數學統測最前線

統測數學 A 考情趨勢與考題剖析

109 年統測數學 A 考情趨勢

一、試題分析

109 年數學(A)試題分布尚算平均，唯不等式太多（3題）、機率太少（1題），但指 數與對數及其應用單元，2 題都是對數題型且難度偏高，對數 A 的同學來說不易得分。

整份試卷有七成以上的題型在各出版社的課本或總複習講義中曾經出現過，所以對認 真且付出時間的同學來說是會有回報的一份試卷！預估平均分數將會較前一年提高4

～6 分左右。

基本公式題：

第9 題：了解百分等級的意義即可。

第12 題：直線的斜率公式。

第15 題：向量的內積公式使用。

第19 題：分點公式與距離公式的應用題。

第24 題：只要能理解題目搭配餘弦定理即可解題。

基本概念題：

第1 題：等比數列的定義。

第2 題：基本的機率題型。

第3 題：綜合除法的常見題型。

第5 題：組合的基本題型。

第6 題：整係數一次因式檢驗法的基礎題型。

數學統測最前線

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◆ 109 年統測數學 A 考情趨勢與考題剖析（P.1）

◆ 109 年統測數學 B 考情趨勢與考題剖析（P.12）

◆ 109 年統測數學 C 考情趨勢與考題剖析（P.24）

109 年

第7 題：利用生活常識即可求解。

第10 題：等差數列的基本概念。

第11 題：資料的線性變換基礎題。

第16 題：點到直線的距離公式應用題。

第17 題：利用圓的直徑兩端點求出圓心、半徑再代入圓的標準式即可。

第18 題：基本的特別角三角函數求值。

第20 題：百分比抽中總次數100%

全部次數 。

稍微有點變化題：

第4 題：利用除法原理即可解題。

第8 題：不等式及方程式兩單元的結合題型。

第14 題：簡單的三角函數求值搭配正弦定理即可解題。

需思考與計算較難的題目：

第13 題：利用 1 log^ab log_b

 a解題的對數方程式題型。

第21 題：（本份試卷最難題）對數方程式的應用題型。

第22 題：線性規劃的經典題型。

第23 題：經典的三角函數求極值題型。

第25 題：絕對值不等式的變化題。

二、配分比例表

單元名稱 題數 單元名稱 題數

直線方程式 3 圓與直線 1

三角函數及其應用 4 數列與級數 2

向量 1 排列組合 2

式的運算 3 機率 1

指數與對數及其應用 2 統計 3

不等式及其應用 3

數學A 參考公式

1. 若、 為一元二次方程式ax²bx c  的兩根，則0 b

   ^a 、 c

  a 2. 點P x y 到直線 :



0, 0



L ax by c   的距離為0 ^{0 0}

2 2

ax by c a b

 

 3. 餘弦定理：c² a²b²2abcosC

4. 2

sin sin sin

a b c

A B  C  R，R 為△ABC外接圓的半徑

單選題（每題 4 分，共 100 分）

( ) 1. 若在1和 2 之間插入二個數，使其成等比數列，則這二個數的乘積為何？

(A)1 (B) 2 (C) 4 (D)8。

( ) 2. 由 5 位三年級、4 位二年級、3 位一年級的學生組成一糾察隊。今欲從此隊 的學生中任選一位當隊長，若每位學生被選到的機會均等，則隊長為二年 級學生的機率為何？

(A) 1

12 (B)1

5 (C)1

4 (D)1 3。

( ) 3. 設 ^{f x}

 

^{3x37x24x  6 a b x}



^2

 

^{c x2}



^{2d x}



^2



^3，

則a b c d    ？

(A) 28 (B) 26 (C) 22 (D) 18 。 ( ) 4. 設 f x 為一多項式。若

 

^{f x 除以}

 

¹

x 的商式為3 ^{q x ，餘式為}

 

^{r，則 f x 除}

 

以6x 的商式與餘式分別為何？ 2

(A)商式為q x ，餘式為 r (B)商式為

   

