群
台大數學系 齊震宇
問題一
將正立方體的頂點 以三種顏色
著色。若允許旋轉，
共有多少種不同的著
色法？
問題二
將
放置於正立方體八頂點。
若允許旋轉，
種不同的放置法？
共有多少
問題三
將
等間隔地放置於一圓周。
若允許旋轉，
種不同的放置法？
共有多少
若還允許翻面呢？
是否有一種方法 / 觀點
問：
這些問題哪裡相像？
可以 同時對付這些不太一樣
又有點像的問題？
卻
二元運算
(binary operation)例 1 ：
我們常用 表示一集合 及其上的一個
「二元運算」。
、
( 普通的加法 ) ( 普通的乘法 )。
例 2 ：
給定一集合。
(1) 與
(2)
、 。
。
這裡的 是先前提過 的映射的合成操作：
更精確地說，
一集合 上的一個二元運算
為了符號上的簡約，對於 、 ， 會將 記作
只要討論中明確固定下來就好；
，這裡的 可能是任一個符號，
我們甚至會寫成 。 在不
會引起誤解時，
像是 或 等，
指的是
一個映射 。
定義
約定
二元運算
我們先引進幾個與二元運算有關的概念。
定義
群
(groups)以下令 為 一集合 上的一個二元 運算。
( )
對任意三個 的元素 、 與 ， 總有 。
例 3 ： ( 普通的加法 )、 ( 普通的乘法 )。 意思是
當我們說 是結合的 (associative)
，
我們先引進幾個與二元運算有關的概念。
群
以下令 為 一集合 上的一個二元 運算。
練習一：給定一集合 ，
、 、 、 。
以下何者是結合的？
定義
對任意三個 的元素 、 與 ， 總有 。
意思是
當我們說 是結合的 (associative)
，
我們先引進幾個與二元運算有關的概念。
群
以下令 為 一集合 上的一個二元 定義運算。 當我們說某個元素 是
的單位元 (unit element) ，意思是
對每個 都有 。
有單位元嗎？ 呢？
練習三：給定一集合 ，
、 、 、 。
以下何者有單位元？
練習二：
我們先引進幾個與二元運算有關的概念。
群
以下令 為 一集合 上的一個二元 運算。
這樣的元素 如果存在，只會有一個：
如果 也是某個這樣的元素，
。
定義 當我們說某個元素 是 的單位元 (unit element) ，意思是
對每個 都有 。
則有
我們先引進幾個與二元運算有關的概念。
群
以下令 為 一集合 上的一個二元 運算。
定義 假設 具有單位 元 。
當我們說一個元素 ( 對 ) 可逆，
( 對 ) 的一個反元素或逆元
(inverse) 。
意思是存在某個元素 使得
。 我們稱這樣的元素
為
群
、
練習四： 找出以下每種情況中可逆的元素。
(2) ； (3) ；
(6) ( 給定一集合 )
。 (4) ； (5) ；
(1) ；
、
練習五：
說明
設 具有單位元 而且是 一個可逆的元素 只有一個反元素。結合的。
( 此時以 記該反元素；有些情況下會記為 。 )
一個集合及其上的一個二元運算
被稱為一個群，如果滿足以下三條件。
(1)
(2)
(3)
群
定義
是結合的：
有單位元：
的每個元素都 ( 對 ) 可逆：
練習六：以下哪幾個二元運算給出了群？
(1) ； (2) ；
(5) ；
(3) ；
(4) ( 這裡 ) ；
(6) ( 給定一集合 ) ( : 映射合成 ) ； (7)( 給定一集合 )
( 這裡 。 )是個對射
群
「圈表達法」
如果 是個有限的集合，我們常採用
來表示 的元素：
比如說，
若 ， 我們會把
記作 或 。
圈表達法
(cycle expression)給定一個群 ，我們說一個子集 構成 的一個的子群，
(1)
如果
( 因此 給出一個 上的二元運算。 )
(2)
是一個群。子群
(subgroups)定義
對任何 與 有
。
例 4 ： 構成 的一個子群。
例 5 ：
構成 的一個子群。
給定一個群 ，我們說一個子集 構成 的一個的子群，
(1)
如果
( 因此 給出一個 上的二元運算。 )
(2)
是一個群。子群
定義
對任何 與 有
。
練習七： 設 構成 的一 個的子群，
為 的單位元
，
試說明 (1) ； (2) 一元素
在 中的逆 元
為 的單位元
。 等於它在 中的逆元
。
( 提示：群滿足「消去律」。 )
子群
對任一元素 及一整數 ，我們以 記
當 。
當 。
， 當 。
個 ，
個 ，
構成 的一個子群，記作 ，
