尋尋冪冪 . . . . . . 一一非負矩陣冪序列初探

尋尋冪冪 . . . .

一一非負矩陣冪序列初探

柳柏濂

數與形的聯繫和轉化, 是數學永恆的主題。 自從電子計算機誕生以來, 資料的處理、 運算成 了電腦的拿手好戲, 而為了把形的研究放到電腦中進行, 數學家的看家本領是實現形和數的一 一對應。 把空間中形的定性關係轉化為數之間的定量關係, 把曲線、 曲面, 轉化成方程, 從而實 現空間 (包括平面) 圖形的電腦處理。 而對於只考慮點與線連接的拓樸圖形, 則借助於矩陣把它 對應成數表。

現在, 讓我們看看它是如何 「變臉」 的。

一 . 把圖存到電腦中

一個網路可以看作是一個有向圖。 它的邊是按箭頭方向連通的, 稱為弧。 以圖 1 的一個網 路 D1 (有向圖) 為例, 點 i 到點 j 的弧記為−→ij, 它稱為 i 的出弧或 j 的入弧, 每個點的出弧 (入弧) 數稱為該點的出度 (入度)。

圖1: 有向圖 D1。

要把這個圖 「數位化」, 我們把它 「變臉」 成一個矩陣, n 階圖 (n 個頂點) 對應於一個 n× n 方陣 (或稱 n 階方陣)。 第 i 個點對應於方陣中的第 i 列 (row), 第 i 行 (column), 而

55

點 i 到點 j 有弧, 對應於矩陣中第 i 列第 j 行的位置有 1, 否則, 在矩陣中第 i 列第 j 行中位 置為 0, 於是 D1, 就成下面的一個5 階方陣 (或記作 A(D1))。

A₁ =

(1) (2) (3) (4) (5)

(1) (2) (3) (4) (5)



















0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0



















顯然, 這種對應是一一的, 於是, 圖 D1, 可以通過數(矩陣 A1) 存儲到電腦中, 或者參與 (0, 1) 矩陣規定的各種運算和交換, 從而導出 D₁ 的各種性質。 A₁ 稱為 D₁ 的鄰接矩陣(adjacency matrix), 而 D1 稱為 A₁ 的伴隨有向圖 (associated digragh) 也可記作 D(A₁)。

如果我們把 D₁ 中各弧的方向去掉, 可以變成圖2 左邊的無向圖 D2; 進而把 D2 的每一 邊劃成來回的兩條弧, 則我們可把 D₂ 看作是有向圖 D₂^′。

圖2. 無向圖 D2 及其對應的有向圖 D₂^′。 於是 D2 的鄰接矩陣

A₂ =



















0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0



















A₂ 體現出來的特徵是: 所有的 0, 1以主對角線 (位置 (1, 1)(2, 2) · · · (5, 5)) 為對稱。 這樣的 A₂ 矩陣稱為對稱陣(symmetric matrix), 如果把 A 的轉置矩陣記作 A^T, 若 A = A^T, A 稱 為對稱陣。

D₃ 是 D1 中把頂點1 和 3 的標號互換的結果。 這反映到鄰接矩陣上,

圖3: D3。

把 A₁ 中的第一列(row) 與第 3 列, 第一行 (column) 與第 3 行互換, 就能得到 D₃ 的鄰接矩 陣 A₃。 這一變換, 在矩陣論中, 即把 A1 左乘一個置換矩陣 P1 (第一列與第3 列互換) 和右乘 一個置換矩陣 P₁^T。

P₁ =



















0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1



















所謂置換矩陣, 就是每行每列恰有一個 1的 (0, 1) 方陣。 一個最簡單的置換矩陣, 就是僅僅主對 角線為 1 的 n 階方陣, 簡稱為粧等陣, 記作 I_n 。 易見, P₁ 只不過把 I₅ 中 (1, 1) 位置的 1 移到 (1, 3) 位置上, (3, 3) 位置的 1 移到 (3, 1) 位置上。 P1A₁ 就實現了把 A₁ 的第1 列與第 3 列對 調。 於是, A₃ = A(D3) = P1A₁P₁^T, 我們稱 A1 與 A₃ 是置換相似。 若 A 與 B 置換相似, 則 它們的伴隨有向圖是同構的, 簡言之, 若把它們的頂點標號抹去, 兩個圖沒有什麼不同。

