Weierstrass 逼近定理
“暫時的沒落, 不是永遠的埋沒。”
謹以此文紀念 Karl Weierstrass (1815-1897) 逝世一百週年
林琦焜
1、 近代分析之父—Karl Weier- strass :
“英雄出少年”這似乎是數學史甚至是整 個科學史的普遍定律, 從牛頓、Euler、 La- grange、Laplace、 高斯 · · · 等這些大數學家, 在很年輕的時候便已展露其才華。 對於這些 天才, 我們除了讚嘆之外, 坦白而言他們離我 們這些凡夫俗子是太遙遠了。 如果要像這些 人的成就才算偉大的話, 那麼我們沒有幾個 人的生命是有價值有意義, 更遑論我們所作 一點點的數學工作。
在數學史上出現 Karl Weierstrass, 讓 我們感到非常的欣慰, 因為一個人的成功不 見得是牛頓或高斯的方式, 也可以是 Weier- strass 的方式。
Karl Weierstrass 1815 年生於德國的 Ostenfelde , 大學時代學的是法律與財經,
後來改讀數學但沒有拿到博士學位。 在四十 歲以前都還在中學教書, 後來由於所發表的 文章關於 Abel 函數理論, 才受到大學的注 目, 他在普魯士高等學校任教多年之後, 才在 1856 年成為柏林大學數學系教授, 一直到去 世。
正如古希臘哲學家入門的教訓 — “認 識你自己”, 一個人只有在正確認識自己之 後, 才有可能獲得成功。 我相信 Weierstrass 是認識他自己, 不像高斯、 Cauchy、 Rie- mann 等數學家那麼天才橫溢有快速的直覺, Weierstrass 對數學的研究注重方法處事嚴 謹。 Weierstrass 的名聲主要是基於他極端 細心的推論方法, 人們稱之為 “Weierstrass 的嚴格”。
Weierstrass 早期的工作是關於超橢圓 積分 (hyperelliptic integrals)、 Abel 函數
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與代數微分方程。 但他最廣為人知的則是利 用冪級數 (power series) 來建構複變函數 理論, 而其中他最有興趣的部份則是整函數 (entire function) 與函數的無窮乘積。 均勻 收歛 (uniform convergence) 是他發現的、
平面上的解析函數稱為整函數就是他取名的、
線性代數的行列式 (determinant) 是他首 次以矩陣之元素所形成的齊次多項式來定義。
另外他對於雙線性型式 (bilinear form) 與 二次型 (quadratic form) 也有著不可抹滅 的貢獻。 對二十世紀的數學而言, 他和他的學 派所引介的“分析算術化”(arithmetization of analysis) 無疑是最重要的。
他從不諱言曾經在中學教過書。 由於這 樣的經驗, 就算是在大學教書也是一位好老 師, 他的講義都是經過細心準備, 所以享有 極高的聲譽, 而他的觀念主要是通過這些講 義而成為數學家共有的財富。 分析中 ǫ-δ 的 觀念是他所提出的。 由於他作學問的才華和 教書的本事吸引了很多學生到柏林來, 這些 弟子中最出名的有 H. A. Schwarz(1843- 1921)、 Sofya Kovalevskaya (1850-1891)、
G. Cantor (1845-1918)、 Mittag–Leffler (1846-1927), 還有 D. Hilbert(1862-1943)
—— 本世紀最偉大的數學家之一。 其中最 令人稱道的是, 在他那個時代破例收 Sofya Kovalevskaya 或 (Sophie Kowalevski) 為 學生 (由於柏林大學拒收女性, Sofya 無法入 學且進入課堂聽講), 他自己每星期日下午撥 出一段時間在家裡特別指導她學習數學, 最 後並推薦她獲得德國哥庭根大學的博士學位 (Sofya Kovalevskaya 是哥庭根大學有史以
來第二個女博士)。 Weierstrass大概是數學 史上高等數學最偉大的教師吧!