若 構成 的一個的子群且 ， 稱為 ( 由 生成的 ) 循環子群 (cyclic
subgroup) 。
則 。換句話說， 在包含關係之下，
是含有 的子群中「最小」的。
定義
給定一個群 。
子群
兩種情況可能發生：(1) 此時 是無窮集。
存在兩整數 使得 。(2) 此時有
，
若 則 。
故 是有限集。
練習八：假設 是有限的 ( 也就是第二種狀 況 ) 。
此時我們說 的階數是無限大
。
我們稱數字 為 的 階數。
對任一正整數
，
令 是使 的正整數 中最小的。
說明 (1) 有 。
(2) 。
子群
( 此處 為一整數 ) 。 說明 的每個子群都形如
( 提示：考慮ㄧ子群中最小的正元素及除法。 )
練習十：
例 6 ：考慮 。任給一整數 ，
( 、 。 ) ( 還有別的子群嗎？ )
。
練習十ㄧ： 找出 所有的子
群。 當中哪些是循環子群？
有元素個數為五或七的子群嗎？
練習九：求 每個元素的階數。
例 7 ： 令 。
任何一個保持輪廓的 旋轉與翻面都可視為
一個 的元素。
比如說，
對應到 ； 以虛線為軸的翻面對應到 。
逆時針轉 度
子群
所有保持輪廓的旋轉與翻面構成 它有 個元素。
其中八個是旋轉：
、
、
、
、
、 、
與 。
子群
ㄧ個 的子群，
例 7 ：
、
、
、
、
、 、
與 。
子群
所有保持輪廓的旋轉與翻面構成 它有 個元素。
其他八個是翻面：
ㄧ個 的子群，
例 7 ：
練習十二： 所有保持輪廓的剛體運動構成了
事實上，這個子群
請找出它們全部。
有 個元 素。
子群
的ㄧ個子群。
關係
(relations) 岔題ㄧ下！給定一個集合 。假設 表示某種
談論成立與否的「關係」。
我們通常用 表示 間 關係 成立。
可以對任兩個 的元素
例 8 ：
表示「 是 的父親」。
所有地球人構成的集合，
例 9 ： ，
我們有「老布希 小布希」。
表示「 大於或等於 」。
則
「 」。
講個集合論的基本概念。
等價關係
(equivalence relations)給定一個集合 及其上的一個關係 。 定義我們說 是一個等價關係的意思是
滿足以下三個條件。
反身性 對稱性 傳遞性
例 10 ：
表示「 與 有相同的父母」。
所有地球人構成的集合，
等價關係
例 11 ：
表示「 與 有相同的生日」。
所有地球人構成的集合，
例 14 ： ， 例 12 ：
表示「 與 就讀過相同學校」。
所有地球人構成的集合，
例 13 ：
表示「 與 全等」。
元素為平面上所有三角形的集合，
為一給定整數，
表示「 」。
等價關係
給定一個集合 及其上的一個等價關係 。 定義 (1)對任一元素 ，我們稱子集
為 ( 在 之下 ) 的等價類，記作 。 我們稱以所有等價類為元素的集合
(2)
為 ( 在 之下 ) 的商集，記作 。
換句話說， 。
練習十三：描述例 14 中的等價類與商集。
( 這有沒有稍稍解釋了「商集」這個怪名稱？ )
等價關係
給定一個集合 及一等價關係 。 練習十四：
(2)對任何 、 ，有 (1)
推論： 是所有等價類的聯集，
對任何 ，
說明 有 。 或 。
每一種將ㄧ個集合 分割成若干塊
互不相交的子集的方法
反過來，
恰給出一個等價關係：
兩個元素等價 它們屬於同一個分塊。
這時等價類和商集分別是什麼？ )
不同的等價類互不相交。
換句話說，(1) (2)
( 為何是等價關係？
群作用
(group actions)在現實中， 群常扮演「驅動」其他物件的角色。
給定一個集合
、
一個群 一個映射 。
為了精簡符號，
對任意的 與 ，
我們將 簡記作 或甚至 。 我們說
與 約定
( 用來驅動 的元 素 )
定義
如果
(1) (2)
總有
對任何 ，總有 。 是一個 在 上的作用，
對任何 、 與 ，
。
群作用
例 15 ： 令
可以作用於 如下：
對於 滿足 以及 ，，
例 17 ： 令
( 給定一集合 ) 可以作用於
如下：對於 與 ，
。
。 例 16 ：
以及 ， 對於
令
可以作用於 ( 座標平面 ) 如下：
。
假設有一個群 作用在一集合 上。
對任一 ，
為 ( 在此作用下的 ) 的軌道。
群作用
定義 我們稱集合
練習十五：
請描述前述三個例子裡群作用的軌道。
你是否發現，每個例子裡被作用的集合 都是互不相交的軌道的聯集？
( 這敘述是不是似曾相識
？
回顧ㄧ下練習十 四。 )
群作用
