基礎數論

基礎數論

數

數論 基 數 數 ,

數 . 基 , 數論

. 數論 ( ) ,

Silverman A Friendly Introduction to Number Theory (Prentice Hall, Third Edition

2006). .

v

Chapter 7

略談 Diophantine Equations

Diophantine equations . 言

f (x₁, . . . , x_n) 數 數 , f (x₁, . . . , x_n) = 0 數 Dio-

phantine equation . 數 , Diophantine equations

congruence equations . 前 論

論 Diophantine equations. 前

, 談論 Diophantine equations.

7.1. Diophantine Equations

Diophantine equations . Diophantine equations .

congruence . Diophantine equation

f (x₁, . . . , x_n) = 0 數 , m∈ N modulo m f (x₁, . . . , x_n)≡ 0 (mod m)

. m f (x1, . . . , xn)≡ 0 (mod m) , Diophantine

equation f (x₁, . . . , x_n) = 0 .

Proposition 7.1.1. f (x1, . . . , x_n) n 數 數 . m∈ N f (x1, . . . , xn)≡ 0 (mod m) , f (x1, . . . , xn) = 0 數 .

Proof. x₁ = c₁, . . . , x_n = c_n f (x₁, . . . , x_n) = 0 數 . f (c1, . . . , cn) = 0, f (c1, . . . , cn)≡ 0 (mod m), x1 ≡ c1 (mod m), . . . , xn ≡ cn

(mod m) f (x₁, . . . , x_n)≡ 0 (mod m) . f (x₁, . . . , x_n)≡ 0 (mod m)

f (x1, . . . , xn) = 0 數 . 

89

Proposition 7.1.1 m∈ N f (x₁, . . . , x_n)≡ 0 (mod m) , f (x1, . . . , x_n) = 0 數 . m∈ N f (x1, . . . , x_n)≡ 0 (mod m)

, f (x1, . . . , xn) = 0 數 . , .

Example 7.1.2. Diophantine equation 11x²− 7y²= 2. modulo 11 ,

−7y²≡ 2 (mod 11). −7 × 3 ≡ 1 (mod 11), −7y²≡ 2 (mod 11) 3 y²≡ 6 (mod 11). Legendre symbol

( 6 11

)

= ( 2

11 )( 3

11 )

. 11≡ 3 (mod 8) Theorem 5.4.3

( 2 11

)

=−1 Theorem 5.4.6

( 3 11

)

=− (11

3 )

=− (2

3 ) ( = 1.

6 11

)

=−1, y²≡ 6 (mod 11) . 言 , 11x²− 7y²− 2 ≡ 0 (mod 11) , Proposition 7.1.1 11x²− 7y²= 2 數 .

11x²− 7y²= 2 modulo 7 , 11x²≡ 2 (mod 7).

11× 2 ≡ 1 (mod 7), 11x²≡ 2 (mod 7) 2 x²≡ 4 (mod 7). x≡ 2

(mod 7) , 前 11x²− 7y²= 2 數 . ,

m∈ N f (x1, . . . , xn)≡ 0 (mod m) , 言 f (x₁, . . . , xn) = 0 . , 數 m, f (x₁, . . . , x_n)≡ 0 (mod m) ,

f (x₁, . . . , x_n) = 0 數 ? , .

Example 7.1.3. f (x) = (x²−17)(x²−19)(x²−323) Diophantine equation f (x) = 0.

Diophantine equation 數 . , m∈ N, f (x) ≡ 0

(mod m) .

Corollary 4.4.3 m∈ N, f (x) ≡ 0 (mod m) ,

數 p n∈ N, f (x) ≡ 0 (mod pⁿ) .

p = 2, n = 1 , f (x)≡ (x²−1)³ (mod 2), f (x)≡ 0 (mod 2) . p = 2, n = 2 , f (x)≡ (x²− 1)(x²− 3)² (mod 4), f (x)≡ 0 (mod 4) . p = 2, n≥ 3 , 17≡ 1 (mod 8), Proposition 5.2.1 x²≡ 17 (mod 2ⁿ) , f (x) = (x²− 17)(x²− 19)(x²− 323) ≡ 0 (mod 2ⁿ) .

