足「𝑎² − 5 是𝑏的倍數，𝑏² − 5 是𝑎的倍數」的正整數解(𝑎, 𝑏)恰為Lucas

3

(盧卡斯)數列〈𝐿_𝑛〉的部分項，即(𝑎, 𝑏) = (𝐿_2𝑛, 𝐿_2𝑛+2)，其中𝑛為自然數。

(2)原本只是一個小問題，沒想到竟然與Lucas(盧卡斯)數列〈𝐿_𝑛〉有關，讓我們認識 了一個新的數列，進而對Lucas(盧卡斯)數列作進一步的觀察研究，得到以下三

個性質，而性質二、三與斐波那契數列〈𝐹_𝑛〉有關，我們利用所學知識加以證明。

(ⅰ) 𝐿_𝑛²− 5 = {𝐿_𝑛−2∙ 𝐿_𝑛+2，𝑛 = 2𝑘 + 1

𝐿_𝑛−1∙ 𝐿_𝑛+1，𝑛 = 2𝑘 ，𝑘為自然數

(ⅱ) 對於任意自然數𝑛，𝐿_𝑛−1+ 𝐿_𝑛+1 = 5𝐹_𝑛。其中，斐波那契數列〈𝐹_𝑛〉 (ⅲ) 𝐿²_𝑛 − 𝐿²_𝑛−2 = 5 ∙ 𝐹_2𝑛−2，其中𝑛 ≥ 2且𝑛為自然數

(3)將原題的 5 改成完全平方數ℎ² (ℎ 為自然數)，討論並將滿足「𝑎²− ℎ²是𝑏的倍數，

𝑏²− ℎ²是𝑎的倍數」的正整數對(𝑎, 𝑏) = (𝑏_𝑖, 𝑏_𝑖+1)寫成數列 〈𝑏_𝑛〉，其中𝑖 ≥ 1。

證明得到滿足條件的數列〈𝑏_𝑛〉為等差數列，且𝑏_𝑛 = 𝑘 + (𝑛 − 1)ℎ，其中 𝑘 + ℎ > 𝑘 > ℎ > 0，且 𝑛 、ℎ 、𝑘 為自然數，以及此數列〈𝑏_𝑛〉有 ℎ 組。

3. 二階遞迴關係式的解法

[證明]

若以

a

_n2

 pa

_n1

 qa

_n

 0

…的特徵方程式

x

²

 px   q 0

的兩根為

  ,

， 則根據根與係數的關係：

     p

、

  q

，

故式可變形如下：

a

_n2

 (    ) a

_n1

  a

_n

 0

…

二階遞迴關係式

a

_n2

 pa

_n1

 qa

_n

 0

的解法

滿足遞迴關係式

a

_n2

 pa

_n1

 qa

_n

 0

…、

a

₁

 a a ,

₂

 b

…的數列

 a

_n



的一般項為

(1)當

  

時，

a

_n

^{b a}  

^{n 1}

^{b a}  

^{n 1}

   

 

 

 

 

…

(2)當

  

時，

a

_n

 a 

^n1

 

(

n

1)(

b a   

) ^n2 …

其中， 為的特徵方程式 的兩根。

4

然後將式變形成下面兩式： ^{2 1 1}

2 1 1

( )

( )

n n n n

n n n n

a a a a

a a a a

  

  

  

  

  

    



…

將的兩式各自重複使用後可得

1 1

1 2 1

1 1

1 2 1

( ) ( )

( ) ( )

n n

n n

n n

n n

a a a a b a

a a a a b a

    

    

 



 



     

 

    



…

(1)當 



時，將的兩式相減得

  a

_n

  a

_n

 

^n1

( b a    ) 

^n1

( b a   )

故

a

_n

^{b a}  

^{n 1}

^{b a}  

^{n 1}

 

^

 

^

 

 

 

。

(2)當 



時，由的第一式可得

a

_n1

  a

_n

 

^n1

( b  a  )

將式子兩邊同除以



^n1後得

^a

ⁿ_n¹₁

^a

ⁿ_n

^b

₂

^a



^

^  ^  ^ 

(定值) 可知

^a

ⁿ_n

  