練習十六：
令 表示以下關係：
假設有一個群 作用在一集合 上，
對任何 與 ， 存在 使得 。 請說明 是一個等價關係。
( 由群作用所引導出的等價關係 )
此時等價類跟群作用的軌道有關嗎？
(1) (2)
註：上述由群作用所導出的等價關係是非常重要的概念，
它們的等價類與商集會出現在數學的很多討論當中。
考慮以下問題：在一個正方形的四個 頂點塗上黑色或白色。若允許旋轉，
問共有幾種著色法？
為了討論群作用的應用，我們現在先 細思一個很具啟發性的例子。
群作用
群作用
令 為以所有 ( 不考慮旋轉 ) 的塗色法為元素 的集合，它有以下 個元素：
群作用
為保持輪廓的旋轉全體構成的群。
若以 記逆時針旋轉 度，
則 。 這個問題的設定有個自然的群作用，比方說 令 為以所有 ( 不考慮旋轉 ) 的塗色法為元素
可以轉成彼此的著色法最後要視為一樣，
問題歸結為計算相異軌道的個數。
換句話說，
。
群作用
此例中有六個軌道( 六種相異的塗色法 ) 。如何不靠列舉就求得軌道數呢？且待下面分解！
記作 。
例 18 ：給定一個群 及它的一個子群 。 可以作用於 如下：
對於 與 令 。， 作為練習十六的重要例子，
的軌道 ( 等價類 ) 為 任一個
，
( 注意到有 ， 也就是不寫 也無妨。 ) Why?
在此例中，
我們詳細探討以下的
左陪集
(left cosets)與 商集
(quotient sets)定義 稱作 的 ( ) 左陪集 (left coset) 。
對於 、 ，我們有
。 練習十七：假裝我們沒做過練習十六，而是
直接規定群 元素間如下的一種關係
： 。
請直接證明此 是 上的一個等價關 係且
群 是所有 左陪集的聯集，
ㄧ元素 的等價類恰為
。 且不相同的
左陪集彼此的交集為空集合。
左陪集 與 商集
定義 我們將此等價關係的商集記為 ，
稱為「 對 的商集」。
它的元素為所有的 左陪集，
練習十八：
描述 對各 個子群的商集。
(1) (2)
左陪集 與 商集
( 這與前面例 14 中的等價關係有何關聯？ )
給定整數 ，若 為「 」，
則 是 上的一個等價關係。 )
描述 對子群 的商集 。
( 例 14 ：
給定一有限群 及它的一個子群 ， 定理
也可說成：
必有 。 (1) 整除 ；
(2)
證明：由於 是個有限集合，與 也是。
被分割成 塊互不相交的 左陪集，
每塊的元素個數又都與 的相同，故得證。
共有 個相異的 左陪集。
左陪集 與 商集
任兩個 左陪集都有相同的基數。
練習十九：
任兩個 左陪集都有相同的基數。
給定一有限群 及它的一個子群 ， 定理
也可說成：
必有 。 (1) 整除 ；
(2) 共有 個相異的 左陪集。
推論給定一有限群 及任一元素 ， 必有 。
證明：因為 整除 且 ，故得證。
左陪集 與 商集
練習十九：
Burnside 引理假設一有限群 作用於 一有限集 ，則全部有
個軌道。
換句話說， 軌道的個數等於
個數的平均。
群 的每個元素所「固定」的 的元素的
我們先舉例說明如何應用 Burnside 引理！
群作用
先前提過的問題：在一個正方形的四個頂點 塗上黑色或白色。若允許旋轉，
問共有幾種著色法？
群作用
令 為所有 ( 不考慮旋轉 ) 的塗色法的集合。
它有以下 個元素：
在一個正方形的四個頂點 塗上黑色或白色。若允許旋轉，
問共有幾種著色法？
群作用
若以 記逆時針旋轉 度，則
群 自然地作用在 上，
令 為所有 ( 不考慮旋轉 ) 的塗色法的集合。
比方說
可以轉成彼此的著色法最後要視為是一樣。
。 先前提過的問題：
在一個正方形的四個頂點 塗上黑色或白色。若允許旋轉，
問共有幾種著色法？
群作用
若以 記逆時針旋轉 度，則
群 自然地作用在 上，
令 為所有 ( 不考慮旋轉 ) 的塗色法的集合。
被 的四元所固定的 的元素的個數分別為 16 、 2 、 4 及 2 ，
故共有 (16 + 2 + 4 + 2) / 4 = 6 個軌道。
先前提過的問題：
這與我們以前用列舉的方式得到的相同。
群作用
以一開始的問題三為例。
將
等間隔地放置於一圓周。
若允許旋轉，
種不同的放置法？
共有多少
若還允許翻面呢？
群作用
所有保持輪廓的旋轉與翻面 在合成操作下構成一個群，
它共有 個元素，
其中有八個旋轉：
、
、
、
、
、
與
、
。
它們的「圈形態」列出：
我們按照
I.
