神奇的冪和三角形
簡若竹 · 柯明錦 · 胡豐榮
一、 引言
在⌈妙不可言的數學證明⌋一書第 113 頁處, 筆者們第一次獲知下面三角形:
11
11 12
11 32 23
11 72 123 64
11 152 503 604 245
· · · ·
上述三角形 (本文稱其為⌈冪和三角形⌋) 中, 小足碼表示同一列 (row) 從最左邊算起是第幾個 數, 例如: 32 中之小足碼 2, 表示 3 所在之列, 當從此列最左邊算起時, 是第 2 個數。 此三角 形中, 若仔細端倪上下兩列數字間與小足碼的關係時, 可以發現其與巴斯卡 (Pascal) 三角形有 極類似的地方, 例如第五列最左邊算起第三個數 50, 可以看成是第四列第二個數乘上它的下標, 加上同列第三個數乘上它的下標之和, 即 50 = 7 × 2 + 12 × 3, 同理, 60 = 12 × 3 + 6 × 4 ([8])。 除此以外, 更讓人驚嘆的地方, 乃冪和三角形中之係數, 竟然與連續整數冪次和有關, 其 對應關係如下:
10+ 20+ 30+ · · · + n0= 1 · (n1),
11+ 21+ 31+ · · · + n1= 1 · (n1) + 1 · (n2),
12+ 22+ 32+ · · · + n2= 1 · (n1) + 3 · (n2) + 2 · (n3),
13+ 23+ 33+ · · · + n3= 1 · (n1) + 7 · (n2) + 12 · (n3) + 6 · (n4),
14+ 24+ 34+ · · · + n4= 1 · (n1) + 15 · (n2) + 50 · (n3) + 60 · (n4) + 24 · (n5), 其中, 二項式係數 (ni) = n(n−1)···(n−i+1)
i! 。
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然而, 正因為過去有非常多的文獻, 關注於連續整數冪次和之主題 ([3], [4], [5], [6], [7], [8], [10], [11], [12], [13]), 加上⌈妙不可言的數學證明⌋一書中, 對冪和三角形中之係數, 可以 透過連續整數冪次和來求得的證明, 並未加以著墨。 基於此, 本文企圖揭開冪和三角形之神秘面 紗, 並藉由過去既知的結果, 求解冪和三角形中之係數。 另外, 在連續整數冪次和相關研究之風 向球的指引下, 期待能夠利用冪和三角形中之係數, 刻畫一些重要的結果。
二、 冪和三角形中之係數 d(k, i)
為了嚴謹的求解冪和三角形中之係數, 本節定義冪和三角形中, 第 k 列最左邊算起第 i+1 個係數, 為滿足下式之非負整數 d(k, i):
n
X
j=1
jk =
k
X
i=0
d(k, i)(i+1n ). (1)
不難發現 (1) 式中之 d(k, i), 因設限為非負整數, 所以是唯一決定, 且 d(0, 0) = 1,
d(1, 0) = 1, d(1, 1) = 1
d(2, 0) = 1, d(2, 1) = 3, d(2, 2) = 2,
d(3, 0) = 1, d(3, 1) = 7, d(3, 2) = 12, d(3, 3) = 6,
d(4, 0) = 1, d(4, 1) = 15, d(4, 2) = 50, d(4, 3) = 60, d(4, 4) = 24.
另外, 為了描述方便起見, 對任意給定之自然數 k 與 i, 當 k < i 時, 令 d(k, i) = 0。
性質2.1. 對任意給定之自然數 k, 以及非負整數 i, 0 ≤ i ≤ k, 恆有
d(k, i) = id(k − 1, i − 1) + (i + 1)d(k − 1, i). (2) 性質2.2. 對任意給定之自然數 k, 以及非負整數 i, 0 ≤ i ≤ k − 1, 恆有
d(k, i) =
i
X
j=0
(−1)j(i − j)k(ij) +
i+1
X
j=0
(−1)j(i − j + 1)k(i+1j ),
d(k, k) =
k
X
j=0
(−1)j(k − j)k(kj). (3)
因性質 2.1−2.2 之證明, 可以一併處理, 且兼顧文章先整理出重點, 以方便讀者閱讀之故, 茲將證明置至於後記。
三、 刻畫 Bernoulli 數 B
i計算 Bernoulli 數, 在數學研究裡, 是個古老的課題, 舉凡從純粹的代數到統計的應用, 可 以說到處都有 Bernoulli 數的蹤影 [12]。 特別是, 利用 Bernoulli 數, 來表徵連續整數冪次和 [1] [2] [3] [9]。 由於 Bernoulli 數之定義與相關性質, 在數學傳播第 12 ∼ 13 卷中, 已有詳細 報導 [1] [2] [9], 因此, 本節不再冗述。 另外, 為了方便起見, 若將二項式係數 (ni) 中之 n, 擴充 至實數 x 時, (xi) 即為 x 的多項式之型態, 也就是當 x ∈ R 時, 定義 (xi) = x(x−1)···(x−i+1)
i! ,
此時, 不難發現數學傳播第 31 卷 3 期中, 蘇益弘、 胡豐榮、 許天維 (2005) 所定義之連續整數 冪次和擴充函數 Sk : R → R, 具有下列性質: 對任意實數 x,
Sk(x) =
k
X
i=0
d(k, i)(i+1x ). (4)
再者, 根據鍾逸修、 劉志璿、 王道明、 胡豐榮 (2007) 之論文第 6 頁, Bernoulli 數 Bi 與 連續整數冪次和擴充函數 Sk(x) 之間, 有下列關係:
B2k= S2k′ (−1), k ∈ N; (5) B0 = S0′(−1) = 1, B1 = S1′(−1) = −1
2, 其中, Sk′(x) 是連續正整數次方和之擴充函數 Sk(x) 的一階導函數。
因此, 將 (4) 式代入 (5) 式後, 即可得到下面的性質。
性質3.1. 對任意自然數 k,
B2k =
2k
X
i=0
d(2k, i) d dx
x i+1
x=−1
,
且 B0 = d(0, 0), B1 = −12d(1, 1)。
性質 3.1 之證明, 請讀者參考 [12], 謹以下例說明使用冪和三角形中之係數 d(k, i), 來計 算 Bernoulli 數時之便利性。
例 3.2. 計算 B4 時, d(4, i), 0 ≤ i ≤ 4 之值, 請參考本文第二節。 另外, 不難算出 d
dx(x1) x=−1
= 1, d dx(x2)
x=−1
= −3 2, d
dx(x3) x=−1
= 11 6 , d
dx(x4) x=−1
= −50 24, d
dx(x5) x=−1
= 274 120. 根據性質 3.1 可得 B4 = −301。
由於 d
dx(xi)
x=−1, 0 ≤ i ≤ 2k 之值, 可以利用 Maple 或 Matlab 等軟體來計算, 故根 據性質 3.1, Bernoulli 數 B2, B4, · · · , B2k 可以表成下式
B2 B4
· · · B2k
=h
d(2l, i)i
1≤l≤k, 0≤i≤2k
1
−32
· · ·
d dx
x 2k+1
x=−1
.