p = 17 17≡ 1 (mod 8), Theorem 5.4.3 x²≡ 19 ≡ 2 (mod 17) . Proposition 5.2.4 n∈ N, x² ≡ 19 (mod 17ⁿ) . f (x)≡ 0 (mod 17ⁿ) . p = 19 , 17≡ 1 (mod 8)

(17 19

)

= (19

17 )

= ( 2

17 )

= 1, x²≡ 17 (mod 19) . Proposition 5.2.4 n∈ N, x²≡ 17 (mod 19ⁿ) . f (x)≡ 0 (mod 19ⁿ) .

p 數 p̸= 17,19 , x²≡ 17 (mod p) , Proposition 5.2.4 n∈ N, x²≡ 17 (mod pⁿ) . f (x)≡ 0 (mod pⁿ) .

x²≡ 19 (mod p) , n∈ N, f (x) ≡ 0 (mod pⁿ) . x²≡ 17 (mod p) x²≡ 19 (mod p) ,

(17 p

)

= (19

p )

=−1,

(232 p

)

= (17

p )(19

p )

= 1

7.1. Diophantine Equations 91

x²≡ 232 (mod p) , n∈ N, x²≡ 232 (mod pⁿ) . f (x)≡ 0

(mod pⁿ) .

, 數 p n∈ N, f (x) ≡ 0 (mod pⁿ) .

m∈ N, f (x) ≡ 0 (mod m) . f (x) = 0 數 .

, congruence Diophantine equation .

Diophantine equation 數 , congruence

. m∈ N modulo m ,

Diophantine equation 數 . Diophantine equation ,

congruence , Diophantine equation

.

descent . Diophantine equation

數 . 數 well-ordering principle. :

Diophantine equation f (x₁, . . . , x_n) = 0 數 x₁= c₁, . . . , x_i= c_i, . . . , x_n= c_n . x1= c₁, . . . , x_i= c_i, . . . , x_n= c_n 數 數 x1= c^′₁, . . . , xi= c^′_i, . . . , xn= c^′_n, i∈ {1,...,n} c^′_i< ci, x1= c^′₁, . . . , x_i= c^′_i, . . . , x_n= c^′_n 數 數 x₁= c^′′₁, . . . , x_i= c^′′_i, . . . , x_n= c^′′_n

c^′′_i < c^′_i. 數數 ci> c^′_i> c^′′_i >···

數 well-ordering principle , f (x₁, . . . , x_n) = 0 數 .

descent Diophantine equation 數 .

descent .

Example 7.1.4. √

2 數, x²− 2y²= 0 diophantine

equation 數 . descent x²− 2y²= 0 數 .

x = c1, y = d1 x²− 2y²= 0 數 . c²₁= 2d₁², c1

數, c₂∈ N c₁= 2c₂. 4c²₂= 2d₁², 2c²₂= d₁². d₁ 數, d2∈ N d1= 2d₂. 2c²₂= 4d₂², c²₂= 2d₂². x = c2, y = d₂

x²− 2y²= 0 數 . x = c1, y = d1 數 x = c2, y = d2

數 c₁= 2c₂> c₂, descent x²− 2y²= 0 數 .

. descent Diophantine equation

數 “ ” 數 , Diophantine

equation 數 . 數 “ ” 數

論. x = 8, y = 6, z = 10 x²+ y²= z² 數 , x, y, z 2 x = 4, y = 3, z = 5 x²+ y²= z² 數 ,

, 論. x²+ y²= z² 數 ,

descent .

7.2. Pythagorean Triple Fermat’s Last Theorem .

數 數 Pythagorean triple. 言 , Diophantine

equation x²+y²= z² 數 Pythagorean triple. Pythagorean

triples Fermat’s Last Theorem .

7.2.1. Pythagorean Triples. Pythagorean triples.

, Pythagorean triple

Pythagorean triple . Pythagorean triples

Pythagorean triples Pythagorean triples.

? x²+ y²= z² 數 . x = 0

y = 0 x²= z² y²= z² Diophantine equation ;

數 數 , 數 .

