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習題 3.1

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Academic year: 2022

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(1)

3-1

E

圖 3.1-8 習題 3.1-1

圖 3.1-8 中, = = = ,試證 ⊥ 。

C D

B A

已知: = = =

求證: ⊥

想法:(1) 若證得∠AED=∠AEB=90°,則可知 ⊥ ; (2) 若證得△ADE △ABE,則可知∠AED=∠AEB;

(3) 已知判斷兩個三角形全等的方法有:

1. 兩邊夾一角三角形全等定理,又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理,又稱 A.S.A.三角形全等定理 3. 三邊相等三角形全等定理,又稱 S.S.S.三角形全等定理 證明:

敘述 理由

(1) 如圖 3.1-8,△ACD 及△ACB 中,

(2) △ACD △ACB (3) ∠DAC=∠BAC

(4) 假設 直線與 線相交於 E 點 (5) △ADE 及△ABE 中,

∠DAE=∠BAE

如圖 3.1-8 所示

已知 = = =

已知 = = =

兩三角形共用此邊

由(1) S.S.S.三角形全等定理

由(2) 兩全等三角形的對應角相等 兩直線交點公理

如圖 3.1-8 所示

由(3) ∠DAC=∠BAC

已知 = = =

兩三角形共用此邊

(2)

3-2

(7) ∠AED=∠AEB

(8) ∠AED+∠AEB=180°

(9) ∠AED=∠AEB=90°

(10) 所以 ⊥

由(6) 兩全等三角形的對應角相等 如圖 3.1-8( 為一直線)

由(7) & (8) 由(9)

(3)

3-3

圖 3.1-9 中, = , = ,試證 ⊥ 。

E A

B C

D

圖 3.1-9

已知: = , =

求證: ⊥

想法:(1) 若證得△ABC 為等腰三角形,且 為∠BAC 的角平分線,根據等腰 三角形頂角平分線垂直底邊的性質,即可得知 ⊥ ;

(2) 若證得△ADB △ADC,即可得知∠BAD=∠CAD, 為∠BAC 的角平分線;

(3) 已知判斷兩個三角形全等的方法有:

1. 兩邊夾一角三角形全等定理,又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理,又稱 A.S.A.三角形全等定理 3. 三邊相等三角形全等定理,又稱 S.S.S.三角形全等定理 證明:

敘述 理由

(1) 如圖 3.1-9,△ADB 及△ADC 中,

(2) △ADB △ADC (3) ∠BAD=∠CAD (4) △ABC 為等腰三角形 (5) 為∠BAC 的角平分線 (6) 所以 ⊥

如圖 3.1-9 所示

已知 =

已知 =

兩三角形共用此邊

由(1) S.S.S.三角形全等定理

由(2) 兩全等三角形的對應角相等

已知 =

由(3) ∠BAD=∠CAD 已證 由(4)&(5) 等腰三角形頂角平分線 垂直底邊

(4)

3-4

圖 3.1-10 中, = , 為∠ABC 的平分線, 為∠ACB 的平分線,

與 相交於 D,試證 ⊥ 。

4 3

2 1 D

E A

B C

圖 3.1-10

已知: = , 為∠ABC 的平分線, 為∠ACB 的平分線, 與 相交

於 D

求證: ⊥

想法:(1) 若證得△ABC 為等腰三角形,且 為∠BAC 的角平分線,根據等腰 三角形頂角平分線垂直底邊的性質,即可得知 ⊥ ;

(2) 若證得△ADB △ADC,即可得知∠BAD=∠CAD, 為∠BAC 的角平分線;

(3) 已知判斷兩個三角形全等的方法有:

1. 兩邊夾一角三角形全等定理,又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理,又稱 A.S.A.三角形全等定理 3. 三邊相等三角形全等定理,又稱 S.S.S.三角形全等定理 證明:

敘述 理由

(1) △ABC 為等腰三角形

∠ABC=∠ACB (2) ∠3=∠4=1

2∠ABC =1

2∠ACB=∠1=∠2 (3) △DBC 為等腰三角形

CD BD =

(4) △ADB 及△ADC 中,

∠4=∠2

已知 =

等腰三角形兩底角相等 已知 為∠ABC 的平分線,

為∠ACB 的平分線

& 由(1) ∠ABC=∠ACB 由(2)已證∠1=∠3

等腰三角形兩腰等長 如圖(3.1-10)所示

已知 =

由(2)已證∠4=∠2

(5)

3-5

(5) △ADB △ADC (6) ∠BAD=∠CAD。

(7) △ABC 為等腰三角形 (8) 為∠BAC 的角平分線 (9) 所以 ⊥

由(4) S.A.S.三角形全等定理 由(5) 兩全等三角形的對應角相等

已知 =

由(6) ∠BAD=∠CAD 已證

由(7)&(8) 等腰三角形頂角平分線 垂直底邊

習題 3.1-4

圖 3.1-11 中, ⊥ , 為ECF 的角平分線,試證∠ACE=∠BCF。

E F

C A B

D

圖 3.1-11 已知: ⊥ , 為ECF 的角平分線 求證:∠ACE=∠BCF

想法:利用等量公理 證明:

敘述 理由

(1) ∠ACD=∠BCD=90°

(2) ∠ECD=∠FCD

(3) ∠ACD-∠ECD=∠BCD-∠FCD (4) ∠ACE=∠BCF

已知 ⊥

已知 為ECF 的角平分線 由(1)式-(2)式

如圖 3.2-11 所示,

ACE=∠ACD-∠ECD

∠BCF=∠BCD-∠FCD & (3)

(6)

3-6

圖 3.1-12 中,BAC 與BCA 互為餘角,DEC 與DCE 互為餘角,

試證∠BAC=∠DEC。

B C D

A

E

圖 3.1-12

已知:BAC 與BCA 互為餘角,DEC 與DCE 互為餘角 求證:∠BAC=∠DEC

想法:利用等量公理 證明:

敘述 理由

(1) ∠BCA=∠DCE (2) BAC+BCA=90°

(3) DEC+DCE=90°

(4) BAC+BCA=DEC+DCE (5) BAC+ DCE=DEC+DCE (6) BAC=DEC

如圖 3.1-12,對頂角相等 已知BAC 與BCA 互為餘角 已知DEC 與DCE 互為餘角 由(2)&(3)遞移律

將(1) ∠BCA=∠DCE 代入 (4) 由(5) 等量減法公理

(7)

3-7

習題 3.2-1:

如圖 3.2-43,L 是 L1和 L2的截線,則:

(1)∠1 的同位角為 。 (2)∠3 的同側內角為 。 (3)∠4 的內錯角為 。

圖 3.2-43

想法:(1) 位居於截線兩側且不相鄰的內角,叫做內錯角。

(2) 位居於截線同側且不相鄰的內角與外角,叫做同位角。

(3) 位居於截線同側的內角,叫做同側內角。

解:

敘述 理由

(1) ∠1 的同位角為∠5 (2) ∠3 的同側內角為∠6 (3) ∠4 的內錯角為∠6

同位角的定義 同側內角的定義 內錯角的定義

(8)

3-8

如圖 3.2-44,L1//L2,L 為截線,∠4=100°,則:

(1)∠6= 度 (2)∠5= 度

圖 3.2-44

想法:一截線與兩平行線相交所造成的一組內錯角相等 解:

敘述 理由

(1) ∠6 與∠4 互為內錯角 (2) ∠6=∠4=100°

(3) ∠5+∠6=180°

(4) ∠5=180°-100°=80°

已知 L 為截線

已知 L1//L2內錯角相等 & 已知∠4=80°

∠5+∠6 為平角 180°

由(3) 等量減法公理 & 由(2) ∠6=100° 已證

(9)

3-9

如圖 3.2-45,L1//L2,L 為截線,求:

(1) x= 。 (2)∠1= 度。

(3)∠2= 度。

圖 3.2-45

想法:一截線與兩平行線相交所造成的一組內錯角相等 解:

敘述 理由

(1) (4x-20)°=(x+40)°

(2) x=20

(3) ∠1=(4x-20)°=60°

(4) ∠2=180°-(x+40)°=120°

已知 L1//L2內錯角相等 由(1) 解一元一次方程式

對頂角相等 & 由(2) x=20 已證

∠2 與(x+40)°互補 & 由(2) x=20 已證

(10)

3-10

如圖 3.2-46,已知 L1∥L2,M 是 L1、L2的一條截線,若∠1=125°,求∠2。

圖 3.2-46 想法:已知一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 解:

敘述 理由

(1) ∠1 的同位角為∠2 (2) ∠2=∠1

(3) ∠2=125°

已知 M 是 L1、L2的一條截線 已知 L1∥L2 & 同位角相等 由(2) & 已知∠1=125°

(11)

3-11

如圖 3.2-47, ∥ ∥ ∥ 。連接 ,且∠1=60°,求:

(1) ∠2 至∠8 各截角的度數。

(2) 同側內角∠3 與∠5 的和。

圖 3.2-47 想法:已知一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 解:

敘述 理由

(1) ∠2=180°-∠1=120°

(2) ∠3=∠2=120°

(3) ∠4=∠1=60°

(4) ∠5=∠1=60°

(5) ∠6=∠2=120°

(6) ∠7=∠6=120°

(7) ∠8=∠5=60°

(8) ∠3+∠5=120°+60°=180°

∠2 與∠1 互補&∠1=60°

對頂角相等 & ∠2=120°

對頂角相等 & ∠1=60°

∥ ,同位角相等

∥ ,同位角相等

對頂角相等 & ∠6=120°

對頂角相等 & ∠5=60°

由(2) & (4)

(12)

3-12

如圖 3.2-48,L1∥L2,L3∥L4,則:

(1)∠1= 度。 (2)∠2= 度。

(3)∠3= 度。 (4)∠4= 度。

圖 3.2-48 想法:已知一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等

解:

敘述 理由

(1) ∠4=60°

(2) ∠3=∠4=60°

(3) ∠2=180°-∠3

(4) ∠2=180°-∠3=120°

(5) ∠1=∠2=120°

L1∥L2,同位角相等

L3∥L4,同位角相等 &∠4=60°

∠3 與∠2 互補,∠3+∠2=180°

由(3) &∠3=60°

L1∥L2,同位角相等 &∠2=120°

(13)