Weierstrass 對於連續函數的研究有 絕對性的影響。 其中之一就是他造了第一個 處處連續處處不可微分的函數, 由於這個 結果使得前面諸多對連續函數的誤解得以釐 清。 另外則是這篇文章所要探討的— Weier- strass 逼近定理: 任意定義在實數軸上之閉 區間的連續函數都都可藉由絕對且均勻收歛 的多項式表示之。 這個定理Weierstrass 在 中學教書時就發現。 可見環境並不是作研究 的唯一決定因素, 個人的毅力與執著才是更 重要的動力。
回顧一下; 在高等微積分關於一致收歛 或均勻收歛 (uniformly convergent) 有一 個很重要的定理: 若有一序列均勻收歛的連 續函數, 則其極限必定是連續函數。 換句話說 連續函數在均勻收歛下有完備性。 通常我們 最有把握也最有興趣的是多項式函數, 因此 上面這段敘述可換為: 若有一序列均勻收歛 的多項式函數, 則其極限一定是連續函數。 由 此自然而然可以問其逆敘述是否成立呢? 換 句話說, 在區間 [a, b] 的任意連續函數是否 可以取多項式函數來逼近它呢? 這就是著名 的Weierstrass 逼近定理 (Weierstrass ap- proximation theorem)。
Weierstrass 逼近定理一: 任意定義在 有界閉區間 [a, b] 的連續函數 f , 總是可以 用多項式 Pn 來逼近而且兩者之誤差
En(f ) = max
a≤x≤b|f(x)−Pn(x)|=||f −Pn||∞ 當 n → ∞ 時趨近於零。
這就是 Weierstrass 在上個世紀末證明 的定理。 其重要性在於保證任意的連續函數 都可以用多項式來逼近, 而且可以達到任意 要求的精度。 這個結果對函數的近似理論有 很大的幫助, 同時也說明了為何多項式可以 形成通用的近似函數之理由。
除了代數多項式之外, 另一近似函數 的形式是三角函數, 或者更正確地說; 用
“Fourier 級數” 來逼近連續函數, 這也是 Weierstrass 的貢獻。
Weierstrass 逼近定理二: 任意定義在 [−π, π] 且週期等於 2π 的週期連續函數 f 永遠可以找到三角多項式
Sn= a0+ (a1cos x + b1sin x) + · · · +(ancos nx + bnsin nx) 使得兩者的誤差 ||f − Sn|| 是任意小。
這個定理可視為定理一的系 (corol- lary), 原因是我們可以利用三角變換將 Sn 轉換為 cos x 與 sin x 的多項式。 Weier- strass逼近定理的直接應用首先就是函數的 近似理論 (approximation theory)。 這個 定理對函數論而言是個不可或缺的工具。 在 複數域也有類似的定理。 1937 年 M. H.
Stone 為了解決拓樸空間中之連續實值函數 中某些代數性質之問題, 發現 Weierstrass 逼近定理之一般化, 今天我們稱為 Stone–
Weierstrass定理, 應用此定理使得一些重要 的古典定理之證明變得簡單。 對於 Stone–
Weierstrass 定理有興趣的讀者可參閱實變 函數論與泛函分析的書, 或者直接看 Stone 的文章 (請參考 [2]、[7]) 。
這文章是作者探索數學中之某一主題時 經驗的記錄與讀書心得, 這是一次令人興奮 之旅而我希望能把它寫得明簡, 同時也希望 透過 Weierstrass 的簡介, 能再次激勵我們 學習數學的心志。
『數學是打開科學大門的鑰 匙, · · · , 輕視數學必將造成對一 切知識的損害, 因為輕視數學的人 不可能掌握其它科學和理解宇宙 萬物。』 — Roger Bacon —
2、 Bernstein 的方法 :
Bernstein(1912) 的證明方法是建構 性的 (constructive): 直接造一個多項式 來逼近連續函數, 這個多項式我們現在稱為 Bernstein 多項式。
2.1 Bernstein多項式
2.1 定義: 任意連續函數 f ∈ C[0, 1], 其對應的 Berstein 多項式如下:
Bn(x; f ) ≡
n
X
k=0
n k
!
f (k
n)xk(1 − x)n−k (2.1) 這個多項式當然不會憑空想像就出現 (靈感?) 數學最重要的是思維的方法, 如果 你要等待“靈感”, 那麼你就永遠播不了種也 無法收割, 無緣享受知識的樂趣, 明白這當中 的奧妙。 Bernstein 多項式的起源就是二項 式定理:
(x + y)n =
n
X
k=0
n k
!
xkyn−k (2.2)
上式對 x 微分後乘 xn 得 x(x + y)n−1 =
n
X
k=0
n k
!
knxkyn−k (2.3) 再重複前面 (2.3) 的計算過程可得
x2(x + y)n−2+ xy
n (x + y)n−2
=
n
X
k=0
n k
!
(k
n)2xkyn−k (2.4) 令 y = 1 − x, 則由 (2.2)-(2.4) 可分別得連 續函數 1、x、x2 的 Bernstein 多項式
Bn(x; 1) =
n
X
k=0
n k
!
xk(1 − x)n−k = 1
Bn(x; x) =
n
X
k=0
n k
!
(k
n)xk(1 − x)n−k= x Bn(x; x2) =
n
X
k=0
n k
!