, x²+ y²= z² 數

數 . x = 3, y = 4, z = 5 數 , λ ∈ N, x = 3λ,y = 4λ,z =

5λ 數 . Pythagorean triples.

Pythagorean triple . Pythagorean

triple “ ” Pythagorean triple. 數 1

Pythagorean triple. Pythagorean triple 數

1 Pythagorean triple. x = a, y = b, z = c Pythagorean triple gcd(a, b, c) = d, a^′, b^′, c^′∈ N a = da^′, b = db^′, c = dc^′ gcd(a^′, b^′, c^′) = 1.

a²+ b²= c² a^′2+ b^′2= c^′2, x = a^′, y = b^′, z = c^′ 數 1

Pythagorean triple. 數 1 Pythagorean triple .

x = a, y = b, z = c 數 1 Pythagorean triple,

x = b, y = a, z = c 數 1 Pythagorean triple, x, y

. x, y .

x > y . .

. 數 Pythagorean triple x, y

數, z²= x²+ y² z 數, x, y, z 數 2.

x, y 數. x, y 數, x²≡ y²≡ 1 (mod 4).

x²+ y²≡ 2 (mod 4), x²+ y² 數, z²= x²+ y² z 數. z²≡ 0 (mod 4). 0≡ z²≡ x²+ y²≡ 2 (mod 4) . Pythagorean

triple 數 1, x y . Pythagorean

triple x 數 y 數. Pythagorean triples

.

Definition 7.2.1. a, b, c∈ N a²+ b²= c² gcd(a, b, c) = 1 a 數 b 數, a, b, c primitive Pythagorean triple.

7.2. Pythagorean Triple Fermat’s Last Theorem 93

primitive Pythagorean triples. primitive Pythagorean

triples , primitive Pythagorean triples

, primitive Pythagorean triples .

Theorem 7.2.2. primitive Pythagorean triple x, y, z m, n∈ N

m > n, gcd(m, n) = 1 m, n 數 數

x = m²− n², y = 2mn, z = m²+ n².

m, n∈ N m > n, gcd(m, n) = 1 m, n 數 數,

x = m²− n², y = 2mn z = m²+ n², x, y, z primitive Pythagorean triple.

Proof. x, y, z primitive Pythagorean triple. x²+ y²= z², y²= (z + x)(z− x). y 數 x, z 數, y/2,(z + x)/2 (z− x)/2 數 (y/2)²= ((z + x)/2)((z−x)/2). (z + x)/2 (z−x)/2 . 數 p (z + x)/2 (z−x)/2 數, p (z + x)/2 + (z−x)/2 = z (z + x)/2−(z−x)/2 = x

數. p|y²= z²− x², p|y, gcd(x, y, z) = 1 .

(z + x)/2 (z− x)/2 , (y/2)²= ((z + x)/2)((z− x)/2) (z + x)/2

(z− x)/2 數 , m, n∈ N m²= (z + x)/2 n²= (z− x)/2.

x = m²− n², y = 2mn, z = m²+ n².

m n, x > 0, m²− n²> 0, m > n. (z + x)/2 (z− x)/2 , gcd(m², n²) = 1, gcd(m, n) = 1. x = m²− n² 數, m n

數 數.

m, n∈ N m > n, gcd(m, n) = 1 m, n 數 數,

x = m²− n², y = 2mn z = m²+ n², x, y, z∈ N x²+ y²= z², x, y, z Pythagorean triple. primitive, gcd(x, y, z) = 1, x

數 y 數. y = 2mn y 數, m, n 數 數

x = m²− n² 數. gcd(x, y, z) = 1 gcd(x, y, z) > 1, gcd(x, y, z)

數 ( x 數) 數 p x, y, z 數. p z + x = 2m²

p z− x = 2n² p 數, p|m p|n. m, n ,

gcd(x, y, z) = 1. 

Theorem 7.2.2 primitive Pythagorean triple

數 m, n , 數 primitive Pythagorean triple.

m, n primitive

Pythagorean triples, m, n Pythagorean triple.

m, n m^′, n^′ 數 m > n m^′> n^′, m, n m^′, n^′

primitive Pythagorean triple. m²−n²= m^′2−n^′2 m²+ n²= m^′2+ n^′2. 2m²= 2m^′2, m, m^′ 數 m = m^′. n = n^′.