3-13

如圖 3.2-49,L1∥L2,M 是 L1、L2的一條截線,若∠1=135°,求∠2、∠3。

圖 3.2-49 想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) ∠3 與∠1 互為同側內角 (2) ∠3+∠1=180°

(3) ∠3=180°-∠1 (4) ∠3=180°-135°=45°

(5) ∠2 與∠1 互為內錯角 (6) ∠2=∠1=135°

M 是 L1、L2的一條截線 L1∥L2,同側內角互補 由(2)

由(3)&∠1=135°

M 是 L1、L2的一條截線

L1∥L2,內錯角相等 & ∠1=135°

(14)

3-14

如圖 3.2-50,L1∥L2,M 是 L1和 L2的截線,∠1=57°,則:

(1)∠2 和 是同側內角。

(2)∠3 和 是同位角。

(3)∠6= 度。

(4)∠8= 度。

圖 3.2-50 想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) ∠2 與∠5 互為同側內角 (2) ∠3 與∠7 互為同位角 (3) ∠5 與∠1 互為同位角 (4) ∠5=∠1=57°

(5) ∠6=180°-∠5=123°

(6) ∠8=∠6=123°

M 是 L1、L2的一條截線 M 是 L1、L2的一條截線 M 是 L1、L2的一條截線

L1∥L2,同位角相等 &∠1=57°

∠5+∠6=180° &∠5=57°

對頂角相等 &∠6=123°

(15)

3-15

如圖 3.2-51,L1∥L2∥L3,L 為截線,∠1=75°,則:

(1)∠2= 度。

(2)∠3= 度。

(3)∠4= 度。

圖 3.2-51 想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) ∠2=∠1=75°

(2) ∠3 與∠2 互為同側內角 (3) ∠3+∠2=180°

(4) ∠3=180°-∠2=105°

(5) ∠5 與∠3 互為同位角 (6) ∠5=∠3=105°

(7) ∠4=∠5=105°

對頂角相等

L 是 L1、L2的一條截線 L1∥L2,同側內角互補

由(3) 等量減法公理 &∠2=75°

L 是 L2、L3的一條截線

L2∥L3,同位角相等 &∠3=105°

對頂角相等 &∠5=105°

(16)

3-16

如圖 3.2-52,回答下列問題:

(1) L1和哪一條直線平行? 。 (2) L2和哪一條直線平行? 。

圖 3.2-52 想法:判斷兩直線平行的方法有:

1. 內錯角相等的兩線平行 2. 同位角相等的兩線平行 3. 同側內角互補的兩線平行 解:

敘述 理由

(1) ∠1=107°

(2) L1∥L3

(3) L2∥L5

對頂角相等

∠1+73°=180°,同側內角互補的兩線平行定理 104°=104°,內錯角相等的兩線互相平行定理

(17)

3-17

圖 3.2-53 中, ∥ , 平分∠BEF, 平分∠CFE,試證 ∥ 。

F

A E B

C D

G

H

圖 3.2-53

已知: ∥ , 平分∠BEF, 平分∠CFE

求證: ∥

想法:(1) 一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補

(2) 判斷兩直線平行的方法有:

1. 內錯角相等的兩線平行 2. 同位角相等的兩線平行 3. 同側內角互補的兩線平行 證明:

敘述 理由

(1) ∠BEF=∠CFE (2) ∠BEF=2∠HEF (3) ∠CFE=2∠GFE (4) 2∠HEF=2∠GFE (5) ∠HEF=∠GFE (6) 所以 ∥

已知 ∥ ,內錯角相等

已知 平分∠BEF 已知 平分∠CFE 將(2) & (3)代入(1)

由(4) 等量除法公理(等式兩邊同除以 2) 由(5) ∠HEF=∠GFE & 內錯角相等,

兩直線互相平行定理

(18)

3-18

圖 3.2-54 中, ∥ , ∥ ,試證∠ACD=∠A'B'D'。

C'

B B'

C

A

A'

D' D

圖 3.2-54

已知: ∥ , ∥

求證:∠ACD=∠A'B'D'

想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 證明:

敘述 理由

(1) ∠ACD=∠A'C'D (2) ∠A'C 'D=∠A'B'D'

(3) ∠ACD=∠A'C'D=∠A'B'D' (4) 所以∠ACD=∠A'B'D'

已知 ∥ ,同位角相等

已知 ∥ ,同位角相等

由(1)&(2)遞移律 由(3)

(19)

3-19

圖 3.2-55 中, ∥ , ∥ , = ,試證 = 。

D

B E

A

C

圖 3.2-55

已知: ∥ , ∥ , =

求證: =

想法:(1) 若證得△ABC △DCE,則可得知 = (2) 判斷兩個三角形全等的方法有:

1. 兩邊夾一角三角形全等定理,又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理,又稱 A.S.A.三角形全等定理 3. 三邊相等三角形全等定理,又稱 S.S.S.三角形全等定理 (3) 一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 證明:

敘述 理由

(1) △ABC 與 △DCE 中,

∠ABC=∠DCE

∠ACB=∠DEC (2) 所以△ABC △DCE (3) 所以 =

如圖 3.2-55 所示

已知 ∥ ,同位角相等

已知 =

已知 ∥ ,同位角相等

由(1) & A.S.A.全等三角形定理 由(2) 對應邊相等

(20)

3-20

圖 3.2-56 中, ∥ , ∥ ,試證∠A=∠D,∠C=∠B。

D A

B

C

圖 3.2-56

已知: ∥ , ∥

求證:∠A=∠D,∠C=∠B

想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 證明:

敘述 理由

(1) ∠A+∠C=180°

(2) ∠A+∠B=180°

(3) ∠A+∠C=∠A+∠B (4) ∠C=∠B

(5) 同理可證∠A=∠D

已知 ∥ ,同側內角互補

已知 ∥ ,同側內角互補

由(1)&(2)遞移律

由(3) 等量減法公理(等式兩邊同減∠A) 由(1)~(4)

(21)

3-21

習題 3.3-1

下列各圖形中,哪些是線對稱圖形?

(A)

圖 3.3-13(a)

(B)

圖 3.3-13(b)

(C)

圖 3.3-13(c)

(D)

圖 3.3-13(d)

(E)

圖 3.3-13(e)

(F)

圖 3.3-13(f)

(G)

圖 3.3-13(g)

(H)

圖 3.3-13(h)

(I) (J) (K) (L)

圖 3.3-13(i) 圖 3.3-13(j) 圖 3.3-13(k) 圖 3.3-13(l)

想法:若一個圖形是線對稱圖形,則沿著對稱軸對折,圖形會完全重疊

(22)

3-22

L3

L4

L5

L6

L7

L8

L9

L10

L11

圖 3.3-13(a-1) 圖 3.3-13(b-1) 圖 3.3-13(g-1)

圖 3.3-13(h-1) 圖 3.3-13(i-1) 圖 3.3-13(k-1)

圖 3.3-13(l-1)

解:

敘述 理由

(23)

3-23

, L1為其對稱軸

(2) 選項(B)為線對稱圖形,如圖 3.3-13(b-1)

, L2為其對稱軸 (3) 選項(C)不是線對稱圖形 (4) 選項(D)不是線對稱圖形 (5) 選項(E)不是線對稱圖形 (6) 選項(F)不是線對稱圖形

(7) 選項(G) 為線對稱圖形,如圖 3.3-13(g-1)

, L3為其對稱軸

(8) 選項(H) 為線對稱圖形,如圖 3.3-13(h-1)

, L4、 L5、L6、L7、L8為其對稱軸

(9) 選項(I) 為線對稱圖形,如圖 3.3-13(i-1),

L9為其對稱軸

(10) 選項(J)不是線對稱圖形

(11) 選項(K)為線對稱圖形,如圖 3.3-13(k-1)

,L10為其對稱軸

(12) 選項(L)為線對稱圖形,如圖 3.3-13(l-1)

,L11為其對稱軸

(13) 所以本題選(A)、(B)、(G)、(H)、(I)、

(K)、(L)

圖形完全重疊

圖 3.3-13(b-1)中,沿著 L2對折,

圖形完全重疊 找不到對稱軸 找不到對稱軸 找不到對稱軸 找不到對稱軸

圖 3.3-13(g-1)中,沿著 L3對折,

圖形完全重疊

圖 3.3-13(h-1)中,分別沿著 L4、 L5、L6、L7、L8對折,圖形完全 重疊

圖 3.3-13(i-1)中,沿著 L9對折,

圖形完全重疊 找不到對稱軸

圖 3.3-13(k-1)中,沿著 L10對折,

圖形完全重疊

圖 3.3-13(l-1)中,沿著 L11對折,

圖形完全重疊 由(1)~(12)

(24)

3-24

L1

L2 L3

L4

L5

L6

下列各圖形哪一個的對稱軸超過一條?

(A) (B) (C) (D)

圖 3.3-14(a) 圖 3.3-14(b) 圖 3.3-14(c) 圖 3.3-14(d) 想法:若一個圖形是線對稱圖形,則沿著對稱軸對折,圖形會完全重疊

圖 3.3-14(a-1) 圖 3.3-14(b-1) 圖 3.3-14(c-1) 圖 3.3-14(d-1) 解:

敘述 理由

(1) 選項(A)為線對稱圖形,如圖 3.3-14(a-1)

, L1為其對稱軸,有 1 條對稱軸 (2) 選項(B)為線對稱圖形,如圖 3.3-14(b-1)

, L2為其對稱軸,有 1 條對稱軸 (3) 選項(C)為線對稱圖形,如圖 3.3-14(c-1)

, L3、 L4、 L5為其對稱軸,有 3 條 對稱軸

(4) 選項(D)為線對稱圖形,如圖 3.3-14(d-1)

, L6為其對稱軸,有 1 條對稱軸 (5) 所以本題選(C)

