葉洹君
臺北市實踐國民中學
研究動機
我看到一個“稱天秤”的數學遊戲題目： 請將質量為 1,2,3,… 10 單位的砝碼，置入圖 一中的 10 個秤盤內 ，使得每個秤盤恰好放 置一個砝碼，而且所有的天秤都平衡。 圖 一 我覺得這個題目很有趣，而且也能找出 惟一的解答。後來又碰到一個“稱天秤”的數 學遊戲題目，但是砝碼由 10 個 變 成 20 個： 圖 二 在嘗試解這個題目的過程時，我花了很長的 時間才找出解答，但是沒有證明它是惟一的 解。雖然解題的過程十分繁雜且花費很多時 間，但是解題技巧只用到國一、二課程裡的 知識: 1. 解一次聯立方程組; 2. 因數及倍數 關係; 3. 比例關係; 4.一次不等式而已。解完 這個題目以後，我開始收集這方面的題目， 希 望 透 過 解 題 的 過 程 來 深 入 了 解 這 種“稱天 秤”題目特性，除了能讓自己熟用國一、二課 程裡的知識之外，也能了解這方面題目的解 題技巧，同時也能對一些較少砝碼的題目作 分類整理，當面對較大較繁的題目時，能夠 快速地得到一些變數的可能解答，使得原來 繁瑣的題目變成較簡單一些，這樣整個解題 的速度會加快，進而希望自己也能設計出類 似的好題目，而且答案恰好只有一個。研究過程
天秤的左右兩旁都有一個或一個以上的 支點，而且每個支點下都掛有一個砝碼或另 一個天秤。令天秤中心左邊的每一個支點下 的砝碼質量總和乘以這個支點與天秤中心的 距離後，再全部相加之總和為 L，同樣地， 令右邊的總和為 R。“稱天秤”的題目要求所 有的天秤都平衡，這些要求對應重要的不變 量就是每個天秤的 R-L=0，即 R=L。我們可 以 這些不變量得到對應的方程式。 剛開始嘗試解研究動機中第二題時，我 碰到不少困難: 1. 由於怕麻煩，想省點事，所以不喜歡列舉 所有的方程式時，常常會造成不知該如何 繼續下去。 2. 由於事先沒有規劃就隨便設定變數順序， 造成列舉方程式時，需要一一寫出每一個 變數，相當麻煩，甚至常常會因為變數量太多太雜亂，而寫錯變數，導致白白浪費 很多時間。 3. 當我決心要列舉所有的方程式時，常常會 因為沒有依照一定的順序來列舉，而造成 漏列方程式，也常會看錯題目而不容易被 檢查出來。 4. 面對一大堆的方程式，不知從何下手。 每次當我作答收集來的新題目時，如果 題目中砝碼數量較大時，就會出現相同的困 難。針對這些困難, 我採用先左而後右的順 序來對變數編號，而且所有天秤的中心點按 照由上而下，再由左而右的順序來列舉天秤 中不變量對應的所有的方程式之後，錯誤就 減少許多，而且容易檢驗。經過解答很多題 目之後，自己對這方面的問題特性及解題技 巧有一些初步解題心得，再回頭重新解答以 前見過的題目，速度就快多了。對於解題技 巧的初步心得有： 1.