(k
n)2xk(1 − x)n−k
= x2+ 1
nx(1 − x) (2.5) 對於第三項作個估計:
x2 − Bn(x; x2)
= x(1 − x) n ≤ 1
4n ∀n (2.6) 因此當 n 很大時 Bn(x; x2) 與 x2 是非常接 近, 換句話說可用 Bernstein 多項式來逼近 而這正是 Bernstein 的想法。 我們看特殊的 函數 f (x) = ex, 則
Bn(x; ex) =
n
X
k=0
n k
!
enkxk(1 − x)n−k
=
n
X
k=0
n k
!
(en1x)k(1 − x)n−k
=
h
en1x + 1 − xi
n=
h
1 + (en1 − 1)xi
n≈1+x n
n我們有足夠理由相信
n→∞lim Bn(x; ex) = lim
n→∞(1 + x
n)n = ex
2.2 定理之證明
我們先直接相減看看:
|f(x)−Bn(x; f )|
=
f (x)−
n
X
k=0
n k
!
f (k
n)xk(1−x)n−k
=
n
X
k=0
n k
! "
f (x)−f(k n)
#
xk(1−x)n−k
(2.7) 對 (2.7) 式而言, 我們期待絕對值會趨近於 0, 乍看之下似乎 |f(x) − f(kn)| 這項就夠 了, 但這只是假象, 因為還有另一個困難就是 (2.7) 的右式是有限項和, 這兩個困難可分別 由一致有界 (uniformly bounded) 與一致 連續 (uniformly continuous) 來克服。 因 為f ∈ C[0, 1], 而 [0,1]是一緊緻集, 因此 f 在 [0,1]是有界且一致連續, 若|f(x)| < M, 則
f (x) − f(k n)
< 2M, x ∈ [0, 1] (2.8) 另外由一致連續可知 ∀ǫ > 0, ∃δ(ǫ) ∋
f (x) − f(k n)
< ǫ 2,
x − k
n
< δ(ǫ) (2.9) 我們把 (2.7) 拆成兩部份
|f(x) − Bn(x; f )| ≤
X
|x−nk|<δ(ǫ)
+
X
|x−kn|≥δ(ǫ)
= S1+ S2 (2.10)
由一致連續性 (2.9) 可得 S1 < ǫ
2
X
|x−kn|<δ(ǫ)
n k
!
xk(1 − x)n−k
≤ ǫ 2
n
X
k=0
n k
!
xk(1 − x)n−k = ǫ
2(2.11) 而利用一致有界 (2.8) 並 |x−kn| ≥ δ(ǫ), 可 得
S2< 2M
X
|x−kn|≥δ(ǫ)
n k
!
xk(1 − x)n−k
≤ 2M δ2(ǫ)
n
X
k=0
n k
!
(x − k
n)2xk(1−x)n−k
= 2M δ2(ǫ)
h
x2Bn(x; 1) − 2xBn(x; x) +Bn(x; x2)i
= 2M δ2(ǫ)
"
x2− 2x2+ x2+x(1 − x) n
#
≤ 2M
4δ2(ǫ)n (2.12) 因此只需要取 n 相當大,n > δ2M(ǫ)ǫ, 則由 (2.11)-(2.12) 可得
|f(x) − Bn(x; f )| < ǫ
2 + 2M 4δ2(ǫ)n < ǫ
(2.13) 證明完畢。
2.2 定理之意義
Weierstras 逼近定理如果從機率的角 度來看是很有意思的。 x為已知, 假設由[0, 1]
這區間任意取 n 個數, 令k表示落在 [0, x] 的 數而 n−k 是落在 (x, 1] 的數, 而賠率 (pay- off) 為 f (kn), 則 k 之機率為
n k
!
xk(1 − x)n−k (2.14)
而期望值正是 Bernstein 多項式 Bn(x; f ) =
n
X
k=0
n k
!