II.
III.
IV.
群作用
還有八個翻面：
、
、
、
、
、
與
、
。 V.
VI.
按照 Burnside 引理，我們要計算的是這 16 個 旋轉及翻面每個能使幾種放置法保持不變。
在以上分成的六大類動作中，同一類的作用顯 然會使同樣多的放置法保持不動。
群作用
I. 任何的放置法都會被
保持。每個放置法相當於將八個色球按 1 至 8 排序。
II.
被 保持不變的放置法必須 將同一個「圈」中的位置放置同色的色球，
也就是位置 1 與 5 要放同色球，
同色球，
色球。
所以沒有被 固定的放置法。
這樣的方法總數為 。
2 與 6 要放 4 與 8 要放同 3 與 7 要放同色球，
這是不可能的，因為只有一顆藍球。
群作用
III.
因為位置 1 、 3 、 5 、 7 要放同色， 2 、 4 、 6 、 8
IV.
位置放置同色的色球，
被 保持的放置法也不存在，
也要放同色，
被 固定的放置法必須將所有
被 固定的放置法必須將位置V.
2 與 8 、 3 與 7 、 4 與 6 分別放置同色的球，
而這相當於將紅、綠、黃色球分別放在這三 組位置，
置 1 與 5 ，這共有 種可能。
群作用
可是我們共有四種顏色的球。
這是不可能的。
再將剩下的藍球與黃球任意放入位
被此類動作保持的放置法不存在，道理同 II. 。 VI.
因此，
不同的色球放置法共有
種。
若還考慮旋轉，不同的色球放置法共有
群作用
Burnside 引理告訴我們，若只考慮旋轉，
種。
定義
為 ( 在此作用下的 ) 的穩定子 (stablizer) 。 練習二十：證明 構成 的一個子群。
先考慮任一群 作用在任一集合 上。
對每個 ，我們稱
群作用
證明 Burnside 引理前，先做一些一般的討論。
練習二十一：針對前面的方形頂點著色問題，
找出原本 16 個著色法每個的穩定子。
練習二十二： 我們有
兩個 中的元素作用於 時 換句話說，
給出同樣的結果，
考慮一個元素 的「軌道映射」：
的 左陪集。
對於 、 ，
若且唯若它們有相同
。
。
群作用
推論： 的所有 左陪集構成的集合
群作用
剛才的練習的示意圖如下：全部的 左陪集
( 也就是 對 的商集 與 間有個對射。)
則 。 若 與 都是有限的，
( 這個等式來自練習十九，或是其後的定理。 )
證明 關鍵是以下兩點：
(1) 上一頁的推論：對每個 ，均有
。 (2) 以「兩種不同的順序」計算
：
群作用
現在我們已經做好證明 Burnside 引理的準備。
Burnside 引理假設一有限群 作用於 一有限集 ，則全部有
個軌道。
指的是 時的兩種不同順序
，
所謂計 算
對每個 先算滿足 的 有幾個，
然後再把對每個 得到的結果加總
。這個和等於 。
注意到 軌道個數：
可以分成若干個互不相交的軌道的聯集，
而同一軌道中的 所具有的 都相 同，且和為
，
因為分母恰好是軌道的元素個數。
(a)
群作用
這個和等於
對每個 先算滿足 的 有幾個，
然後再把對每個 得到的結果加
總。 。
(a) 與 (b) 得到的是同一個數 字個東西啊！ )
，
所以我們得到 ( 軌道的個
數 ) 。
Q. E. D.
兩邊同時除以 便完成了證明
。 (b)
( 因為是在算同 一
