習題 1-1

(1)

1-1

習題 1-1

習題 1.1-1 點的長度是多少？

解答：點只有位置，沒有長度，寬度及厚度。

習題 1.1-2 什麼是直線？

解答：兩端可以無限延長的線叫做直線。

習題 1.1-3 什麼是射線？

解答：一端可以無限延長的線叫做射線。

習題 1.1-4 什麼是線段？

解答：有兩個端點的線叫做線段。

習題 1.1-5 直線可否無限延長？

解答：兩端可以無限延長的線叫做直線。所以直線的兩端可無限延長。

習題 1.1-6 什麼是曲線？

解答：彎曲的線叫做曲線。

習題 1.1-7 什麼是兩點間的距離？

解答：如果線段兩端是 A 和 B,則的長度就是 A 和 B 間的距離。

(2)

1-2

解答：

習題 1.1-9 將 、分別對應到刻度尺上，已知對應於 A、B、P、Q 四點的刻度分別為 3.5、8.4、4.3、8.9，則＝，＝。

解答：＝8.4－3.5＝4.9 單位長；＝8.9－4.3＝4.6 單位長。

習題 1.1-10 已知 ＝10 公分，若拿一把有刻度的尺，將端點 A 對齊 2.0 公分的位置，則 B 點所對的刻度為。

解答：第一種情況：B 點在 A 點左邊，則 B 點的刻度為 2－10＝－8 公分第二種情況：B 點在 A 點右邊，則 B 點的刻度為 2＋10＝12 公分

圖 1.1-14

圖 1.1-14 中，每一個空格代表 1 公分，所以＝12 公分

(3)

1-3

習題 1-2

習題 1.2-1 平角為多少度？

解答：平角為 180°

習題 1.2-2 直角為多少度？

解答：直角為 90°

習題 1.2-3 周角為多少度？

解答：周角為 360°

習題 1.2-4 什麼是銳角？

解答：0°＜銳角＜90

習題 1.2-5 什麼是鈍角？

解答：90°＜鈍角＜180

習題 1.2-6 什麼是劣角？

解答：0°＜劣角＜180

習題 1.2-7 什麼是優角？

解答：180°＜優角＜360

(4)

1-4

(a) 45 (b)75 (c) 90 (d) 135 (e) 150

解答：

(a)

A＝45°

(b)

B＝75°

(c)

C＝90°

(d)

D＝135°

(e)

E＝150°

圖 1.2-18

(5)

1-5

 

D

A B

C

習題 1.2-9 如圖 1.2-16，CAB＋CAD ＝？

圖 1.2-16 解答：CAB＋CAD＝BAD

習題 1.2-10 3 點時，時鐘的時針與分針所成的角度為幾度？

解答：

如圖 1.2-19 所示，時針與分針所成的夾角為 90°

圖 1.2-19

習題 1.2-11 4 點 30 分，時鐘的時針與分針所成的角度為幾度？

解答：

圖 1.2-20

(6)

1-6

解答：

圖 1.2-21

習題 1.2-13 圖 1.2-17 中共有個銳角。

圖 1.2-17 想法：0°＜銳角＜90

解：

敘述理由

(1) AOB、AOC、AOD、AOE、BOC、

BOD、BOE、COD、COE、DOE 皆小於 90°，所以共有 10 個銳角。

0°＜銳角＜90

(7)

1-7

習題 1-3

習題 1.3-1

若A＝40，A 與B 互為餘角，則B＝？

想法：互為餘角的兩個角，其和為 90°

解：

敘述理由

(1) ∠A＋B＝90°

(2) B＝90°－∠A ＝90°－40°

＝50°

已知A 與B 互為餘角＆餘角的定義由(1) 等量減法公理＆

已知A＝40代入

習題 1.3-2

若A＝30，A 與B 互為補角，則B＝？

想法：互為補角的兩個角，其和為 180°

解：

敘述理由

(1) ∠A＋B＝180°

(2) B＝180°－∠A ＝180°－30°

＝150°

已知A 與B 互為補角＆補角的定義由(1) 等量減法公理＆

已知A＝30 代入

(8)

1-8

在下列空格中填入適當的角度：

156°的補角是____度，42°的餘角是____度，52°的補角是____度。

137°的補角是____度，33°的餘角是____度，19°的餘角是____度。

想法：(1) 互為餘角的兩個角，其和為 90°

(2) 互為補角的兩個角，其和為 180°

解：

敘述理由

(1) 156°的補角＝180°－156°＝24°

(2) 42°的餘角＝90°－42°＝48°

(3) 52°的補角＝180°－52°＝128°

(4) 137°的補角＝180°－137°＝43°

(5) 33°的餘角＝90°－33°＝57°

(6) 19°的餘角＝90°－19°＝71°

補角的定義餘角的定義補角的定義補角的定義餘角的定義餘角的定義

習題 1.3-4

已知∠1＝153°，若∠1 和∠2 互補，∠2 和∠3 互餘，求∠3。

解：

敘述理由

(1) ∠1＋∠2＝180°

(2) ∠2＝180°－∠1 ＝180°－153°

＝27°

(3) ∠2＋∠3＝90°

(4) ∠3＝90°－∠2 ＝90°－27°

＝63°

(5) ∠3＝63°

已知∠1 與∠2 互補＆補角定義由(1) 等量減法公理＆

已知∠1＝153°

已知∠B 與∠C 互餘＆餘角定義由(3) 等量減法公理＆

(2) ∠2＝27°已證

由(3)