6

q x ，餘式為r

(C)商式為

 

6

q x ，餘式為6r (D)商式為6q x ，餘式為 6r 。

 

總 分

109 統測數學 A 考題剖析

( ) 5. 某班有30 位學生，其中 20 位男生、10 位女生。今任選二位擔任班長和副班 長，若規定其中一位是男生，另一位是女生，則共有幾種選法？

(A) 200 (B) 400 (C) 435 (D)870 。

( ) 6. 設 ^{f x}

 

^{2x3x27x ，則下列何者不為6 f x 的因式？}

 

(A)x (B)1 x (C) 22 x (D) 23 x 。 1

( ) 7. 某校舉辦新生盃網球個人賽，比賽採單淘汰制，也就是比賽一場輸的就淘 汰，勝的晉級到下一輪比賽。若有32 位新生參加比賽，則共要舉辦多少場 比賽，才會產生冠軍？

(A)31 (B)32 (C)32 31 2

 (D)32 31 。

( ) 8. 設不等式ax²2x b  的解為 10    ，則下列何者是以 ,x 2 a b 為兩根的方 程式？

(A)x²2x  (B)8 0 x²2x  (C)8 0 x² 3x15 0 (D)x²6x  。 8 0

( ) 9. 某次模擬考有10000 人參加，若小明的百分等級是95，則小明的排名會在下 列哪個區間？

(A)



^401,500



^(B)



^501,600



^(C)



9401,9500



(D)



9501,9600 。



( ) 10. 表 ( 一 ) 是 某 年 某 月 的 月 曆 ， 若 在 其 中 框 選 任 一 個 有 九 個 數 的 大 方 格

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a a a a a a a a a

（如表(一)中的粗黑框），則下列何者不正確？

表(一)

(A)a a₁, ₂, , a₉成等差數列 (B)a 是₄ a 和₁ a 的等差中項 ₇ (C)a₁a₂  a₉ 9a₅ (D)a₁a₅a₉ a₃a₅ 。 a₇

( ) 11. 某班期中考的數學成績平均分數為 48分，標準差為8分。今將每人的分數都 乘以a 再加2 分，若調整後成績的標準差為10 分，則調整後成績的平均分數 為幾分？

(A)58 (B) 60 (C) 62 (D) 64 。

( ) 12. 設m 為過₁ 7 2, 3

A  、 1 2,3 B 

 

 兩點的直線斜率，m 為直線₂ x3y 的斜率，4 m 為直線3 y 的斜率，則3 m 、₁ m 、₂ m 的大小為何？ ₃

(A)m₁m₂ m₃ (B)m₂ m₃m₁ (C)m₃m₂ m₁ (D)m₁m₃m₂。 ( ) 13. 設、為方程式log10



x 5



2log_x5_10 1 的兩根，則 2  ？

(A) 1051 (B) 1061 (C) 1071 (D) 1081。

( ) 14. 已知△ABC中，BC ，且8 3

cosA ，則 ABC5 △ 外接圓的半徑為何？

(A) 4 (B) 5 (C) 8 (D) 10。

( ) 15. 設 a



與



b

兩向量的夾角為60 ，且



a 2

，



b 3

， 則3 a b    a2 b 

   

   

？ (A) 9 (B) 12 (C) 15 (D) 18。

( ) 16. 設△ABC中，A點的坐標為



^2,7



^，且B、C 兩點均在直線3x4y 上。6 若△ABC的面積為16 ，則 BC 的長度為何？

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 8。

( ) 17. 設^A

 

^{5,2 與B}



  為平面上兩點。若 AB 為圓C 的直徑，則圓C 的方程式^{1, 6}



為何？

(A)



^x2

 

^{2 y2}



^{2 100 (B)}



^x2

 

^{2 y2}



^225

(C)



^x2

 

^{2 y2}



^{2 100 (D)}



^x2

 