為等差數列，∴

a

ⁿ_n

a ( 1)( b

₂

a )

 ^  ^ n ^  ^ 

再將此式的兩邊同乘以



ⁿ，即可得到

a

_n

 a 

^n1

  ( n 1)( b a    )

^n2。 二、研究過程

(一)[𝒂^𝟐− 𝒉是𝒃的倍數，𝒃^𝟐− 𝒉是𝒂的倍數] 的正整數解(𝒂, 𝒃)寫成數列〈𝒂_𝒏〉，並觀察其 規律性 (𝒉為任意正整數)

1. 我們找出了一些數列，列成以下表格：

條件：(1) 𝑎² > ℎ 且𝑎 ≠ 𝑏(只討論自然數) (2) 0 < 𝑎₁ < 𝑎₂ < 𝑎₃

ℎ值 算式與數列

4

a=3

3² − 4 =(1)(5) b=5 5²− 4 =(3)(7)

a=5 b=7

7² − 4 =(5)(9)

a=7 b=9

9² − 4 =(7)(11)

a=9 b=11

11² − 4 =(9)(13)

5

⋮ ⋮

〈3,5,7,9,11,13 ⋯ 〉

5

a=4

4² − 5 =(1)(11) b=11 11²− 5 =(4)(29)

a=11 b=29

29² − 5 =(11)(76)

a=29 b=76

76² − 5 =(29)(199)

a=76 b=199

199² − 5 =(76)(521) ⋮ ⋮

〈4,11,29,76,199,521, ⋯ 〉 6

a=5

5² − 6 =(1)(19) b=19 19²− 6 =(5)(71)

a=19 b=71

71² − 6 =(19)(265)

a=71 b=265

265² − 6 =(71)(989)

a=265 b=989

989² − 6 =(265)(3691) ⋮ ⋮

〈5,19,71,265,989,3691 ⋯ 〉

7

a=6

6² − 7 =(1)(29) b=29 29²− 7 =(6)(139)

a=29 b=139

139² − 7 =(29)(666)

a=139 b=666

666² − 7 =(139)(3191)

a=666 b=3191

3191² − 7 =(666)(15289) ⋮ ⋮

〈6,29,139,666,3191,15289 ⋯ 〉

2. 我們觀察以上數列發現了一些規律：

(1) 𝑎_𝑛²− ℎ = 𝑎_𝑛−1∙ 𝑎_𝑛+1(ℎ ≥ 4才能找到相應的數列)。

(2) 因為 𝑎₁²− ℎ = 1 ∙ 𝑎₂，所以我們假設𝑎₀ = 1，如此一來，只需要再找一項𝑎₁， 就能推出後面的數字，但因𝑎₀− ℎ是負數，所以不排入數列中。

6

(3) 數列的首項𝑎₁皆為ℎ − 1。

所以我們驗證得出：

[證明]

為了方便討論，我們定義：

n

為

m

的倍數

 m n

。

(1) 因為

a

₀

 1

，

a

₁

  h 1

，則

a

₀²

      h 1 h ( h 1)

，所以

a

₁

( a

₀²

 h )

。

又因為

1 ( a

₁²

 h )

，從而

a

₀

( a

₁²

 h )

。 (2) 因為

a

₂

 a

₁²

 h

，所以

a

₂

( a

₁²

 h )

。又

a

₂²

  h

(

a

₁²

 h

)²

  h a

₁⁴



2

ha

₁²

 h

²

  h a

₁⁴



2

ha

₁²

 ha

₁，從而

a a

₁

(

₂²

 h )

。 (3) 因為

a

_n²

  h a

_n1

 a

_n1，所以

a

_n1

( a

_n²

 h )

。又因為

a

_n1²

  h a

_n

 a

_n2，

所以

a

_n

( a

_n1²

 h )

，故

2

1 2

+1

n n

n n

a h a

a h a

 



 

 