(9)

1-9

習題 1.3-5

若 1 與 2 互為補角，且 1 的餘角為（43＋x）°，2＝8x°，求 x＝？

解：

敘述理由

(1) ∠1＋∠2＝180°

(2) 1 的餘角＝90°－1＝（43＋x）°

(3) 1＝90°－（43＋x）°＝47°－x°

(4) 47°－x°＋∠2＝180°

(5) 47°－x°＋8x°＝180°

7x°＝133°

x ＝19

已知∠1 與∠2 互補＆補角定理已知1 的餘角為（43＋x）° ＆餘角定理

由(2) 移項

將(3) 1＝47°－x° 已證代入(1) 將已知 2＝8x° 代入 (4)

＆解一元一次方程式

習題 1.3-6

∠A 的補角和∠B 的餘角度數相同，已知∠A＝120°，求∠B。

解：

敘述理由

(1) ∠A 的補角＝180°－120°＝60°

(2) ∠B 的餘角度數＝90°－∠B (3) 60°＝90°－∠B

(4) ∠B＝90°－60°＝30°

已知∠A＝120° ＆補角定義餘角定義

已知∠A 的補角和∠B 的餘角度數相同由(3) 移項

(10)

1-10

設一角的餘角與補角的和，比其餘角的四倍多 25，求此角。

解：

敘述理由

(1) 設此角為 A

(2) A 角的餘角= 90－A (3) A 角的補角= 180－A

(4) (90－A)＋(180－A)＝4(90－A)＋25

(5) 270－2A＝360－4A＋25 4A－2A＝360＋25－270 2A＝115

A＝57.5

假設

由(1) ＆餘角定義由(1) ＆補角定義

已知設一角的餘角與補角的和，

比其餘角的四倍多 25

由(4) 解一元一次方程式

習題 1.3-8

若A＝80，A 與B 互為共軛角，則B＝？

想法：互為共軛角的兩個角，其和為 360°

解：

敘述理由

(1) ∠A＋B＝360°

(2) B＝360°－∠A ＝360°－80°

＝280°

已知A 與B 互為共軛角＆共軛角的定義

由(1) 等量減法公理＆已知A＝80 代入

(11)

1-11

習題 1.3-9

共軛的二角相差 80，求此兩角。

想法：互為共軛角的兩個角，其和為 360°

解：

敘述理由

(1) 假設∠A 與B 互為共軛角 (2) ∠A＋B＝360°

(3) 假設B＝∠A－80°

(4) ∠A＋(∠A－80°)＝360°

(5) ∠A＝(360°＋80°)÷2＝220°

(6) B＝220°－80°＝140°

(7) 此兩角為 220°與 140°

假設A 與B 互為共軛角共軛角的定義

已知共軛的二角相差 80

將(3)代入(2)

由(4)解一元一次方程式將(5)代入(3)

由(5)＆(6)

習題 1.3-10

3

1平角的餘角是幾度？它的共軛角是幾度？

(2) 互為共軛角的兩個角，其和為 360°

解：

敘述理由

(1) 3

1平角的餘角＝(90°－

3 1平角)

＝(90°－

3

1×180°)＝30°

(2) 3

1平角的共軛角＝(360°－

3 1平角)

＝(360°－

3

1×180°)＝300°

餘角的定義＆平角的定義

共軛角的定義＆平角的定義

(12)

1-12

如圖 1.3-10，L、M 交於一點，則圖中共有組對頂角。

圖 1.3-10

想法：兩條直線如相交於一點，必定形成四個角，其中每一對相對的角互為對頂角。

解：

敘述理由

(1) ∠1 與∠3 互為對頂角 (2) ∠2 與∠4 互為對頂角 (3) 所以共有 2 組對頂角

已知 L、M 交於一點＆對頂角定義已知 L、M 交於一點＆對頂角定義由(1) ＆ (2)

(13)

1-13

習題 1.3-12

如圖 1.3-11， 、交於一點 E，且∠AEC＝45°，則∠BED＝度。

圖 1.3-11 想法：平角為 180°

解：

敘述理由

(1) ∠AEC＋∠AED＝180°

(2) ∠AED＝180°－∠AEC ＝180°－45°＝135°

(3) ∠AED＋∠BED＝180°

(4) ∠BED＝180°－∠AED ＝180°－135°＝45°

如圖 1.3-10，∠AEC＋∠AED 為平角 180°

由(1) 等量減法公理＆已知∠AEC＝45°

如圖 1.3-10，∠AED＋∠BED 為平角 180°

由(3) 等量減法公理＆由(2) ∠AED＝135°

(14)