^{2 y2}



^225。

( ) 18. 8 13 sin cos tan

3 6 4

     ？

(A) 1  3 (B)1 3 (C) 1  3 (D)1 3。

( ) 19. 將火車站與甲、乙、丙三家標示於坐標平面上，設火車站與甲、乙兩家的 坐標分別為

 

^{0,0 、}



^{  、2, 5}

  

4,7 ，且甲、乙、丙三家共線。若丙家介於 甲、乙兩家之間，且丙家到甲家距離為丙家到乙家距離的兩倍，則丙家到 火車站的距離為何？

(A) 7 (B) 11 (C) 13 (D) 15 。

( ) 20. 某超商舉辦買飲料電腦抽獎活動，獎項分別有任 2 瓶 1 元、任 2 瓶 49 折、

任2 瓶 59 折、任 2 瓶 69 折、任 2 瓶 79 折、任 2 瓶 89 折。由於大家都不 知道各獎項的中獎比例，因此某人號召參加抽獎的網友告知抽到的獎項。

統計 100 次抽獎的結果如圖(一)。事後又再統計另外 50 次抽獎的次數分配 表如表(二)，則此 150 次抽獎的統計結果，任 2 瓶 79 折的百分比為多少？

圖(一)

獎項（任2 瓶） 1元 49 折 59 折 69折 79折 89 折

次數 1 1 2 1 36 9

表(二)

(A) 36% (B) 48% (C) 60% (D) 64%。

( ) 21. 設直線 y k 與兩指數函數y2^x 、3 y2^x的圖形分別交於A、 B 兩點。

若AB ，則 k  ？ 4 (A)14

5 (B)3 (C)16

5 (D)17 5 。 ( ) 22. 設

 

^{a b 為聯立不等式, 63 2 66}

, 0 x y x y x y

  

  

 



的解，則5a2b的最大值為何？

(A)15

3 (B)18

3 (C)22

3 (D)34 3 。

( ) 23. 設 x 為任意實數，則 ^{f x}

 

^{ 2sin2xsinx 的最大值為何？ 2}

(A)1 (B)15

8 (C)17

8 (D)5 。

( ) 24. 設甲、乙兩人同時從點O 朝不同方向行走，甲往東 27 南直線走了 450 公尺 到達A點，乙往南 57 西直線走了 750 公尺到達 B 點，則 A、 B 兩點的距離 為多少公尺？

(A) 1050 (B) 1350 (C) 1800 (D) 2100。

( ) 25. 滿足不等式3 2 x 1 12的整數解個數為何？

(A) 4 (B) 5 (C) 8 (D) 10。

109 年 統 一 入 學 測 驗 數 學 (A)

本試題答案係依據統一入學測驗中心公布之標準答案

1.

, ,

a b c 為等比數列，公比為 r ， 則此三數可寫成a ar ar , , ²

設此二數為x 、 y

則1, , , 2x y 四數成等比數列 設公比為r

得x r ，y r ²，2 r ³ 故x y r r   ² r³ 2

2.

機率 事件元素個數 樣本空間元素個數

4 1 12 1

4 1 12 3 P C

C  

3.

綜合除法的應用

令x  ，2 0 x ，則 2 3 7 4 6 2

6 2 4 3 1 2 2

6 10 3 5 12

6 3 11

a b c d

  

  

   

 

 

 



得a b c d          2 12 11 3 28

4.

除法原理

由題意知

 

¹

 

^...

f x x3q x r



 

¹

 

f x x3q x r

 



  

^{6 2}

  

6 f x  x q x  r

得所求之商式為

 

6

q x ，餘式為r

5.

組合公式：自n 個相異物中任取 r 個的情形 共有C 種 ⁿ_r

20 10 2 1

1 1 1 1 400

C C C C 

6.