從上所述, 置換矩陣就是 《線性代數》 中置換的矩陣刻畫。 1, 2, . . . , n 的排列數, 就是不同 n 階置換陣的個數, 即 n! 個。 翻開高等代數或線性代數教材, 有一條用代數方法不容易證明的 定理: 任何一個置換均可分解為互相獨立的輪換的乘積。 用上述 (0, 1) 矩陣的圖論描述可以簡 明地如下證出來。

證明: 任一個置換對應於一個置換陣 A, A 的每行每列恰有一個 1, 即它的伴隨有向圖每 一點的出度為 1, 入度也為 1。 即 D(A) 必是由若干個有向圈組成的圖。 每個有向圈對應於一個 獨立的輪換。 定理得證。

二 . 「前度劉郎今又來」

0 和 1 是最簡單的整數, 如果我們不從數量的大小去比較它, 而賦於它 「無」 與 「有」 的 意義。 則 (0, 1) 矩陣可以定性地刻劃圖的組合性質。 以兩個頂點的所謂可達性為例。 設有向圖 D = (V, X), 其中 V 是頂點集, X 是弧集。 一個有向圖的一條 (有向) 途徑 (walk) 是頂點 與弧的一個交替序列, v0, x1, v1, . . ., xk, vk, 其中 vi ∈ V , xⁱ ∈ X, i = 1, 2 · · · k, 且 x_i = −−−→v_i−1v_i, 這樣一條途徑的長是 k, 即其中出現弧的數目為 k 。 一條閉途徑的起點和終點是 同一個點。 所有點不同的途徑稱為路 (path), 僅起點終點相同的路稱為圈。 若有一條路從頂點 u 到頂點 v, 則 v 稱為是從 u 可達的。 若一個圖的任何兩個頂點都可達, 則這個圖稱為強連通 圖。

如果我們用 1 和 0 分別表示 u 到 v 的可達與不可達, 而加法 「+」 表示 「並」 的意義, 容易 理解 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 1, 它們可解析為: 若沒有從 u 到 v 的任何路, 則從 u 不可達 v, 若有路從 u 到 v, 不管是一條路還是兩條路, 都從 u 可達 v。 把此加法運算 定義列成表。

+ 0 1

0 0 1

1 1 1

僅僅 1 + 1 = 1 與我們通常的運算不同。 若 0, 1 的乘法保持我們慣用的法則, 則這樣的 (0, 1) 矩陣稱為布爾矩陣 (Boolean matrix), 上述運算稱為布爾運算。

(試設想, 如果我們把1和0分別表示數的奇, 偶性, 那麼上述加法表中, 應該改動為 1+1 = 0。 又, 如果我們把上述加法表中改為 1 + 1 = 2, 則加法可解析為 「從 u 到達 v 的路的條數」, 而不僅僅是可達性。)

現在, 我們考察布爾矩陣的冪。

試看 A₁

A²₁ =



















0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0



















, A³₁ =



















0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0



















按照上述布爾矩陣的組合意義, A²₁ 正說明網路 D₁ 中, 每一個點 i 到另一個點 j, 是否有 長為 2 的途徑。 例如, A²₁ 表明從點1 到點 3、 點 4 都有長為 2 的途徑, 而到其他點沒有此類途徑

(見圖 1)。 類似, A³₁ 表明 D₁ 中從點3 可以用長為 3 的途徑到達點 4 和點 5, 但卻不能到達點 1, 2, 3。 當然, 從圖 D1 中, 我們亦不難得出結論, 但在一個密如蛛網的道路系統中, 用布爾矩陣 的冪運算遠比直觀搜索容易和準確得多。

一般地, 我們有下列結論。

性質1: 設 n 階布爾矩陣 A = (aij), 記 A^k = (a^(k)_ij )。 則 a^(k)_ij = 1 當且僅當 D(A) 中存 在一條從點 i 到點 j 的長為 k 的途徑。

證明: 由矩陣乘法法則,

a^(k)_ij = X

1≤i₁,i₂,...,i_k−1≤n

a_ii1a_i1i2· · · aⁱik−1j (1)