圖 3.3-14(a-1)中,沿著 L1對折,

圖形完全重疊

圖 3.3-14(b-1)中,沿著 L2對折,

圖形完全重疊

圖 3.3-14(c-1)中,分別沿著 L3、 L4、L5對折,圖形完全重疊 圖 3.3-14(d-1)中,沿著 L6對折,

圖形完全重疊 由(1)~(4)

(25)

3-25

L1

L2

L5

L6

L7

L8

L9

L10

L11

L12

L3

L4

畫出下列圖形的所有對稱軸:

圖 3.3-15(a) 圖 3.3-15(b) 圖 3.3-15(c) 圖 3.3-15(d) 想法:若一個圖形是線對稱圖形,則沿著對稱軸對折,圖形會完全重疊

圖 3.3-15(a-1) 圖 3.3-15(b-1) 圖 3.3-15(c-1) 圖 3.3-15(d-1) 解:

敘述 理由

(1) 圖 3.3-15(a-1)中,

L1~L4為對稱軸 (2) 圖 3.3-15(b-1)中,

L5~L9為對稱軸 (3) 圖 3.3-15(c-1)中,

L10、L11為對稱軸 (4) 圖 3.3-15(d-1)中,

L12為對稱軸

圖 3.3-15(a-1)中,

沿著 L1~L4對折,圖形完全重疊 圖 3.3-15(b-1)中,

沿著 L5~L9對折,圖形完全重疊 圖 3.3-15(c-1)中,

沿著 L10、L11對折,圖形完全重疊 圖 3.3-15(d-1)中,

沿著 L12對折,圖形完全重疊

(26)

3-26

直角三角形都是線對稱圖形嗎?哪一種直角三角形是線對稱圖形?

想法:若一個圖形是線對稱圖形,則沿著對稱軸對折,圖形會完全重疊

圖 3.3-17(a) 圖 3.3-17(b) 解:

敘述 理由

(1) 圖 3.3-17(a)中,△ABC 為直角三角形,

但△ABC 並非線對稱圖形

(2) 圖 3.3-17(b)中,△A'B'C'為等腰直角 三角形,L 為△A'B'C'的對稱軸,因此 等腰直角三角形為線對稱圖形

圖 3.3-17(a)中,找不到對稱軸

圖 3.3-17(b)中,沿著 L 對折,

會使得△A'B'D △C'B'D,

圖形完全重疊

(27)

3-27

L L

L

如圖 3.3-16,將一張長方形色紙對摺後,剪出一個字母 ,則展開後的圖 形為下列何者?

圖 3.3-16

(A) (B)

(C) (D)

想法:若一個圖形是線對稱圖形,則沿著對稱軸對折,圖形會完全重疊

圖 3.3-16(a)

圖 3.3-16(b) 解:

敘述 理由

(1) 圖 3.3-16(a)中,L 為長方形色紙的對稱軸 (2) 圖 3.3-16(b)為線對稱圖形,L 為其對稱軸

(3) 因此本題選(A)

已知將一張長方形色紙對摺 圖 3.3-16(b)中,沿著 L 對折,

會使得圖形完全重疊 由(1) & (2)

(28)

3-28

1: 已知:如圖 3.1,L1 ∥ L2, ∥ 。

證明:∠1+∠2+∠3+∠4=360°。

圖 3.1 想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 證明:

敘述 理由

(1) 延長 與 L1交於 F 點,

如圖 3.1(a)所示

(2) ∥ (3) ∠5=∠1

(4) ∠5+∠4=180°

(5) ∠1+∠4=180°

(6) ∠2+∠3=180°

(7) 所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°

作圖,

圖 3.1(a)

由(1)作圖 & 已知 ∥

由(2) ∥ 已證 & 同位角相等 已知 L1 ∥ L2,同側內角互補

將(3) ∠5=∠1 代入 (4) ∠5+∠4=180°

已知 ∥ ,同側內角互補

由(5)式+(6)式

(29)

3-29

(1)∠1= 度。 (2)∠2= 度。 (3)∠3= 度。

圖 3.2 想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) ∠1=180°-125°=55°

(2) ∠2=70°

(3) 過 A 點作直線 L3平行直線 L1

如圖 3.2(a)

(4) L1∥L2∥L3

(5) ∠4+∠5=125°

(6) ∠4=70°

(7) 70°+∠5=125°

∠5=125°-70°=55°

(8) ∠3+∠5=180°

(9) ∠3=180°-∠5 =180°-55°=125°

如圖 3.2 所示 & 補角定義 已知 L1∥L2 & 內錯角相等 作圖

圖 3.2(a)

由(3)作圖 L3∥L1 & 已知 L1∥L2

如圖 3.2(a),分量和等於全量 由(4) L1∥L3 & 內錯角相等

將(6) ∠4=70°代入(5) ∠4+∠5=125°得 等量減法公理

由(4) L2∥L3 & 同側內角互補 由(8) 等量減法公理

將(7) ∠5=55°代入

(30)

3-30

圖 3.3 想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) 過 A 點作直線 L3平行直線 L1, 如圖 3.3(a)所示

(2) ∠1=∠2+∠3 (3) L1∥L2∥L3

(4) ∠2=37°

(5) ∠3=180°-135°=45°

(6) ∠1=∠2+∠3=82°

作圖

圖 3.3(a)