整係數一次因式檢驗法：

若ax b 為

 

n 1 n¹

n n

f x a x a x_ ^ 

1 0

a x a

  的一次因式 其中a 、 b 為整數且互質 則a a 且_n b a₀

由整係數一次因式檢驗法知

 

f x 可能的一次因式有：

1

x 、x 、2 x 、3 x 、 26 x 、 21 x 3 任用其中一個因式去除 ^{f x}

 

若整除即可將 ^{f x 分解}

 

1.B 2.D 3.A 4.B 5.B 6.D 7.A 8.B 9.A 10.A 11.C 12.B 13.C 14.B 15.A 16.C 17.D 18.D 19.C 20.D 21.C 22.C 23.C 24.A 25.D

2 1 7 6 1 2 1 6 2 1 6 0

   

  

 

得 ^{f x}

  

^{ x1 2}

 

^{x2 x 6}





^{x 1}



^{x 2 2}



^{x 3}



   

故選(D)

［另解］

∵ ^{f x}

 

^{2x3x27x 的 6}

奇次數項係數和 偶次數項係數和

∴ ^{f x 必有}

 

^{x 的因式 1}

 ^{f x}

  

^{ x1 2}

 

^{x2 x 6}





^{x 1}



^{x 2 2}



^{x 3}



   

7.

樹狀圖的概念

∵ 32 位選手要比16 場；晉級16 位再比 8 場；再晉級8 位再比 4 場，依此類推 故共有16 8 4 2 1 31     場比賽

［另解］

因為產生1位冠軍選手要淘汰其他 31 人 故必須有31 場比賽

8.

(1) 若a b



^{x a x b}



^



^{0  a x b }

(2) 方程式



^{x a x b}



^



^{ 的根為 0}

x a ， x b

∵    1 x 2

∴



^x1



^x2



^{ 0}

 x²   x 2 0

 2

2x2 2x 4 0

      ，得a  ，2 b 4 又以 、4 為根的方程式為2



^x2



^x4



^{ 0}

故所求為x²2x  8 0

9.

(1) PR 值的概念 (2) PR 值最大為 99

∵ 99 95 4  且10000 100 100

∴ 小明至少輸了4 100 400  人 又其最差名次為5 100 500  故小明的排名在



^401,500



10.

等差數列的概念

∵ 9, 10, 11, 16, 17, 18, 23, 24, 25 不為等差數列

故選(A)

11.

n 筆資料x x₁, ₂, , x_n的平均數為x ， 標準差為S ，若_x y_iax_i b

則y ax b  ，S_y   a S_x

∵ 標準差只與倍數有關

∴ 10 8 a   5 a 4

故調整後成績的平均分數為 5

48 2 62

  4

12.

(1) A x y 、



1, 1



B x y



2, 2



則 ^{2 1}

2 1

AB

y y

m x x

 

 （x₁ ） x₂ (2) :L ax by c   ，0 a

m  （b b ） 0 (3) 水平線的斜率m 0

 

1

3 3 6 1 7 3 2 2 2 m  

   

 

2

1 1 m   3 3

 ，m₃ 0

∴ m₂m₃m₁

13.

利用 1

log^ab log_b

 a的概念去解對數方程式

令log10



x  ，則5



t _{ 5} 1 log_x 10

  t

∴ 原式  1 2 1 t   t

 t²   t 2 0





^t2



^{t  1}



⁰

 t 或2 t  1

即^log₁₀



^{x  或5}



^{2 log}₁₀



^{x   5}



¹

 x 5 10²100或 ¹ 1 5 10 10 x  ^ 

 x105或 51 x10

故 51

2 2 105 1071

  10

14.

正弦定理 2

sin

a R

A

∵ 3

cosA  5 4 sinA 5 又BC a  8

由正弦定理知 2

sin

a R

A

 8 4 2 5

 R  10 2R  R 5

15.

(1)

   

a b  a  b cos (2)

2

a a  a

  

∵ 1

cos60 2 3 3 a b  a  b      2

   

則3 a  b     a 2 b 

   

2 2

3 a 5 a b 2 b



   

   

2 2

3 2 5 3 2 3

      12 15 18 9

   

16.



