3-1
E圖 3.1-8 習題 3.1-1
圖 3.1-8 中, = = = ,試證 ⊥ 。
C D
B A
已知: = = =
求證: ⊥
想法:(1) 若證得∠AED=∠AEB=90°,則可知 ⊥ ; (2) 若證得△ADE △ABE,則可知∠AED=∠AEB;
(3) 已知判斷兩個三角形全等的方法有:
1. 兩邊夾一角三角形全等定理,又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理,又稱 A.S.A.三角形全等定理 3. 三邊相等三角形全等定理,又稱 S.S.S.三角形全等定理 證明:
敘述 理由
(1) 如圖 3.1-8,△ACD 及△ACB 中,
=
=
=
(2) △ACD △ACB (3) ∠DAC=∠BAC
(4) 假設 直線與 線相交於 E 點 (5) △ADE 及△ABE 中,
∠DAE=∠BAE
=
=
如圖 3.1-8 所示
已知 = = =
已知 = = =
兩三角形共用此邊
由(1) S.S.S.三角形全等定理
由(2) 兩全等三角形的對應角相等 兩直線交點公理
如圖 3.1-8 所示
由(3) ∠DAC=∠BAC
已知 = = =
兩三角形共用此邊
3-2
(7) ∠AED=∠AEB
(8) ∠AED+∠AEB=180°
(9) ∠AED=∠AEB=90°
(10) 所以 ⊥
由(6) 兩全等三角形的對應角相等 如圖 3.1-8( 為一直線)
由(7) & (8) 由(9)
3-3
圖 3.1-9 中, = , = ,試證 ⊥ 。
E A
B C
D
圖 3.1-9
已知: = , =
求證: ⊥
想法:(1) 若證得△ABC 為等腰三角形,且 為∠BAC 的角平分線,根據等腰 三角形頂角平分線垂直底邊的性質,即可得知 ⊥ ;
(2) 若證得△ADB △ADC,即可得知∠BAD=∠CAD, 為∠BAC 的角平分線;
(3) 已知判斷兩個三角形全等的方法有:
1. 兩邊夾一角三角形全等定理,又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理,又稱 A.S.A.三角形全等定理 3. 三邊相等三角形全等定理,又稱 S.S.S.三角形全等定理 證明:
敘述 理由
(1) 如圖 3.1-9,△ADB 及△ADC 中,
=
=
=
(2) △ADB △ADC (3) ∠BAD=∠CAD (4) △ABC 為等腰三角形 (5) 為∠BAC 的角平分線 (6) 所以 ⊥
如圖 3.1-9 所示
已知 =
已知 =
兩三角形共用此邊
由(1) S.S.S.三角形全等定理
由(2) 兩全等三角形的對應角相等
已知 =
由(3) ∠BAD=∠CAD 已證 由(4)&(5) 等腰三角形頂角平分線 垂直底邊
3-4
圖 3.1-10 中, = , 為∠ABC 的平分線, 為∠ACB 的平分線,
與 相交於 D,試證 ⊥ 。
4 3
2 1 D
E A
B C
圖 3.1-10
已知: = , 為∠ABC 的平分線, 為∠ACB 的平分線, 與 相交
於 D
求證: ⊥
想法:(1) 若證得△ABC 為等腰三角形,且 為∠BAC 的角平分線,根據等腰 三角形頂角平分線垂直底邊的性質,即可得知 ⊥ ;
(2) 若證得△ADB △ADC,即可得知∠BAD=∠CAD, 為∠BAC 的角平分線;
(3) 已知判斷兩個三角形全等的方法有:
1. 兩邊夾一角三角形全等定理,又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理,又稱 A.S.A.三角形全等定理 3. 三邊相等三角形全等定理,又稱 S.S.S.三角形全等定理 證明:
敘述 理由
(1) △ABC 為等腰三角形
∠ABC=∠ACB (2) ∠3=∠4=1
2∠ABC =1
2∠ACB=∠1=∠2 (3) △DBC 為等腰三角形
CD BD =
(4) △ADB 及△ADC 中,
=
∠4=∠2
已知 =
等腰三角形兩底角相等 已知 為∠ABC 的平分線,
為∠ACB 的平分線
& 由(1) ∠ABC=∠ACB 由(2)已證∠1=∠3
等腰三角形兩腰等長 如圖(3.1-10)所示
已知 =
由(2)已證∠4=∠2
3-5
(5) △ADB △ADC (6) ∠BAD=∠CAD。
(7) △ABC 為等腰三角形 (8) 為∠BAC 的角平分線 (9) 所以 ⊥
由(4) S.A.S.三角形全等定理 由(5) 兩全等三角形的對應角相等
已知 =
由(6) ∠BAD=∠CAD 已證
由(7)&(8) 等腰三角形頂角平分線 垂直底邊
習題 3.1-4
圖 3.1-11 中, ⊥ , 為ECF 的角平分線,試證∠ACE=∠BCF。
E F
C A B
D
圖 3.1-11 已知: ⊥ , 為ECF 的角平分線 求證:∠ACE=∠BCF
想法:利用等量公理 證明:
敘述 理由
(1) ∠ACD=∠BCD=90°
(2) ∠ECD=∠FCD
(3) ∠ACD-∠ECD=∠BCD-∠FCD (4) ∠ACE=∠BCF
已知 ⊥
已知 為ECF 的角平分線 由(1)式-(2)式
如圖 3.2-11 所示,
ACE=∠ACD-∠ECD
∠BCF=∠BCD-∠FCD & (3)
3-6
圖 3.1-12 中,BAC 與BCA 互為餘角,DEC 與DCE 互為餘角,
試證∠BAC=∠DEC。
B C D
A
E
圖 3.1-12