因 A 是布爾矩陣, 故 a^(k)_ij = 1 當且僅當式 (1) 右邊的和式中至少有一項不等於零, 當且 僅當存在 1 ≤ i¹, i₂, . . . , i_k−1 ≤ n 使得 aⁱⁱ1 6= 0, aⁱ1i₂ 6= 0, . . . aⁱk−1j 6= 0。 由伴隨有向圖的 定義, 這一結論成立當且僅當 D(A) 中存在一條從點 i 到點 j 的長為 k 的途徑。 證畢。

在談到 A 的冪時, 事實上, 我們涉及到布爾矩陣 A 的乘法。 容易知道, n 階布爾矩陣一共 有 2ⁿ² 個。 因此, 它組成一個有限集 B_n。 對於矩陣的乘法 「•」, 它是封閉的, 有恆等元 In, 且 滿足結合律。 因此 (B_n,•) 就構成了一個有限半群。

對於 A 的冪, 理論上, 我們可以從 I 開始不斷地, 乘 A, 就得到 I, A, A², A³,. . . 形 成一個冪序列。 但由於 (B_n,•) 的有限性, 卻使這個冪序列不能含無限多個不同的矩陣, 無窮序 列中的有限個元素, 便產生了如下的一種必然出現的迴圈模式 (→ 表示乘 A)。

圖4.

於是, 必出現 A^k+p = A^k, k 是非負整數, p 是正整數, 即序列 {A^j}, j = 0, 1, 2, . . . . 從第 k + 1 項 A^k 起, 作週期性變化, 「前度劉郎今又來」, 準確地說 {I, A, . . . A^k+p−1} 對 乘法成一個 k + p 階半群。

我們稱 p = p(A) 為 A 的冪振動週期, 簡稱週期 (period)。 k = k(A) 是 A 的收斂指 數, 簡稱指數 (index)。 用數學語言來說, k(A) 是使 A^k = A^k+1t 是某個正整數, 成立的最小 非負整數, 而 p(A) 是使 A^k = A^k+p 成立的最小整數。

於是冪序列 {A^j} 的變化狀態被 p(A) 和 k(A) 所決定。

特別地, 存在正整數 k, 使 A^k = J 的矩陣 A 稱為本原矩陣, 而使 A^k = J 成立的最小 正整數 k, 稱為 A 的本原指數 (exponent)。 顯然, 本原矩陣 A 有 A^k = A^k+1 = A^k+2 =

· · · = J, 因此, 它的週期 p(A) = 1。

如果 A 是本原陣, 由上述論述可知, 它的伴隨有向圖 D(A) 具有一個有趣的性質: 存在一 個正整數 k, 使 D(A) 中的每一點到圖中的每一個頂點 (包括自身) 都有長為 m 的途徑, 這裏 m 是不小於 k 的任一個整數。

我們把所有 n 階本原矩陣的集合記為 Pn 。 顯見, Pn ⊂ Bⁿ 。 不要以為 P_n 只是 Bn 中 的一類非常特殊的矩陣, Moon 和 Moser (1966[2]) 曾證明如下的結果:

記 |M| 是集合 M 的基數 (即有限集的元數), 則

n→∞lim

|Pⁿ|

|Bⁿ| = lim

n→∞

|Pⁿ| 2ⁿ² = 1.

這就是說: 幾乎所有 n 階 (0, 1) 矩陣都是本原陣。 在 [2] 中, 還得出了更令人吃驚的結 論: 幾乎所有 n 階 (0, 1) 矩陣 A 是本原的且 A² = J。

三 . 與狼共舞

讓我們用布爾矩陣解決一個 「與狼共舞」 的問題。

兩名獵人帶著兩隻惡狼過河, 現只有一隻小船, 每次最多能乘兩個人, 或兩隻狼, 或一人一 狼, 為避免惡狼傷人, 人和狼同時在場時, 人數不能少於狼數, 船過河一次要花 10 分鐘, 問最短 幾分鐘能使獵人和狼都能過河?