1, 1



P x y 與L : ax by c   0

的距離 ^{1 1}

2 2

ax by c

d a b

 

 

∵ ^A



^2,7



^{與直線3x4y}_{ 的距離為} ⁶

在BC 邊上的高 即高 6 28 6

5 8

  

 

故△ABC面積 8 2 16 BC

   BC 4

17.

圓的標準式：

以M h k 為圓心， r 為半徑的圓方程式為

 

^,



^{x h}

 

^{2 y k}



^{2 r2}

∵ AB 為圓 C 的直徑

∴ 圓心M 為 AB 中點

即 ⁵

 

^{1 2,}

   

^{6 2, 2}

2 2

M     

 

 

 

且半徑^{r MA }



^{2 5}

 

^{2  2 2}



^{2  5}

得圓方程式為



^x2

 

^{2 y2}



^25225 18.

特別角的三角函數值之計算

8 13

sin cos tan

3 6 4

  ^ ^ 

 

 

sin 480 cos 30 tan 585

      

 

sin120 cos 30 tan 225

       3 3

1 1 3

     ABC

△

19.

分點公式：

: :

AP PB m n

2 1, 2 1

mx nx my ny

P m n m n

 

 

   

 

由題意知，甲、乙、丙三點共線 且甲丙 2 乙丙

圖示如下：

設丙家坐標為

 

^{x y ,}

由分點公式知

 

^{, 2 4 1}

 

^{2 2 7 1,}

   

^{5 2,3}

2 1 2 1

x y          

 

 

 

得丙

 

^{2,3 與火車站}

 

^{0,0 的距離為}



^{2 0}

 

^{2 3 0}



^{  4 9  13}

20.

百分比抽中總次數100%

全部次數

抽中任2 瓶 79 折的總次數為 100 60% 36 96   次

∴ 百分比為 96

100% 0.64 100% 64%

100 50   



21.

x log

a b  x ab

（a ，0 a ，1 b ） 0

∵ A、B 兩點為 y k 與y2^x 與3 y2^x 的交點（k ） 0

∴ :

2^x 3 A y k

y

 

  

  2^x  3 k  2^x    k 3 xlog2



k 3



:

2^x B y k

y

 

 



 2^x   k xlog₂k

∵ AB ，則4 log2klog2



k  3



4

（∵ log2klog2



k ） 3



 log₂ log 16₂ 3

k k 

  16

3 k k 



 k 16k48  15k48

 48 16 15 5 k  

22.

線性規劃：先畫出可行解區域，再將所有頂 點坐標代入目標函數即可解題

令L₁ : 6x y  、6 L₂ : 3x2y 6 圖解如下：

可行解區域為斜線部分

其頂點為^A

 

^{0,0 、B}

 

^{1,0、 2,2}

C 3 

 

 、^D

 

^0,3

將A 、 B 、C 、 D 代入 ^{f x y}

 

^{, 5x2y得}

 

^{0,0 0}

f  ，^f

 

^{1,0  ，5 2,2 22}

3 3

f    ，

 

^{0,3 6}

f  得最大值為22

3

23.

三角函數的極值

 

^{2sin2 sin 2}

f x   x x 令sin x t （ 1   ） t 1 則 ^{f t}

 

^{ 2t2  t 2}

2

 

2

2 1 1 1

2 2 2

2 4 4

t t

     

             1 2 17

2t 4 8

     

則

 

 

1 17 4 8 1 1 1 1 f

f f

  

  

  

  



 得最大值為17 8

24.

餘弦定理：

2 2 2 2 cos

a b  c bc A 圖形如下：

將△OAB重新表示

由餘弦定理得

2 4502 7502 2 450 750 cos120

AB       

202500 562500 337500  

（450 450 750 750 450 750     ^{150 150}      



3 3 5 5 3 5



150²49 150 ²7²1050²） 1102500



 AB 1102500 1050 （公尺）

25.