已知:BAC 與BCA 互為餘角,DEC 與DCE 互為餘角 求證:∠BAC=∠DEC
想法:利用等量公理 證明:
敘述 理由
(1) ∠BCA=∠DCE (2) BAC+BCA=90°
(3) DEC+DCE=90°
(4) BAC+BCA=DEC+DCE (5) BAC+ DCE=DEC+DCE (6) BAC=DEC
如圖 3.1-12,對頂角相等 已知BAC 與BCA 互為餘角 已知DEC 與DCE 互為餘角 由(2)&(3)遞移律
將(1) ∠BCA=∠DCE 代入 (4) 由(5) 等量減法公理
3-7
習題 3.2-1:
如圖 3.2-43,L 是 L1和 L2的截線,則:
(1)∠1 的同位角為 。 (2)∠3 的同側內角為 。 (3)∠4 的內錯角為 。
圖 3.2-43
想法:(1) 位居於截線兩側且不相鄰的內角,叫做內錯角。
(2) 位居於截線同側且不相鄰的內角與外角,叫做同位角。
(3) 位居於截線同側的內角,叫做同側內角。
解:
敘述 理由
(1) ∠1 的同位角為∠5 (2) ∠3 的同側內角為∠6 (3) ∠4 的內錯角為∠6
同位角的定義 同側內角的定義 內錯角的定義
3-8
如圖 3.2-44,L1//L2,L 為截線,∠4=100°,則:
(1)∠6= 度 (2)∠5= 度
圖 3.2-44
想法:一截線與兩平行線相交所造成的一組內錯角相等 解:
敘述 理由
(1) ∠6 與∠4 互為內錯角 (2) ∠6=∠4=100°
(3) ∠5+∠6=180°
(4) ∠5=180°-100°=80°
已知 L 為截線
已知 L1//L2,內錯角相等 & 已知∠4=80°
∠5+∠6 為平角 180°
由(3) 等量減法公理 & 由(2) ∠6=100° 已證
3-9
如圖 3.2-45,L1//L2,L 為截線,求:
(1) x= 。 (2)∠1= 度。
(3)∠2= 度。
圖 3.2-45
想法:一截線與兩平行線相交所造成的一組內錯角相等 解:
敘述 理由
(1) (4x-20)°=(x+40)°
(2) x=20
(3) ∠1=(4x-20)°=60°
(4) ∠2=180°-(x+40)°=120°
已知 L1//L2,內錯角相等 由(1) 解一元一次方程式
對頂角相等 & 由(2) x=20 已證
∠2 與(x+40)°互補 & 由(2) x=20 已證
3-10
如圖 3.2-46,已知 L1∥L2,M 是 L1、L2的一條截線,若∠1=125°,求∠2。
圖 3.2-46 想法:已知一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 解:
敘述 理由
(1) ∠1 的同位角為∠2 (2) ∠2=∠1
(3) ∠2=125°
已知 M 是 L1、L2的一條截線 已知 L1∥L2 & 同位角相等 由(2) & 已知∠1=125°
3-11
如圖 3.2-47, ∥ ∥ ∥ 。連接 ,且∠1=60°,求:
(1) ∠2 至∠8 各截角的度數。
(2) 同側內角∠3 與∠5 的和。
圖 3.2-47 想法:已知一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 解:
敘述 理由
(1) ∠2=180°-∠1=120°
(2) ∠3=∠2=120°
(3) ∠4=∠1=60°
(4) ∠5=∠1=60°
(5) ∠6=∠2=120°
(6) ∠7=∠6=120°
(7) ∠8=∠5=60°
(8) ∠3+∠5=120°+60°=180°
∠2 與∠1 互補&∠1=60°
對頂角相等 & ∠2=120°
對頂角相等 & ∠1=60°
∥ ,同位角相等
∥ ,同位角相等
對頂角相等 & ∠6=120°
對頂角相等 & ∠5=60°
由(2) & (4)
3-12
如圖 3.2-48,L1∥L2,L3∥L4,則:
(1)∠1= 度。 (2)∠2= 度。
(3)∠3= 度。 (4)∠4= 度。
圖 3.2-48 想法:已知一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等
解:
敘述 理由
(1) ∠4=60°
(2) ∠3=∠4=60°
(3) ∠2=180°-∠3
(4) ∠2=180°-∠3=120°
(5) ∠1=∠2=120°
L1∥L2,同位角相等
L3∥L4,同位角相等 &∠4=60°
∠3 與∠2 互補,∠3+∠2=180°
由(3) &∠3=60°
L1∥L2,同位角相等 &∠2=120°
3-13
如圖 3.2-49,L1∥L2,M 是 L1、L2的一條截線,若∠1=135°,求∠2、∠3。
圖 3.2-49 想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) ∠3 與∠1 互為同側內角 (2) ∠3+∠1=180°
(3) ∠3=180°-∠1 (4) ∠3=180°-135°=45°
(5) ∠2 與∠1 互為內錯角 (6) ∠2=∠1=135°
M 是 L1、L2的一條截線 L1∥L2,同側內角互補 由(2)
由(3)&∠1=135°
M 是 L1、L2的一條截線
L1∥L2,內錯角相等 & ∠1=135°
3-14
如圖 3.2-50,L1∥L2,M 是 L1和 L2的截線,∠1=57°,則:
(1)∠2 和 是同側內角。
(2)∠3 和 是同位角。
(3)∠6= 度。