為 的倍數

為 的倍數

。

3. 另外我們觀察所有數列𝑎_𝑛、𝑎_𝑛+1、𝑎_𝑛+2、ℎ之間的關係，發現𝑎_𝑛+2 = (ℎ − 2)𝑎_𝑛+1− 𝑎_𝑛 接著我們驗證這個遞迴式，結果成立，而有以下的定理：

[證明]

定理一 若數列

 a

_n



滿足

(1)

a

₀

 1

，

a

₁

  h 1

；(2)

a

₂

 a

₁²

 h

；(3)

a

_n²

  h a

_n1

 a

_n1(

n 

0)

且

a a h

₁

,

₂

,

為正整數時，則

2

1 2

+1

( 0)

n n

n n

a h a

n

a h a

 



 

 



為 的倍數

為 的倍數

。

定理二 若數列

 a

n



滿足

(1)

a

₁

  h 1

；(2)

a

2

 a

1²

 h

；(3)

a

_n2

 ( h  2) a

_n1

 a h

_n

(  4, n  1)

，

則𝒂_𝒏^𝟐− 𝒉 = 𝒂_𝒏−𝟏× 𝒂_𝒏+𝟏，推知{𝒂_𝒏^𝟐− 𝒉為𝒂_𝒏+𝟏的倍數

𝒂_𝒏+𝟏^𝟐 − 𝒉為𝒂_𝒏的倍數，

a

_n1

 a n

_n

(  1)

。

7

(1) 當

h 

4時，

a

_n2

 2 a

_n1

 a

_n

 a

_n2

 2 a

_n1

 a

_n

 0

，其特徵方程式為

x

²

 2 x   1 0

， 兩根

    1

。又

a

₁

   h 1 3

，

a

₂

 a

₁²

    h 3

²

4 5

，所以

b a      

5 3 1 2。 從而

a

_n

 a 

^n1

  ( n 1)( b a    )

^n2

  3 1

^n1

    ( n 1) 2 1

^n2

 2 n  1

。

推知

a

_n1

 2( n    1) 1 2 n  3

，

a

_n1

 2( n    1) 1 2 n  1

。

因此

a

_n²

  4 (2 n  1)

²

  4 4 n

²

 4 n   3 (2 n  1)(2 n   1) a

_n1

 a

_n1。

所以

a

_n²

  4 a

_n1

 a

_n1

 a

_n1

( a

_n²

 4)

，同理

a

_n1²

  4 a

_n

 a

_n2

 a

_n

( a

_n1²

 4)

。 又因為

a

_n1

 a

_n

 (2 n   3) (2 n   1) 2( n  1)

，所以

a

_n1

 a n

_n

(  1)

。

(2) 當

h 

5時，

a

_n2

 3 a

_n1

 a

_n

 a

_n2

 3 a

_n1

 a

_n

 0

，

其特徵方程式為

x

²

 3 x   1 0

，兩根

^{3 5} , ^{3 5}

2 2

  ^   ^

，推知

    5

。

又

a

₁

   h 1 4

，

a

₂

 a

₁²

  h 4

²

  5 11

，

所以

11 4 ^{3 5} 11 (6 2 5) 5 2 5 b  a     ^ 2     

，

11 4 ^{3 5} 11 (6 2 5) 5 2 5

b  a     ^ 2     

。

從而 ^{1 1}

^{5 2 5 3} ( ⁵ )

¹

^{5 2 5 3} ( ⁵ )

¹

2 2

5 5

n n n n

n

b a b a

a    

 

^

 

^{  }

     

   

 

( 5 2)( ^{3 5} )

¹

( 5 2)( ^{3 5} )

¹

2 2

n n

 

   

推知 ₁

( 5 2)( ^{3 5} ) ( 5 2)( ^{3 5} )

2 2

n n

a

n_

     

，

₁

( 5 2)( ^{3 5} )

²

( 5 2)( ^{3 5} )

²

2 2

n n

a

n_

  

^

  

^ 。

8

因此 ²

5 [( 5 2)( ^{3 5} )

¹

( 5 2)( ^{3 5} )

^{1 2}

] 5

2 2

n n

a

n

   

^

  

^



( 5 2) (

²

^{3 5} )