f (k
n)xk(1 − x)n−k (2.15) 或者以丟銅板為例
x : 正面的機率 1 − x : 負面的機率
f (k
n) : 付錢數 Bn(x; f ) : 平均所付
當 n 很大時、k ≈ nx、 因此由大數法則 (law of large number) 我們期待
Bn(x; f ) ≈ f(nx
n ) = f (x)
所以我們可結論: Weierstras 逼近定理正是 二項分配的大數法則。
註: Bernstein多項式雖然形式比較簡 單, 意義也很清楚, 但在實際的應用上卻有極 大的困難, 主要原因是收斂速度太慢, 甚至對 於很好的函數, 例如可微分函數也不例外。
3、 Landau 的方法:
好的定理必定伴隨不同漂亮的證明方 法。 Landau(1877–1938) 的證明方法不像 Bernstein 那麼直接、 基本上就是 Weier- strass 的想法, 他所使用的函數以現代的語 言來說就是 Dirac 序列 (Dirac sequence)。
3.1 Dirac序列
Landau 考慮底下之函數族
φn(x) =
cn(1 − x2)n, −1 ≤ x ≤ 1 0, 其它
(3.1) 係數cn 的選取必須滿足
Z
∞−∞φn(x)dx = 1 (3.2) 因此由分部積分或者 Beta 函數的理論可知
cn= 1 · 3 · 5 · · · (2n + 1)
2 · 2 · 4 · 6 · · · 2n (3.3)
由圖形可知函數族 {φn}∞n=1 有一些特性;
這些函數與 x 軸所夾的面積始終等於 1, 當n越來越大的時候, 整個面積 (可視為質量) 越往這些函數的山峰處集中好像一根釘子狀 (spike-like)。
3.1 引理: ∀ǫ > 0, ∀δ > 0, 0 <
δ < 1, 恆存在自然數 N ∈ N 使得 ∀n ≥ N,φn 滿足
1 − ǫ <
Z
δ−δφn(x)dx ≤ 1 (3.4)
Z
−δ−1 φn(x)dx +
Z
1δ φn(x)dx < ǫ (3.5) 證明方法要利用 Stirling 公式與這些函數的 特性。 我們並不打算給一個嚴謹的證明, 而寧 願讀者有直觀的概念。
詳解: 3.1 引理以另一形式表達為 3.1′ 引理: ∀δ > 0, δ ∈ (0, 1)
n→∞lim
R
1δ(1 − x2)ndx
R
10(1 − x2)ndx = 0,
n→∞lim
R
δ0(1 − x2)ndx
R
10(1 − x2)ndx = 1 證明: 我們作個簡單的估計
Z
1δ (1−x2)ndx<(1−δ2)n(1−δ)<(1−δ2)n
Z
10 (1−x2)ndx>
Z
10 (1−x)ndx = 1 n + 1,
但 limn→∞(n + 1)(1 − δ2)n = 0 故得證。
3.2 褶積convolution之引進
如果作個平移考慮函數 φn(x − ξ),
∀ξ ∈ [0, 1], 則由 φn 之特質可知此時只是 將山峰由 x = 0 的位置平移至 x = ξ。 所以 乘積 f (x) · φn(x − ξ) 差不多就是 f(ξ) 乘 上山峰的高度再利用 (3.2) 平均一下 我們可 以猜測新的函數
Pn(ξ) ≡
Z
10 f (x)φn(x − ξ)dx
= cn
Z
10 f (x)[1 − (x − ξ)2]ndx (3.6)
與 f (ξ) 是非常接近。 這就是 Landau 的想 法, 也是 Weierstrass 的想法。 這兒所引進 的就是褶積 (convolution) 的概念; 在數學 分析中是非常重要的工具。 如果將因式 [1 − (x − ξ)2]n 用二項式定理展開, 其實它是 ξ 的 2n 次多項式; 所以可用多項式 Pn(ξ) 來 逼近連續函數 f (ξ)。
定理證明: 我們所需要的是作估計; 看 Pn(ξ) 與 f (ξ) 兩者間的誤差; 利用三角不等 式
|Pn(ξ) − f(ξ)
≤ |
Z
10 f (x)φn(x − ξ)dx
−
Z
ξ−δξ−δ f (x)φn(x − ξ)dx
+
Z
ξ+δξ−δ f (x)φn(x − ξ)dx
−
Z
ξ+δξ−δ f (ξ)φn(x − ξ)dx
+
f (ξ)
Z
ξ+δξ−δ φn(x − ξ)dx − f(ξ)
(3.7) 正如 Bernstein 的證明方法, 我們還是要用 到一致有界與一致連續: 若|f(x)| < M 則 (3.7) 右邊的第一式小於Mǫ; 同理第三式也 小於ǫ。 至於第二式則由一致連續性可結論小 於ǫ 故當n很大時,
|Pn(ξ) − f(ξ)| ≤ (2M + 1)ǫ 證明完畢。
褶積的意義
3.2 定義: f 、g 為 R 上的兩個函數則其 褶積 (convolution) f ∗ g 定義為 (如果積分 存在)
f ∗ g(x) ≡
Z
f (x − ξ)g(ξ)dξ (3.8)
利用變數變換與積分順序互換可容易得 到褶積的基本代數運算:
3.3 定理: f 、g、h 為 R 上的三個函數則 其褶積具有底下之關係:
(分配律) f ∗(ag+bh) = a(f ∗g)+b(f ∗h) (交換律) f ∗g = g∗f
(結合律) f ∗(g∗h) = (f ∗g)∗h (3.9) 關於褶積的意義可以如此看: 將 (3.8) 視為 Riemann 和
Z
f (x−ξ)g(ξ)dξ ≈
X
f (x−ξj)g(ξj)△ξj (3.10)其中 f (x − ξj) 是沿 x 軸平移 ξj 的量因此 (3.10) 表示所有f 之平移量的線性組合(係數 等於 g(ξj)△ξj)。
褶積的另一個意義是—平均: 函數f 在 區間 [a, b] 之平均值是
f =¯ 1 b − a
Z
ba f (ξ)dξ 如果有權函數 (weight funtion), 則
f =¯ 1
R
baw(ξ)dξ
Z
ba f (ξ)w(ξ)dξ 現在假設 g ≥ 0 且
R
g(ξ)dξ = 1 並且刻 意將 f ∗ g 視為R
f (ξ)g(x − ξ)dξ, 因此 f ∗ g(x) 表示權函數為 w(ξ) = g(x − ξ) 的 平均。 例如g(x) =
1
2a, |x| < a 0 其它 則
f ∗ g(x) = 1 2a
Z
x+ax−a f (ξ)dξ
我們可以把褶積視為 —– 函數的乘積, 但是 這個乘法有個最大的缺憾, 就是沒有單位元 素即找不到函數 g 滿足 f ∗ g = f, 這個 問題的解決則有賴於 δ 函數。
3.3 Dirac Delta 函數
Landau 所引用的函數 φn(x), 當 n →
∞ 時會變得很特殊, 與傳統上所理解的函數 有些 (事實上是極大!) 的差異。 用現代的語言 來說就是 Dirac δ 函數; 它被介紹到科學的 領域是起源於英國理論物理學家 Dirac 所研 究的量子力學, 在那兒他有系統用 δ 函數作 為工具並獲得相當大的成果。
δ 函數並不是傳統上的函數, 但我們並 不能因此說它不存在。 數學不能否定已知的
事實, 因此解決之道就是回到數學的基礎—
—函數是什麼? 對函數有更新、 更高層次的 認識是當務之急; 為著與傳統的函數有所區 別我們將這種新的函數稱為廣義函數 (gen- eralized function)。
廣義函數的數學理論基礎是後來由蘇聯 數學家 S. L. Sobolev(1936) 與法國數學家 L. Schwartz(1950-1951) 所建立, 其中 L.
Schwartz 還因這項工作獲得第二屆 Fields 獎 (1950)。 爾後經過多人的努力, 目前廣義 函數己成為研究數學、 物理甚至工程的必備 工具。 我們正式給定 δ 函數的定義 (這是 Dirac 的貢獻)。
3.4 定義: δ 函數定義為 δ(x) =
+∞, x = 0 0 x 6= 0,
Z
∞−∞δ(x)dx = 1 (3.11) 但從常理與情感上而言, 這樣子的函數 怎能稱之為函數呢? 就好比我們要測量物質 在某一點的密度; 這怎麼可能呢? 我們唯一 可能測量的是在某一點附近的平均密度。 這 就是整個問題的核心——平均。 實際上廣義 函數正是透過積分(也就是平均) 來定義。
考慮函數族 φn(x) =
n
2, |x| < n1,
0, 其它 (3.12) 則顯然
Z
∞−∞φn(x)dx = 1 (3.13) δ(x) = lim
n→∞φn(x) =
+∞, x = 0;
0, x 6= 0.
(3.14)
但 (3.14) 是很有爭議的, 如果對它積分
Z
∞−∞ lim
n→∞φn(x)dx = 0 6= 1 = limn→∞
Z
∞−∞φn(x)dx
顯然逐點收歛 (pointwise convergence) 在 此事實上有極大的困難, 克服的方法就是引 進弱收斂 (weak convergence) 的概念。
3.5 引理: 對任意的連續函數 ψ(x) 下 列等式成立
n→∞lim
Z
∞−∞φn(x)ψ(x)dx = ψ(0) (3.15) 證明: 直接相減並利用
R
−∞∞ φn(x)dx=1。
Z
∞−∞φn(x)ψ(x)dx − ψ(0)
=
Z
1n−1 n
φn(x)(ψ(x) − ψ(0))dx
≤ n 2
Z
1n−1 n
|ψ(x) − ψ(0)|dx
∀ǫ > 0 取|x| < n1 ≤ δ, 使得 |ψ(x) − ψ(0)| < ǫ 則
Z
∞−∞φn(x)ψ(x)dx − ψ(0)
≤ ǫ 證明完畢。
這個引理告訴我們逐點看時 {φn(x)}
的極限是有問題但藉由積分 (平均) 就可以克 服。 典型的例子就是 {sin nx} 逐點收斂有問 題, 但由 Riemann-Lebesgue 引理可得
Z
π−πsin nxf (x)dx → 0 n → ∞
∀f ∈ C[−π, π]
雖然逐點而言極限不存在但弱極限 (weak limit) 卻是存在的 (請參考 [3]), 換句話說弱
收斂 (weak convergence) 是研究許多數學 物理的自然語言; 如果我們想對大自然有更 深入的認識則第一步需改變傳統上對函數的 看法。 有了 (3.15) 再加上弱收斂的概念, 我 們可以重新解釋 (3.14)