(4)∠8= 度。
圖 3.2-50 想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) ∠2 與∠5 互為同側內角 (2) ∠3 與∠7 互為同位角 (3) ∠5 與∠1 互為同位角 (4) ∠5=∠1=57°
(5) ∠6=180°-∠5=123°
(6) ∠8=∠6=123°
M 是 L1、L2的一條截線 M 是 L1、L2的一條截線 M 是 L1、L2的一條截線
L1∥L2,同位角相等 &∠1=57°
∠5+∠6=180° &∠5=57°
對頂角相等 &∠6=123°
3-15
如圖 3.2-51,L1∥L2∥L3,L 為截線,∠1=75°,則:
(1)∠2= 度。
(2)∠3= 度。
(3)∠4= 度。
圖 3.2-51 想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) ∠2=∠1=75°
(2) ∠3 與∠2 互為同側內角 (3) ∠3+∠2=180°
(4) ∠3=180°-∠2=105°
(5) ∠5 與∠3 互為同位角 (6) ∠5=∠3=105°
(7) ∠4=∠5=105°
對頂角相等
L 是 L1、L2的一條截線 L1∥L2,同側內角互補
由(3) 等量減法公理 &∠2=75°
L 是 L2、L3的一條截線
L2∥L3,同位角相等 &∠3=105°
對頂角相等 &∠5=105°
3-16
如圖 3.2-52,回答下列問題:
(1) L1和哪一條直線平行? 。 (2) L2和哪一條直線平行? 。
圖 3.2-52 想法:判斷兩直線平行的方法有:
1. 內錯角相等的兩線平行 2. 同位角相等的兩線平行 3. 同側內角互補的兩線平行 解:
敘述 理由
(1) ∠1=107°
(2) L1∥L3
(3) L2∥L5
對頂角相等
∠1+73°=180°,同側內角互補的兩線平行定理 104°=104°,內錯角相等的兩線互相平行定理
3-17
圖 3.2-53 中, ∥ , 平分∠BEF, 平分∠CFE,試證 ∥ 。
F
A E B
C D
G
H
圖 3.2-53
已知: ∥ , 平分∠BEF, 平分∠CFE
求證: ∥
想法:(1) 一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補
(2) 判斷兩直線平行的方法有:
1. 內錯角相等的兩線平行 2. 同位角相等的兩線平行 3. 同側內角互補的兩線平行 證明:
敘述 理由
(1) ∠BEF=∠CFE (2) ∠BEF=2∠HEF (3) ∠CFE=2∠GFE (4) 2∠HEF=2∠GFE (5) ∠HEF=∠GFE (6) 所以 ∥
已知 ∥ ,內錯角相等
已知 平分∠BEF 已知 平分∠CFE 將(2) & (3)代入(1)
由(4) 等量除法公理(等式兩邊同除以 2) 由(5) ∠HEF=∠GFE & 內錯角相等,
兩直線互相平行定理
3-18
圖 3.2-54 中, ∥ , ∥ ,試證∠ACD=∠A'B'D'。
C'
B B'
C
A
A'
D' D
圖 3.2-54
已知: ∥ , ∥
求證:∠ACD=∠A'B'D'
想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 證明:
敘述 理由
(1) ∠ACD=∠A'C'D (2) ∠A'C 'D=∠A'B'D'
(3) ∠ACD=∠A'C'D=∠A'B'D' (4) 所以∠ACD=∠A'B'D'
已知 ∥ ,同位角相等
已知 ∥ ,同位角相等
由(1)&(2)遞移律 由(3)
3-19
圖 3.2-55 中, ∥ , ∥ , = ,試證 = 。
D
B E
A
C
圖 3.2-55
已知: ∥ , ∥ , =
求證: =
想法:(1) 若證得△ABC △DCE,則可得知 = (2) 判斷兩個三角形全等的方法有:
1. 兩邊夾一角三角形全等定理,又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理,又稱 A.S.A.三角形全等定理 3. 三邊相等三角形全等定理,又稱 S.S.S.三角形全等定理 (3) 一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 證明:
敘述 理由
(1) △ABC 與 △DCE 中,
∠ABC=∠DCE
=
∠ACB=∠DEC (2) 所以△ABC △DCE (3) 所以 =
如圖 3.2-55 所示
已知 ∥ ,同位角相等
已知 =
已知 ∥ ,同位角相等
由(1) & A.S.A.全等三角形定理 由(2) 對應邊相等
3-20
圖 3.2-56 中, ∥ , ∥ ,試證∠A=∠D,∠C=∠B。
D A
B
C
圖 3.2-56
已知: ∥ , ∥
求證:∠A=∠D,∠C=∠B
想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 證明:
敘述 理由
(1) ∠A+∠C=180°
(2) ∠A+∠B=180°
(3) ∠A+∠C=∠A+∠B (4) ∠C=∠B
(5) 同理可證∠A=∠D
已知 ∥ ,同側內角互補
已知 ∥ ,同側內角互補
由(1)&(2)遞移律
由(3) 等量減法公理(等式兩邊同減∠A) 由(1)~(4)
3-21
習題 3.3-1
下列各圖形中,哪些是線對稱圖形?