如圖 3.3(a),全量等於分量和 由(1)作圖 L3∥L1 & 已知 L1∥L2

由(1)作圖 L3∥L1 & 內錯角相等 由(3) L3∥L2 已證 & 同側內角互補 將(4) & (5)代入 (6)

(31)

3-31

圖 3.4 想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) 過 B 點作直線 L3平行直線 L1; 過 C 點作直線 L4平行直線 L1; 如圖 3.4(a)

(2) L1∥L2∥L3∥L4

(3) ∠1+∠2=90°

(4) ∠1=28°

(5) 28°+∠2=90°

∠2=90°-28°=62°

(6) ∠3=∠2°=62°

(7) ∠4=180°-117°=63°

(8) ∠BCD=∠3+∠4 =62°+63°=125°

作圖

圖 3.4(a)

由(1) & L1∥L2

已知 ⊥ & 全量等於分量和 由(2) L1∥L3 & 內錯角相等

將(4) ∠1=28°代入(3) ∠1+∠2=90°

等量減法公理

由(2) L3∥L4 & 內錯角相等 由(2)L4∥L2 & 同側內角互補 如圖 3.4(a) ∠BCD=∠3+∠4 將(6) ∠3=62°&(7) ∠4=63°代入

(32)

3-32

圖 3.5 想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) 過 A 點作直線 L3平行直線 L1; 過 B 點作直線 L4平行直線 L1; 如圖 3.5(a)

(2) L1∥L2∥L3∥L4

(3) ∠3+∠4=∠1 (4) ∠5+∠6=∠2

(5) ∠3+∠4+∠5+∠6

=∠1+∠2

=(3x-25)°+(4x-13)°

=(7x-38)°

(6) ∠3=18°

(7) ∠4+∠5=180°

(8) ∠6=37°

(9) 18°+180°+37°= (7x-38)°

235°= (7x-38)°

x = (235+38)÷7=39 (10) 所以 x=39

作圖

圖 3.5(a)

由(1) & L1∥L2

如圖 3.5(a),分量和等於全量 如圖 3.5(a),分量和等於全量 由(3)式+(4)式

將已知∠1=(3x-25)° &

∠2=(4x-13)°代入得 化簡

由(2) L1∥L3 & 內錯角相等 由(2) L3∥L4 & 同側內角互補 由(2) L4∥L2 & 內錯角相等 將(6)&(7)&(8)代入(5)得 化簡

解一元一次方程式 由(9)

(33)

3-33

圖 3.6 想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) 過 A 點作直線 L1平行直線 L;

過 B 點作直線 L2平行直線 L;

過 C 點作直線 L3平行直線 L;

如圖 3.6(a)

(2) L1∥L2∥L3∥L∥M (3) ∠1+∠2=∠y (4) ∠3+∠4=40°

(5) ∠5+∠6=45°

(6) ∠6=25°

(7) ∠5+25°=45°

∠5=45°-25°=20°

(8) ∠4=∠5=20°

(9) ∠3+20°=40°

∠3=40°-20°=20°

作圖

圖 3.6(a)

由(1) & L∥M

如圖 3.6(a),分量和等於全量 如圖 3.6(a),分量和等於全量 如圖 3.6(a),分量和等於全量 由(2) L3∥M & 內錯角相等

將(6) ∠6=25°代入(5) ∠5+∠6=45°

等量減法公理

由(2) L2∥L3 & 內錯角相等

將(8) ∠4=20°代入(4) ∠3+∠4=40°

等量減法公理

(34)

3-34

(11) ∠1=20°

(12) 所以∠y=20°+20°=40°

由(2) L1∥L & 內錯角相等 將(11) ∠1=20° & (10) ∠2=20°

代入(3) ∠1+∠2=∠y

(35)

3-35

圖 3.7 想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) 過 D 點作直線 L1平行直線 L;

過 B 點作直線 L2平行直線 L;

如圖 3.7(a)

(2) L1∥L2∥L∥M (3) ∠ADC=∠5+∠6 (4) ∠7+∠8=∠ABC=40°

(5) ∠1=∠7 (6) ∠4=∠8

(7) ∠1+∠4=∠7+∠8 (8) ∠1+∠4=40°

(9) ∠5=∠1+∠2

(10) ∠5=∠1+∠1=2∠1

作圖

圖 3.7(a)

由(1) & L∥M

如圖 3.7(a),全量等於分量和 如圖 3.7(a),分量和等於全量 & 已知∠ABC=40°

由(2) L2∥L & 內錯角相等 由(2) L2∥M & 內錯角相等 由(5)式+(6)式

將(4) ∠7+∠8=40°代入(7) 由(2) L1∥L & 內錯角相等 將已知∠2=∠1 代入(9)

(36)

3-36

(12) ∠6=∠4+∠4=2∠4 (13) ∠ADC=∠5+∠6

=2∠1+2∠4 =2(∠1+∠4) =2×40°=80°

(14) 所以∠ADC=80°

將已知∠3=∠4 代入(11) 由(3)

將(10)∠5=2∠1 & (12)∠6=2∠4 代入 提出公因數 2

將(8) ∠1+∠4=40°代入 由(13)