0 0 x x

x x x

 

  

，

，

∵ 3 2 x 1 12

 3 2 x 1 12或^{3 }



^{2x 1}



¹²

 4 2 x 或 12 213   x   1 3

 13

2 x 2 或 11 2x  2

 13

2 x 2 或 11 2 x 1

   

得x2, 3, 4, 5, 6或 5, 4, 3, 2, 1 共10 個整數解

統測數學 B 考情趨勢與考題剖析

109 統測數學 B 考情趨勢

一、試題分析

1. 難易適中：

近幾年的統測試題都相當穩定，各章節考題皆偏向基本計算，惟重點觀念仍需正 確。

2. 試題簡易化，重視基本觀念：

此份考題，第2、3、4、6、10、20、23、24 題皆為觀念正確、了解題目敘述所代 表之數學概念，即可輕易解答。

第13、19 題雖為二次曲線之考題，但實則為第一章直線方程式之基本運算。

3. 提升閱讀能力，將有助於快速理解題目與數學的關聯性：

不難看出許多考題仍以素養方式敘述，舉凡第3、8、20、24 題。同學可特別注意 此類考題常常偏容易，主要測驗考生對生活中數學敘述的理解能力。

4. 部分題型有答案逆推或是侷限之現象，並出現普高題型但技高改得較簡易：

第7 題： 利用  1 x 5推算出絕對值不等式及二次不等式較不容易，但由答案計 算符合相同範圍則為簡易。

第17 題：普高考題針對奇函數做定積分，因積分範圍為正負對稱，即可知悉答案 為0。所幸計算過程不難，考生亦可嘗試實際代入計算定積分值。

第18 題：與雙曲線不相交直線有無限多條，漸近線則為其中兩條，而答案即為漸 近線，讓此題符合技高所學內容。

第21 題：此為普高三根之根與係數，巧妙利用已知一根，再運用綜合除法，將方 程式降為二次後，再利用二次方程式之根與係數。

第22 題：技高較缺乏解聯立時有平方之計算，此題設計讓 A、 B 兩點之y坐標相 同，減低所需的計算量。

5. 考題規律剖析：

106、107 年考題按照章節順序命題，而去年與今年皆無此規律。今年再度以公平 原則分配答案平均，A～D 各出現 6～7 次，並且選項中的答案若為數值，都會按 照大小順序出現，對於數感較好的同學將有利於答案正確性的分析。

109 年

二、配分比例表

單元名稱 題數 單元名稱 題數

直線方程式 0 不等式及其應用 2

三角函數 2 排列組合 2

向量 1 機率 2

指數與對數及其運算 1 統計 2

數列與級數 1 三角函數的應用 2

式的運算 3 二次曲線 4

方程式 1 微積分及其應用 2

數學B 參考公式

1. 二倍角公式：sin 2 2sin cos 

2. 設有一組母體資料x x₁, ₂, , x_N，其算術平均數為，則母體標準差為

 

²

1 N

i i

x N









3. 點P x y 到直線



0, 0



L ax by c:    的距離為0 ^{0 0}

2 2

ax by c a b

 



4. 參考數值：log 2 0.3010₁₀  、log 3 0.4771₁₀  、log 5 0.6990₁₀  、log 7 0.8451₁₀ 

單選題（每題 4 分，共 100 分）

( ) 1. 若 1 sin 2

  ，則2



^{sin cos}



^{2  ？}

(A)1

4 (B)3

4 (C)1 (D)3 2。

( ) 2. 若 為一個象限角，且由計算器得知sin 及cos都小於0，則 為哪一象限 角？

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限。

( ) 3. 某一個電腦的過關遊戲中，從據點 A到據點C 必須經過據點 B。若從據點 A 到據點B 可以選擇的路徑有 2 條，從據點 B 到據點C 可以選擇的路徑有3條，

則從據點A到據點C 有幾種走法？

(A) 5 (B) 6 (C) 8 (D) 9。

( ) 4. 若 ^{f x}

 

^{ x 2，其中為圓周率，則 f x}

 