1-14

二鄰角如互為餘角，試證此二角的平分線夾角為 45。

圖 1.3-12

已知：如圖 1.3-12，∠BAD 與∠DAC 互為餘角，且、分別為∠BAD 與∠DAC 的角平分線

求證：∠EAF＝45

解：

敘述理由

(1) ∠BAD＋∠DAC＝90°

(2) ∠EAD＝1

2∠BAD (3) ∠DAF＝1

2∠DAC (4) ∠EAF＝∠EAD＋∠DAF ＝1

2∠BAD＋1

2∠DAC ＝1

2(∠BAD＋∠DAC) ＝1

2×90°＝45°

已知∠BAD 與∠DAC 互為餘角已知為∠BAD 的角平分線

已知為∠DAC 的角平分線

如圖 1.3-11 所示∠EAF＝∠EAD＋∠DAF 將(2) ＆ (3) 代入

提出1 2 將(1) 代入

(15)

1-15

習題 1.5

習題 1.5-1

平面上任三個點不共線的五個點，共可畫出幾條相異直線？幾條線段？

圖 1.5-5

詳解：如圖 1.5-5，A、B、C、D、E 任三點不共線的五個點，共可決定 (1) 直線： 、、、、、、、、、

共十條相異直線

(2) 線段： 、、、、、、、、、共十條線段

習題 1.5-2

平面上共線的四個點，共可畫出幾條相異直線？幾條線段？

圖 1.5-6

詳解：如圖 1.5-6，A、B、C、D 共線的四個點，共可決定 (1) 直線： 共一條直線

(2) 線段：A、B、C、D 四個點，共可決定

( )

2 6 1 4 4 − =

條線段，分別是

、、、、、共六條線段。

(16)

1-16

習題 1.6-1：

圖 1.6-17 中，與相交，且∠1＝40°，則∠2＝_____度，∠3＝_____度，

∠4＝_____度。

圖 1.6-17 想法：對頂角相等

解：

敘述理由

(1) ∠3＝∠1＝40°

(2) ∠1＋∠2＝180°

(3) ∠2＝180°－∠1 ＝180°－40°

＝140°

(4) ∠4＝∠2＝140°

如圖 1.6-17，∠3 與∠1 互為對頂角＆已知∠1＝40°

如圖 1.6-17，∠1＋∠2 為平角 180°

由(2) 等量減法公理＆已知∠1＝40°

如圖 1.6-17，∠4 與∠2 互為對頂角＆ (3) ∠2＝140°

(17)

1-17

習題 1.6-2：

如圖 1.6-18，已知三線段相交於一點，且∠3＝110°、∠5＝30°，

則∠1＝___度。

圖 1.6-18 想法：對頂角相等

解：

敘述理由

(1) ∠2＝∠5＝30°

(2) ∠1＋∠2＋∠3＝180°

(3) ∠1＝180°－∠3－∠2 ＝180°－110°－30°

＝40°

如圖 1.6-18，∠2 與∠5 互為對頂角＆已知∠5＝30°

如圖 1.6-18，∠1＋∠2＋∠3 為平角 180°

由(2) 等量減法公理＆

已知∠3＝110° ＆ (1) ∠2＝30°

(18)

1-18

如圖 1.6-19，已知三線段相交於一點，且∠1＝(x＋10)°、∠2＝(3x－10)°、

∠3＝(2x－60)°，則 x＝______。

圖 1.6-19 想法：對頂角相等

解：

敘述理由

(1) ∠4＝∠2＝(3x－10)°

(2) ∠1＋∠4＋∠3＝180°

(3) (x＋10)°＋(3x－10)°＋(2x－60)°＝180°

6x－60＝180 6x＝240 x＝40

如圖 1.6-19，∠4 與∠2 互為對頂角＆已知∠2＝(3x－10)°

如圖 1.6-19，

∠1＋∠4＋∠3 為平角 180°

將已知∠1＝(x＋10)°、

∠3＝(2x－60)°

＆ (1) ∠4＝(3x－10)° 代入(2)

＆解一元一次方程式

(19)

1-19

習題 1.6-4

圖 1.6-20 中，DBE＝ABC＝90，試證CBD＝ABE。

C

A D

E

B

圖 1.6-20 想法：全量＝分量和

解：

敘述理由

(1) DBE＝ABC

(2) DBE＝DBC＋CBE (3) ABC＝ABE＋CBE

(4) DBC＋CBE＝ABE＋CBE (5) DBC＝ABE

已知DBE＝ABC＝90

如圖 1.6-20，全量＝分量和如圖 1.6-20，全量＝分量和將(2)＆(3)代入(1)

等量減法公理(等式兩邊同減CBE)

(20)

1-20

如圖 1.6-21，、、交於一點 Q，且∠BQD＝150°，∠CQE＝120°，

則∠AQF＝度。

圖 1.6-21 想法：對頂角相等

解：

敘述理由

(1) ∠CQD＋∠CQB＝∠BQD＝150°

(2) ∠CQD＋∠DQE＝∠CQE＝120°

(3) (∠CQD＋∠CQB)＋(∠CQD＋∠DQE) ＝∠BQD＋∠CQE

(∠CQD＋∠CQB＋∠DQE)＋∠CQD ＝150°＋120°＝270°

∠CQD＝270°－(∠CQD＋∠CQB＋∠DQE) (4) ∠CQD＋∠CQB＋∠DQE＝180°

(5) ∠CQD＝270°－180°＝90°

(6) ∠AQF＝∠CQD＝90°

如圖 1.6-21 所示＆已知∠BQD＝150°

如圖 1.6-21 所示＆已知∠CQE＝120°

由(1)＋(2)