8:如圖 3.8,已知 L1∥L2,M 和 N 都是 L1和 L2的截線,且∠1=(8x+6)°,

∠2=(2x+19)°,則:

(1) x= 。 (2)∠3= 度。

圖 3.8 想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) ∠1+∠2+85°=180°

(2) (8x+6)°+(2x+19)°+85°=180°

10x+110=180 x=(180-110)÷10=7 (3) ∠3=85°

已知 L1∥L2,M 是 L1和 L2的截線

& 同側內角互補

將已知∠1=(8x+6)°,

∠2=(2x+19)°代入(1) & 化簡 解一元一次方程式

已知 L1∥L2,N 是 L1和 L2的截線

& 內錯角相等

(37)

3-37

圖 3.9 想法:(1) 正三角形三內角皆為 60°

(2) 一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) x+∠CAB=∠1

(2) ∠CAB=∠ACB =60°

(3) x+60°=80°

(4) x=80°-60°=20°

(5) ∠1+∠ACB+y=180°

(6) 80°+60°+y=180°

(7) y=180°-80°-60°=40°

已知 L1∥L2 & 內錯角相等

已知△ABC 為正三角形

將已知∠1=80° & (2) ∠CAB=60°代入(1) 由(3) 等量減法公理

如圖 3.9,L2為一直線

將已知∠1=80° & (2) ∠ACB=60°代入(5) 由(6) 等量減法公理

(38)

3-38

圖 3.10 想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) 過 B 點作直線 L3平行直線 L1

如圖 3.10(a)

(2) L1∥L2∥L3

(3) ∠1=∠BAC=18°

(4) x=∠1+∠ABC (5) x=18°+20°=38°

作圖

圖 3.10(a)

由(1) & 已知 L1∥L2

已知∠BAC=18°

& 由(2) L1∥L3 & 內錯角相等 由(2) L2∥L3 & 內錯角相等

將已知 ∠ABC=20° & (3) ∠1=18°

代入(4)

(39)

3-39

y= 度。

圖 3.11 想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) 過 B 點作直線 L3平行直線 L1

過 D 點作直線 L4平行直線 L1

如圖 3.11(a)

(2) L1∥L2∥L3∥L4

(3) ∠3+∠4=∠CDE (4) ∠3=∠1=28°

(5) 28°+∠4=67°

(6) ∠4=67°-28°=39°

(7) x=∠4=39°

(8) ∠2+∠ABC+x=180°

(9) ∠2+95°+39°=180°

∠2=180°-95°-39°=46°

(10) y=∠2=46°

作圖

圖 3.11(a)

由(1) & 已知 L1∥L2

如圖 3.11(a),分量和等於全量 由(2) L2∥L4 & 內錯角相等

將(4)∠3=28°& 已知∠CDE=67°代入(3) 由(5) 等量減法公理

由(2) L1∥L4同位角相等&(6)∠4=39°已證 由(2) L1∥L3 & 同側內角互補

將已知∠ABC=95° & (7) x=39°代入(8) 等量減法公理

由(2) L1∥L3內錯角相等&(9)∠2=46°已證

(40)

3-40

圖 3.12 想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) 過 E 點作直線 M 平行直線 過 F 點作直線 L 平行直線 如圖 3.12(a)

(2) M∥L∥ ∥ (3) ∠1+∠2=85°

(4) ∠3+∠4=(16x+14)°

(5) ∠1=(2x+4)°

(6) ∠2=(9x+4)°

(7) ∠3=(8x+4)°

(8) ∠4=y°

(9) (2x+4)°+(9x+4)°=85°

11x+8=85 x=(85-8)÷11=7

作圖

圖 3.12(a)

由(1) & 已知 ∥

如圖 3.12(a),分量和等於全量 如圖 3.12(a),分量和等於全量 由(2) L∥ & 內錯角相等 由(2) L∥ & 內錯角相等 由(2) M∥ & 內錯角相等 由(2) M∥ & 內錯角相等 將(5) & (6) 代入 (3)

化簡

解一元一次方程式

(41)

3-41

60+y=126

y=126-60=66 (11) ∠BEC=(16x+14)°=126°

將(9) x=7 代入化簡 解一元一次方程式

將(9) x=7 代入已知∠BEC=(16x+14)°

13:如圖 3.13,L1∥L2∥L3,則 x= 度。

圖 3.13 想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) 3x=32°+2x (2) x=32°

已知 L1∥L3 & 內錯角相等

由(1)解一元一次方程式

(42)

3-42

圖 3.14 想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) 過 A 點作直線 L3平行直線 L1

過 B 點作直線 L4平行直線 L1

如圖 3.14(a)

(2) L1∥L2 ∥L3∥L4

(3) ∠1=∠2+∠3 (4) ∠4+∠5=90°

(5) ∠5=15°

(6) ∠4+15°=90°

∠4=90°-15°=75°

(7) ∠3+∠4=180°

(8) ∠3+75°=180°

∠3=180°-75°=105°

(9) ∠2=40°

(10) ∠1=40°+105°=145°

作圖

圖 3.14(a)