確定方程式的個數
.為 了 使 所 有 的 天 秤 平衡，必須所有天秤的 R-L=0，即 R=L。 利用這些獨立的不變量來建立方程式，所 以”稱天秤“的題目中有幾個天秤中心就可 以列出相同數目的方程式，另外還要加上 一個計算所有砝碼質量的總和。 2.解聯一次聯立方程組
. 當某一個天秤的 中心點兩端都恰好只有一個支點掛上砝碼 或天秤時，利用解一次聯立方程組的技巧 是很好的方法。 3.上、下夾擠法
. 當某一個天秤的中心點一 端只有一個支點掛上砝碼或天秤，而另一 端有多個支點掛上砝碼或天秤、天秤兩端 的 R 和 L 之上界(或下界 )相差不多時，可 以推導出一些變數只有簡單幾組的可能答 案。 4.因數與倍數關係
. 判斷某些砝碼是某個 整數的倍數(例如偶數、奇數、3 的倍數等 等)，常常有助於找出題目的解答。 5.比例關係
.某 些 砝 碼 質 量 的 比 例 為 定 值 時，可以推導出這些砝碼只有幾組的可能 答案。 6.檢驗解答
. 解答這方面題目時，要小心分 析各種可能性，不能遺漏，敢勇於嚐試， 細心計算及檢驗是否滿足題目要求所有的 條件。 首先我敘述一些題目的解題方法，由於 研究動機中第二題的解題方法比較複雜，所 以到後面再說。為了節省空間，在往後的圖 形中，我會標上變數(變數可由解題者自行設 定)。題一.
請將質量為 1,2,3,… 10 單位的砝碼，置 入圖三中 10 個秤盤內，使得每個秤盤恰好放 置一個砝碼，而且所有的天秤都平衡。 圖 三 這個題目有六個天秤中心，為了使所有 的 天 秤 平 衡 ， 所 以 我 們 可 以 列 出 七 個 方 程 式，然後再解這些聯立方程組。 a1+a2+a3+a4+a5=(a6+a7+a8)+2(a9+a10)… … ( A ) a1+a2+a3+a4=2a5 … … … ( B )a1+a2+a3=3a4 … … … ( C ) a1=a2+2a3 … … … ( D ) 2a6=a7+2a8 … … … ( E ) 2a9=3a10 … … … ( F ) a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=55… ....(G) 由 公 式 (F)知 道 a10 是 偶 數 。 令 a10=2K， 則 a9=3K。 令 X= a1+a2+a3+a4+a5，Y= a6+a7+a8 代入公式
(A)和 (G) 可得 X=Y+10K 和 X+Y+5K=55。 由此可得 2X=55+5K。 由於 X 是整數，則 K 為奇數。又 a9=3K≦ 10， 所以 K=1 或 3。 如果 K=3,則我們知道 X=35 和 Y=5 ，不合 (因為 6=1+2+3≦a6+a7+a8=Y 所以 K=1,因 此 a9=3, a10=2，我們就容易推導 出 X=30 及 Y=20。令 P= a1+a2+a3+a4 這樣我們有 P+a5= X=30。而由公式(B)可得 P=2a5，可以推導出 a5=10,P=20。 令 Q=a1+a2+a3，即 Q+a4=P=20，而公式 (C) 可得 Q=3a4。可以推導出 Q=15, a4=5。 現在只剩下質量為 1,4,6,7,8,9 單位的砝碼尚 未被使用過，變數 a1,a2,a3, a6,a7,a8之值尚未 被決定，我們知道 Q=a1+a2+a3，而其中 3 個 砝碼重量和為 15 單位只有 8+6+1。因此由(D) 容易得到 a1=8, a2=6, a3=1。 再來檢驗公式(E)，顯然 a6=9, a7=4, a8=7,所以 (a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10) = (8,6,1,5,10,9,4,7,3,2) 是惟一解。 ■
題二.
