2. 第二類 Stirling 數和 d(k,i) 的關係

對於 「神奇的冪和三角形」 一文的回響

廖信傑

1. 引言

數學傳播 35 卷 2 期 「神奇的冪和三角形」 中, 簡若竹等三人 [2], 由冪和三角形之係數 d(k, i) 的定義 — 連續整數的冪次和與 d(k, i) 間的關係

n

X

i=0

j^k=

k

X

i=0

d(k, i)

 n i+ 1



得到冪和三角形係數 d(k, i) 的兩個有趣的性質, 並利用數學傳播 31 卷 3 期中, 蘇益弘等三人 定義之連續整數冪次和擴充函數 S_k : R → R 及 d(k, i) 的關係式得到一種利用 d(k, i) 計算 Bernoulli 數的方法。

本文的目的是證明 d(k, i) = i!S(k + 1, i + 1), 其中 S(k, i) 表第二類 Stirling 數。 然後 利用這個結果將原文以第二類 Stirling 數表示, 並由原文中 Bernoulli 數和 d(k, i) 的關係式 將 Bernoulli 數和第二類 Stirling 數連繫在一起。

2. 第二類 Stirling 數和 d(k,i) 的關係

首先, 我們先介紹一些第二類 Stirling 數的性質

• 對任意整數n ≥0 ,

S(n + 1, k + 1) = S(n, k) + (k + 1)S(n, k + 1) (1)

• 對任意整數n ≥1 ,

S(n, k) = 1 k!

k

X

j=0

(−1)^j(k − j)ⁿk j



(2)

80

• 對任意整數n ≥1 , S(n, 1) = S(n, n) = S(0, 0) = 1 對任意0 ≤ n < m, S(n, m) = 0

這些性質的證明請參考 R. Merris[1]。

以下, 我們用上述的性質 (1) 及 (2) 來證明 [2] 中的性質 2.1 及性質 2.2, 在此之前, 我 們先給出一個引理。

引理.

n

X

i=0

j^k=

k

X

i=1

i!S(k, i)n + 1 i+ 1



證明. 請參閱 [1, p.131] 

定理1. 對所有整數 k ≥ 0 及 i ≥ 0, 我們有 d(k, i) = i!S(k + 1, i + 1)。

證明. 由上述引理,

n

X

i=0

j^k=

k

X

i=1

i!S(k, i)n + 1 i+ 1



由 Pascal 恆等式,

k

X

i=1

i!S(k, i)n + 1 i+ 1



=

k

X

i=1

i!S(k, i)

 n i+ 1

 +n

i



=

k

X

i=1

i!S(k, i)

 n i+ 1

 +

k

X

i=1

i!S(k, i)n i



=

k

X

i=1

i!S(k, i)

 n i+ 1

 +

k−1

X

i=0

(i + 1)!S(k, i + 1)

 n i+ 1



=

k−1

X

i=1

i!S(k, i)

 n i+ 1



+ k!S(k, k)

 n k+ 1

!

+ 1!S(k, 1)n 1

 +

k−1

X

i=1

(i + 1)!S(k, i + 1)

 n i+ 1

!

=1!S(k, 1)n 1

 +

k−1

X

i=1

i! (S(k, i) + (i + 1)S(k, i + 1))

 n i+ 1



+ k!S(k, k)

 n k+ 1



=1!S(k + 1, 1)n 1

 +

k−1

X

i=1

i!S(k + 1, i + 1)

 n i+ 1



+ k!S(k + 1, i + 1)

 n k+ 1



(由(1))

=

k

X

i=0

i!S(k + 1, i + 1)

 n i+ 1



即

n

X

i=0

j^k=

k

X

i=0

i!S(k + 1, i + 1)

 n i+ 1



又因

n

X

i=0

j^k=

k

X

i=0

d(k, i)

 n i+ 1

 故

k

X

i=0

i!S(k + 1, i + 1)

 n i+ 1



=

k

X

i=0

d(k, i)

 n i+ 1



即得 d(k, i) = i!S(k + 1, i + 1)。 

利用定理 1, 我們將說明原文中性質 2.1 事實上是第二類 Stirling 數的性質 (1)。 已知原 文性質 2.1:

d(k, i) = id(k − 1, i − 1) + (i + 1)d(k − 1, i) 由定理 1, 上式可表成

i!S(k + 1, i + 1) = i(i − 1)!S(k, i) + (i + 1)i!S(k, i + 1) 等號兩邊同除 i! 得

S(k + 1, i + 1) = S(k, i) + (i + 1)S(k, i + 1) 這就是第二類 Stirling 數的性質 (1)。

同理, 原文的性質 2.2 其實也是第二類 Stirling 數的性質 (1) 及性質 (2)。

已知原文性質 2.2: 對所有 0 ≤ i ≤ k − 1, 有 d(k, i) =

i

X

j=0

(−1)^j(i − j)^k i j

 +

i+1

X

j=0

(−1)^j(i − j + 1)^ki + 1 j



(3) 當 i = k 時, 有

d(k, k) =

k

X

j=0

(−1)^j(k − j)^kk j



(4) 先看 0 ≤ i ≤ k − 1, (3) 式等號兩邊同除 i! 得

1

i!d(k, i) =1 i!

i

X

j=0

(−1)^j(i − j)^k i j

 + 1

i!

i+1

X

j=0

(−1)^j(i − j + 1)^ki + 1 j



=1 i!

i

X

j=0

(−1)^j(i − j)^k i j



+ i+ 1 (i + 1)!

i+1

X

j=0

(−1)^j(i − j + 1)^ki + 1 j



由第二類 Stirling 數性質 (2), 1

i!d(k, i) = S(k, i) + (i + 1)S(k, i + 1) 再由定理 1,

S(k + 1, i + 1) = S(k, i) + (i + 1)S(k, i + 1) 而當 i = k 時, (4) 式等號兩邊同除 k!, 再由定理 1 得

1

k!d(k, k) = S(k + 1, k + 1) = S(k, k) = 1 k!

k

X

j=0

(−1)^j(k − j)^kk j



3. Bernoulli 數之另一表示法

原文中關於 Bernoulli 數的一結論是:

對任意自然數 k,

B2k =

2k

X

i=0

d(2k, i) d dx

 x i+ 1

   x=−1

(5) 以下我們利用 S(k, i) 對這個結果進行改寫。

定理2.

d dx

x n

   x=−1

= (−1)ⁿ⁺¹

 1 + 1

2 + . . . + 1 n



證明. d dx

x n

   x=−1

= d dx

x(x − 1) . . . (x − n + 1)

n! = 1

n! d

dxx(x − 1) . . . (x − n + 1)    x=−1

=1

n!(−1)ⁿ⁻¹ n!

1 +n!

2 + . . . + n!

n



=1

n!(−1)ⁿ⁻¹n!

 1 + 1

2 + . . . + 1 n



=(−1)ⁿ⁺¹

 1 + 1

2 + . . . + 1 n







利用定理 1 及定理 2, 我們可以將 (5) 式改寫如下:

B_2k =

2k

X

i=0

i!S(2k + 1, i + 1)(−1)ⁱ

 1 + 1

2+ . . . + 1 i+ 1



(6)

註. (6) 式可繼續用第一類 Stirling 數 s(k, i) 表示成

B_2k=

2k

X

i=0

1

i+ 1S(2k + 1, i + 1)s(i + 2, 2) 關於第一類 Stirling 數 s(k, i) 的定義請參閱 [1]。

致謝

感謝中研院數學所暑期離散及組合數學專題計畫的資助, 讓筆者有機會在暑假跟隨美國內 華達大學數學系薛昭雄教授做暑期研究, 也由衷感謝薛昭雄教授的指導, 因為薛教授的鼓勵和 建議, 本文才能完稿。

參考文獻

1. R. Merris, Combinatorics, (second edition), John Wiley & sons, New Jersey, 2003.

2. 簡若竹、 柯明錦、 胡豐榮(2011), 神奇的冪和三角形, 數學傳播, 第 35 卷 2 期, 45-50。

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國科會科教處數學教育學門 2011 年活動

2011台灣數學教育論文發表工作坊

第二階段工作坊日期: 2011年11月25日 (星期五) 其他相關資訊: 詳細情形請查詢台灣數學教育學會網頁 http://163.21.236.74/article.asp?id=66