110 學年度四技二專統一入學測驗數學(A) 試題

育達系列 1 創新研發 \數學(A).doc(10)

110 學年度四技二專統一入學測驗 數學(A) 試題

數學A參考公式

1.扇形弧長S＝rθ ，其中r為扇形的半徑，θ (弧度)為扇形的圓心角。

2.點P(x⁰ , y⁰)到直線L：ax＋by＋c＝0的距離為

2 2

0 0

b a

| c by ax

|

＋

＋

＋ 。

3.首項為a1，公差為d的等差數列，第n項為an＝a1＋(n－1)d，前n項之和為 Sn＝

2 ] d ) 1 n ( a 2 [

n ₁＋ －

。

4.首項為a1，公比為r的等比數列，第n項為an＝a1r^n－1，若r≠ 1，則前n項之和為S

＝ 1 r ) r 1 ( a₁ ⁿ

－

－ 。

5.設有一組母體資料x1 , x2 , ... , xN，其算術平均數為μ ，則母體標準差為

N ) x (

N

1 i

2



＝

－μ

。 6.常態分配：

7.參考數值：log1020.3010

1. 直線L：x＋2＝3(y－4)的斜率與y截距之和是多少？

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5。

2. 有一扇形的圓心角為 π

1 ×360°，半徑為3，則扇形的周長為何？

(A)6 (B)8 (C)10 (D)12。

3. 某抽屜中有10張仟元鈔，6張伍百元鈔，從抽屜中隨機取出兩張鈔票共1500元 的機率是多少？

(A) 4

1 (B)

3

1 (C)

2

1 (D)

3 2 。

4. 若f(x)為一個多項式，已知多項式x²f(3x)＋xf(6x－1)－3除以3x－1得餘式為1，

則f(1)之值為何？

(A)3 (B)6 (C)9 (D)12。

5. 若





|＝2，則





之最小值為何？

(A)－ 5 (B)－2 5 (C)－5 (D)－5 5 。

6. 若二元一次聯立不等式







1 x y

x 2 y

x y

＋

－

≦

≦

≧

的解集合為S，則S為下圖(一)中的哪一個三

角形？

(A)△ OAD (B)△ OBC (C)△ OAB (D)△ OCD。

圖(一) 7. 下列有關角度的敘述何者錯誤？

(A)235°與－485°為同界角 (B)780°與

3

13 π 表示相同的角度

(C)一個非零角度只有一個最小正同界角

(D)θ 為一標準位置角且0°≦ θ ＜90°，則θ 為第一象限角。

8. 已知| a







|＝10、| b



|＝5。若





的夾角為θ ，則sinθ ＝？

(A)－ 4

1 (B)－

4

15 (C)

4

1 (D)

4 15 。

9. 一個等比數列的前兩項和是20，公比的絕對值是3，則此數列的第4項有可能是

多少？

(A)135或270 (B)45或270 (C)－90或135 (D)－270或135。

10. 下列哪一個函數圖形，經過平移後無法與y＝sinx的圖形重合？

(A)y＝cosx (B)y＝2＋sinx (C)y＝

2

1 sin(2x) (D)y＝sin(x＋2π)。

11. 下列選項哪一個數值最大？

(A)log87³ (B)log23＋log49 (C)0.19×log23¹⁰ (D)

2 log

9 . 8 log

100

10 。

12. 若一次馬拉松比賽中，所有1000位選手完賽的平均時間是4小時30分鐘，標準

差是45分鐘，且完賽的時間近似常態分配，試問約有幾位選手的完賽時間比3小 時來得少？

(A)25 (B)50 (C)160 (D)250。

13. 坐標平面上有O、A、B、C四個點，已知O為原點，A點坐標為(－1 , 0)，B點

坐標為(1 , 1)，且△ ABC的重心為(0 , 2)，則△ AOC的面積為何？

(A)1.5 (B)2 (C)2.5 (D)5。

14. 已知f(x)為3次多項式且領導係數為2，g(x)為2次多項式且領導係數為3，下列

敘述何者恆為正確？

(A)f(3x)＋g(2x)為5次多項式且領導係數為54 (B)f(3x)－g(－2x)為3次多項式且領導係數為54 (C)f(2x)×g(3x)為5次多項式且領導係數為36