由(1) & 已知 L1∥L2

如圖 3.14(a),全量等於分量和 如圖 3.14(a),分量和等於全量 由(2) L2 ∥L4 & 內錯角相等

將(5)∠5=15° 代入(4) ∠4+∠5=90°

等量減法公理

由(2) L3 ∥L4 & 同側內角互補 將(6)∠4=75° 代入(7) ∠3+∠4=180°

等量減法公理

由(2) L1 ∥L3 & 內錯角相等

將(9) ∠2=40°& (8) ∠3=105° 已證 代入(3) ∠1=∠2+∠3

(43)

3-43

圖 3.15 想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) 過 F 點作直線 L 平行直線 如圖 3.15(a)

(2) ∥ ∥L (3) ∠1=∠2+∠3 (4) ∠2+147°=180°

(5) ∠2=180°-147°=33°

(6) ∠3+123°=180°

(7) ∠3=180°-123°=57°

(8) ∠1=33°+57°=90°

作圖

圖 3.15(a)

由(1) & 已知 ∥

如圖 3.15(a),全量等於分量和 由(2) ∥L & 同側內角互補 由(4) 等量減法公理

由(2) ∥L & 同側內角互補 由(6) 等量減法公理

將(5) ∠2=33°& (7) ∠3=57° 已證 代入(3) ∠1=∠2+∠3

(44)

3-44

圖 3.16

想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) 過 P 點作直線 平行直線 L1

過 Q 點作直線 平行直線 L1

如圖 3.16(a)

(2) ∥ ∥L1∥L2

(3) ∠1=∠3+∠4 (4) ∠2=∠5+∠6 (5) ∠3=62°

(6) ∠4=40°

(7) ∠1=62°+40°=102°

(8) ∠5=80°

(9) ∠6=40°

(10) ∠2=80°+40°=120°

作圖

圖 3.16(a)

由(1) & 已知 L1∥L2

如圖 3.16(a),全量等於分量和 如圖 3.16(a),對頂角相等 由(2) ∥L1 & 內錯角相等 由(2) ∥L2 & 內錯角相等 將(5) ∠3=62°°& (6) ∠4=40° 已證 代入(3) ∠1=∠3+∠4

由(2) ∥L1 & 內錯角相等 由(2) ∥L2 & 內錯角相等 將(8) ∠5=80°°& (9) ∠6=40° 已證 代入(4) ∠2=∠5+∠6

(45)

3-45

圖 3.17 想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) 假設 交 於 G 點,如圖 3.17(a) 所示

(2) ∠1=∠B=30°

(3) ∠E=∠1=30°

不互相平行的兩直線必交於一點

圖 3.17(a)

已知 ∥ ,同位角相等 & 已知∠B=30°

已知 ∥ ,同位角相等 & 由(2)∠1=30° 已證

(46)

3-46

圖 3.18 想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) 假設 交 於 G 點,如圖 3.18(a) 所示

(2) ∠1=∠B=42°

(3) ∠E+∠1=180°

(4) ∠E+42°=180°

∠E=180°-42°=138°

不互相平行的兩直線必交於一點

圖 3.18(a)

已知 ∥ ,同位角相等 & 已知∠B=42°

已知 ∥ ,同側內角互補

將(2)∠1=42° 代入(3) 等量減法公理

(47)

3-47

圖 3.19 想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) 假設 交 於 G 點,如圖 3.19(a) 所示

(2) ∠1+∠E=180°

(3) ∠1+80°=180°

∠1=180°-80°=100°

(4) ∠B+∠1=180°

(5) ∠B+100°=180°

∠B=180°-100°=80°

不互相平行的兩直線必交於一點

圖 3.19(a)

已知 ∥ ,同側內角互補

將已知∠E=80°代入(2) 等量減法公理

已知 ∥ ,同側內角互補

將(3)∠1=100° 代入(4) 等量減法公理

(48)

3-48

圖 3.20 想法:一截線與兩平行線相交,則:

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 解:

敘述 理由

(1) 過 E 點作直線 M 平行直線 且交 於 I 點

過 E 點作直線 平行直線 如圖 3.20(a)

(2) ∠DEF=∠3+∠4 (3) ∠1=∠B=37°

(4) ∠2=∠6=90°

(5) ∠1+∠2+∠4=180°

(6) 37°+90°+∠4=180°

∠4=180°-37°-90°=53°

作圖

圖 3.20(a)

如圖 3.20(a),全量等於分量和 由(1) M∥ ,同位角相等 & 已知∠B =37°

由(1) ∥ ,內錯角相等&

已知 ⊥ ,∠6 =90°

由(1) ∥ ,同側內角互補 將(3)∠1=37°&(4)∠2=90°代入(5) 等量減法公理

(49)

3-49

(8) ∠3+∠5=180°

(9) ∠3+90°=180°

∠3=180°-90°=90°

(10) ∠DEF=90°+53°=143°

由(1) M∥ ,同側內角互補 將(7) ∠5=90° 代入 (8) 等量減法公理

將(9)∠3=90° & (6)∠4=53°

代入(2) ∠DEF=∠3+∠4

參考文獻

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