＆加法交換律、結合律

＆已知∠BQD＝150°，

∠CQE＝120°

＆等量減法公理為一線段將(4)代入(3)

由(5) ＆對頂角相等

(21)

1-21

習題 1.6-6

若兩鄰角互為餘角，試證明這兩角的平分線所成的角為 45。

圖 1.6-22

已知：如圖 1.6-22，∠BAD 與∠DAC 互為餘角，且、分別為∠BAD 與∠DAC 的角平分線

求證：∠EAF＝45

解：

敘述理由

(1) ∠BAD＋∠DAC＝90°

(2) ∠EAD＝1

2∠BAD (3) ∠DAF＝1

2∠DAC (4) ∠EAF＝∠EAD＋∠DAF ＝1

2∠BAD＋1

2∠DAC ＝1

2(∠BAD＋∠DAC) ＝1

2×90°＝45°

已知∠BAD 與∠DAC 互為餘角已知為∠BAD 的角平分線

已知為∠DAC 的角平分線

如圖 1.6-22 所示∠EAF＝∠EAD＋∠DAF 將(2) ＆ (3) 代入

提出1 2 將(1) 代入

(22)

1-22

如圖 1.6-23，A、O、B 三點共線，若為EOB 之角平分線，為AOE 之角平分線，且EOC＝50°，求EOD＝？

圖 1.6-23

想法：如兩鄰角互為補角，則兩角的平分線互相垂直解：

敘述理由

(1) AOE＋EOB＝180

(2) 為EOB 之角平分線 (3) 為AOE 之角平分線 (4) EOC＋EOD＝90°

(5) EOD＝90°－EOC ＝90°－50°＝40°

如圖 1.6-23 所示，AOE＋EOB 為平角 180°

已知已知

由(1) ＆ (2) ＆ (3) 如兩鄰角AOE 與EOB

互為補角，則兩角的平分線與互相垂直

由(4) 等量減法公理＆已知EOC＝50°

(23)

1-23

習題 1.6-8

若兩鄰角的平分線所成的角等於直角的一半，試證明這兩角互為餘角。

圖 1.6-24

已知：如圖 1.6-24，∠BAD 與∠DAC 為相鄰的兩角，且、分別為∠BAD 與∠DAC 的角平分線，若∠EAF＝45

求證：∠BAD 與∠DAC 互為餘角想法：互為餘角的兩個角，其和為 90°

解：

敘述理由

(1) ∠EAD＋∠FAD＝∠EAF＝45

(2) ∠BAD＝2∠EAD (3) ∠DAC＝2∠FAD

(4) ∠BAD＋∠DAC＝2∠EAD＋2∠FAD

＝2(∠EAD＋∠FAD)

＝2×45＝90°

(5) ∠BAD 與∠DAC 互為餘角

如圖 1.6-24 所示＆已知∠EAF＝45

已知為∠BAD 的角平分線已知為∠DAC 的角平分線如圖 1.6-24 所示＆將(2) ＆ (3) 代入提出 2

將(1) 代入由(4) 餘角定義

(24)

1-24

圖 1.6-25 中，為DEG 的角平分線，1＝3，試證2＝3。

3 2 1

F

E G

D

圖 1.6-25 想法：角平分線將角度平分為兩相等的角 證明：

敘述理由

(1) 1＝2 (2) 1＝3 (3) 2＝3

已知為DEG 的角平分線已知1＝3

由(1) ＆ (2) 遞移律

(25)

1-25

習題 1.6-10

圖 1.6-26 中，HIJ＝KJI，為HIJ 的角平分線，為KJI 的角平分線，

試證HIL＝KJL。

L

I J

H K

圖 1.6-26

想法：角平分線將角度平分為兩相等的角 證明：

敘述理由

(1) HIJ＝KJI (2) HIJ＝2HIL (3) KJI＝2KJL (4) 2HIL＝2KJL (5) HIL＝KJL

已知HIJ＝KJI

已知為HIJ 的角平分線為KJI 的角平分線將(2) ＆ (3)代入 (1)

等量除法公理(等式兩邊同除以 2)

(26)

1-26

(c) 直徑 DE，半徑 OF (b) 圓

(a) 圓周

O O O

F

D

E

習題 1.7-1 圓與圓周的區別為何？

解答：圓周為一封閉曲線，如圖 1.7-4(a)，線上各點都與其內一點等距離，此點稱為圓心；圓周內的部份為圓，如圖 1.7-4(b)。

圖 1.7-4 習題 1.7-2 半徑、直徑是線段還是直線？

圖 1.7-5

想法：兩端可以無限延長的線叫做直線＆有兩個端點的線叫做線段 解答：

敘述理由

(1) 半徑為線段 (2) 直徑為線段

半徑有左端點(O)與右端點(F) 直徑有左端點(D)與右端點(E)

習題 1.7-3 一個圓有多少個半徑？

想法：半徑為一端為圓心且另一端在圓周上的線段 解答：

敘述理由

(1) 一個圓有無限多個半徑圓周上有無限多個點，這無限多個點與圓

心所形成的線段都是此圓的半徑

(27)