^{2 2}

( 5 2) (

²

^{3 5} )

^{2 2}

2 1 1

¹

5

2 2

n n n

 

       

(9 4 5)( ^{3 5} )

^{2 2}

(9 4 5)( ^{3 5} )

^{2 2}

7

2 2

n n

 

    

。

又

1 1

2 2

3 5 3 5 3 5 3 5

[( 5 2)( ) ( 5 2)( ) ][( 5 2)( ) ( 5 2)( ) ]

2 2 2 2

n n

n n n n

a

_

a

_

 



   

      

( 5 2) (

²

^{3 5} )

^{2 2}

( 5 2) (

²

^{3 5} )

^{2 2}

1 1

²

[( ^{3 5} )

²

( ^{3 5} ) ]

²

2 2 2 2

n n n

   

       

(9 4 5)( ^{3 5} )

^{2 2}

(9 4 5)( ^{3 5} )

^{2 2}

1 1

²

[ ^{14 6 5 14 6 5} ]

2 2 4 4

n n n

   

       

(9 4 5)( ^{3 5} )

^{2 2}

(9 4 5)( ^{3 5} )

^{2 2}

7

2 2

n n

 

    

。

所以

a

_n²

  5 a

_n1

 a

_n1

 a

_n1

( a

_n²

 5)

，同理

a

_n1²

  5 a

_n

 a

_n2

 a

_n

( a

_n1²

 5)

。 又因為

₁

( 5 2)( ^{3 5} )

¹

[ ^{3 5} 1] ( 5 2)( ^{3 5} )

¹

[ ^{3 5} 1]

2 2 2 2

n n

n n

a

_

a 

^

 

^



      

( 5 2)( ^{3 5} )

¹

( ^{1 5} ) ( 5 2)( ^{3 5} )

¹

( ^{5 1} ) 0

2 2 2 2

n n

   

    

所以

a

_n1

 a n

_n

(  1)

。

(3) 當

h 

4時，

a

_n2

 ( h  2) a

_n1

 a

_n

 a

_n2

  ( h 2) a

_n1

 a

_n

 0

其特徵方程式為

x

²

  ( h 2) x   1 0

，兩根

2 2

( 2) 4 ( 2) 4

2 , 2

h h h h h h

  ^{  }   ^{  }

，

9

推知

    h

²

 4 h

。又

a

₁

  h 1

，

a

₂

 a

₁²

   h ( h 1)

²

  h h

²

 3 h  1

，

所以

2

2 ( 2) 4

( 3 1) ( 1)

2

h h h

b a    h  h     h ^{  }

2 2 2 2

2 ( 3 2) ( 1) 4 ( 3 ) ( 1) 4

( 3 1)

2 2

h h h h h h h h h h

h h         

    

，

2

2 ( 2) 4

( 3 1) ( 1)

2

h h h

b a    h  h     h ^{  }

2 2 2 2

2 ( 3 2) ( 1) 4 ( 3 ) ( 1) 4

( 3 1)

2 2

h h h h h h h h h h

h h         

    

。

從而

2 2 2

1 1 1

2

2 2 2

1 2

( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4

[ ]

2 4 2

( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4

[ ]

2 4 2

n n n

n

n

b a b a h h h h h h h h

a

h h

h h h h h h h h

h h

   

   

  



        

  

  

      

 

推知

2 2 2 2 2 2

1 2 2

( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4 ( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4

[ ] [ ]

2 2

2 4 2 4

n n

n

h h h h h h h h h h h h h h h h

a

h h h h



             

 

 

2 2 2 2 2 2

2 2

1 2 2

( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4 ( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4

[ ] [ ]

2 2

2 4 2 4

n n

n

h h h h h h h h h h h h h h h h

a

h h h h

 



             

 

 

因此

2 2 2

2 1

2

2 2 2

1 2 2

( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4

{ [ ]

2 4 2

( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4

[ ] }

2 4 2

n n

n

h h h h h h h h

a h

h h

h h h h h h h h

h

h h





      

  

      

 



10

2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

1 2

( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4

[ ] [ ]