.

Corollary 7.2.3. primitive Pythagorean triple.

primitive Pythagorean triple m, n∈ N m > n, gcd(m, n) = 1 m, n 數 數 x = m²− n², y = 2mn, z = m²+ n².

7.2.2. Fermat’s Last Theorem. x²+ y²= z² 數 ,

x³+ y³= z³ 數 , 3 數 n, xⁿ+ yⁿ= zⁿ 數 .

Fermat n≥ 3 xⁿ+ yⁿ= zⁿ 數 .

, Fermat’s Last Theorem.

Fermat’s Last Theorem conjecture ( )

. 數 , 1995

. 數 論, Fermat

. Diophantine equation 論 數 ,

Diophantine equation 數 .

Fermat’s Last Theorem 3 數. n 數

p, n = pm, x = a, y = b, z = c xⁿ+ yⁿ= zⁿ 數 , a^pm+ b^pm= c^pm x = a^m, y = b^m, z = c^m x^p+ y^p= z^p 數 . 言 x^p+ y^p= z^p

數 , n = pm, xⁿ+ yⁿ= zⁿ 數 . n 數, n = 2^r,

r≥ 2 4|n, x⁴+ y⁴= z⁴ 數 , n = 2^r> 2, xⁿ+ yⁿ= zⁿ

數 . Fermat’s Last Theorem, 數 p, x^p+ y^p= z^p

數 , x⁴+ y⁴= z⁴ 數 . 前 數 ,

descent x⁴+ y⁴= z⁴ 數 .

x⁴+ y⁴= z⁴ Diophantine equation.

Proposition 7.2.4. x⁴+ y⁴= z² 數 .

Proof. descent x⁴+ y⁴= z² 數 . x = a₁, y = b₁, z = c₁

x⁴+ y⁴= z² 數 , 數 x = a2, y = b2, z = c2

c₁> c₂. 數 well-ordering principle , 數 .

x = a₁, y = b₁, z = c₁ x⁴+ y⁴= z² 數 . gcd(a₁, b₁) = d > 1, d|a1 d|b1 d⁴|a⁴₁+ b⁴₁= c²₁, d²|c1. x = a₁/d, y = b₁/d, z = c₁/d² x⁴+ y⁴= z²

數 c1/d²< c1.

x = a1, y = b1, z = c1 x⁴+ y⁴= z² 數 gcd(a1, b1) = 1.

gcd(a²₁, b²₁, c₁) = 1 ( gcd(a²₁, b²₁) = 1) x = a²₁, y = b²₁, z = c₁ x²+ y²= z². 前

論 primitive Pythagorean triple , a²₁ 數 b²₁ 數,

x = a²₁, y = b²₁, z = c1 primitive Pythagorean triple. Theorem 7.2.2 m, n∈ N m > n gcd(m, n) = 1

a²₁= m²− n², b²₁= 2mn, c₁= m²+ n².

7.3. 95

gcd(a₁, m, n) = 1 ( gcd(m, n) = 1), x = a₁, y = n, z = m x²+ y²= z², a₁

數 前 論 primitive Pythagorean triple n 數 ( m

數), x = a1, y = n, z = m primitive Pythagorean triple.

Theorem 7.2.2 u, v∈ N u > v gcd(u, v) = 1 a1= u²− v², n = 2uv, m = u²+ v².

, b1 n 數, b1= 2b^′₁ n = 2n^′. b²₁= 2mn

b^′2₁ = mn^′. gcd(m, n^′) = 1 m n^′ 數 , c₂, e∈ N m = c²₂ n^′= e². 2e^′2= 2n^′= n = 2uv gcd(u, v) = 1, u v

數 , a2, b2∈ N u = a²₂ v = b²₂. m = u²+ v² c²₂= (a²₂)²+ (b²₂)² x = a₂, y = b₂, z = c₂ x⁴+ y⁴= z² 數 . c₁= m²+ n²> m²= c⁴₂, x = a2, y = b2, z = c2 x⁴+ y⁴= z² 數 c2< c1. descent

. 