請將質量為 1,2,3,… 9 單位的砝碼，置入 圖四中 9 個秤盤內，使得每個秤盤恰好放置 一個砝碼，而且所有的天秤都平衡。 圖 四 這個題目有四個天秤中心，為了使所有 的 天 秤 平 衡 ， 所 以 我 們 可 以 列 出 五 個 方 程 式，然後再解這些聯立方程組。3a1+2a2+(a3+a4+a5+a6+a7)=2a8+4a9… … … ( A )
2(a3+a4)=(a5+a6)+2a7 … … … (B)
2a3=a4 … … … (C) a5=3a6 … … … (D) a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=45 … … … (E) 由公式(C),(D)代入 (B)可得 6a3=4a6+2a7 … … … (F) 由公式(C),(D),(F)代入(A)可得
3a1+2a2+6a3+2a6=2a8+4a9 … … … (G)
由 公 式 (D) 知 道 a5 是 3 的 倍 數 ， 可 得 (a5,a6)=(3,1),(6,2)或(9,3)。我們考慮三種情形: (1)當 (a5,a6)=(3,1)時，代入公式(F)可得 22 ≥ 6a3=4+2a7 ≥6，則(a3,a7)=(2,4)。 a3=2 代入公式(C)可得 a4=4 (不合 )，因為 4 重複。因此(a5,a6)不可能是(3,1)。 (2)當 (a5,a6)=(6,2)時，代入公式(F)可得 26 ≥ 6a3=8+2a7 ≥10，則(a3,a7)= (3,5),(4,8)。 (i)當 (a3,a5)=(3,5)時，a3=3 代入公式(C)可得
a4=6 (不合)，因為 6 重複。 (ii)當 (a3,a5)=(4,8)時，a3=4 代入公式(C)可 得 a4=8 (不合 )，因為 8 重複。 因此(a5,a6)不可能是 (6,2) 。 (3)當 (a5,a6)=(9,3)時，代入公式(F)可得 30 ≥ 6a3=12+2a7 ≥ 14，所以 a7是 3 的倍 數。因此(a3,a7)= (4,6)。a3=4 代入公式(C) 可得 a4=8。
由公式(G) 3a1+2a2+6a3+2a6 = 2a8+4a9，可以
知道 a1是偶數，而 a3=4，a7=6，a4=8 都已經
被使用過，所以 a1=2。因此目前只剩質量為
1、5、 7 單位的砝碼尚未被使用，由公式(G) 可得
38 ≦ 2a2+36=6+2a2+24+6=3a1+2a2+6a3+2a6 =
2a8+4a9 ≦ 10+28 = 38。 所以 a2=1,a8=5,a9=7。因此 (a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9)) = (2,1,4,8,9,3,6,5,7)是唯一解。 ■ 解過很多 “稱天秤”的題目之後，雖然是 不 同 的 題 目 ， 但 是 解 答 的 過 程 卻 都 十 分 相 似。當砝碼的個數由少變多時，要考慮的情 況非常多，面對一大堆的方程式，還是常常 會不知從何下手。想找出所有的解答時，解 題的過程就十分繁雜且花費很多時間。我將 砝碼較少的題目按照天秤兩端支點的距離加 以分類，並給予明確的記號，同時算出它可 能的解答。在考慮天秤題目中含有兩個或兩 個 以 上 的 基 本 圖 形 ， 同 時 算 出 它 可 能 的 解 答。有了這些基本的資料，當我們要解比較 複雜的天秤題目時，速度就會快很多了。 如果”稱天秤“的題目用圖形表示，就會 很佔空間且不方便。為了便於記錄，我設計 了一種稱天秤的題目表示方法，這種用記號 表示方法是: 如果天秤只有一層，即左右兩 邊 支 點 下 掛 的 都 是 一 個 砝 碼 ， 則 我 們 用 G(a1,a2,… ,as;b1,b2,… ,bt)表示在天秤左邊距離 中 心 a1,a2,… ,as 單 位 及 右 邊 距 離 中 心 b1,b2,… ,bt單位的支點下都掛有一個砝碼，如 果天秤不只一層，即距離中心 i 單位掛有另 一個天秤，則把 i 改成 Gi(… ; … ) 。當然支點 下可能又掛有天秤，這樣就一層一層記錄即 可。例如圖一和圖二的記號是 G (G3(G1(G1(1;1,2);3);2);G3(2;1,2),G6(2;3))和 G(G8(3,2;3),G6(2,1;G2(G1(1;2,3);1,2)), G6(G1(G1(1;G1(2;1),3,4);1,2);1,2))。 題目作得越多，碰到的問題也越多，但 是 心 得 也 變 多 了 。 除 了 初 步 的 解 題 心 得 之 外，我再談談現在得到的新解題心得: 1.