^？

(A)1 (B)1 (C)1 2   (D)1²。 ( ) 5. 若 為第二象限角，且 7

sin  4 ，則cos  ？ (A) 3

4

 (B) 5 4

 (C) 5

4 (D)3 4。

總 分

109 統測數學 B 考題剖析

( ) 6. 已知甲、乙兩人同時投資不同股票且兩人的投資互不影響。若甲的獲利機 率為0.5，乙的獲利機率為 0.8，則兩人同時獲利的機率為何？

(A) 0.8 (B) 0.65 (C) 0.5 (D) 0.4。

( ) 7. 若點 A 與點 B 在數線上的坐標分別是 1 與 5，則線段 AB （包含兩端點，如圖(一)所示）是下列哪一個不等 式之解的圖形？

(A) x  (B)1 4 x  (C)1 5 x²4x  (D)5 0 x²6x  。 5 0

( ) 8. A公司提供的免費午餐有素食及葷食二種選擇。根據某員工在公司的用餐習 慣，用素食的隔天再用素食的機率為0.8，而用葷食的隔天用素食的機率為 0.5。若該員工星期二用葷食，則星期四用素食的機率為何？

(A) 0.25 (B) 0.4 (C) 0.64 (D) 0.65。

( ) 9. 已知某項考試共有 3600 人應考，考試成 績近似常態分配，如圖(二)所示，又考試 成績的平均分數為65 分，標準差 為 10 分。若成績高於 85 分的人數為 x ，則 下列何者正確？

(A)x50 (B)51 x 150 (C)151 x 250 (D) 251 x 350。

( ) 10. 已知某班學生期中考數學科平均成績為 45 分。若老師將每位學生數學科成 績加20 分，則該科的統計資料中平均數、中位數、眾數、標準差在下列敘 述中何者正確？

(A)僅平均數加 20 分 (B)僅平均數、中位數加 20 分 (C)僅標準差未加 20 分 (D)全部都加 20 分。

( ) 11. 2¹⁰⁰⁰大約等於下列何者？

(A)10 ¹⁰⁰ (B)10 ²⁰⁰ (C)10 ³⁰⁰ (D)10 。 ⁴⁰⁰ ( ) 12. 若a a ^1 ，則2 a³a^3 ？

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8。

( ) 13. 若A、B 兩點分別是拋物線y x 與直線² x  、3 x 的交點，則直線 AB1



與 下列哪一條直線平行？

(A)y  (B)2x 1

y 2 x (C) 1

y 2x (D)y2x。

圖(一)

圖(二)

( ) 14. 已知



^x1



^{3除 f x 的餘式為}

 

^{x22x 。若3}



^x1



^{2除 f x 的餘式為}

 

^{ax b ，}

則a b  ？

(A) 2 (B) 1 (C)3 (D) 4 。

( ) 15. 如圖(三)所示，四邊形 ABCD 的四個頂點為 ^A

 

^{0,0 、}

 

^1,0

B 、^C

 

^{1,1 及D}

 

^{0,2 ，則四邊形}ABCD 區域為下列哪 一個聯立不等式的圖解？

(A)

0 1 0 2

2 2 x y x y

  

  

  



(B)

0 1 0

2 2

x y x y

  

 

  

 (C)

0 1 0 1 2 x y x y

  

  

  



(D)

0 1 0

2 x y x y

  

 

  



。

( ) 16. 利用降階法將行列式

1 1 2 2 1 1 1 2 1

 

依第二列展開，可得

1 2 1 1 1

1 1 1 1

a b y c

x z

  

     ，則a b c x y z      ？ (A) 4 (B)0 (C)5 (D)6 。

( ) 17. 求

_

_²₂



^{30x516x7 20x dx3}



^？

(A) 192 (B) 6 (C)0 (D)192 。

( ) 18. 若C 為坐標平面上的雙曲線，且其方程式為

2 2

25 16 1

x  y  ，則下列哪一條直線 與C 沒有交點？

(A) 2

y 5 x (B) 1

y5 x (C) 3

y5x (D) 4 y 5x。

( ) 19. 已 知 圓 ^{C :}



^x3

 