2 4 2

( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4

[ ] [ ]

2 4 2

( 3 ) ( 1) ( 4 ) ( 2) ( 4 )

2 [ ]

4( 4 ) 4

n

n

n

h h h h h h h h

h h

h h h h h h h h

h h

h h h h h h h h

h h h







      

 

      

 

      

   



2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 2 2 1

2

( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4

[ ] [ ]

2 4 2

( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4 1

[ ] [ ] 2 1

2 4

2 4

n

n n

h h h h h h h h

h h

h h h h h h h h

h h

h h



 

      

 

      

    

 

2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 2 2 2

2

( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4

[ ] [ ]

2 4 2

( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4 1

[ ] [ ] ( 4 2)

2 4

2 4

n

n

h h h h h h h h

h h

h h h h h h h h

h h

h h h





      

 

      

   

 

又

1 1

2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 2 2

2

2 2

2 2 2

( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4

[ ] [ ]

2 4 2

( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4

[ ] [ ]

2 4 2

1 ( 2) 4 ( 2) 4

1 {[ ] [ ] }

4 2 2

n n

n

n

n

a a

h h h h h h h h

h h

h h h h h h h h

h h

h h h h h h

h

 









      

 

      

 

     

   



2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 2 2 2

2

( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4

[ ] [ ]

2 4 2

( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4 1

[ ] [ ] ( 4 2)

2 4

2 4

n

n

h h h h h h h h

h h

h h h h h h h h

h h

h h h





      

 

      

   

 

所以

a

_n²

  h a

_n1

 a

_n1

 a

_n1

( a

_n²

 h )

，同理

a

_n1²

  h a

_n

 a

_n2

 a

_n

( a

_n1²

 h )

。

11

又因為

2 2 2 2

1

1 2

( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4 ( 2) 4

[ ][ ] [ 1]

2 2

2 4

n

n n

h h h h h h h h h h h

a a

h h





         

  



2 2 2 2

1 2

( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4 ( 2) 4

[ ][ ] [ 1]

2 2

2 4

h h h h h h h h

n

h h h

h h

      



  

 



2 2 2 2

1 2

( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4 ( 4) 4

[ ][ ] [ ]

2 2

2 4

h h h h h h h h

n

h h h

h h

      



  

 

2 2 2 2

1 2

( 3 ) ( 1) 4 ( 2) 4 ( 4) 4

[ ][ ] [ ]>0

2 2

2 4

h h h h h h h h

n

h h h

h h

      



  

 

所以

a

_n1

 a n

_n

(  1)

。

(二)依據𝒉 = 𝟓時的解數列為盧卡斯數列的部分項，找出與其它數列〈𝒂_𝒏〉相對應的廣義費氏數 列〈𝒃_𝒏〉及其關聯性。

已知：

ℎ=5 的數列〈𝑎_𝑛〉 𝑎₀ 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃

費氏數列 (盧卡斯) 〈𝑏_𝑛〉

𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃ 𝑏₄ 𝑏₅ 𝑏₆ 𝑏₇ 𝑏₈

2 1 3 4 7 11 18 29

𝑏₈ = 𝑏₇+ 𝑏₆ = 2𝑏₆+ 𝑏₅ = 3𝑏₆− 𝑏₄ 則：𝑎₃ = 3𝑎₂− 𝑎₁

所以我們得知ℎ = 5符合遞迴式：𝑎_𝑛+2 = (ℎ − 2)𝑎_𝑛+1− 𝑎_𝑛，代表只有ℎ = 5的數列

〈𝑎_𝑛〉，可以從前兩項相加等於後一項的費氏數列中，間隔找到數列〈𝑎_𝑛〉的值。

我們猜測其它數列也會與廣義費氏數列〈𝑏_𝑛〉有關：當ℎ = 5時，𝑏₈ = 1 ∙ 𝑏₇ + 𝑏₆，若𝑏₈ = 2 ∙ 𝑏₇+ 𝑏₆是否會符合ℎ等於其它數字的數列？