(A)
圖 3.3-13(a)
(B)
圖 3.3-13(b)
(C)
圖 3.3-13(c)
(D)
圖 3.3-13(d)
(E)
圖 3.3-13(e)
(F)
圖 3.3-13(f)
(G)
圖 3.3-13(g)
(H)
圖 3.3-13(h)
(I) (J) (K) (L)
圖 3.3-13(i) 圖 3.3-13(j) 圖 3.3-13(k) 圖 3.3-13(l)
想法:若一個圖形是線對稱圖形,則沿著對稱軸對折,圖形會完全重疊
3-22
L3
L4
L5
L6
L7
L8
L9
L10
L11
圖 3.3-13(a-1) 圖 3.3-13(b-1) 圖 3.3-13(g-1)
圖 3.3-13(h-1) 圖 3.3-13(i-1) 圖 3.3-13(k-1)
圖 3.3-13(l-1)
解:
敘述 理由
3-23
, L1為其對稱軸
(2) 選項(B)為線對稱圖形,如圖 3.3-13(b-1)
, L2為其對稱軸 (3) 選項(C)不是線對稱圖形 (4) 選項(D)不是線對稱圖形 (5) 選項(E)不是線對稱圖形 (6) 選項(F)不是線對稱圖形
(7) 選項(G) 為線對稱圖形,如圖 3.3-13(g-1)
, L3為其對稱軸
(8) 選項(H) 為線對稱圖形,如圖 3.3-13(h-1)
, L4、 L5、L6、L7、L8為其對稱軸
(9) 選項(I) 為線對稱圖形,如圖 3.3-13(i-1),
L9為其對稱軸
(10) 選項(J)不是線對稱圖形
(11) 選項(K)為線對稱圖形,如圖 3.3-13(k-1)
,L10為其對稱軸
(12) 選項(L)為線對稱圖形,如圖 3.3-13(l-1)
,L11為其對稱軸
(13) 所以本題選(A)、(B)、(G)、(H)、(I)、
(K)、(L)
圖形完全重疊
圖 3.3-13(b-1)中,沿著 L2對折,
圖形完全重疊 找不到對稱軸 找不到對稱軸 找不到對稱軸 找不到對稱軸
圖 3.3-13(g-1)中,沿著 L3對折,
圖形完全重疊
圖 3.3-13(h-1)中,分別沿著 L4、 L5、L6、L7、L8對折,圖形完全 重疊
圖 3.3-13(i-1)中,沿著 L9對折,
圖形完全重疊 找不到對稱軸
圖 3.3-13(k-1)中,沿著 L10對折,
圖形完全重疊
圖 3.3-13(l-1)中,沿著 L11對折,
圖形完全重疊 由(1)~(12)
3-24
L1
L2 L3
L4
L5
L6
下列各圖形哪一個的對稱軸超過一條?