這是一個常見的智力問題, 靠靈機一動或靈機幾動, 當然可以把答案湊出來, 但是, 要程式 化地, 把解做出來, 還得靠數學。 正如著名數學家和數學教育家波利亞 (G. Polya) 所說的 「能 用一次的想法只不過是一個竅門, 能用一次以上的想法就成為一種方法了」。

我們用布爾矩陣的方法探索這個問題。

不妨設渡河從左岸到右岸。 用 (m, n, l) 表示左岸有 m 個人, n 只狼, 用 (m, n, r) 表示 右岸有 m 個人, n 只狼。 於是, 從左岸到右岸全部可能的狀態為:

v₁ = (2, 2, l) v₇ = (2, 2, r) v₂ = (2, 1, l) v₈ = (2, 1, r) v₃ = (1, 1, l) v₉ = (1, 1, r) v₄ = (2, 0, l) v₁₀ = (2, 0, r) v₅ = (0, 2, l) v₁₁ = (0, 2, r) v₆ = (0, 1, l) v₁₂ = (0, 1, r)

我們把上述 12個點畫成一個圖。 若從一個點的狀態可以轉移成另一個點的狀態, 則兩個點 之間連一條邊。 於是, 我們便可得到一個圖 G (圖 5)。

G 圖5.

渡河, 便是從圖中尋找一條從 v₁ 到達 v₇ 的途徑, 而最短的途徑便是花最小時間的渡河方 案。

我們把眼花繚亂的圖, 轉化為易於處理和識別的數位, 即借助於布爾矩陣。

圖 G 的鄰接矩陣為

A(G) =

"

0 A1

A₁ 0

#

12×12

其中

A₁ =

























0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0























 我們只須找出使 A^k = (a^(k)_ij ) 中 a^(k)₁₇ = 1 的最小的正整數 k。

由簡單的計算, 得

A^k =















"

A^k₁ 0 0 A^k₁

#

, k為偶數,

"

0 A^k₁ A^k₁ 0

#

, k為奇數.

經計算可得 a⁽¹⁾₁₇ = a⁽²⁾₁₇ = a⁽³⁾₁₇ = a⁽⁴⁾₁₇ = 0, 但 a⁽⁵⁾₁₇ = 1, 故小船至少 5 次過河才能安全地 把兩個獵人和兩隻狼從左岸運到右岸, 這場 「與狼共舞」 的歷程至少需要 50分鐘。

如果我們把布爾運算改為普通運算, 即 1 + 1 = 2, 所用的矩陣稱為 (0, 1) 矩陣。 按上述 方法, 可得 a⁽¹⁾₁₇ = a⁽²⁾₁₇ = a⁽³⁾₁₇ = a⁽⁴⁾₁₇ = 0, 但 a⁽⁵⁾₁₇ = 4, 這說明有 4 種不同的安全而最快的過 河方案。 讀者從圖 5中, 可找出 4條不同的從 v1 到達 v₇ 的長為5的途徑來。 按照這途徑便明確 指示出渡河的方法。

事實上, 我們所用的布爾矩陣模型, 同樣適用於描述非負矩陣 (即矩陣的每個元是非負數) 的組合性質, 把正數看作是 1, 則兩個非負矩陣相乘時, 正數 × 正數=正數, 正數 + 正數=正 數, 正是 1 × 1 = 1, 1 + 1 = 1 的定性描述。 相應地, 我們也可以把一個本原的非負矩陣 A 描 述成存在某一個 k, 使 A^k>0 的矩陣。 如果我們把 n 階布爾陣 A 看作是 N = {1, 2, . . . , n}

上的映射, 則圖4可看作是由 A 經迭代而生成的離散拓樸半動力系統, 而在符號動力系統中, 非 負方陣作為轉移方陣可描述有限子轉移的動力性狀。 特別地, 2階有限型子轉移就是拓撲馬爾可 夫鏈, 在馬爾可夫鏈的研究中, 布爾陣的本原性正是轉移矩陣遍曆性質的反映。

四 . 老調新曲

在數學史上, 著名的 「兔子繁殖」 問題產生了眾所周知的菲波那契 (Fibonacci) 數列, 其 遞迴關係為

f_k+2 = fk+1+ fk, k = 0, 1, 2, . . . (1)

f₀ = 0, f1 = 1 (2)

易知, 用組合方法或特徵方程方法可解得 fk 的運算式。

不怕老調重彈, 我們用 (0, 1) 矩陣的冪, 試譜一闋求解遞迴關係的新曲。

我們用矩陣描述遞迴關係 (1), 由 (1) 得 (f_k+2= f_k+1+ fk

f_k+1= f_k+1 k = 0, 1, 2, . . . (3) 設 α=f_k+1

f_x



, α₀ =f₁ f₀



=1 0



A= 1 1 1 0

!