因此, 利用冪和三角形中之係數所成的矩陣 [d(2l, i)]1≤l≤k, 0≤i≤2k, 來計算 Bernoulli 數 B2, B4, · · · , B2k 之值時, 可以快速算出來。
四、 結語
冪和三角形也許不是一個大家都耳熟能詳的概念, 且相較於巴斯卡三角形, 亦或楊輝三角 形的相關性質, 冪和三角形鮮少被一般數論之書籍所廣泛論述。 本文利用連續整數冪次和之求 和公式的技巧, 求解出 d(k, i) 的遞迴關係, 以及給出 d(k, i) 之值, 此為本研究的成果之一。 另 外, 藉由筆者們過去在連續整數冪次和的研究上之心得, 建構了冪和三角形中, 係數 d(k, i) 與 Bernoulli 數之間的關係, 此為本研究的成果之二。
由於現有套裝軟體, 例如 Maple 或 Matlab 非常普遍, 因此, 利用這些套裝軟體, 先 建置冪和三角形中之係數所成的矩陣, 然後利用本文第三節文末之矩陣乘積, 來設計程式計算 Bernoulli 數時, 亦不失為是計算 Bernoulli 數的另一種有中生新的新思維。
後記
首先, 筆者們先證明性質 2.2。 根據 Brualdi (1977) [14], 對任意實數 x 與自然數 k, 存 在係數 c(k, 0), c(k, 1), c(k, 2), · · · , c(k, k), 使得
xk =
k
X
i=0
c(k, i)(xi), (6)
其中 (xi) 為本文第三節所述之 x 的多項式。 則對任意自然數 k, 不難證明 c(k, 0) = 0 且 c(k, i) = ic(k − 1, i) + ic(k − 1, i − 1), 當 1 ≤ i ≤ k − 1. (7) 根據 (7) 之遞迴公式, Brualdi (1977) [14] 解出
c(k, i) =
i
X
j=0
(−1)j(i − j)k(ij). (8)
今將 (6) 式中之實數 x, 侷限於非負整數, 並將其視為 j 來求和時, 可得下式:
n
X
j=1
jk =
n
X
j=1 k
X
i=0
c(k, i)(ji) =
k
X
i=0 n
X
j=1
c(k, i)(ji) =
k
X
i=0
c(k, i)
n
X
j=1
(ji). (9)
又因為 Pn
j=1(ji) = (n+1i+1), 所以 (9) 式變成
n
X
j=1
jk =
k
X
i=0
c(k, i)(n+1i+1). (10)
再加上使用巴斯卡公式 (n+1i+1) = (i+1n ) + (ni), 此時 (10) 式變成
n
X
j=1
jk =
k
X
i=0
c(k, i)(n+1i+1) = c(k, k)(k+1n ) +
k−1
X
i=0
{c(k, i) + c(k, i + 1)} (i+1n ). (11)
另外, 由於 (1) 式之解 d(k, i) 為唯一, 因此, 可得
d(k, k) = c(k, k), 且當 0 ≤ i ≤ k − 1 時, d(k, i) = c(k, i) + c(k, i + 1). (12) 結合 (8) (12) 兩式, 即可證明性質 2.2。 最後關於性質 2.1 之證明, 因為當 0 ≤ i ≤ k − 1 時, 根據 (7) (12) 兩式可得
d(k, i) = c(k, i) + c(k, i + 1)
= i {c(k − 1, i) + c(k − 1, i − 1)} + (i + 1) {c(k − 1, i + 1) + c(k − 1, i)}
= id(k − 1, i − 1) + (i + 1)d(k − 1, i).
此外,
d(k, k) = c(k, k)
= k {c(k − 1, k) + c(k − 1, k − 1)}
= kd(k − 1, k − 1) + (k + 1)d(k − 1, k).
上式中, 請留意本文第二節處, 有定義 d(k − 1, k) = 0。
謝誌
本研究榮獲國立台灣大學與國立台灣科學教育館, 共同合作辦理之青少年科學人才培育計 畫, 編號 ISGR130 的經費支持, 在此獻上最深的謝意。
參考文獻
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14. Richard A. Brualdi (1977): Introductory Combinatorics. North-Holland, page 119-125.
—本文第一作者為台北市立中山女子高級中學一年級學生、 第二作者為台北市立中山女子高級 中學專任數學教師、 第三作者為國立台中教育大學數學教育系專任教授—