Proposition 7.2.4 x⁴+ y⁴= z² 數 ,

x⁴+ y⁴= z⁴ 數 . x = a, y = b, z = c x⁴+ y⁴= z⁴ 數 , x = a, y = b, z = c² x⁴+ y⁴= z² 數 . Proposition 7.2.4 ,

論.

Corollary 7.2.5. x⁴+ y⁴= z⁴ 數 . 7.3.

數論 , 數 數

. 數 數 ,

數 數 .

7.3.1. Sum of Two Squares. 數 數 ,

數 . n 數 , m∈ N n = m²,

n n = m²+ 0². 數 數

數 .

:

(a²+ b²)(c²+ d²) = (ac + bd)²+ (ad− bc)². (7.1)

, 數 .

z1= a + bi, z₂= d + ci∈ C ( C 數 , i∈ C i²=−1). z1, z₁ 數 z₁= a− bi,z2= d−ci |z1|²= z₁z₁= a²+ b² |z2|²= z₂z₂= c²+ d².

(a²+ b²)(c²+ d²) = z₁z1z2z2= z₁z2z1z2=|(ad − bc) + (ac + bd)i|²= (ac + bd)²+ (ad− bc)².

(7.1) .

Lemma 7.3.1. m, n∈ N 數 , mn 數 .

Proof. m = a²+ b² n = c²+ d², a, b, c, d∈ Z, (7.1) mn = (ac +

bd)²+ (ad− bc)². ac + bd, ad− bc ∈ Z mn 數 . 

Lemma 7.3.1 m, n 數 , mn

數 ; m, n 數 , mn

數 .

1 數 數 , Lemma 7.3.1

數 數 數 . 2 = 1²+ 1², 2

數 , 數 . Lemma 7.3.1

數 數 .

Lemma 7.3.2. p 數. a, b∈ Z a²+ b²=λ p, λ ∈ N

λ < p, p 數 .

Proof. S ={s ∈ N | u, v∈ Z u²+ v²= sp}. S , p

數 1∈ S. 1∈ S ? S

( λ ∈ S) S 數, 1∈ S S 1 (

數 well-ordering principle, S S ). m∈ S

S , m = 1.

, m̸= 1. λ ∈ S λ < p 1 < m < p. S m

數 . m∈ S, u, v∈ Z u²+ v²= mp, m 數

m 數 論.

(I) m 數: u²+ v²= mp 數, u, v ( u²+ v²

數), u + v u− v 數. (u + v)/2 (u− v)/2 數

(u + v

2 )²+ (u− v

2 )²= u² 2 +v²

2 =m 2p.

m/2∈ S m/2 < m, m S .

(II) m 數: m 數

{−m + 1

2 ,−m + 1

2 + 1, . . . , 0, 1, . . . ,m− 1

2 − 1,m− 1 2 }

complete residue system modulo m. c, d∈ Z c≡ u (mod m)

d≡ v (mod m), −(m − 1)/2 ≤ c,d ≤ (m − 1)/2. c d 0,

c = d = 0 u≡ v ≡ 0 (mod m), m|u m|v. m²|u²+ v²= mp, m|p. 1 < m < p , c d 0. c²+ d²≡ u²+ v² (mod m)

u²+ v² = mp, c²+ d²≡ 0 (mod m). k∈ Z c²+ d²= km.

c d 0, k̸= 0. −(m − 1)/2 ≤ c,d ≤ (m − 1)/2,

7.3. 97

c²+ d²≤ (m − 1)²/4 + (m− 1)²/4 = (m− 1)²/2 < m², 0 < k < m. k∈ N

k < m. : u²+ v²= mp c²+ d²= km. (7.1)

(uc + vd)²+ (ud− vc)²= m²k p.

u≡ c (mod m) v≡ d (mod m),

uc + vd≡ u²+ v²≡ 0 (mod m) and ud − vc ≡ uv − uv ≡ 0 (mod m).

(uc + vd)/m∈ Z (ud− vc)/m ∈ Z.

(uc + vd

m )²+ (ud− vc

m )²= k p,

k p 數 , k∈ N k∈ S. k < m,

m S .

m̸= 1 m 數 數 .

m̸= 1 , m = 1. p 數 . 