1-27

習題 1.7-4 一個圓有多少個直徑？

想法：直徑為通過圓心且兩個端點都在圓周上的線段 解答：

敘述理由

(1) 一個圓有無限多個直徑圓周上有無限多個點，通過圓心與圓周上

兩點所形成的線段都是直徑

習題 1.7-5 一個圓有多少條弦？

想法：弦為兩端點(相異兩點)都在圓周上所形成的線段 解答：

敘述理由

(1) 一個圓有無限多條弦圓周上有無限多個點，兩端點(相異兩點)

都在圓周上所形成的線段都是弦 習題 1.7-6 一個圓的直徑為半徑的幾倍？

圖 1.7-6 想法：一個圓的半徑為固定值

解答：

敘述理由

(1) 以 O 為圓心，為半徑畫圓

＝ (2) ＝＋

(3) ＝＋＝2

(4) 所以一個圓的直徑為半徑的 2 倍

作圖，與都是圓 O 的半徑，一個圓的半徑為固定值

如圖 1.7-6 所示，為圓 O 的直徑將(1)代入(2)

由(3)

(28)

1-28

想法：(1) 直徑為通過圓心且兩個端點都在圓周上的線段 (2) 弦為兩端點都在圓周上所形成的線段

解答：

敘述理由

(1) 一個圓有無限多個弦

(2) 圓中最大的弦為通過圓心的弦

(3) 通過圓心的弦為直徑

(4) 圓中最大的弦為直徑

圓周上有無限多個點，兩端點都在圓周上所形成的線段都是弦

如圖 1.7-7 所示

圖 1.7-7

直徑為通過圓心且兩個端點都在圓周上的線段

由(2)＆(3)

習題 1.7-8 一個圓有多少個圓心？

想法：圓周為一封閉曲線，線上各點都與其內一點等距離，此點稱為圓心 解答：

敘述理由

(1) 一個圓只有 1 個圓心圓周為一封閉曲線，線上各點都與其內一點等距離，此點稱為圓心

(29)

1-29

第一章進階思考題

1. 平面上任三個點不共線的五個點，共可畫出幾條相異直線？幾條線段？

圖 1.11

詳解：如圖 1.11，A、B、C、D、E 任三點不共線的五個點，共可決定 (1) 直線： 、、、、、、、、、

共十條相異直線。

(2) 線段： 、、、、、、、、、共十條線段。

2. 平面上有相異 8 個點，若其中任三點不共線，則此 8 個點可決定幾條直線？

幾條線段？

想法：平面上有相異

n

個點，若其中任三點不共線，則此

n

個點可決定

( )

n ( )

2 28 1 8 8 − =

條相異直線。

(2) 線段：

(

−

)

₌

2 1

n

n ( )

2 28 1 8 8 − =

條線段。

(30)

1-30

幾條線段？

n

個點可決定

( )

2

−1

n

條

直線、

( )

2

−1

n

條線段。

詳解：(1) 直線：

(

−

)

₌

2 1

n

n ( )

2 45 1 10 10 − =

條相異直線。

(2) 線段：

(

−

)

₌

2 1

n

n ( )

2 45 1 10 10 − =

條線段。

4. 平面上共線的 8 個點，共可畫出幾條相異直線？幾條線段？

n

個點，若這

n

個點皆共線，可決定

1

條直線、

( )

2

−1

n

條線段。

詳解：(1) 直線：1 條直線。

(2) 線段：

(

−

條直線、

( )

2

−1

n

條線段。

詳解：(1) 直線：1 條直線。

(2) 線段：

(

−

)

₌

2 1

n

n ( )

2 45 1 10 10 − =

條線段。

(31)

1-31

6. 如圖 1.1 所示，若 A、B、C 三點共線，另有一點 D，則此 4 個點共可畫出幾 條相異直線？幾條線段？

圖 1.1

想法：(1) 平面上有相異

圖 1.1(a)

(1) 直線：若 A、B、C、D 四個點都不共線，

則可決定

( )

2 6 1 4 4 − =

條相異直線，

若 A、B、C 三點不共線，

2 6 1 4 4 − =

條線段，

分別是、、、、、共六條線段。

(32)

1-32

圖 1.2(a)

(1) 直線：若 A、B、C、D、E 五個點都不共線，

則可決定

( )

2 10 1 5 5 − =

條相異直線，

則可決定

( )

2 3 1 3 3 − =

條相異直線，

但 A、B、C 三點共線，

只決定一條直線，所以最後可決定 

(

−

)

₋

2 1 5

5

( )

2 1 1 3 3 − +

8 1 3 10− + =

= 條直

線，分別是、、、、、、、共八條相異直線。

(33)

1-33

(2) 線段：A、B、C、D、E 五個點，共可決定

( )

2 10 1 5 5 − =

條線段，

分別是、、、、、、、、、 共十條線段。

圖 1.3(a)

(1) 直線：若 A、B、C、D、E、F、G 七個點都不共線，

則可決定

( )

2 21 1 7 7 − =

條相異直線，

若 A、B、C、D 四點不共線，

則可決定

( )

2 6 1 4 4 − =

條相異直線，

但 A、B、C、D 四點共線，只可決定一條直線，

(34)