12

ℎ=? 的數列〈𝑎_𝑛〉 𝑎₀ 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃

廣義費氏數列〈𝑏_𝑛〉 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃ 𝑏₄ 𝑏₅ 𝑏₆ 𝑏₇ 𝑏₈

𝑏₈ = 2𝑏₇+ 𝑏₆ = 5𝑏₆+ 2𝑏₅ = 6𝑏₆− 𝑏₄ 則 𝑎₃ = 6𝑎₂− 𝑎₁

得 ℎ = 8，代表ℎ = 8可以從兩倍前一項加前二項等於後一項的遞迴數列中找到數列〈𝑎_𝑛〉 的值。

那麼ℎ等於其它數字時，相對應數列〈𝑏_𝑛〉的規律性為何？

數列〈𝑎_𝑛〉 𝑎₀ 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃

廣義費氏數列〈𝑏_𝑛〉 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃ 𝑏₄ 𝑏₅ 𝑏₆ 𝑏₇ 𝑏₈

假設 𝑏_𝑛+2 = 𝑥 ∙ 𝑏_𝑛+1+ 𝑏_𝑛：

則 𝑏₈ = 𝑥𝑏₇+ 𝑏₆ = (𝑥²+ 1)𝑏₆+ 𝑥𝑏₅ = (𝑥²+ 2)𝑏₆− 𝑏₄ 推知 𝑎₃ = (𝑥²+ 2)𝑎₂− 𝑎₁

依公式得知：ℎ − 2 = 𝑥²+ 2，ℎ − 4 = 𝑥²。 所以我們列出下表：

𝑥 廣義費氏數列規律

ℎ = 1 X X

ℎ = 2 X X

ℎ = 3 X X

ℎ = 4 X X

ℎ = 5 𝑥 = 1 𝑏_𝑛+2 = 1𝑏_𝑛+1+ 𝑏_𝑛

13

ℎ = 6 𝑥 = √2 𝑏_𝑛+2 = √2𝑏_𝑛+1+ 𝑏_𝑛 ℎ = 7 𝑥 = √3 𝑏_𝑛+2 = √3𝑏_𝑛+1+ 𝑏_𝑛 ℎ = 8 𝑥 = 2 𝑏_𝑛+2 = 2𝑏_𝑛+1+ 𝑏_𝑛 ℎ = 9 𝑥 = √5 𝑏_𝑛+2 = √5𝑏_𝑛+1+ 𝑏_𝑛 ℎ = 10 𝑥 = √6 𝑏_𝑛+2 = √6𝑏_𝑛+1+ 𝑏_𝑛 ℎ = 11 𝑥 = √7 𝑏_𝑛+2 = √7𝑏_𝑛+1+ 𝑏_𝑛 ℎ = 12 𝑥 = √8 𝑏_𝑛+2 = √8𝑏_𝑛+1+ 𝑏_𝑛 ℎ = 13 𝑥 = 3 𝑏_𝑛+2 = 3𝑏_𝑛+1+ 𝑏_𝑛

可得：

[證明]

設

b

_n2

 xb

_n1

 b h

_n

(  5, n  1)

，則

b

₃

 xb

₂

 b

₁，

b

₄

 xb

₃

 b

₂，

b

₅

 xb

₄

 b

₃。 推知

b

₅

 x xb

( ₃

 b

₂)

  b

₃ (

x

²



1)

b

₃

 xb

₂



(

x

²



1)

b

₃



(

b

₃

 b

₁)



(

x

²



2)

b

₃

 b

₁。 所以

b

₅



(

x

²



2)

b

₃

   b

₁

a

₃ (

x

²



2)

a

₂

 a

₁，和

a

₃

 ( h  2) a

₂

 a

₁比較係數，

推得

x

²

    2 h 2 x

²

  h 4

，故

x  h 

4(

h 

5)， 從而

b

_n2

 h 

4

b

_n1

 b h

_n(



5,

n 

1)。

(1)

h 

5時，

b

_n2

 b

_n1

 b

_n，

因為

b

₄

  a

₁ 4,

b

₆

 a

₂



4²

 