加重夾擠法.
令 d1,d2,… ,dk和 w1,w2,… ,wk 是 二 個 遞 增 數 列 。 假 設 題 目 中 砝 碼 的 質 量 a1,a2,… ,ak 兩兩不同，而且是從 w1,w2,… ,wk 中 挑 出 來 的 ， 我 們 常 常 需 要 計 算 X=d1a1+d2a2+… +dkak的最大或最小值。由排 序 不 等 式 知 道 d1wk+d2wk-1+… +dkw1≧ X ≧ d1w1+d2w2+… +dkwk。當題目中砝碼的個數很 少時，由於上界 (或 下 界 )與單個砝碼的最大 (或最小 )質量相差不多時。夾擠法很有用， 但是砝碼的個數變多時，由於上界 (或下界 ) 與單個砝碼的最大 (或 最 小 )質量相差太多， 夾擠法就變成不好用了。這時可以改用 “加 重夾擠法”也就是多個方程式相加之後。再用 夾擠法， 2.反証法
.開始時，我只想到判斷某個或某 些 砝 碼 質 量 可 能 是 多 少?常常要討論很多的情況，但是加上反証法的思維來判斷某個或 某些砝碼質量不可能是多少或者質量為某單 位的砝碼一定某些砝碼之一，這兩者靈活交 互使用，可以使我們得到更多的訊息。
題三.
請將質量為 1,2,3,… 11 單位的砝碼，置 入圖五中 11 個秤盤內，使得每個秤盤恰好放 置一個砝碼，而且所有的天秤都平衡。 這個題目有五個天秤中心，為了使所有 的 天 秤 平 衡 ， 所 以 我 們 可 以 列 出 六 個 方 程 式，然後再解這些聯立方程組。 圖 五 2a1 +a2=a3 … … … (A) a4 = a5+2a6 … … … (B) a7 = a8+2a9 … … … (C) x= 2y … … … (D)3(a1+a2+a3)+2(x+y)+(a4+a5+a6)=5(a7+a8+a9)
… … … (E) a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+x+y=66 … … … (F) 由 公 式 (A)+(B)+(C)+(D) 可 得 a3+a4+a7+x = (a2+a5+a8)+2(a1+a6+a9+y)。 因為所有的砝碼是質量為 1,2,3,… 11 單位組 成，所以 38=11+10+9+8≧a3+a4+a7+x=(a2+a5+a8)+2 (a1+a6+a9+y)≧ (5+6+7)+2(1+2+3+4)=38，因此
{(a1,a2,a3),(a4,a5,a6),(a7,a8,a9)}}
={(3,5,11),(10,6,2),(9,7,1)}且 (x,y )=(8,4)。
令 P=a1+a2+a3， Q=a4+a5+a6， R=a7+a8+a9，
S=x+y 。 由 於 11+5+3=19, 10+6+2=18, 9+7+1=17,8+4=12。所以我們只要用檢驗下列 公式的所有解 3P+2S+Q=5R 其中 {P,Q,R}={17,18,19}且 S=12。所以 (P,Q,R)=(18,17,19)。因此 (a1,a2,a3,x,y,a4,a5,a6,a7,a8,a9)=(10,6,2,8,4,9,7,1, 11,5,3) 惟一解。 ■ 註 ： 這 個 題 目 中 如 果 只 由 單 獨 的 公 式 (A),(B),(C)或(D)並不能確定 a1,a4,a7及 x 之值，但是(A)+(B)+(C)+(D)之後，馬 上 可以得到很多訊息了。 有 時 候 並 非 所 有 的 砝 碼 都 要 放 入 稱 盤 內，而是只有部份砝碼要入稱盤內，這種題 目常常是為了準備解更複雜的題目。
題四.