由 (2) 和 (3) 得

α_k+1 = Aαk, k = 0, 1, 2 即

α_k= A^kα₀, k= 1, 2, . . . (4)

於是, 求得 A^k, 便可由上式得到 αk, 從而得 fk。

如何求 (0, 1) 矩陣的 k 次冪 A^k。除了用並不容易的直接計算外, 我們運用一點線性代數 的技巧: 若 A 可對角化, 即存在可逆矩陣 P , 使得 P⁻¹AP = Λ, 其中 Λ 為對角陣, 就得

A^k= P Λ^kP⁻¹ (5)

而求對角陣 A 的冪是輕而易舉的。

由線性代數可知 Λ = λ₁ 0

0 λ2

!

, 其中 λ₁, λ₂ 便是 A 的特徵值。 即

|λI − A| =     

λ− 1 −1

−1 λ     

= λ²− λ − 1 = 0 的解, 於是得

λ₁ = 1 +√ 5

2 , λ₂ = 1 −√ 5

2 (6)

相應 λ₁, λ2 的特徵向量分別是 x₁ = λ₁ 1

!

, x1 = λ₂ 1

!

, 取 P = (x1, x₂) = λ₁ λ₂

1 1

!

, 則 P⁻¹ = _λ ¹

1−λ₂

1 λ2

−1 λ¹

!

由式 (5) 有

A^k= P λ^k₁ 0 0 λ^k₂

!

P⁻¹ = 1 λ₁− λ²

λ^k+1₁ − λ^k+12 λ₁λ^k+1₂ − λ2λ^k+1₁ λ^k₁− λ^k2 λ₁λ^k₂− λ²λ^k₁

!

由 (4) 得

f_k+1 f_k

!

= αk = A^kα₀ = A^k 1 0

!

= 1 λ₁− λ²

λ^k+1₁ − λ^k+12

λ^k₁− λ^k2

!

把結果 (6) 代入上式, 便得 f_k= 1

√5

h1 +√ 5 2

ik

−h1 −√ 5 2

ik! .

在拙作 《從樓梯模型談起》(見數學傳播, 第二十五卷, 第一期), 我們曾用一個組合模型, 得 出了帶係數齊次差分方程的一般解, 現在, 我們用矩陣冪的方法, 更簡明地處理這一問題。

我們仍沿用文 [4]中的符號, 考慮常係數齊次差分方程

f(n) = α1f(n − 1) + α²f(n − 2) + · · · + α^pf(n − p) (7)

f(0) = c0, f (1) = c1, . . ., f (p − 1) = c^p−1,

α_i(i = 1, 2, . . . , p) 及 ci(i = 0, 1, . . . , p − 1) 均是常數 眾所周知, 要解上述方程, 須解一個特徵方程

λ^p− α¹λ^p−1− α²λ^p−2− · · · − α^p = 0 (8) 當 p ≥ 3 時, 它的解並不能手到擒來。

我們的思路是: 構造一個矩陣 A, 使 (8) 是 A 的特徵方程, 從而, 用冪 A^m 導出(7) 的一 般解。

構作 p 階方陣 A

A =



















0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 ... ... ... ... ... 0 · · · 1 α_p α_p−1 α_p · · · α¹

















 則 A 的特徵方程便是 (8)。 由線性代數的 Hamilton-Cayley 定理

A^p− α¹A^p−1− α²A^p−2− · · · − α^pI = 0 (9) 考慮 p × 1 矩陣 (向量)

C = (c0, c₁, . . . , c_p−1)^T

記 A^mC = (a^(m), . . . .)^T, 則(7) 的解 f (n) = a⁽ⁿ⁾, 要確認這一點, 我們只須證明 f (n) = a⁽ⁿ⁾ 滿足差分方程 (7)。

由方程 (9)

AⁿC =

p

X

i=1

α_iAⁿ⁻ⁱC

因而 (a⁽ⁿ⁾, . . .)^T = AⁿC =

p

P

i=1

α_iAⁿ⁻ⁱC。

儘管式子似乎很複雜, 但我們僅著眼於第 1 列 (row)。 因

Aⁱ =













(i + 1)

0 · · · o 1 0 · · · 0













p×p

, i = 0, 1, 2, . . . , p − 1

故 (a⁽ⁿ⁾, . . . .)^T = α1(a⁽ⁿ⁻¹⁾, . . .)^T + α2(a⁽ⁿ⁻²⁾, . . .)^T + . . . αp(a^(n−p), . . .)^T。