(A) (B) (C) (D)
圖 3.3-14(a) 圖 3.3-14(b) 圖 3.3-14(c) 圖 3.3-14(d) 想法:若一個圖形是線對稱圖形,則沿著對稱軸對折,圖形會完全重疊
圖 3.3-14(a-1) 圖 3.3-14(b-1) 圖 3.3-14(c-1) 圖 3.3-14(d-1) 解:
敘述 理由
(1) 選項(A)為線對稱圖形,如圖 3.3-14(a-1)
, L1為其對稱軸,有 1 條對稱軸 (2) 選項(B)為線對稱圖形,如圖 3.3-14(b-1)
, L2為其對稱軸,有 1 條對稱軸 (3) 選項(C)為線對稱圖形,如圖 3.3-14(c-1)
, L3、 L4、 L5為其對稱軸,有 3 條 對稱軸
(4) 選項(D)為線對稱圖形,如圖 3.3-14(d-1)
, L6為其對稱軸,有 1 條對稱軸 (5) 所以本題選(C)
圖 3.3-14(a-1)中,沿著 L1對折,
圖形完全重疊
圖 3.3-14(b-1)中,沿著 L2對折,
圖形完全重疊
圖 3.3-14(c-1)中,分別沿著 L3、 L4、L5對折,圖形完全重疊 圖 3.3-14(d-1)中,沿著 L6對折,
圖形完全重疊 由(1)~(4)
3-25
L1
L2
L5
L6
L7
L8
L9
L10
L11
L12
L3
L4
畫出下列圖形的所有對稱軸:
圖 3.3-15(a) 圖 3.3-15(b) 圖 3.3-15(c) 圖 3.3-15(d) 想法:若一個圖形是線對稱圖形,則沿著對稱軸對折,圖形會完全重疊
圖 3.3-15(a-1) 圖 3.3-15(b-1) 圖 3.3-15(c-1) 圖 3.3-15(d-1) 解:
敘述 理由
(1) 圖 3.3-15(a-1)中,
L1~L4為對稱軸 (2) 圖 3.3-15(b-1)中,
L5~L9為對稱軸 (3) 圖 3.3-15(c-1)中,
L10、L11為對稱軸 (4) 圖 3.3-15(d-1)中,
L12為對稱軸
圖 3.3-15(a-1)中,
沿著 L1~L4對折,圖形完全重疊 圖 3.3-15(b-1)中,
沿著 L5~L9對折,圖形完全重疊 圖 3.3-15(c-1)中,
沿著 L10、L11對折,圖形完全重疊 圖 3.3-15(d-1)中,
沿著 L12對折,圖形完全重疊
3-26
直角三角形都是線對稱圖形嗎?哪一種直角三角形是線對稱圖形?
想法:若一個圖形是線對稱圖形,則沿著對稱軸對折,圖形會完全重疊
圖 3.3-17(a) 圖 3.3-17(b) 解:
敘述 理由
(1) 圖 3.3-17(a)中,△ABC 為直角三角形,
但△ABC 並非線對稱圖形
(2) 圖 3.3-17(b)中,△A'B'C'為等腰直角 三角形,L 為△A'B'C'的對稱軸,因此 等腰直角三角形為線對稱圖形
圖 3.3-17(a)中,找不到對稱軸
圖 3.3-17(b)中,沿著 L 對折,
會使得△A'B'D △C'B'D,
圖形完全重疊
3-27
L L
L
如圖 3.3-16,將一張長方形色紙對摺後,剪出一個字母 ,則展開後的圖 形為下列何者?
圖 3.3-16
(A) (B)
(C) (D)
想法:若一個圖形是線對稱圖形,則沿著對稱軸對折,圖形會完全重疊
圖 3.3-16(a)
圖 3.3-16(b) 解:
敘述 理由
(1) 圖 3.3-16(a)中,L 為長方形色紙的對稱軸 (2) 圖 3.3-16(b)為線對稱圖形,L 為其對稱軸
(3) 因此本題選(A)
已知將一張長方形色紙對摺 圖 3.3-16(b)中,沿著 L 對折,
會使得圖形完全重疊 由(1) & (2)
3-28
1: 已知:如圖 3.1,L1 ∥ L2, ∥ 。
證明:∠1+∠2+∠3+∠4=360°。
圖 3.1 想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 證明:
敘述 理由
(1) 延長 與 L1交於 F 點,
如圖 3.1(a)所示
(2) ∥ (3) ∠5=∠1
(4) ∠5+∠4=180°
(5) ∠1+∠4=180°
(6) ∠2+∠3=180°
(7) 所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°
作圖,
圖 3.1(a)
由(1)作圖 & 已知 ∥
由(2) ∥ 已證 & 同位角相等 已知 L1 ∥ L2,同側內角互補
將(3) ∠5=∠1 代入 (4) ∠5+∠4=180°
已知 ∥ ,同側內角互補
由(5)式+(6)式
3-29
(1)∠1= 度。 (2)∠2= 度。 (3)∠3= 度。
圖 3.2 想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) ∠1=180°-125°=55°
(2) ∠2=70°
(3) 過 A 點作直線 L3平行直線 L1
如圖 3.2(a)
(4) L1∥L2∥L3
(5) ∠4+∠5=125°
(6) ∠4=70°
(7) 70°+∠5=125°
∠5=125°-70°=55°
(8) ∠3+∠5=180°
(9) ∠3=180°-∠5 =180°-55°=125°
如圖 3.2 所示 & 補角定義 已知 L1∥L2 & 內錯角相等 作圖
圖 3.2(a)
由(3)作圖 L3∥L1 & 已知 L1∥L2
如圖 3.2(a),分量和等於全量 由(4) L1∥L3 & 內錯角相等
將(6) ∠4=70°代入(5) ∠4+∠5=125°得 等量減法公理
由(4) L2∥L3 & 同側內角互補 由(8) 等量減法公理