Lemma 7.3.2 descent

. 論 , ; .

descent 論 , 數

數 , 論.

m 數 , m > 1 . ,

m = 1, . , .

Lemma 7.3.2 , .

. .

Example 7.3.3. p = 89. 89≡ 1 (mod 4), a∈ Z a²≡ −1 (mod 89). a = 34 , a²= 1156≡ −1 (mod 89), (34)²+ 1 = 13× 89.

13 < 89 Lemma 7.3.2 89 數 . Lemma 7.3.2

89 數 .

Lemma 7.3.2 , 13∈ S. 13̸= 1, 13, S

. c, d 34≡ c (mod 13), 1 ≡ d (mod 13) −6 ≤ c,d ≤ 6.

c =−5 d = 1. c²+ d²= 25 + 1 = 26 = 2× 13. (7.1) (34× (−5) + 1)²+ (34− (−5))²= 169²+ 39²= 2× 13²× 89.

169 = 13× 13 39 = 3× 13, 13²+ 3²= 2× 89, 2∈ S.

13∈ S 2∈ S. 數 , 2 .

(13 + 3

2 )²+ (13− 3

2 )²= 8²+ 5²= 89.

Example 7.3.3 89 ≡ 1 (mod 4) a∈ Z a² ≡ −1

(mod 89). a ( a ) a¹+ 1 =λ p, 0 <λ < p,

Lemma 7.3.2. , p 數 p≡ 1 (mod 4) , .

.

Proposition 7.3.4. p 數 p≡ 1 (mod 4), p 數 . Proof. p≡ 1 (mod 4), Theorem 5.4.1 x²≡ −1 (mod p) .

a∈ N a²≡ −1 (mod p). {1,2,..., p − 1} reduced residue system modulo

p, 1≤ a ≤ p − 1 a²≡ −1 (mod p) ( 1 < a < p/2).

λ ∈ N a²+ 1 =λ p. a≤ p − 1, λ p = a²+ 1≤ (p − 1)²+ 1 =

p²− 2(p − 1) < p². λ < p, Lemma 7.3.2 p 數

. 

數 數 . p≡ 1 (mod 4) ,

Proposition 7.3.4 x²≡ −1 (mod p) p 數

. p≡ 3 (mod 4) , x²≡ −1 (mod p) p

數 .

Lemma 7.3.5. p 數 p≡ 3 (mod 4) n∈ N p|n. a, b∈ Z a²+ b²= n, p|a p|b.

Proof. . , p- a. a²+ b²= n p|n

p- b, a²= n− b² p|a² p- a . a²+ b²= n p|n,

a²≡ −b² (mod p). a, b p , Legendre symbol

. Legendre symbol (Lemma 5.3.2) 1 =

(a² p

)

= (−b²

p )

= (−1

p )(b²

p )

= (−1

p )

. p≡ 3 (mod 4) Theorem 5.4.1

(−1 p

)

=−1. p|a,

b²= n− a² p|b. 

Lemma 7.3.5 Proposition 7.1.1 , x²+ y²= n

Diophantine equation modulo p Diophantine equation .

Lemma 7.3.5 .

Proposition 7.3.6. p 數 p≡ 3 (mod 4), p 數 .

Proof. . a, b∈ Z a²+ b²= p. p 數, a, b

0. a, b∈ N 1≤ a ≤ p − 1 1≤ b ≤ p − 1. a, b p

Lemma 7.3.5 . p 數 . 

數 數 , 數 數 .

數 數 . 數 n. n = 1

數 . n≥ 2, n 數 . 2

4 1 數 略, 數 . n 4 3

數, 略, 數 .

數 數 , : n = pⁿ₁¹··· pⁿr^r, p_i

7.3. 99

數. p_i n 數 n_i p_i 數. 2250 = 2× 3²× 5³,

2250 2 3 數 3 5 數. .

Theorem 7.3.7. n∈ N. n 數 n

4 3 數 數 數.