(D)f(2x)除以g(－3x)之商式為1次多項式且領導係數為1。

15. 已知一元二次方程式x²＋ax＋b＝0的兩根為2、3，則一元二次方程式x²－2bx－

7a＝0的兩根為何？

(A)2、3 (B)2、7 (C)3、5 (D)5、7。

16. 已知某種傳染病的特性是感染者經由接觸其他未感染者後，最多傳染3人，也就

是一個感染者經由第一輪接觸他人後，連同自己最多4人感染，這些感染者經由 第二輪接觸他人後，最多共有16位感染者，以此類推；則從第一個感染者開始，

最快經由幾輪傳播後，感染者會達到100萬人？

(A)10 (B)9 (C)8 (D)7。

17. 下圖(二)中，f(x , y)＝－30x＋20y＋100在五邊形ABCDE(含內部及邊界)的最大值

為M、最小值為m，則M－m＝？

(A)160 (B)170 (C)180 (D)190。

圖(二) 圖(三)

18. 若拋物線y＝－x²＋ax＋b圖形如圖(三)所示，則一元二次不等式x²－ax－b≧ 5的 解為何？

(A)x≧ 5或x≦ －1 (B)－1≦ x≦ 5 (C)x≧ 1或x≦ －5 (D)－5≦ x≦ 1。

19. 已知坐標平面上有一直線L：y＝－x，兩個圓分別為C1：x²＋y²＋2x＋2y＝0以及 C2：x²＋y²－2x－2y＝0，下列敘述何者正確？

(A)C¹的圓心到L的距離為2 (B)L為C²的切線

(C)L與C¹為相割

(D)C1的圓心和C2的圓心之連線通過第二象限。

20. 已知某田徑場地如圖(四)所示，最內圈的1號跑道長度為400公尺，每往外一圈其

跑道長度就增加7 3

2 公尺。試問從最內圈開始的7個跑道總長度最接近以下哪一 個答案？

(A)2800公尺 (B)2960公尺 (C)3100公尺 (D)3250公尺。

圖(四) 圖(五)

21. 小竹與小淳規劃今年暑假的兩天一夜去某地旅行，他們預計要去下列五個不同的 景點。這些景點的開放時間如下：

§ 科學展示館 9：00～17：00 § 原住民部落市集 12：00～21：00

§ 歷史文化館 9：00～17：00 § 特色美食夜市 18：00～21：00

§ 在地文創館 12：00～21：00

他們打算第一天早上(9：00～12：00)、下午(14：00～17：00)、及晚上(18：00～

21：00)各參觀一個景點，而第二天早上(9：00～12：00)及下午(14：00～17：00) 也各參觀一個景點，這些景點都不會重複安排，試問總共有幾種規劃方式？

(A)4 (B)6 (C)10 (D)12。

22. 園遊會中有10項不同的活動，每一項活動每個人只能參加一次。小華與小明各自

參加5項活動，如果他們選擇參加每一項活動的機率都相同，且不互相影響。已 知小華已經選了5項活動，那麼小明參加的活動中剛好有兩項活動與小華相同的 機率是多少？

(A) 252

72 (B)

252

80 (C)

252

96 (D)

252 100 。

23. 如圖(五)，岸邊有一棟景觀大樓，對岸有一座鐵塔。今由景觀大樓高10公尺處測

得鐵塔頂端的仰角為45°，再由景觀大樓高30公尺處測得鐵塔頂端的仰角為30°。

若兩處觀測點的連線與地面垂直，則該鐵塔的高度大約是多少公尺？

(A)40－10 3 (B)40＋10 3 (C)30 3 －10 (D)30 3 ＋10。

24. 小舒在商店街參加一個促銷活動，其規則為『從A、B、C、D、E五件商品中，

任選不同的3件商品後，只需要付價錢高的2項商品之總價』。這五件商品的標價 為A：15元、B：20元、C：25元、D：30元、E：35元。試問小舒付款的金額 可能有幾種？