將(7) ∠5=55°代入
3-30
圖 3.3 想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) 過 A 點作直線 L3平行直線 L1, 如圖 3.3(a)所示
(2) ∠1=∠2+∠3 (3) L1∥L2∥L3
(4) ∠2=37°
(5) ∠3=180°-135°=45°
(6) ∠1=∠2+∠3=82°
作圖
圖 3.3(a)
如圖 3.3(a),全量等於分量和 由(1)作圖 L3∥L1 & 已知 L1∥L2
由(1)作圖 L3∥L1 & 內錯角相等 由(3) L3∥L2 已證 & 同側內角互補 將(4) & (5)代入 (6)
3-31
圖 3.4 想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) 過 B 點作直線 L3平行直線 L1; 過 C 點作直線 L4平行直線 L1; 如圖 3.4(a)
(2) L1∥L2∥L3∥L4
(3) ∠1+∠2=90°
(4) ∠1=28°
(5) 28°+∠2=90°
∠2=90°-28°=62°
(6) ∠3=∠2°=62°
(7) ∠4=180°-117°=63°
(8) ∠BCD=∠3+∠4 =62°+63°=125°
作圖
圖 3.4(a)
由(1) & L1∥L2
已知 ⊥ & 全量等於分量和 由(2) L1∥L3 & 內錯角相等
將(4) ∠1=28°代入(3) ∠1+∠2=90°
等量減法公理
由(2) L3∥L4 & 內錯角相等 由(2)L4∥L2 & 同側內角互補 如圖 3.4(a) ∠BCD=∠3+∠4 將(6) ∠3=62°&(7) ∠4=63°代入
3-32
圖 3.5 想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) 過 A 點作直線 L3平行直線 L1; 過 B 點作直線 L4平行直線 L1; 如圖 3.5(a)
(2) L1∥L2∥L3∥L4
(3) ∠3+∠4=∠1 (4) ∠5+∠6=∠2
(5) ∠3+∠4+∠5+∠6
=∠1+∠2
=(3x-25)°+(4x-13)°
=(7x-38)°
(6) ∠3=18°
(7) ∠4+∠5=180°
(8) ∠6=37°
(9) 18°+180°+37°= (7x-38)°
235°= (7x-38)°
x = (235+38)÷7=39 (10) 所以 x=39
作圖
圖 3.5(a)
由(1) & L1∥L2
如圖 3.5(a),分量和等於全量 如圖 3.5(a),分量和等於全量 由(3)式+(4)式
將已知∠1=(3x-25)° &
∠2=(4x-13)°代入得 化簡
由(2) L1∥L3 & 內錯角相等 由(2) L3∥L4 & 同側內角互補 由(2) L4∥L2 & 內錯角相等 將(6)&(7)&(8)代入(5)得 化簡
解一元一次方程式 由(9)
3-33
圖 3.6 想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) 過 A 點作直線 L1平行直線 L;
過 B 點作直線 L2平行直線 L;
過 C 點作直線 L3平行直線 L;
如圖 3.6(a)
(2) L1∥L2∥L3∥L∥M (3) ∠1+∠2=∠y (4) ∠3+∠4=40°
(5) ∠5+∠6=45°
(6) ∠6=25°
(7) ∠5+25°=45°
∠5=45°-25°=20°
(8) ∠4=∠5=20°
(9) ∠3+20°=40°
∠3=40°-20°=20°
作圖
圖 3.6(a)
由(1) & L∥M
如圖 3.6(a),分量和等於全量 如圖 3.6(a),分量和等於全量 如圖 3.6(a),分量和等於全量 由(2) L3∥M & 內錯角相等
將(6) ∠6=25°代入(5) ∠5+∠6=45°
等量減法公理
由(2) L2∥L3 & 內錯角相等
將(8) ∠4=20°代入(4) ∠3+∠4=40°
等量減法公理
3-34
(11) ∠1=20°
(12) 所以∠y=20°+20°=40°
由(2) L1∥L & 內錯角相等 將(11) ∠1=20° & (10) ∠2=20°
代入(3) ∠1+∠2=∠y
3-35
圖 3.7 想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) 過 D 點作直線 L1平行直線 L;
過 B 點作直線 L2平行直線 L;
如圖 3.7(a)
(2) L1∥L2∥L∥M (3) ∠ADC=∠5+∠6 (4) ∠7+∠8=∠ABC=40°
(5) ∠1=∠7 (6) ∠4=∠8
(7) ∠1+∠4=∠7+∠8 (8) ∠1+∠4=40°
(9) ∠5=∠1+∠2
(10) ∠5=∠1+∠1=2∠1
作圖
圖 3.7(a)
由(1) & L∥M
如圖 3.7(a),全量等於分量和 如圖 3.7(a),分量和等於全量 & 已知∠ABC=40°
由(2) L2∥L & 內錯角相等 由(2) L2∥M & 內錯角相等 由(5)式+(6)式
將(4) ∠7+∠8=40°代入(7) 由(2) L1∥L & 內錯角相等 將已知∠2=∠1 代入(9)
3-36
(12) ∠6=∠4+∠4=2∠4 (13) ∠ADC=∠5+∠6
=2∠1+2∠4 =2(∠1+∠4) =2×40°=80°
(14) 所以∠ADC=80°
將已知∠3=∠4 代入(11) 由(3)
將(10)∠5=2∠1 & (12)∠6=2∠4 代入 提出公因數 2