1-34

所以最後可有 −

2 1

2 + =21−6+1=16條直線，

分別是、、、、、、、、、、、、、、、共 16 條相異直線。

(2) 線段：A、B、C、D、E、F、G 七個點，可決定

( )

2 21 1 7 7 − =

條線段，

分別是、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共 21 條線段。

9. 平面上有相異 8 個點，其中有 5 個點共線，則可決定幾條直線？可決定幾條 線段？

n

個點，其中有

m

個點共線，則可決定

( ) ( )

2 1 1 2

1 − − +

−

m m n

n

條直線，可決定

( )

2

−1

n

條線段。

詳解：(1) 直線：

( ) ( )

19 1 10 28 2 1

) 1 5 ( 5 2

) 1 8 ( 1 8 2

1 2

1 − − + = − − − + = − + =

−

個點，其中有

m

( ) ( )

2 1 1 2

1 − +

− −

m m n

n

( )

2

−1

n

條線段。

詳解：(1) 直線：

( ) ( )

31 1 15 45 2 1

) 1 6 ( 6 2

) 1 10 ( 1 10 2

1 2

1 − − + = − − − + = − + =

−

m m n

n

條相異直線。

(2) 線段：

(

−

)

₌

2 1

n

n ( )

2 45 1 10 10 − =

條線段。

(35)

1-35

個點，其中有

m

( ) ( )

2 1 1 2

1 − +

− −

m m n

n

( )

2

2 1 1 3 3 − + =15−3+1−3+1=11條相異直線，

分別是、、、、、、、、、、，共 11 條相異直線。

(2) 線段：A、B、C、D、E、F 六個點，共可決定

( )

2 15 1 6 6 − =

條線段，

分別是、、、、、、、、、、

、、、、共 15 條線段。

(37)

1-37

個點，其中有

m

( ) ( )

2 1 1 2

1 − − +

−

m m n

n

( )

2

−1

n

條線段。

詳解：如圖 1.5(a)，A、B、C、D、E、F、G 七個點，共可決定

圖 1.5(a)

(1) 直線：若 A、B、C、D、E、F、G 七個點都不共線，

則可決定

( )

2 21 1 7 7 − =

條相異直線，

若 A、B、C、D 四點不共線，

則可決定

( )

2 6 1 4 4 − =

條相異直線，

但 A、B、C、D 四點共線，只可決定一條直線，

(38)

1-38

若 E、F、G 三點不共線，則可決定 3

2 = 條相異直線，

但 E、F、G 三點共線，只可決定一條直線，所以最後可有 

(

−

)

₋

2 1 7

7

( )

2 1 1 4

4 − +

( )

2 1 1 3 3 − +

−

=21−6+1−3+1=14條相異直線，

分別是、、、、、、、、、、

、、、共 14 條相異直線。

(2) 線段：A、B、C、D、E、F、G 七個點，可決定

( )

2 21 1 7 7 − =

條線段，

分別是、、、、、、、、、、

、、、、、、、、、、

共 21 條線段。

13. 平面上有

L

、

線上有相異

n

點，則這些點可決定

+ 

(

+ −

)

₋

2

1 )

(

m n m n ( )

2 −1 +1

 m

m ( )

2−1 +1

−

n



n

＝ 1

1 2 2 2

) ( )

( ² ² ²

− +

−

− + + −

−

+

n m n m m n n

m

＝ 1

1 2 2 2

2 ² ² ²

2 − +

−

− +

− −

− +

+

mn n m n m m n n m

＝ 2

2

2 ² ² ²

 n+2=54+2=20+2=22條相異直線。

(2) 線段：

( )

36 4 2 9

) 1 4 5 ( ) 4 5 ( 2

1 )

(

m

+

n



m

+

n

− = +  + − =  =

條線段。

(39)

點，

M

線上有相異

n

+ 

(

+ −

)

₋

2

1 )

(

m n m n ( )

2 −1 +1

 m

m ( )

2−1 +1

−

n



n

＝ 1

−

n

+

m

＝ 2

2

2 ² ² ²

L

、

M

)，可決定

( )

2

1 )

(

m

+

n



m

+

n

−

條線段。

詳解：(1) 直線：

m

 n+2=75+2=35+2=37條相異直線。

(2) 線段：

( )

66 11 2 6

) 1 5 7 ( ) 5 7 ( 2

1 )

( +  + − =  =

− = +

 +

n m n

m

條線段。

(40)

個點，其中有

m

( ) ( )

2 1 1 2

1 − − +

−

m m n

n

( )

2

−1

n

條線段。

(4) 平面上有

L

、

M

L

線上有相異

m

點，

M

線上有相異

n

m

L

、

M

)，

可決定

( )

2

1 )

(

m

+

n



m

+

n

−

條線段。

詳解：因為題目並沒有將圖形畫出來，故我們必須來探討各種不同的情況 第一種情況，假設 L 與 M 相交於 P 點，關係如圖所示：

圖 1.12

(1) 直線：圖 1.12 中的點共有：L 上 3 點 A、B、C 加上 M 上 3 點 D、E、F，再加上 L 與 M 的交點 P，共有 3＋3＋1＝7

個點，因為有通過 P 點的直線只有 L 與 M 兩條，所以上圖中的 A、B、C、D、E、F、P 七個點，他們所能夠決定的直線數目，其實可以不用考慮 P 點，所以我們只需考慮 L 上 3 點 A、B、C 與 M 上 3 點 D、E、F，