(A)5 (B)6 (C)7 (D)10。

25. 有一間公司有16位員工及4位經理，每位員工的薪水相同，每位經理的薪水也一

樣。已知全體薪水的中位數是4萬元、平均數是5萬元，試問薪水的標準差最接 近下列何者？

(A)5000 (B)10000 (C)15000 (D)20000。

數學(A)－【解答】

1.(D) 2.(D) 3.(C) 4.(C) 5.(B) 6.(B) 7.(D) 8.(D) 9.(A) 10.(C) 11.(B) 12.(A) 13.(C) 14.(B) 15.(D) 16.(A) 17.(C) 18.(A) 19.(B) 20.(B) 21.(A) 22.(D) 23.(B) 24.(A) 25.(D)

110 學年度四技二專統一入學測驗 數學(A) 試題詳解

1.(D) 2.(D) 3.(C) 4.(C) 5.(B) 6.(B) 7.(D) 8.(D) 9.(A) 10.(C) 11.(B) 12.(A) 13.(C) 14.(B) 15.(D) 16.(A) 17.(C) 18.(A) 19.(B) 20.(B) 21.(A) 22.(D) 23.(B) 24.(A) 25.(D)

1. L：x＋2＝3(y－4) L：y－4＝

3

1 (x＋2) ∴ 斜率為 3 1 令x＝0 2＝3(y－4)，y＝

3

14 (y截距)  3 1 ＋

3 14 ＝5 2. 圓心角＝

π

1 ×360°＝

π

1 ×360×

180

π (弳)＝2 弧長＝rθ ＝3×2＝6 ∴ 周長＝6＋3×2＝12 3. n(S)＝C¹⁶₂ ＝120

n(1500元)＝C¹⁰₁ ×C⁶₁＝60 ∴ P＝

120 60 ＝

2 1 4. 令H(x)＝x²‧ f(3x)＋x‧ f(6x－1)－3

則H(x)除以(3x－1)之餘式＝H(

3 1 )＝(

3

1 )²‧ f(1)＋

3

1 ‧ f(1)－3＝1

 9

4 f(1)＝4 ∴ f(1)＝9 5. a





5 ，| b



|＝2





＝| a





|×cosθ ＝ 5 ×2×cosθ 當cosθ ＝－1時有min＝－2 5 6.







) (

1 x y

) (

x 2 y

) (

x y

直線下方

＋

－

≦

直線下方

≦

直線上方

≧

7. (A)235°－(－485°)＝360°×2；(B) 3 13 π ＝

3

13 ×180°＝780°；(D)錯誤θ I，則0°＜

θ ＜90°。

8. | a





|²＝10² | a



|²＋2 a





＋| b



|²＝100 100＋2 a





＋25＝100

∴





＝ 2

－25

則cosθ ＝

| b

|

| a

| b

a





 



‧ ＝ 5 10

2 25



－

＝ 4

－1

， 則sinθ ＝

4 15 9. | r |＝3，r＝3或－3

(1)r＝3，a＋ar＝4a＝20 ∴ a＝5，a4＝a×r³＝5×3³＝135

(2)r＝－3，a＋ar＝－2a＝20 ∴ a＝－10，a4＝a×r³＝－10×(－3)³＝270 10. 週期改變，圖形無法重合。

11. (A)log87³＝log ³

237 ＝log27；

(B)log23＋log49＝log23＋log23＝log29＞log27；

(C)0.19×log23¹⁰＝1.9×log23＝log23^1.9＜log23²＝log29；

(D) log 2 9 . 8 log

100

10 ＝

2 log

9 . 8 log

100

100 ＝log28.9＜log29。

12. P(x＜3)＝(

2 95 100－

)%＝2.5%，1000×2.5%＝25

13. 3

C B A＋ ＋

＝G C＝3×G－A－B＝3(0 , 2)－(－1 , 0)－(1 , 1)＝(0 , 5)，

△ AOC面積＝

2 15 ＝

2 5 14. 令f(x)＝2x³，g(x)＝3x²，

(A)f(3x)＋g(2x)＝2(3x)³＋3(2x)²＝54x³＋12x²； (B)f(3x)－g(－2x)＝2(3x)³－3(－2x)²＝54x³－12x²； (C)f(2x)‧ g(3x)＝2(2x)³×3(3x)²＝432x⁵；