將(8) ∠1+∠4=40°代入 由(13)
8:如圖 3.8,已知 L1∥L2,M 和 N 都是 L1和 L2的截線,且∠1=(8x+6)°,
∠2=(2x+19)°,則:
(1) x= 。 (2)∠3= 度。
圖 3.8 想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) ∠1+∠2+85°=180°
(2) (8x+6)°+(2x+19)°+85°=180°
10x+110=180 x=(180-110)÷10=7 (3) ∠3=85°
已知 L1∥L2,M 是 L1和 L2的截線
& 同側內角互補
將已知∠1=(8x+6)°,
∠2=(2x+19)°代入(1) & 化簡 解一元一次方程式
已知 L1∥L2,N 是 L1和 L2的截線
& 內錯角相等
3-37
圖 3.9 想法:(1) 正三角形三內角皆為 60°
(2) 一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) x+∠CAB=∠1
(2) ∠CAB=∠ACB =60°
(3) x+60°=80°
(4) x=80°-60°=20°
(5) ∠1+∠ACB+y=180°
(6) 80°+60°+y=180°
(7) y=180°-80°-60°=40°
已知 L1∥L2 & 內錯角相等
已知△ABC 為正三角形
將已知∠1=80° & (2) ∠CAB=60°代入(1) 由(3) 等量減法公理
如圖 3.9,L2為一直線
將已知∠1=80° & (2) ∠ACB=60°代入(5) 由(6) 等量減法公理
3-38
圖 3.10 想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) 過 B 點作直線 L3平行直線 L1
如圖 3.10(a)
(2) L1∥L2∥L3
(3) ∠1=∠BAC=18°
(4) x=∠1+∠ABC (5) x=18°+20°=38°
作圖
圖 3.10(a)
由(1) & 已知 L1∥L2
已知∠BAC=18°
& 由(2) L1∥L3 & 內錯角相等 由(2) L2∥L3 & 內錯角相等
將已知 ∠ABC=20° & (3) ∠1=18°
代入(4)
3-39
y= 度。
圖 3.11 想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) 過 B 點作直線 L3平行直線 L1
過 D 點作直線 L4平行直線 L1
如圖 3.11(a)
(2) L1∥L2∥L3∥L4
(3) ∠3+∠4=∠CDE (4) ∠3=∠1=28°
(5) 28°+∠4=67°
(6) ∠4=67°-28°=39°
(7) x=∠4=39°
(8) ∠2+∠ABC+x=180°
(9) ∠2+95°+39°=180°
∠2=180°-95°-39°=46°
(10) y=∠2=46°
作圖
圖 3.11(a)
由(1) & 已知 L1∥L2
如圖 3.11(a),分量和等於全量 由(2) L2∥L4 & 內錯角相等
將(4)∠3=28°& 已知∠CDE=67°代入(3) 由(5) 等量減法公理
由(2) L1∥L4同位角相等&(6)∠4=39°已證 由(2) L1∥L3 & 同側內角互補
將已知∠ABC=95° & (7) x=39°代入(8) 等量減法公理
由(2) L1∥L3內錯角相等&(9)∠2=46°已證
3-40
圖 3.12 想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) 過 E 點作直線 M 平行直線 過 F 點作直線 L 平行直線 如圖 3.12(a)
(2) M∥L∥ ∥ (3) ∠1+∠2=85°
(4) ∠3+∠4=(16x+14)°
(5) ∠1=(2x+4)°
(6) ∠2=(9x+4)°
(7) ∠3=(8x+4)°
(8) ∠4=y°
(9) (2x+4)°+(9x+4)°=85°
11x+8=85 x=(85-8)÷11=7
作圖
圖 3.12(a)
由(1) & 已知 ∥
如圖 3.12(a),分量和等於全量 如圖 3.12(a),分量和等於全量 由(2) L∥ & 內錯角相等 由(2) L∥ & 內錯角相等 由(2) M∥ & 內錯角相等 由(2) M∥ & 內錯角相等 將(5) & (6) 代入 (3)
化簡
解一元一次方程式
3-41
60+y=126
y=126-60=66 (11) ∠BEC=(16x+14)°=126°
將(9) x=7 代入化簡 解一元一次方程式
將(9) x=7 代入已知∠BEC=(16x+14)°
13:如圖 3.13,L1∥L2∥L3,則 x= 度。
圖 3.13 想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) 3x=32°+2x (2) x=32°
已知 L1∥L3 & 內錯角相等
由(1)解一元一次方程式
3-42
圖 3.14 想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) 過 A 點作直線 L3平行直線 L1
過 B 點作直線 L4平行直線 L1
如圖 3.14(a)
(2) L1∥L2 ∥L3∥L4
(3) ∠1=∠2+∠3 (4) ∠4+∠5=90°
(5) ∠5=15°
(6) ∠4+15°=90°
∠4=90°-15°=75°
(7) ∠3+∠4=180°
(8) ∠3+75°=180°