於是 a⁽ⁿ⁾= α1a⁽ⁿ⁻¹⁾+ α2a⁽ⁿ⁻²⁾+ · · · + α^pa^(n−p), 因此 a⁽ⁿ⁾ 滿足 (7) 的遞迴關係。 又 (a⁽ⁿ⁾, . . . .)^T = AⁱC = (Ci, . . .)^T, i= 0, 1, . . . p − 1

即 a⁽ⁱ⁾ = ci, i = 0, 1, . . . p − 1, a⁽ⁿ⁾ 滿足 (7) 的初值條件。 故 (7) 的解 f (n) = a⁽ⁿ⁾。 剩下的工作是求 a⁽ⁿ⁾, 即求 A⁽ⁿ⁾C(一個 p × 1 矩陣) 的第一行。 若設 A^m = (a^(m)_ij ), 則

a⁽ⁿ⁾= c0a⁽ⁿ⁾₁₁ + c1a⁽ⁿ⁾₁₂ + · · · + c^p−1a_1p⁽ⁿ⁾, (10) (10) 中的 a_1j⁽ⁿ⁾ 就是 A 所表示的帶權有向圖中, 從 1 到 j 的長為 n 的所有途徑的權之 和。 由矩陣 A, 容易畫出它對應的伴隨有向圖 D(圖 7), 它的弧分別帶權 α1, α₂, . . . α_p 或1(無 標記的弧表示權為 1)。 由 D, 不難證明: a_1j⁽ⁿ⁾= a^(n+1−j)_jj

故由 (10) 式

a⁽ⁿ⁾=

p

X

j=1

c_j−1a₁⁽ⁿ⁾_j =

p

X

j=1

c_j−1a₁^(n+1−j)_j

圖7. 圖D。

直接從圖 D, 用組合方法 (參見文 [4]), 可得 a^(m)_jj =

j

P

i=1

α_p−i+1F_m−p+i−1, 這裏 Fm = P

j₁+...pjp=m

(j1+...+jp)!

j₁!...jp! α₁^j1. . . αp^jp (即文 [4] 的引理)。 於是我們便得

f(n) = a⁽ⁿ⁾=

p

X

j=1

c_j−1X^j

i=1

α_p−i+1F_n−j−p+i

=

p−1

X

j=0

X^p−1

i=j

c_iα_p−i+j F_n−p−j

細心的讀者可以發現, 這與文 [4] 中的 (12) 式結論是一致的。

五 . 排 名須分先後

會議的來賓, 排名可以不分先後, (也可按姓氏筆劃排列), 以示公允。 然而, 競技比賽中的 金牌之爭, 事關實力、 名譽的大事, 萬萬不可敷衍了事。

一場迴圈賽過後, 如何令人口服心服地排出名次, 是對舉辦者的一次挑戰。

我們考察一場由 6名選手參加的不允許有平局的循環賽 (例如乒乓球賽), 每兩個選手僅賽 一場。 設參賽選手分別表示為頂點 1, 2, 3, 4, 5, 6。 若選手 i 勝選手 j, 則連一條, 由 i 到 j 箭 頭指向 j 的弧, 便得到一個 6 階共有 3 × 5 = 15條弧的有向圖 (圖8)。 這種以循環賽為背景的 n 階有 ¹₂n(n − 1) 條弧的有向圖稱為競賽圖, 記為 Tⁿ, 它是循環賽果的數學描述, Tn 的包含 經過每個頂點恰一次的有向路稱為Hamilton 路。 圖論中, 已經證明了 Tn 的很多有趣的性質。

例如

(t1) 每個 Tn都有Hamilton 路。

(t2) Tn 的鄰接矩陣 A 是本原的, 當且僅當 T_n 是強連通, 且 n ≥ 4。

(t3) 若 Tn 本原的, 則 A(Tn) 具有最大絕對值的特徵根是正實數 r, 且

i→∞lim

A r

i

J = S, 這裏 S 是 A 對應於 r 的正特徵向量。(見 [6] §8.5)

圖8

我們回到圖 8 中 T₆ 表示的一場6 人循環賽的競賽結果。 在圖中可以反映競賽中每個選手 的勝負, 例如: 選手 1打敗選手 2, 4, 5和 6, 但卻輸給了選手 3。