Proof. n 4 3 數 數 數. n≥ 2

. n 數

n = 2ⁿ⁰qⁿ₁¹···qⁿr^r· p^2m₁ ¹··· p^2ms ^s,

qi, pj 數 qi≡ 1 (mod 4) pj≡ 3 (mod 4). n

n = 2ⁿ⁰qⁿ₁¹···qⁿr^r· (p^m₁¹··· p^ms^s)²,

2 數 , q1, . . . , qr 數 (Proposition 7.3.4)

(p^m₁¹··· p^ms^s)² 數 ( 數), Lemma 7.3.1

n 數 .

, p≡ 3 (mod 4) n 數 數 2k + 1, n = p^2k+1n^′, p- n^′.

n 數 . a, b∈ Z a²+ b²= n.

Lemma 7.3.5 p|a p|b. a = p^rc b = p^sd, c, d p r, s∈ N.

2r≤ 2s, 2k + 1 > 2r. 2k + 1 < 2r, p^2rc²+ p^2sd²= p^2k+1n^′ n^′= p^2r−2k−1c²+ p^2s−2k−1d². 2s− 2k − 1 ≥ 2r − 2k − 1 > 0 p|n^′. p- n^′ , 2k + 1 > 2r. p^2rc²+ p^2sd²= p^2k+1n^′

c²+ p^2s−2rd²= c²+ (p^s−rd)²= p^2k+1−2rn^′,

p^2k+1−2rn^′ c p^s−rd . p≡ 3 (mod 4), p|p^2k+1−2rn^′ p- c,

Lemma 7.3.5 , n 數 . 

2250 = 2× 3²× 5³ 4 3 數 3, 3 數 2 數,

2250 數 . 2250 = 45²+ 15². 6174 = 2×3²×7³

4 3 數 3 7, 7 數 3 數, 6174 數

.

7.3.2. Sum of Four Squares. 數 數

, 數 數 . ,

7 數 . 數 數

數 4^m(8n + 3) . 數

Lemma 7.3.1 , 數 .

, 談 數 ,

談論 數 .

數 數 .

(7.1) .

(a²+ b²+ c²+ d²)(e²+ f²+ g²+ h²) = (ae + b f + cg + dh)²+ (a f− be + ch − dg)² +(ag− bh − ce + d f )²+ (ah + bg− c f − de)².

(7.2)

. ,

數 quaternion algebra . quaternion

algebra , .

(7.2) .

Lemma 7.3.8. m, n∈ N 數 , mn 數

.

1 數 數 , Lemma 7.3.8

數 數 . 2 4 1 數 數

, 數 ( 0), 論

4 3 數. Lemma 7.3.2 數

數 .

Lemma 7.3.9. p 數. a, b, c, d∈ Z a²+ b²+ c²+ d²=λ p,

λ ∈ N λ < p, p 數 .

Proof. S ={s ∈ N | t, u, v, w∈ Z t²+ u²+ v²+ w²= sp}. S ,

p 數 1∈ S. 1∈ S ?

S ( λ ∈ S) S 數, 1∈ S S

1. m∈ S S , m = 1.

, m̸= 1. λ ∈ S λ < p 1 < m < p. S m

數 . m∈ S, t, u, v, w∈ Z t²+ u²+ v²+ w²= mp,

m 數 m 數 論.

(I) m 數: t²+ u²+ v²+ w²= mp 數, t, u, v, w 數;

數 ; 數 數. t, u, v, w

. , t, u v, w , t + u, t− u, v + w

v− w 數. (t + u)/2, (t− u)/2, (v + w)/2 (v− w)/2 數 (t + u

2 )²+ (t− u

2 )²+ (v + w

2 )²+ (v− w 2 )²=m

2p.

m/2∈ S m/2 < m, m S .

(II) m 數: m 數

{−m + 1

2 ,−m + 1

2 + 1, . . . , 0, 1, . . . ,m− 1

2 − 1,m− 1 2 }

complete residue system modulo m. e, f , g, h∈ Z e≡ t (mod m), f ≡ u (mod m), g≡ v (mod m) h≡ w (mod m), −(m−1)/2 ≤ e, f ,g,h ≤ (m−1)/2.

7.3. 101

e, f , g h 0, m|p 1 < m < p . e²+ f²+ g²+ h²≡ t²+ u²+ v²+ w² (mod m) t²+ u²+ v²+ w²= mp, e²+ f²+ g²+ h²≡ 0 (mod m).

k∈ Z e²+ f²+ g²+ h²= km. e, f , g h 0, k̸= 0.