取圖 1.12 中的一部分來看，如圖 1.12(a)所示：

(41)

1-41

圖 1.12(a)

於是我們得到的圖形就與挑戰題第 11 題的圖形一樣，所以 A、

B、C、D、E、F 此六點所決定的直線數目，當然就與挑戰題第 11 題的結果一樣，可決定33+2=9+2=11條相異直線，

分別是、、、、、、、、、、，

共 11 條相異直線。

(2) 線段：平面上相異 n 個點，共可決定

( )

2

−1

n

個線段。

所以這個題目的點共有：L 上 3 點 A、B、C 加上 M 上 3 點 D、E、F，還要再加上 L 與 M 的交點 P，共有 3＋3＋1＝7 個點，所以共可決定

( )

2 21 1 7 7 − =

個線段，如圖 1.12(b)所示

圖 1.12(b)

這些線段分別為、、、、、、、、、

、、、、、、、、、、、，

共 21 個線段。

第二種情況，假設 L 與 M 相交於 P 點，關係如圖 1.13 所示：

圖 1.13

(42)

1-42

的交點 P，所以我們可以將題目視為 L 上 4 個點 A、B、P、

C 與 M 上 4 個點 D、P、E、F 所決定的直線數目，如圖 1.13(a) 所示：

圖 1.13(a)

若 A、B、C、D、E、F、P 七個點皆不共線，

可決定 21 2

) 1 7 (

7 − =

條相異直線，

若 A、B、P、C 四個點皆不共線，可決定 6 2

) 1 4 (

4 − =

條相異直線，但 A、B、P、C 四個點共線，所以只決定一條直線 (即直線 L)

若 D、P、E、F 四個點皆不共線，可決定 6 2

) 1 4 (

4 − =

條相異直線，

但 D、P、E、F 四個點共線，所以只決定一條直線 (即直線 M)

所以 A、B、C、D、E、F、P 七個點共可決定 − −

2 ) 1 7 (

7 1

2 ) 1 4 (

4 − +

2 1 ) 1 4 (

4 − +

− =21−6+1−6+1=11條相異直線，分別是、、、、、、、、、、

，共 11 條相異直線。

( )

2

−1

n

個線段。

所以這個題目的點共有：L 上 3 點 A、B、C 加上 M 上 3 點 D、E、F，還要再加上 L 與 M 的交點 P，共有 3＋3＋1＝7 個相異的點，共可決定

( )

2 21 1 7 7 − =

(43)

1-43

圖 1.13(b)

、、、、、、、、、、、，

共 21 個線段。

根據第一種與第二種情況，我們可以知道，不論 L 與 M 的交點在什麼地方，直線與線段的數目都不會改變，各位聰明的同學，你們也可以試試其他種的情況，看看結果是否也都是一樣的。

(44)

個點，其中有

m

( ) ( )

2 1 1 2

1 − +

− −

m m n

n

( )

2

−1

n

條線段。

(4) 平面上有

L

、

M

L

線上有相異

m

點，

M

線上有相異

n

m

L

、

M

)，

可決定

( )

2

1 )

(

m

+

n



m

+

n

−

條線段。

詳解：因為題目並沒有將圖形畫出來，故我們必須來探討各種不同的情況 第一種情況，假設 L 與 M 相交於 P 點，關係如圖 1.14 所示：

圖 1.14

(1) 直線：圖 1.14 中的點共有：L 上 4 點 A、B、C、D 加上 M 上 3 點 E、F、G，再加上 L 與 M 的交點 P，共有 4＋3＋1＝8

個點，因為有通過 P 點的直線只有 L 與 M 兩條，所以圖 1.14 中的 A、B、C、D、E、F、G、P 八個點，他們所能夠決定的直線數目，其實可以不用考慮 P 點，所以我們只需考慮 L 上 4 點 A、B、C、D 與 M 上 3 點 E、F、G，

取上圖中的一部分來看，如圖 1.14(a)所示：

(45)

1-45

圖 1.14(a)

所以 A、B、C、D、E、F、G 此 7 點所決定的直線數目，當然就與挑戰題第 11 題的結果一樣，可決定43+2=12+2=14條

相異直線，分別是、、、、、、、、、

、、、、，共 14 條相異直線。

( )

2

−1

n

個線段。

所以這個題目的點共有：L 上 4 點 A、B、C、D 加上 M 上 3 點 E、F、G，還要再加上 L 與 M 的交點 P，共有 4＋3＋1＝8 個點，所以共可決定

( )

2 28 1 8 8 − =

圖 1.14(b)

、、、、、、、、、、、、

、、、、、、，共 28 個線段。

(46)

1-46

圖 1.15

(1) 直線：L 上 4 點 A、B、C、D 加上 M 上 3 點 E、F、G，再加上 L 與 M 的交點 P，所以我們可以將題目視為 L 上 5 個點 A、B、