請將質量為 1,2,3,… 14 單位的砝碼中挑 選 7 個質量不同的砝碼，置入圖六中 7 個秤 盤內，使得每個秤盤恰好放置一個砝碼，而 且所有的天秤都平衡。 這個題目有四個天秤中心，為了使所有 的天秤平衡，由於質量為 1,2,3,… 14 單位的 砝碼挑選 7 個質量不同的砝碼，所以我們並 不知道砝碼的質量總和是多少，因此我們只 可以列出四個方程式，然後再解這些聯立方 圖 六程組。 a4=2a5 … … … (A) 2a3=a4+a5 … … … (B) a3+a4+a5=a6+2a7 … … … (C) 2a1+a2=a3+a4+a5+a6+a7 … … … (D) 由公式(A) 和(B)可得 2a3=3a5，所以 a5是偶 數和 a3是 3 的倍數。 由公式(A)知道 a4 是偶數。因為所有的砝碼 是從質量為 1,2,3,… 14 單位的砝碼挑選。所 以我們考慮 a3=3,6,9 或 12 四種情況 : (1)當 a3=12 (a4,a5)=(16,8) (不合 )，因為所有 砝碼質量屬於 1 到 14 之間的整數。 (2)當 a3=9 ⇒ (a4,a5) = (12,6)， 將 (a3,a4,a5) =(9,12,6)之值代入公式(C)可得 27=a6+2a7⇒ 81=2(a3+a4+a5)+a6+2a7
=2(a3+a4+a5+a6+a7)-a6 … … … (E)
。所以 41≦a3+a4+a5+a6+a7，由公式(D)可 得 41≦a3+a4+a5+a6+a7 = 2a1+a2 ≦ 41⇒ a3+a4+a5+a6+a7 = 41= 2a1+a2⇒(a1,a2) =(14,13) 。但是由公式(E) (a6,a7) =(1,13) (不合)，因為 13 重覆。 (3) 當 a3=6 ⇒ (a4,a5)=(8,4)。將 (a3,a4,a5) = (6,8,4)之值代入公式(C)可得 18=a6+2a7，所 以是 a6偶數⇒ (a6,a7)=(12,3),(14,2)。我們 考慮二種情形： (i)當 (a6,a7)=(12,3).將 (a3,a4,a5,a6,a7)=(6,8,4,12,3)之值代入由公 式(D)可得 33 = 2a1+a2 ，所以 a6是偶數 ⇒ (a1,a2) =(14,5),(13,7),(10,13)。。 (ii)當 (a6,a7)=(14,2)，將 (a3,a4,a5,a6,a7)=(6,8,4,14,2)之值公式(D) 可得 34=2a1+a2 ⇒ (a1,,a2) = (12,10),(11,12)。 (4)當 a3=3 ⇒ (a4,a5)=(4,2)。由公式(C)可得 9 = a6+2a7 ⇒ (a6,a7) = (7,1) 由 公 式 (D)可 得 17 = 2a1+a2 ⇒ (a1,a2) = (6,5) 。 綜合以上結果，答案共有： (a1,a2,… ,a7)= (6,8,4,12,3,14,5)， (6,8,4,12,3,13,7)， (6,8,4,12,3,10,13)， (6,8,4,14,2,12,10)， (6,8,4,14,2,11,12)，(6,5,3,4,2,7,1)。 ■
題五.