(D)f(2x)＝2(2x)³＝16x³，g(－3x)＝3(－3x)²＝27x² 16x³÷27x²＝ 27 16 x。

15. 2根2、3 (x－2)(x－3)＝0 x²－5x＋6＝0 a＝－5，b＝6 x²－2bx－7a＝0 x²－12x＋35＝0 (x－7)(x－5)＝0 ∴ x＝7、5 16. a1＝4，a2＝16，a3＝64，an＝4ⁿ 4ⁿ＞1000000 log4ⁿ＞log1000000

n×log4＞6 n×(2×0.3010)＞6 n＞9.96 ∴ n最少10 17. f(x , y)＝－30x＋20y＋100

(1 , 0) －30＋0＋100＝70 (3 , 2) －90＋40＋100＝50 (0 , 3) 0＋60＋100＝160 (－3 , 2) 90＋40＋100＝230 (－1 , 0) 30＋0＋100＝130

Max＝230，min＝50，M－m＝180

18. 二次函數，y＝－(x－2)²＋4＝－x²＋4x a＝4，b＝0

x²－4x－0≧ 5 x²－4x－5≧ 0 (x－5)(x＋1)≧ 0

x≧ 5或x≦ －1

19. C¹：(x＋1)²＋(y＋1)²＝ 2²，O1(－1 , －1)，r1＝ 2

C2：(x－1)²＋(y－1)²＝ 2²，O2(1 , 1)，r2＝ 2 L：x＋y＝0 (A)(C)d(O1 , L)＝

2 2 1 1

| 1 1

|

＋

－

－ ＝ 2 ＝r1 ∴ L為C1之切線；

(B)d(O2 , L)＝

2 2 1 1

| 1 1

|

＋

＋ ＝ 2 ＝r2 ∴ L為C2之切線；

(D)兩圓心連線過第一象限及第三象限。

20. a¹＝400，d＝7 3 2 ＝

3

23 ，S7＝

2

n ] d ) 1 n ( a 2

[ ₁ － 

＝ 2

7 3 ) 6 23 400 2

(  ＋  

＝2961

21. 兩天早上排科學展示館或歷史文化館，方法數2!＝2 第一天晚上排特色美食夜市，方法數＝1

剩餘兩天下午排在地文創館或原住民部落市集，方法數2!＝2 規劃方式共2×1×2＝4

22. 不失一般性，假設小華參加前5項

n(S)＝C¹⁰₅ ＝252，n(恰2同)＝C⁵₂×C⁵₃＝100，P＝

252 100

23. 如圖設DE＝x，則AE＝ 3 x＝BF，由△ BDF中  BF＝DF

 3 x＝x＋20 x＝

1 3 20

－ ＝10( 3 ＋1)＝10 3 ＋10

∴ 鐵塔高＝x＋30＝40＋10 3

24. 選(A , B , C)付45 選(A , B , D)付50 選(A , B , E)付55 選(A , C , D)付55 選(A , C , E)付60 選(A , D , E)付65 選(B , C , D)付55 選(B , C , E)付60 選(B , D , E)付65 選(C , D , E)付65

共5種付法

25. 若員工薪水為x , x , x,…x

經理薪水為y , y , y , y，則中位數＝x＝4(萬)

16項

 20 y 4 4

16 ＋ ＝5 ∴ y＝9(萬)

∴ S＝ [16(4 5) 4 (9 5) ] 20

1 _{2 2}

－

＋

－  ＝ 4 ＝2