^{2 y2}



²  。 若 點 P 是 圓 C 上 一 點 ， 則 P 到 直 線¹ : 3 4 8 0

L x y  的最短距離為何？

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。

( ) 20. A學校桌球校隊有甲、乙、丙、丁、戊五位選手，有一天 A學校桌球校隊與 他校進行友誼賽。由於時間關係，只進行單打、雙打比賽各一場，且兩場 比賽同時進行。若任意推出選手參賽（不考慮默契等因素），則A學校可推 出的參賽選手名單有多少種？

(A) 12 (B) 30 (C) 125 (D) 243。

圖(三)

( ) 21. 已知、 及 為方程式3 x³x²11x  的三個相異解。求3 0    ？ (A) 2 3 (B) 4 (C) 6 (D) 4 5 。

( ) 22.已知^A



^1,4



^、B

 

^5,4 為坐標平面上兩點。若拋物線^{H : y C x h}



^



^2通過A、

B 兩點，則C h  ？ (A)13

5 (B)22

9 (C)18

7 (D)17 4 。

( ) 23. 已知^A

 

^{3,1 、B}



^{2, 3 、}



^C



^{7, 1 及}



D x y 為坐標平面上的四個點。若

 

^,

2

AB

  

 AC CD

，則x y  ？ (A) 8 (B) 4 (C)5 (D)6 。

( ) 24. 某部以“尋寶”為主題的電影中，男主角進到第二道關卡時看到了一扇巨大的 鐵門，門邊有100 個按鈕，每個按鈕都有一個數字，分別是從 1 到 100。牆 上有一個過關提示，上面印著：“有一個等差數列，其第 11 項和第 16 項分 別為31 和 56，按下該數列第 20 項數字的按鈕，鐵門就會打開”，則按下哪 一個數字的按鈕就會開門？

(A) 65 (B) 76 (C) 83 (D) 99。

( ) 25. 某甲沿著馬路向正前方一棟大樓直線前進，抬頭看大樓頂端的仰角為 30 度，

走了100 公尺後，第二次抬頭看大樓頂端，此時的仰角為 45 度，則第二次 抬頭看大樓時距離大樓還有多遠？

(A)²⁵



^{3 1 (B)}



⁵⁰



^{3 1 (C)}



¹⁰⁰



^{3 1 (D)}



¹⁰⁰



^{3 1 。}



109 年 統 一 入 學 測 驗 數 學 (B)

本試題答案係依據統一入學測驗中心公布之標準答案

1.

2 2

sin cos   ， sin 21 2sin cos 



^{sincos}



^{2sin22sin cos cos2}

1 2sin cos 

  1 sin 2

  1 3 1 2 2

  

2.

sin正負圖

cos正負圖

sin 0

 可能為第三或第四象限角……

cos 0

 可能為第二或第三象限角……

由得為第三象限角

3.

乘法原理

A 至C 包含 步驟一： A 至 B ， 2 種方法 步驟二：B 至 C ， 3 種方法 根據乘法原理共有2 3 6  種走法

4.

多項式微分

 

ⁿ

f x x （n ） 0

 ^{df x}

 

^{f x}

 

^nxn1

dx

 

 

 

f x  ，k 為常數  k ^{df x}

 

^{f x}

 

⁰

dx   

 

²

f x   （x  為圓周率   為常數）

 ^{f x}

 

^{   1 0 1}

5.

廣義角之三角函數：

若P x y 為標準位置角

 

^, 終邊上的一點 令r x²y²  sin y

 ， cosr x

 r

sin 7 4

y

   （∵ r r ） 0

 取r ，4 y 7

 r x²y²

 4 x² 7

 16x² 7

 x² 9

 x  3

∵ 為第二象限角  x 0

∴ x  3

則 3

cos 4

x

 r ^

1.D 2.C 3.B 4.A 5.A 6.D 7.C 8.D 9.B 10.C 11.C 12.A 13.A 14.A 15.D 16.B 17.C 18.D 19.D 20.B 21.A 22.B 23.C 24.B 25.B