請將質量為 1,2,3,… 14 單位的砝碼，置 入圖七中 14 個秤盤內 ，使得每個秤盤恰好 放置一個砝碼，而且所有的天秤都平衡。 圖 七 這個題目有七個天秤中心，為了使所有的天 秤平衡，所以我們可以列出八個方程式，然 後再解這些聯立方程組。3a1+2(a2+a3+… +a10)=a11+3a12+4(a13+a14)
… … … (A) a2+a3+… +a8=a9+2a10 … … … (B) 2a2+a3=a4+a5+… +a8 … … … (C) a4+a5+a6=a7+2a8 … … … (D) 2a4=a5+a6 … … … (E) a5=2a6 … … … (F) 2a13=3a14 … … … (G) 由公式(B)可得 a2+a3+… +a8=a9+2a10≦ 41，
而 a2,a3,… ,a8由構成圖形和題四一樣，由題四 的 解 答 可 以 知 道 只 有 一 種 答 案 滿 足 a2+a3+… +a8 ≦ 41 。 那 就 是 (a2,a3,… ,a8)= (6,5,3,4,2,7,1) ，而剩下砝碼質量是 8,9,… ,14 單位，滿足公式(G)的比例關係只有 (a13,a14) =(12,8)。代入公式 (B) 可得 28=a2+a3+… +a8 =a9+2a10≦ 10+18=28，所以 (a9,2a10)=(10,9)。 把 所 有 已 知 砝 碼 質 量 代 入 公 式 (A) 可 得 3a1+a4+94=a11+3a12+80 ⇒ 14=a11+3(a12-a1)，
因為只剩質量為 11,13,14 單位的砝碼，所以 a11=11,a12=14,a1=13 。 因 此 (a1,a2,… ,a14) = (13,6,5,3,4,2,7,1,10,9,11,14,12,8)是惟一解。 ■ 現在我們回頭來談談研究動機中第二題 的解題方法。
題六.
請將質量為 1,2,3,… 20 單位的砝碼置入 圖八中的 20 個秤盤內，使得每個秤盤恰好放 置一個砝碼，而且滿足所有天秤的狀態。 這個題目有十個天秤中心，為了使所有 的天秤平衡，所以我們可以列出十一個方程 式，然後再解這些聯立方程組。 圖 八 3a1+2a2=3a3 … … … ( A ) 2a4+a5=a6+a7+a8+a9+a10 … … … ( B ) a6+a7+a8=a9+2a1 0 … … … ( C ) a6=2a7+3a8 … … … (D)4(a1+a2+a3 )+2(a4+a5+… +a10)=a11+3(a12+… +a20)
… … … (E) a12+a13+… +a18=a19+2a20 … … … ( F )
a12+a13+… +a16=a17+2a18 … … … (G)
a12=(a13+a14)+2a15+3a16 … … … (H)
2a13=a14 … … … ( I )
a1+a2+… +… +a20=190 … … … ( J )
由公式(I)代入(H)可得
a12=2a15+3(a13+a16) … … … ( K )
公式(D)+(K)可得
39≧a6+a12=2(a7+a15)+3(a8+a13+a16)≧
2(4+5)+3(1+2+3)=36。我們考慮 (1).如果{1,2,3}⊂ { a12,a13,a14,a15,a16}，則公式 (D)中 a6=2a7+3a8≧10+12=22(不合 )，因為 所有砝碼重量屬於 1 到 20 之間的整數。 (2).如 果 {1,2,4}⊂{a12,a13,a14,a15,a16}， 則 公 式 (D)中 a6=2a7+3a8≧10+9=19，所以 a6=19。 由公式(K)知道 a12+a15是 3 的倍數，上面敘 述告訴我們{1,2,3}⊄ { a12,a13,a14,a15,a16}而且 如果{1,2,4}⊂{a12,a13,a14,a15,a16}，則 a6=19， 所以 (a12,a13,a14,a15,a16)=(19,4,8,2,1),(19,2,4,5,1) 或 (20,3,6,4,1)。 