−(m − 1)/2 ≤ e, f ,g,h ≤ (m − 1)/2, e²+ f²+ g²+ h²≤ (m − 1)²= (m− 1)²< m², 0 < k < m. k∈ N k < m. : t²+ u²+ v²+ w²= mp e²+ f²+ g²+ h²= km. (7.2)

(te + u f + vg + wh)²+ (t f−ue+vh−wg)²+ (tg−uh−ve+w f )²+ (th + ug−v f −we)²= m²k p.

e≡ t (mod m), f ≡ u (mod m), g ≡ v (mod m) h≡ w (mod m),

te + u f + vg + wh≡ t f − ue + vh − wg ≡ tg − uh − ve + w f ≡ th + ug − v f − we ≡ 0 (mod m).

T =te + u f + vg + wh

m , U =t f− ue + vh − wg

m ,

V =tg− uh − ve + w f

m and W =th + ug− v f − we

m ,

T,U,V,W∈ Z

T²+U²+V²+W²= k p.

k p 數 , k∈ N k∈ S. k < m,

m S .

m̸= 1 m 數 數 . m̸= 1

, m = 1. p 數 . 

Lemma 7.3.9 數 數 .

4 3 數 數 . x²≡ −1

(mod p) , α ∈ N x²≡ −α (mod p) .

(−α p

)

= (−1

p )(α

p )

=− (α

p )

,

(−α p

)

= 1

(α p

)

=−1.

α ∈ N x²≡α (mod p) . , S ={1,2,..., p − 1} modulo p reduced residue system, p- a, x²≡ a (mod p) S modulo

p . x²≡ a (mod p) c∈ S c²≡ a (mod p).

S , a 數 modulo p x²≡ a

(mod p) ; , a 數 modulo p x²≡ a (mod p)

. c∈ S p− c ∈ S (p− c)²≡ (−c)²≡ c (mod p), p 數,

c̸≡ p − c (mod p). S modulo p (p− 1)/2

. S (p− 1)/2 a x²≡ a (mod p) , (p− 1)/2

a x²≡ a (mod p) .

Theorem 7.3.10. p 數 p≡ 3 (mod 4), p 數 .

, 數 數 .

Proof. p 數 p≡ 3 (mod 4). a, b, c, d∈ Z a²+ b²+ c²+ d²=

λ p, λ ∈ N λ < p, Lemma 7.3.9 p 數 .

S ={1,2,..., p − 1} modulo p reduced residue system. α ∈ S S 數 x²≡α (mod p) ,

(α p

)

=−1.

(1 p

)

= 1, α > 1, α − 1 ∈ S, x²≡α − 1 (mod p) ( α S 數 x²≡α (mod p)

). p≡ 3 (mod 4),

(−1 p

)

=−1,

(−α p

)

= (−1

p )(α

p )

= 1,

x²≡ −α (mod p) . a∈ S x²≡α −1 , a 1≤ a ≤ (p−1)/2.

(p + 1)/2≤ a ≤ p − 1, p− a, (p− a)²≡ (−a)²≡α − 1 (mod p) x²≡α − 1 (mod p) 1≤ p − a < (p − 1)/2. b∈ S x²≡ −α (mod p) 1≤ b ≤ (p − 1)/2.

a²+ b²+ 1≡α − 1 + (−α) + 1 ≡ 0 (mod p), λ ∈ N a²+ b²+ 1 =λ p.

λ p = a²+ b²+ 1≤ (p− 1

2 )²+ (p− 1

2 )²+ 1 < p²

2 + 1 < p²,

λ < p. Lemma 7.3.9 p 數 .

n∈ N. n = 1, n 數 . n > 1, n

數 n = pⁿ₁¹··· pⁿ_r^r. pi= 2 pi≡ 1 (mod 4) pi 數 ,

數 . p_i≡ 3 (mod 4), 前 p_i 數 .

Lemma 7.3.8 n = pⁿ₁¹··· pⁿ_r^r 數 . 

基礎數論 基 , .