5 11，所以

b

₅

     b

₆

b

₄

11 4 7

， 定理三 若數列

 b

_n



的偶數項形成一數列

 a

_n



，且

(1)

a

₀

 1

,

a

₁

  h 1

；(2)

a

2

 a

1²

 h

；(3)

a

_n2

 ( h  2) a

_n1

 a h

_n

(  5, n  1)

， 則

b

_n2

 h 

4

b

_n1

 b h

_n(



5,

n 

1)且𝒃_𝟏 = ^𝟐

√𝒉−𝟒。

14

推知

 b

_n

 2,1,3, 4, 7,11,18, 29, 47, 76,123,199, 

為盧卡斯(Lucas)數列。

此時

 a

_n

 4,11, 29, 76,199, 

且𝑏₁ = ²

√1。 (2)

h 

6時，

b

_n2



2

b

_n1

 b

_n，

因為

b

₄

  a

₁ 5,

b

₆

 a

₂

  

5² 6 19，所以 ₅ ^{6 4}

^{19 5 14} 7 2

2 2 2

b b

b  

   

，

推知

 b

_n



2,1, 2 2,5, 7 2,19, 26 2, 71,97 2, 265,362 2,989,



， 此時

 a

_n

 5,19, 71, 265,989, 

且𝑏₁ = ²

√2。

(3)

h 

7時，

b

_n2



3

b

_n1

 b

_n，

因為

b

₄

  a

₁ 6,

b

₆

 a

₂

  

6² 7 29，所以 ₅ ^{6 4}

^{29 6 23}

3 3 3

b b

b     

，

推知

2 3 5 3 23 23 23 23

,1, , 6, , 29, 29 3,139, 168 3, 666, 834 3, 3191,

3 3 3 3 3 3

b

n

     

，

此時

 a

_n

 6, 29,139, 666,3191, 

且𝑏₁ = ²

√3。

(4)

h 

8時，

b

_n2

 2 b

_n1

 b

_n，

因為

b

₄

  a

₁ 7,

b

₆

 a

₂



7²

 

8 41，所以 ₅ ^{6 4}

^{41 7} 17

2 2

b b

b     

，

推知

 b

_n

 1,1,3, 7,17, 41,99, 239,577,1393,3363,8119, 

， 此時

 a

_n

 7, 41, 239,1393,8119, 

且𝑏₁ = ²

√4。 從中我們發現：(ⅰ)

b

_n2

 h 

4

b

_n1

 b

_n且𝑏₁ = ²

√ℎ−4。

(ⅱ)

h  m

²

 4

時，

b

_n2

 h 

4

b

_n1

  b

_n

mb

_n1

 b m

_n( 為正整數 。 )