要排出各選手的最後名次, 一個直觀而普遍傾向的辦法是找一條有向的 Hamilton 路。 (由 上述的性質 (t1), 這樣的路是存在的), 然後, 按參加者在路中的位置排列名次, 例如, 我們找到 有向 Hamilton 路 (3, 1, 2, 4, 5, 6)。 如果由此, 舉辦者簡單地宣佈選手 3是冠軍, 選手 1是亞 軍 . . ., 那就會引進掀然大波。 因為如果某個反駁者站出來 , 從圖中舉出另一條有向 Hamilton 路 (1, 2, 4, 5, 6, 3) 或 (1, 4, 6, 3, 2, 5) 的話, 那麼局面將難以收拾。 定性的方法難以奏效, 看來, 我們應求助於定量的方法。

先計算每個選手的得分 (每個點的出度), 並比較它們, 由 T₆, 我們得到一個由選手1, 2, 3, 4, 5, 6 的得分構成的 「得分向量」

S₁ = (4, 3, 3, 2, 2, 1).

由於 S1 中有相同的得分 (例如選手2 和 3, 例如選手 4 和 5), 我們仍不能排得一個令人服 氣的次序, 那麼, 我們再看它們手下敗將的得分之和 (即每個點用長為 2的途徑所到達的點的個 數), 得到所謂 「二級得分向量」

S₂ = (8, 5, 9, 3, 4, 3).

由 S₂ 觀察: 選手3 名列第一, 繼續這個程式, 得到更 「高級」 的得分向量 S₃= (15, 10, 16, 7, 12, 9),

S₄= (38, 28, 32, 21, 25, 16), S₅= (90, 62, 87, 41, 48, 32), S₆= (183, 121, 193, 80, 119, 87),

. . . .

設 A = A(T₆), 依賴矩陣的冪, 可得第 i 級的得分向量為 Si = AⁱJ。

隨著得分向量的升級, 選手的排列名次有所波動 (可觀察選手 1 和選手 3 的得分)。

可是, 令人欣慰的是, 我們可以證明 Si 中的各選手得分大小總是收斂於一個固定的排列。

因為, 圖8 的 T₆ 是強連通的, 由性質(t₂), A 是一個本原矩陣, 因此, 它的最大絕對值的特徵值 是正實數 r, r 對應的正特徵向量是 S, 由性質 (t3), 有

i→∞lim

A r

i

J = S.

S 便可以反映了當 i→ ∞ 時, 各個選手的名次排列, 為了更清晰地比較, 可以把 S 正規化 (即 使各分量之和為 1), 得正規化向量。 對於圖 8 的 A, 可得

R= 2.232 和 ¯S = (0.238, 0.164, 0.231, 0.113, 0.150, 0.104).

於是, 可得這一循環賽各選手的排列次序為 1, 3, 2, 5, 4, 6。

數學勝於雄辯, 矩陣方法, 應該給出一個大家都能接受的結果。 從眉飛色舞地談論數學, 再 回到現實中來, 確實, 沒有哪一個賽事求助於如此深入的數學。 當然, 主辦方可以賽前訂出排名 的依據: 先看 S₁ 的排名位, 有同分者再用 S₂ 分出高低, 如此繼續, 事實上, 這個規則正是體現 了上述 「收斂於一個固定排列」 的數學思想。

北宋詞人李清照在那首膾炙人口的 《聲聲慢》 中, 開始於 「尋尋覓覓」。 我們在這裏, 對矩 陣做了一番 「尋尋冪冪」, 以期在非負矩陣的冪序列中, 尋出對數學的領悟和樂趣。

參考文獻

1.

_,

_,

_{, 2005}

_,

2. J.W. Moon and L. Moser, Almost all(0,1)-matrices are primitive, Studia Scient Math Hung, 1(1966), 153-156.

3.

_,

_,

_{, 1990}

₁₀

4.

_,

_,

_,

_,

_{, 77-81}

5. B.L. Liu, A method to solve linear recurrences with constant coefficients, Fibonacci Quarterly, 2 (1992)1-9.

6. R.A. Horn and C.R. Johson, Matrix Analysis, Cambridge Press,1985.

7. J.A . Bondy and U.S.R. Murty, Graph Theory with Applications, The Macmillan Press LTD, 1976.

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