3.6 定義: φn(x) 弱收斂到 δ(x) 記為 φn(x)⇀ δ(x),w n → ∞ 若且唯若
Z
∞−∞φn(x)ψ(x)dx → ψ(0) ≡ (δ, ψ),
∀ψ ∈ Cc(R) (3.16)
如果取ψ = 1 則 (δ, 1) =
Z
∞−∞δ(x)dx = 1 (3.16) 也可以這麼看 (由φn(x)之定義)
n→∞lim
Z
x−∞φn(ξ)dξ =
0, x < 0 1, x > 0 這告訴我們 δ 函數可視為 Heaviside 函數 H(x) 之微分
δ(x) = d
dxH(x), H(x) =
0, x < 0 1, x > 0, 因此 (3.16) 可另外表示為 Stieltjes 積分
Z
∞−∞ψ(x)δ(x)dx
=
Z
∞−∞ψ(x)dH(x) = ψ(0) (3.17) 另外由 (3.16) 再加上平移可得
f (x) =
Z
∞−∞f (ξ)δ(x − ξ)dξ = f ∗ δ(x) (3.18)
所以 δ 函數是乘法單位元素 (在褶積的意義 下)。 取特殊的 f (x) = e−iwx、e−xt 則
Z
∞−∞e−iwξδ(x − ξ)dx = e−iwx,
Z
∞−∞e−ξtδ(x − ξ)dx = e−xt
令 x = 0 則 (3.19) 告訴我們δ函數的 Fourier 變換與 Laplace 變換等於 1;
L[δ(x)] = F[δ(x)] = 1
這再一次印證 δ 函數所扮演的角色是乘法單 位元素。
註: 以褶積為乘法的代數結構是泛函分 析一重要分枝, 稱為算子理論, 其中最著名的 有 Banach 代數 、 C∗ 代數與 Von Neu- mann 代數。
最常見的 Dirac 序列是常態分配 (nor- mal distribution):
φn(x) =
r
n πe−nx2,Z
∞−∞φn(x)dx = 1 因此廣義函數論也稱為荷佈理論 (distribu- tion theory)。 由 φn(x) 之特質可知當n很 大時幾乎都集中在 0 點而外部為 0, 所以可對 任意連續函數 ψ(x) 在 0 點附近可視為常數
n→∞lim
Z
∞−∞φn(x)ψ(x)dx
≈
Z
∞−∞φn(x)ψ(0)dx
= ψ(0)
Z
∞−∞φn(x)dx = ψ(0) 3.7 引理: φn(x)⇀ δ(x)。w
證明: 這相當等於
Z
∞−∞δ(x)ψ(x)dx
≡ limn→∞
Z
∞−∞φn(x)ψ(x)dx = ψ(0) 直接相減並利用均值定理 (mean value the- orem)
Z
∞−∞
r
nπe−nx2ψ(x)dx − ψ(0)
=
Z
∞−∞
r
nπe−nx2(ψ(x) − ψ(0))dx
≤ |ψ′(x)|
Z
∞−∞
r
nπe−nx2xdx
≤ ||ψ′|| 1
√nπ → 0, n → ∞
讀者有興趣可嘗試: 下列均為 Dirac 序列 1
πxsin nx, 1 π
n n2x2+ 1
通常可由一個函數來建構 Dirac 序列, 為此 我們有必要引進一個重要觀念。
3.8 定義 (mollifier): 已知函數 φ > 0, φ ∈ C∞(R) 且
φ(x) = 0, |x| > 1;
Z
∞−∞φ(x)dx = 1 (3.19) 則稱 φ 為緩和劑 (mollifier)。
我們還可以作一下尺度 (scaling) 變換:
如果φ是可積函數 (φ ∈ L1(R)) 令 φǫ(x) = 1
ǫφ(x
ǫ) (3.20)
這個新函數的幾何意義是什麼呢? 當ǫ <
1 會壓縮 (compressing), ǫ > 1 則伸張 (stretching), 而係數 1ǫ 的作用則是當壓縮 時 (ǫ < 1) 也就是變瘦了, 但還要維持一定 的面積因此身高必須高一點; 同理若伸張時 (ǫ > 1) 變胖了所以要長的矮一點。(如圖所 示) 直接計算可得
Z
φǫ(x)dx =
Z
φ(x ǫ)d(x
ǫ)
=
Z
φ(y)dy, φǫ ⇀ δ (3.21)w
ǫ > 1
ǫ < 1
3.9 定理: {φǫ} 是 Dirac 序列。
證明: 方法與引理同。 由變換 x → xǫ
可得
Z
∞−∞φǫ(x)dx = 1 limǫ→0
Z
|x|>Mφǫ(x)dx = 0 ∀M > 0 limǫ→0
Z
|x|<Mφǫ(x)dx = 1 ∀M > 0 另外仿照 3.7引理的證明可得
limǫ→0
Z
∞−∞φǫ(x)ψ(x)dx = ψ(0),
∀ψ ∈ C(R)
註: 由於這個原因我們也稱 {φǫ} 是近 似單位元素 (approximate identity)。
x
−ε −ε2 ε2 ε
最典型的 mollifier 是
φ(x) =
c exp
x21−1 , |x| ≤ 1
0, |x| > 1. (3.22) 則由此 mollifier 可得 Dirac 序列
φǫ =
Cǫexp
− ǫ2ǫ−x2 2
|x| ≤ ǫ.