15

因此，我們想找出除了ℎ=5 之外，其他完整數列〈𝑏_𝑛〉的𝑏₁和𝑏₃值：

ℎ=5 的數列〈𝑎𝑛〉 𝑎₀ 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃

費氏數列 (盧卡斯) 〈𝑏_𝑛〉

𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃ 𝑏₄ 𝑏₅ 𝑏₆ 𝑏₇ 𝑏₈

2 1 3 4 7 11 18 29

ℎ=6 的數列〈𝑎𝑛〉 𝑎₀ 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃

廣義費氏數列 〈𝑏_𝑛〉

𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃ 𝑏₄ 𝑏₅ 𝑏₆ 𝑏₇ 𝑏₈

√2 1 2√2 5 7√2 19 26√2 71

ℎ=7 的數列〈𝑎_𝑛〉 𝑎₀ 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃

廣義費氏數列

〈𝑏_𝑛〉

𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃ 𝑏₄ 𝑏₅ 𝑏₆ 𝑏₇ 𝑏₈ 2

√3

1 5

√3

6 23

√3

29 110

√3

139

ℎ=8 的數列〈𝑎_𝑛〉 𝑎₀ 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃

廣義費氏數列

〈𝑏_𝑛〉

𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃ 𝑏₄ 𝑏₅ 𝑏₆ 𝑏₇ 𝑏₈

1 1 3 7 17 41 99 239

並發現當〈𝑏_𝑛〉關係為𝑏_𝑛+2= 𝑥𝑏_𝑛+1+ 𝑏_𝑛 時，若𝑥 = √ℎ − 4，則𝑏₁ = ²

√ℎ−4。 理由如下： 因為 𝑏₃ = (√ℎ − 4)𝑏₂ + 𝑏₁，𝑏₄ = (√ℎ − 4)𝑏₃+ 𝑏₂，所以 𝑏₃ = ^{𝑏4−𝑏2}

√ℎ−4

推知 ^{𝑏4−𝑏2}

√ℎ−4 = (√ℎ − 4)𝑏2+ 𝑏₁，將𝑏₂ = 1、𝑏₄= ℎ − 1 代入公式 得 ^{(ℎ−1)−1}

√ℎ−4 = (√ℎ − 4) + 𝑏1

⟹ ℎ − 2 = (√ℎ − 4)²+ 𝑏₁√ℎ − 4，故𝑏₁ = ²

√ℎ−4。

16

(三)[𝒂^𝟐+ 𝒉是𝒃的倍數，𝒃^𝟐+ 𝒉是𝒂的倍數]的正整數解(𝒂, 𝒃)寫成數列〈𝒂_𝒏〉，並觀察其規律 性(𝒉為任意正整數)。

1. 我們一樣列成表格：

條件：(1) 𝑎² > ℎ 且𝑎 ≠ 𝑏(只討論自然數) (2) 0 < 𝑎₁ < 𝑎₂ < 𝑎₃

ℎ值 算式與數列

1

a=1

1² + 1 =(1)(2) b=2 2²+ 1 =(1)(5)

a=2 b=5

5² + 1 =(2)(13)

a=5 b=13

13² + 1 =(5)(34)

a=13 b=34

34² + 1 =(13)(89) ⋮ ⋮

〈1,2,5,13,34,89 ⋯ 〉 2

a=1

1² + 2 =(1)(3) b=3 3²+ 2 =(1)(11)

a=3 b=11

11² + 2 =(3)(41)

a=11 b=41

41² + 2 =(11)(153)

a=41 b=153

153² + 2 =(41)(571) ⋮ ⋮

〈1,3,11,41,153,571 ⋯ 〉 3

a=1

1² + 3 =(1)(4) b=4 4²+ 3 =(1)(19)

a=4 b=19

19² + 3 =(4)(91)

a=19 b=91

91² + 3 =(19)(436)

a=91 b=436

436² + 3 =(91)(2089) ⋮ ⋮

a=1

1² + 3 =(2)(2) b=2 2²+ 3 =(1)(7)

17

a=2 b=7

7² + 3 =(2)(26)

a=7 b=26

26² + 3 =(7)(97)

a=26 b=97

97² + 3 =(26)(362) ⋮ ⋮

〈1,4,19,91,436,2089 ⋯ 〉

〈1,2,7,26,97,362 ⋯ 〉 4 〈1,5,29,169,985,5741 ⋯ 〉

〈2,4,10,26,68,178 ⋯ 〉 5 〈1,6,41,281,1926,13201 ⋯ 〉

〈1,2,9,43,206,987 ⋯ 〉

〈1,3,14,67,321,1538 ⋯ 〉

〈2,3,7,18,47,123 ⋯ 〉 6 〈1,7,55,433,3409,26839 ⋯ 〉 7 〈1,8,71,631,5608,49841 ⋯ 〉

〈1,2,11,64,373,2174 ⋯ 〉

〈1,4,23,134,781,4552 ⋯ 〉 8 〈1,9,89,881,8721,86329 ⋯ 〉

〈1,3,17,99,577,3363 ⋯ 〉

〈2,6,22,82,306,1142 ⋯ 〉 9 〈1,10,109,1189,12970,141481 ⋯ 〉

〈1,2,13,89,610,4181 ⋯ 〉

〈1,5,34,233,1597,10946 ⋯ 〉

2. 我們觀察以上數列發現了一些規律：

(1) 𝑎_𝑛²+ ℎ = 𝑎_𝑛−1∙ 𝑎_𝑛+1(ℎ ≥ 1就能找到相應的數列)。