P、C、D 與 M 上 4 個點 E、F、P、G 所決定的直線數目，

如圖 1.15(a)所示：

圖 1.15(a)

若 A、B、C、D、E、F、G、P 八個點皆不共線，可決定 28 2

) 1 8 (

8 − = 條相異直線，

若 A、B、P、C、D 五個點皆不共線，可決定 10 2

) 1 5 (

5 − =

條相異直線，但 A、B、P、C、D 五個點共線，所以只決定一條直線 (即直線 L)

若 E、F、P、G 四個點皆不共線，可決定 6 2

) 1 4 (

4 − =

條相異直線，

但 E、F、P、G 四個點共線，所以只決定一條直線 (即直線 M)

所以 A、B、C、D、E、F、G、P 八個點共可決定 − −

2 ) 1 8 (

8 1

2 ) 1 5 (

5 − +

2 1 ) 1 4 (

4 − +

− =28−10+1−6+1=14條相異直線，分別是、、、、、、、、、、

、、、，共 14 條相異直線。

(47)

1-47

( )

2

−1

n

個線段。

所以這個題目的點共有：L 上 4 點 A、B、C、D 加上 M 上 3 點 E、F、G，還要再加上 L 與 M 的交點 P，共有 4＋3＋1＝8 個點，所以共可決定

( )

2 28 1 8 8 − =

個線段，

如圖 1.15(b)所示：

圖 1.15(b)

、、、、、、、、、、、、

、、、、、、，共 28 個線段。

根據第一種與第二種情況，我們可以知道，不論 L 與 M 的交點在什麼地方，直線與線段的數目都不會改變，各位聰明的同學，

你們也可以試試其他種的情況，看看結果是否也都是一樣的。

17. L 與 M 為兩條相異直線，且 L 與 M 有交點，若直線 L 上有相異 5 個點，

+ n+1個點，可決定

( )

2

) ( ) 1 (

2

1 1 )

1

條線段。

詳解：(1) 直線：

m

 n+2=54+2=20+2=22條相異直線。

(2) 線段：

( )

45 9 2 5

) 4 5 ( ) 1 4 5 ( 2

) 1

(

m

+

n

+ 

m

+

n

= + +  + =  =

條線段。

(48)

1-48

+ n+1個點，可決定

( )

2

) ( ) 1 (

2

1 1 )

1

(

m n m n m

+

n

+ 

m

+

n

− = + +

 +

+ 條線段。

詳解：(1) 直線：

m

 n+2=65+2=30+2=32條相異直線。

(2) 線段：

( )

66 11 2 6

) 5 6 ( ) 1 5 6 ( 2

) 1

( + +  + =  =

+ =

 +

+

n m n

m

條線段。

19. 平面上有相異 10 個點，請問：

(1) 可決定幾個線段？ (2) 最多可決定幾條相異直線？

條直線；

( )

2

−1

n

條線段。

(3) 一平面上有相異

n

個點，若其中有

m

個點共線，則最多可決定

( ) ( )

2 1 1 2

1 − − +

−

m m n

n

條直線；

( )

2

−1

n

條線段。

(4) 一平面上有

L

、

M

兩條直線，

L

線上有相異

m

點，

M

線上有相異

n

m

L

、

M

)；

若

L

與

M

不相交，則可決定

( )

2

1 )

(

m

+

n



m

+

n

−

條線段。

若

L

與

M

相交於一點，則可決定

( )

2 ) 1

個線段。

所以本題的 10 個點，共可決定 5 9 45 2

) 1 10 (

10 − =  =

個線段。

(2) 因為題目只有提到 10 個相異的點，並沒有限制他們之間的關係，所

(49)

1-49

以我們就從挑戰題第 1 題到挑戰題第 18 題所討論過的情況來做一個探討：

第一種情況：這 10 個點其中任 3 點不共線，我們知道，平面上相異 n 個點，其中任 3 點不共線，

則可決定 2

) 1 ( −

n

條相異直線。

所以第一種情況，可決定 5 9 45 2

) 1 10 (

10 − =  =

條相異直線。

第二種情況：若此 10 個點共線，我們知道，平面上相異 n 個點，

若此 n 個點共線，則可決定一條直線。

所以第二種情況，可決定 1 條直線。

第三種情況：若 10 個點中，有 5 個點共線，我們知道，平面上相異 n 個點，其中 m 個點共線，

則可決定

( ) ( )

2 1 1 2

1 − − +

−

m m n

n

條相異直線。

所以第三種情況，可決定

( ) ( )

36 2 1

1 5 5 2

1 10

10 − − − + = 條相異直線。

第四種情況：若 10 個點中，其中有 4 個點共線，其餘的 6 個點共線，

我們知道，平面上有相異兩條直線 L 與 M，L 上有相異 m 個點，M 上有相異 n 個點，則可決定

m

 n+2條相異直線。所以第四種情況，可決定46+2=26條相異直線。

由以上我們探討的四種情況，以第一種情況所得到的直線數目最多，

所以平面上 10 個相異的點，其中任 3 點不共線，最多可決定 2 45

) 1 10 (

10 − =

條相異直線。

(3) 由(2)中所討論的第二種情況，平面上相異 10 個點，若此 10 個點共線，

則最少可決定 1 條直線。