0, |x| > ǫ.
(3.23) 其中 Cǫ 滿足
Cǫǫ
Z
1−1exp
− 1 1 − ξ2 dξ = 1 其他常見的 Dirac 序列如下:
(1) Poisson 核 ( Poisson kernel ) φ(x) = 1
π(1 + x2), φy(x) = y π(x2+ y2) Poisson 核在勢論 (potential theory) 有極重要之應用, 它出現在上半平面的 Dirichlet 問題, 此時的解是一調和函數 (harmonic function), 可藉由 Poisson 核與邊界值的褶積表示出來, 為著保證當
y → 0+ 時此調和函數解會趨近邊界值 所以不難想像底下之等式
y→0lim+φy(x) = δ, ǫ = y
(2) Gauss–Weierstrass 核 (Gauss–Weir- strass kernel)
φ(x) = e−x24
√4π, φt(x) = e−x24t
√4πt Gauss-Weierstrass 核是熱傳導方程的 基本解 (fundamental solution), 在機 率論有重要之應用, 為著保證當 t → 0+ 時解會趨近初始值所以
t→0lim+φt(x) = δ(x), ǫ =√ t (3)
φ(t) = H(t) e−4t1
√4πt34,
φx(t) = H(t)xe−x24t
√4πt34,
H : Heaviside 函數
x→0lim+φx(t) = δ(t), ǫ = x2 (4) Fejer 核 (Fejer kernel)
φ(x) = sin2x
πx2 , φR(x) = sin2Rx πRx2
R→∞lim φR(x) = δ(x), ǫ = 1 R
Fejer核 (Fejer kernel) 是由匈牙利數學 家 Fejer 在研究 Fourier 級數時, 以算 術平均得其收斂性而來的。
不用 mollifier 也可以得到 Dirac 序 列:
(1) Dirichlet 核 (Dirichlet kernel) φ(x) = 1
πxsin x,
n→∞lim φn(x) = lim
n→∞
sin nx
πx = δ(x) Dirichlet核的出現是在於處理 Fourier 級數的收斂性問題。
(2) Landau 的證明方法就是用這個 Dirac 序列
φn(x) =
(1 − x2)n/In, |x| < 1.
0, |x| ≥ 1
n→∞lim φn(x) = δ(x), In=
Z
1−1(1 − x2)ndx
這個序列與 Legendre 多項式Pn(x) =
1 2nn!
dn
dxn(x2− 1)n 有極密切之關係。
(3) Poisson 核 (Poisson kernel) φr(θ) =
1 2π
1−r2 1+r2−2r cos θ|θ| ≤ π 0 |θ| > π.