因 此 (a6,a7,a8,a12,a13,a14,a15,a16) 只可能是 (16,5,2,20,3,6,4,1) (19,2,5,20,3,6,4,1) (19,5,3,20,4,8,1,2)。 這三組答案都滿足 {1,2,3,4,5}⊂{ a6,a7,a8,a12,a13,a14,a15,a16}，則由 公式(F)可得 34≧a12+a13+… +a16=a17+2a18 ⇒2(a12+a13+… +a18) =102+a18 … … … (L) 因為所有砝碼重量屬於 1 到 20 之間的整數而 且 1,2,3,4,5 和 20 已被使用，所以由公式(F)
和(L)可得 56=18+38≧a19+2a20=a12+a13+… +a18 … … … (M) 如果 19∉ {a19,a20 }，則公式(M) 5317+36≧ a19+2a20 ≧ 54( 不 合 ) ， 所 以 ， 所 以 19∈{a19,a20 }。這樣 a6不可能是 19，由此可 見由公式 (D),(F),(G),(H)與(I) 。我們就可以 推 導 出 (a6,a7,a8,a12,a13,a14,a15,a16) 一 定 是 (16,5,2,20,3,6,4,1) … … … … (N) 到現在為止質量為 1,2,3,4,5,6,16,20單位的砝 碼已被使用過。由公式(A)知道 a2是 3 的倍 數，所以 a2可能是 9,12,15,18 而且
3(a3-a1)=2a2 … … … … (O)
。由公式(C)知道 23= a6+a7+a8=a9+2a10，所以 (a9,a10)可能是 (9,7)或 (7,8)，我們考慮 (1). (a9,a10)= (7,8)。由公式(L)和 (M)知道 56=18+38≧ a19+2a20 = a12+a13+… +a18)≧ 1/2(102+a18) ， 而 我 們 已 知 道 質 量 為 1,2,3,4,5,6,7,8 單位的砝碼已被使用過。 所以 a12+a13+… +a18=56 = a19+2a20。我們 又知道 34=a12+a13+… +a16=a17+2a18，所以 (a17,a18)=(10,12)且 (a19,a20)=(18,19)，所以 (a9,a10,a17,a18 ,a19,a20) =(7,8,10,12,18,19)。 由公式(N)知道 a2可能是 9,12,15,18 而且 3(a3-a1)=2a2， 但 是 我 們 已 知 道 質 量 為 3,6,12 單 位 的 砝 碼 已 被 使 用 過 。 滿 足 3(a3-a1)=2a2只有(a1,a2,a3) =(11,9,17)。
(2). (a9,a10)= (9,7) 。 由 公 式 (L) 和 (M)知 道 56=18+38 ≧ a19+2a20 = a12+a13+… +a18≧ 1/2(102+a18) ， 而 我 們 已 知 道 質 量 為 1,2,3,4,5,6,7,8 單位的砝碼已被使用過。 所以 a12+a13+… +a18 = a19+2a20=56 或 55。 我們又知道 34=a12+a13+… +a16=a17+2a18，所以我們就 可 以 推 導 出 (a9,a10,a17,a18 ,a19,a20)= (7,9,8,13,17,19) ， (7,9,8,13,19,18) 或 (7,9,10,12, 18,19)。由公式(N)知道 a2可 能是 9,12,15,18 而且 3(a3-a1)=2a2，但是我 們已知道質量為 3,6,9 單位的砝碼已被使 用 過 。 滿 足 3(a3-a1)=2a2 只 有 (a1,a2,a3) =(10,12,18)。 綜合以上結果， (a1,a2,a3,a9,a10,a17,a18,a19,a20) 可能是(11,9,17,7,8,10,12,18,19) 或 (10,12,18,7,9,8,13,17,19)。 (1).如果 a1,a2,a3,a9,a10,a17,a18,a19,a20)= (11,9,17,7,8,10,12,18,19) ，則到現在為止 質量為 13,14,15 單位的砝碼尚未被使用 過。