∠3=180°-75°=105°
(9) ∠2=40°
(10) ∠1=40°+105°=145°
作圖
圖 3.14(a)
由(1) & 已知 L1∥L2
如圖 3.14(a),全量等於分量和 如圖 3.14(a),分量和等於全量 由(2) L2 ∥L4 & 內錯角相等
將(5)∠5=15° 代入(4) ∠4+∠5=90°
等量減法公理
由(2) L3 ∥L4 & 同側內角互補 將(6)∠4=75° 代入(7) ∠3+∠4=180°
等量減法公理
由(2) L1 ∥L3 & 內錯角相等
將(9) ∠2=40°& (8) ∠3=105° 已證 代入(3) ∠1=∠2+∠3
3-43
圖 3.15 想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) 過 F 點作直線 L 平行直線 如圖 3.15(a)
(2) ∥ ∥L (3) ∠1=∠2+∠3 (4) ∠2+147°=180°
(5) ∠2=180°-147°=33°
(6) ∠3+123°=180°
(7) ∠3=180°-123°=57°
(8) ∠1=33°+57°=90°
作圖
圖 3.15(a)
由(1) & 已知 ∥
如圖 3.15(a),全量等於分量和 由(2) ∥L & 同側內角互補 由(4) 等量減法公理
由(2) ∥L & 同側內角互補 由(6) 等量減法公理
將(5) ∠2=33°& (7) ∠3=57° 已證 代入(3) ∠1=∠2+∠3
3-44
圖 3.16
想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) 過 P 點作直線 平行直線 L1
過 Q 點作直線 平行直線 L1
如圖 3.16(a)
(2) ∥ ∥L1∥L2
(3) ∠1=∠3+∠4 (4) ∠2=∠5+∠6 (5) ∠3=62°
(6) ∠4=40°
(7) ∠1=62°+40°=102°
(8) ∠5=80°
(9) ∠6=40°
(10) ∠2=80°+40°=120°
作圖
圖 3.16(a)
由(1) & 已知 L1∥L2
如圖 3.16(a),全量等於分量和 如圖 3.16(a),對頂角相等 由(2) ∥L1 & 內錯角相等 由(2) ∥L2 & 內錯角相等 將(5) ∠3=62°°& (6) ∠4=40° 已證 代入(3) ∠1=∠3+∠4
由(2) ∥L1 & 內錯角相等 由(2) ∥L2 & 內錯角相等 將(8) ∠5=80°°& (9) ∠6=40° 已證 代入(4) ∠2=∠5+∠6
3-45
圖 3.17 想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) 假設 交 於 G 點,如圖 3.17(a) 所示
(2) ∠1=∠B=30°
(3) ∠E=∠1=30°
不互相平行的兩直線必交於一點
圖 3.17(a)
已知 ∥ ,同位角相等 & 已知∠B=30°
已知 ∥ ,同位角相等 & 由(2)∠1=30° 已證
3-46
圖 3.18 想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) 假設 交 於 G 點,如圖 3.18(a) 所示
(2) ∠1=∠B=42°
(3) ∠E+∠1=180°
(4) ∠E+42°=180°
∠E=180°-42°=138°
不互相平行的兩直線必交於一點
圖 3.18(a)
已知 ∥ ,同位角相等 & 已知∠B=42°
已知 ∥ ,同側內角互補
將(2)∠1=42° 代入(3) 等量減法公理
3-47
圖 3.19 想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) 假設 交 於 G 點,如圖 3.19(a) 所示
(2) ∠1+∠E=180°
(3) ∠1+80°=180°
∠1=180°-80°=100°
(4) ∠B+∠1=180°
(5) ∠B+100°=180°
∠B=180°-100°=80°
不互相平行的兩直線必交於一點
圖 3.19(a)
已知 ∥ ,同側內角互補
將已知∠E=80°代入(2) 等量減法公理
已知 ∥ ,同側內角互補
將(3)∠1=100° 代入(4) 等量減法公理
3-48
圖 3.20 想法:一截線與兩平行線相交,則:
1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:
敘述 理由
(1) 過 E 點作直線 M 平行直線 且交 於 I 點
過 E 點作直線 平行直線 如圖 3.20(a)
(2) ∠DEF=∠3+∠4 (3) ∠1=∠B=37°
(4) ∠2=∠6=90°
(5) ∠1+∠2+∠4=180°
(6) 37°+90°+∠4=180°
∠4=180°-37°-90°=53°
作圖
圖 3.20(a)
如圖 3.20(a),全量等於分量和 由(1) M∥ ,同位角相等 & 已知∠B =37°
由(1) ∥ ,內錯角相等&
已知 ⊥ ,∠6 =90°
由(1) ∥ ,同側內角互補 將(3)∠1=37°&(4)∠2=90°代入(5) 等量減法公理
3-49
(8) ∠3+∠5=180°
(9) ∠3+90°=180°
∠3=180°-90°=90°
(10) ∠DEF=90°+53°=143°
由(1) M∥ ,同側內角互補 將(7) ∠5=90° 代入 (8) 等量減法公理
將(9)∠3=90° & (6)∠4=53°
代入(2) ∠DEF=∠3+∠4