這個形式的 Poisson 核出現在單位圓的 Dirichlet 問題, 為著保證此調和函數解 在單位圓會趨近邊界值, 所以
r→1lim−φr(θ) = δ
4、 Weierstrass的方法:
Weierstrass 的證明方法不像 Bern- stein 或 Landau 那麼直接, 中間多了一道 手續—— 平滑化 (regularization)。 f 為任 意可積函數, 則其平滑化為
fǫ(x) = f ∗ ϕǫ(x) (4.1) ϕ 為一 mollifier,ϕǫ 如 (3.20)。
4.1 引理: f 為有界區間 [a, b] 上的連續 函數, 則 fǫ 一致收歛到 f
limǫ→0fǫ(x) = lim
ǫ→0f ∗ ϕǫ(x) = f (x),
∀x ∈ [a, b] (4.2)
證明: 由定義 fǫ(x) = 1
ǫ
Z
|x−y|<ǫϕ(x − y
ǫ )f (y)dy
=
Z
|z|≤1ϕ(z)f (x − ǫz)dz (z = x − y
ǫ ) 但 [a, b] 是緊緻區間,f 是一致連續顯然
supx |f(x) − fǫ(x)|
≤ sup
x
Z
|z|≤1ϕ(z)|f(x) − f(x − ǫz)|dz
≤ sup
x sup
|z|≤1|f(x) − f(x − ǫz)|→0 ǫ → 0 故fǫ一致收歛到f 。
註: 4.1 引理在分析中扮演著非常重要 的角色, 甚至 f 只是可積函數 (L1) 或者 p 次方可積函數 (Lp) 都是成立, 有興趣的讀者 可參閱 [5]、[8]。
4.2 定理 (Weierstrass): f ∈ C[a, b] , 則 ∀δ > 0, ∃ 多項式 P 滿足
sup
a≤x≤b|f(x) − P (x)|
≡ maxa≤x≤b|f(x) − P (x)| < δ (4.3)
證明: Weierstrass選取的是 ϕ(x) = 1
√πe−x2
直接微分, ϕ 具有底下之性質
ϕ(k)(x) = qk(x)e−x2, qk 為 k 次多項式
|ϕk(x)| ≤ Cke−|x|
由 4.1引理知
fǫ= f ∗ ϕǫ → f 一致收歛 sup
a≤x≤b
f (x)− 1 ǫ√ π
Z
bae−(x−y)2/ǫ2f (y)dy
<δ 2 (4.4) 另一方面由於 [a, b] 是緊緻集, 故 e−x2 的 Taylor 級數
P
∞n=0(−1)n!nx2n 一致收歛到 e−x2, 換句話說, 存在多項式 P (x) 滿足sup
a≤x≤b|fǫ(x) − P (x)| ≤ δ
2 (4.5) 由 (4.4)、(4.5) 可得
sup
a≤x≤b|f(x) − P (x)| < δ 證明完畢。
Weierstrass 逼近定理的意義
1. 分析:
我們在高等微積分研究的主題是連續函 數, 所用到的收歛是均勻收歛或一致收歛 (uniform convergence)。 換句話說, 我們所 探討的空間是
(C[a, b], || · ||) ||f|| ≡ max
x∈[a,b]|f(x)|
令 P [a, b] 代表所有多項式所形成之空間, 則 Weierstrass 逼近定理告訴我們任意的連續 函數都能以多項式近似之, 而且可以達到任 意要求的精度。 這情形正如有理數在實數中 一樣, 對於任意的實數 r ∈ R 永遠可以找 到有理數 q ∈ Q 使得 |r − q| < ǫ。 同理
如果f 是任意的連續函數 (f ∈ C[a, b]), 總 是存在多項式 pn(x) ∈ P [a, b] 滿足 ||f − pn|| < ǫ。 所以 Weierstrass 定理告訴我們 多項式函數在連續函數內是稠密的 (dense), 換個角度而言 (用分析的語言)(C[a, b], k · k) 是 (P [a, b], k · k) 的完備化 (completion)
(Q, | · |) −→ (R, | · |) (P [a, b], k · k) −→ (C[a, b], k · k)
2. 幾何:
Weierstrass 逼近定理從圖形上來看是 相當明確的, 已知任意連續函數 f 與任意正 數 ǫ, 我們可以取一寬度為2ǫ的帶狀區域使得 f 通過該區域之中線 (你可以想像成一個口 徑為 2ǫ 的水管將 f 包在裡面), 我們恆可以 取得次數夠高之多項式
pn(x) = a0+ a1x + · · · + anxn 使得 pn(x) 之圖形全部落在帶狀區域之內。
在這裡值得一提的是帶狀區域之 ǫ 對於 任意點 x ∈ [a, b] 都是一樣的。 因此也不難 想像 Weierstrass 是如何發現均勻收歛的觀 念。
y
y = f (x) y = p
n(x)
a b x
附記: 中研院數學所劉豐哲教授於1987 年在數學傳播十一卷二期 p.44-47 之著作:
「弱大數法則, Bernstein 多項式及 Weier- strass 逼近定理」。 對於 Weierstrass 定理 在機率上的意義有詳盡的討論, 有興趣的讀 者可參閱該文。
參 考資料:
1. 數學之內容方法及意義 (I,II,III), 徐氏基金 會出版 (1970)。
2. 近代分析之研究, 徐氏基金會出版 (1971)。
3. 林琦焜, Riemann-Lebesgue 引理與弱收 斂, 數學傳播季刊, 81, pp.17-28, (1997)。
4. Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, (1976).
5. Gerald B. Folland, Fourier Analysis and Its Applications, Wadsworth &
Brooks/Cole Mathematics Series, Pa- cific Grove, California, (1992).
6. E. Hairer and G. Wanner, Analysis by Its History, UTM : Reading in Mathe- matics, Springer-Verlag (1995).
7. Jerrold E. Marsden, Elementary Classi- cal Analysis, Marcel Dekker, New York (1973).
8. R. Wheeden and A. Zygmund, Measure and Integral, Marcel Dekker, New York (1977).
—本文作者任教於國立成功大學數學系暨應 用數學研究所—