由公式(B) 可得 38=a6+a7+a8+a9+a10=2a4+a5 ≧ 26+14=40 (不合) ， (2).如果 a1,a2,a3,a9,a10,a17,a18,a19,a20)= (10,12,18,7,9,8,13,17,19) ， 則 到 現 在 為 止 質量為 11,14,15 單位的砝碼尚未被使用 過。由公式(B) 39=a6+a7+a8+a9+a10=2a4+a5 可 得 (a4,a5)=(14,11) ， 由 公 式 (E) 可 得 160+128=a11+273，所以 15=a11，因此 (a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,a110,a12,a13,a14,a1 5,a16,a17,a18,a19,a20) 一定是 (10,12,18,14,11,16,5,2,7,9,15,20,3,6,4,1,8, 13,17,19)。 ■
設計題目
現在來談談我得到的設計題目心得: 1. 將砝碼較少的單層”稱天秤”的題目稱為基本圖形，按照天秤兩端支點的距離加以分 類，並算出它可能的解答。同時也考慮天 秤 題 目 中 含 有 兩 個 或 兩 個 以 上 的 基 本 圖 形。有了這些基本的資料，當我們要解比 較複雜的稱天秤題目時，速度就會快很多 了，同時我們也很容易設計出只有惟一答 案的好題目。 2. 在解題的過程中，常 常可以發現只 用部份 方 程 式 就 得 到 某 些 變 數 只 有 少 數 幾 種 的 解 ， 這 些 資 料 都 是 在 設 計 題 目 的 重 要 依 據。再利用沒有被使用過砝碼質量之整數 來湊等式，這樣就很容易設計出只有惟一 答案的好題目。 當我們解題四的過程時，並沒有利用到 公 式 (E)就 可 以 證 明 得 到 {P,Q,R}={17,18,19} 且 S=12， 其 中 P=a1+a2+a3， Q=a4+a5+a6， R=a7+a8+a9， S=x+y。利用整數 17,18,19,12 來湊等式，可以得到無限個等式，我們找係 數較小的例如: 3 乘 17 加 18 等於 69 也等 3 乘 19 加 18。事實上滿足 3P+Q =S+3R 的解 只有 (P,Q,R,S)=(17,18,19,12)，所以我們可以 設計出只有一個答案的題目，如圖九。
題七.
請將質量為 1,2,3,… 11 單位的砝碼置入 圖九中的 11 個秤盤內，使得每個秤盤恰好放 置一個砝碼，而且滿足所有天秤的狀態。 圖 九 這個題目的解題過程就和題四相似，只 是 公 式 (E) 由 3P+2S+Q=5R 改 為 3P+Q =S+3R，所以我們只要用檢驗公式(E)的所有 解是(P,Q,R,S)= (17,18,19,12)即可。 ■ 另外當我們知道滿足 3P+Q = 2S+3R 其 中 {P,Q,R}={17,18,19} 且 S=12 的 解 只 有 (P,Q,R,S)=(19,18,17,12) 時，我們也可以設計 出另外一個是答案惟一的題目，如圖十。題八.
請將質量為 1,2,3,… 11 單位的砝碼置入 圖十中的 11 個秤盤內，使得每個秤盤恰好放 置一個砝碼，而且滿足所有天秤的狀態。 圖 十討論
我 們 也 可 以 設 計 一 些 新 的 ”稱天秤 ”題 目，使得它的解題技巧包含一元二次方程式 a x2 + by + c = 0 和一次不等式 ax + by > c 或 ax + by < c。例如題九.
請將質量為 1,2,3,… 8 單位的砝碼置入圖 十一中的 7 個白色秤盤內 ，另外將質量為 x 和 x2單位的砝碼置入圖十一中的 2 個黑色秤 盤內，使得每個秤盤恰好放置一個砝碼，而 且所有的天秤都平衡。圖 十一 由題四的解答可以知道 (a1,a2,a3,… ,a7)= (6,5,3,4,2,7,1)，所以本題變成問“28=X+3X2” 或 “28=X2 +3X”的正整數解。很容易看出來 28=X+3X2沒有正整數解，而 28=X2 +3X 恰有 一個正整數解。就是 X=4。
