                              第一題數學甲考科非選擇題參考答案 107 學年度指定科目考試

(1)

1

107 學年度指定科目考試數學甲考科非選擇題參考答案

數學甲的題型有選擇、選填與非選擇題。非選擇題主要評量考生是否能夠清楚表達推理過程，答題時應將推理或解題過程說明清楚，且得到正確答案，方可得到滿分。如果計算錯誤，則酌給部分分數。如果只有答案對，但觀念錯誤，或過程不合理，則無法得到分數。

數學科非選擇題的解法通常不只一種，在此提供多數考生可能採用的解法以供各界參考。各大題的參考答案說明如下：

第一題

第(1)(2)小題 解法一

正確寫出可決定坐標系的頂點坐標。例如設 (0,0,0)A ， ( ,0,0)B a ， (0, ,0)D a ， (0,0, )E a ， 推得G a a a ，及平面 BDE 的方程式為 x( , , )    。 y z a

因 (0,0,0)A 到平面 x y z   的距離為a 3

a ，且 AG為 3a ，故得證第(1)小題。

另外

AG ( , , ) a a a ，與平面 BDE： x y z a   的法向量 (1,1,1) 平行，故得證第 (2)小題。

解法二

利用向量的方法由

AG AB +

AD + AE ，

AG  BD

AG ( AD

AB )  AD²AB² 0，同理

AG 

BE 0，因為

AG 與平面 BDE 的兩向量 BD 、

BE 皆垂直， 所以

AG 與平面 BDE 垂直，故得證第 (2)小題。 令 P 為 A 對平面 BDE 的投影點，因

AG 與

AP 平行， 且

AG^AB + AD +

AE ，所以

AP  (  AB +

AD + AE )。

因 P 在平面 BDE 上，得 AP 1

3(

 

AB + AD +

AE ) (因為係數和須為 1)。

所以 AP 是 AG的三分之一，即 A 到平面 BDE 距離是 AG的三分之一。故得證第(1) 小題。

(2)

2

解法三

設正方體的邊長為 a 。所以四面體 ABDE 的體積為 ¹ ¹ ² ¹ ³ 32a  a 6a 。

設 A點到平面 BDE 的距離為 h ，而三角形 BDE 為邊長為 2a的正三角形，其面積為 1 3 ² 3 ²

2 2 2a  2 a 。推得四面體 ABDE 的體積為 1 3 ²

3 2 a  ，由h

3 2

1 1 3

6a  3 2 a  ，可解得高h ¹

h 3a，而對角線長度 AG為 3a ，故得證第(1)小題。

因正四面體 GBDE 的邊長為 2a ，其高為 2

( 2 )

3 a ，即 G 點到平面 BDE 的距 離為 2

3 3a ，加上 A 點到平面 BDE 的距離為 1

3 3a ，恰等於 A 點到 G 點的距離為 3a ，故得證第(2)小題。

第(3)小題

由點到平面的公式，可得 A點到平面 BDE的距離為

2 2 2

2 2 2 2 6 7 3 2 2 1

    

   。

第(4)小題 解法一

由(2)可知向量

AG 與平面 BDE垂直，由(1)(3)可知對角線 AG長度為 3 3 9  ，

故

AG 3(2, 2, 1) ，故 G 可能坐標為 ( 4, 4,9)  或 (8,8,3) ，但 ,A G 兩點位在平面的兩 側，所以 G 點坐標為 ( 4, 4,9)  。

解法二

設 Q 點為 AG與平面 BDE 的交點，因為

AG 與平面 BDE 垂直，考慮直線 AQ 的參

數式

2 2 2 2 6 ( 1)

x t

y t

z t

  

  

   



， t R

代入 BDE 平面方程式 2x2y z   得到7 t  ，所以1 Q 



0, 0, 7



，即

AQ = ( 2, 2,1)  。由(1)(2)小題得到

AG = 3( 2, 2,1)  ， 推得 G 點坐標^



^{2, 2, 6}



^{  }^{3( 2, 2,1)}^{  }



^{4, 4,9}



(3)

3

第二題

第(1)小題

由 f x( ) 3x²6x 3 (x x 2)

知 f x 在( ) x   有極小值2 1^{、在} x  有極大值 3 。 0 由首項係數小於 0，得以下 y f x( )的圖。

第(2)小題

因為 f ( 3) 、 ( 2)3 f    、 ( 1) 11 f   、 (0) 3f  、 (1)f   ， 1 x 3 2 1 ⁰ ¹

( )

f x + ^ + + ^

可知 f x  分別在區間( ) 0 ( 3, 2)  、 ( 2, 1)  、 (0,1) 各有一個實根。因為 a₁a₂  ，故a₃  3 a₁ 2、  2 a₂ 1、 0a₃1。

第(3)小題

由 (2)知  3 a₁ 2、 2 a₂  1、0a₃ 1，由a a₁, ₂皆小於極小值 1，可知水平線 ya1或 ya₂與 y f x( )的圖形皆僅有一交點，又因 a₃介於極大值 3 與極小值 1之間，故 ya₃與 y f x( )的圖形有三交點；因此 f x( )a₁， f x( )a₂皆恰有一實根，而 f x( )a₃有三相異實根。

(4)

4

第(4)小題

由 f x( )  (x a₁)(x a ₂)(x a ₃)，

知求解 f f x( ( ))0等價於求( ( )f x a₁)( ( )f x a₂)( ( )f x a₃)0的所有實數解，由 (3)知共有 1 1 3   個相異實根。 5

                              第一題 數學甲考科非選擇題參考答案 107 學年度指定科目考試

107 學 年 度 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 考 科 非 選 擇 題 參 考 答 案

第 一 題













第 二 題

                              第一題數學甲考科非選擇題參考答案 107 學年度指定科目考試

107 學年度指定科目考試數學甲考科非選擇題參考答案

第一題

第二題