12 (,,) xyz = tt −+= 66 xtytzt ==−=−− , 27, 14 (3,19,13) −− (,,) xyz = xyzxyz +−=−++= 33 , 20 aa +−=− 31012 aa ++= 32 0 632421 −=≠− 464 62=52 aa −=+− −++ 717824 aa

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：96.12.20 班級

範 圍

2-6、3-1 一次方程

組、行列式(2)、圓 座號

姓 名 一、選擇題 (每題 10 分)

1、( B ) 設方程組 6 ( 2) 7 17 0無限多解，則 ( 5) 2 8 24

x a y a

a x y a

+ − − + =

⎧⎨ + − + + =

⎩ 0 ^a=？

(A) −2 (B) −1 (C)0 (D)1 (E)2

解析：∵方程組無限無解，∴ 6 2

5 2 = a a

= −

+ −

7 17 8 24

a a

− + +

∴a²+3a−10= −12 ⇒a²+3a+ = 02 ，∴a= −2或−1（−2 代入不合，∵6 3 2 4 2 1

= − ≠

− 4 6

4

x+ − =y z x− +y z+ = ² 2 2

）

二、填充題 (每題 10 分)

1、 設 x, y, z 滿足 3 3, 2 0，則x + y− z之最小值為_________；此時 ( , , )x y z = _________。

答案：−3; (3, 19, 13)− − 解析： 3 3 ∴

2 4 x y z

x y z

+ − =

⎧⎨ − + + =

⎩ 0 x=t y, 2 7 , 1 4= − t z= − − t

∴x²+2y−2z= t²− + =6t 6 (t−3)²− ≥ −3，∴最小值3 −3，此時 3

19 13 x y z

⎧ =

⎪ = −

⎨⎪ = −

⎩ 2、 若 a c 2

b d = ，a e 1

b f = − ，則 2 2

3 3

a b

c e d f =

− − ______。

答案：10

解析： 2 2

3 3

a b

c e d f =

− −

2a 2b

c d + 2 2

3 3

a b

e f =

− − 2a b

c d + ( 6) a b 2 2 6 ( 1) 10 e f

− = × − × − =

3、 解方程組

3 1 2 3 2 3 1

2 1 1 1

4 x y z

x y z

x y z

⎧ + − =

⎪⎪

⎪ + + =

⎨⎪

⎪ − + =

⎪⎩

，則 ( , , )x y z = ___________。

答案：(1

2, −1, 1)

解析：設 1 1

, ,

A B C 1

x y z

= = =

原式⇒

3 2 3

2 3 2 2, 1, 1 1, 1, 1 4 2

A B C

A B C A B C x y z

A B C

+ − =

⎧⎪ + + = ⇒ = = − = ⇒ = = − =

⎨⎪ − + =

⎩

4、 已知方程組 ax by c 的解為 ，則方程組 dx ey f

+ =

⎧⎨ + =

⎩ x=3, 4y= 2 3

2 3

bx ay c

ex dy f

− = −

⎧⎨ − = −

⎩ 的解為 ( , )x y = _______。

答案： 6; 9 −

解析：

2 ( ) ( ) ( ) ( 2 ) 3

2 3 3 3 3 3 3

2 3 2 2

2 ( ) ( ) ( ) ( ) 4

3 3 3 3 3

x y y x y

b a c a b c

bx ay c x

ex dy f x y y x x y

e d f d e f

⎧ − + = ⎧ + − = ⎧ =

⎪ ⎪ ⎪

− = = −

⎧ ⇒⎪ ⇒⎪ ⇒⎪ ⎧

⎨ − = ⎨ ⎨ ⎨ =

⎩ ⎪ − + = ⎪ + − = ⎪− = ⎩

⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎩ ⎩

6

⇒ ⎨ 9

5、 解

4 6 2 3

7

x y

xy

x y

xy

⎧ + =

⎪⎪⎨ +

⎪ =

⎪⎩

，則 ( , )x y = __________。

答案： (1,1 2) 解析：

因為

1 4 6 0 0, 0

2 3 7 y x

xy x y

y x

⎧ + =

≠ ⇒ ≠ ≠ ⇒ ⎨⎪⎪

⎪ + =

⎪⎩

∴ 1

1, 2 x= y=

6、 下列圖形代表空間上三個平面相交的情形：

判斷下列各方程組相交之情形（在空格內，填入適當的圖號）

(1) ，圖______。 (2)

3 2

2

4 3

x y z

x y z

x y z

+ + =

⎧⎪ + + =

⎨⎪ + + =

⎩

1 3 2

2 3

2 1

2 2

3 3

x y z

x y z

x y z

+ + =

⎧⎪ − + =

⎨⎪ + + =

⎩

，圖______。

答案：6 ; 7 解析：

(1)解聯立 ，前 2 式相減、後 2 式相減

3 2

2

4 3

x y z

x y z

x y z

+ + =

⎧⎪ + + =

⎨⎪ + + =

⎩

1 3

2 1

2 2 2 x z

x z

+ = −

⇒ ⎨⎧⎩− − = ，方程組無解，三平

面兩兩相交於一線，且三交線平行不相交，選圖 6。

(2)解聯立 ①+②×2；②+③⇒ 2 1...

2 2 2...

3 3 3...

x y z x y z x y z + + =

⎧⎪ − + =

⎨⎪ + + =

⎩

①

②

③

1 1 x z x z

⎧ + =

⎨ + =

⎩ ，有無限多解，

三平面相交於一直線，∴選圖 7。

7、 若兩方程組⎨ 與 有相同解，求數對 ( , ________。

2 8

5

2 11

x y z

ax y z x y z

+ − = −

⎧⎪ + + =

⎪ − + =

⎩

2 1

2 3 12

2 15

x by z

x y z

x y cz + − =

⎧⎪ − + =

⎨⎪ + − =

⎩

, ) a b c = 答案：(4,1,15)

解析：

2 8

2 3 12

2 11

⇒

x y z

x y z

x y z + − = −

⎧⎪ − + =

⎨⎪ − + =

⎩ 6 6+ 1

b a

c 3

6 1 x y z

⎧ =

⎪ = −

⎨⎪ = −

⎩

代入

6 6 1 1 3 6 1 5 5

4 1 15

− + =

⎧⎪

⇒⎨ − − =

⎪ − =

⎩

⇒ a b c

⎧ =

⎪ =⎨

⎪ =⎩

, ∴ (a b c, , )=(4,1,15)

8、兩根圓木分別長 10 公尺、8 公尺先後流經橋下，由開始流入到完全流出分別需要 13 秒及 11 秒，則橋的寬度為_______公尺，又水流速度為每秒_______公尺。

答案：3; 1

解析：設橋寬 x 公尺，水流速度每秒 y 公尺 10 13

8 11

x y

x y

+ =

⎧⎨ + =

⎩ ，∴x=3, y=1，橋寬 3 公尺，水流速度每秒 1 公尺

9、 設 3 4 2 3

x y r

x y s

+ =

⎧⎨ + =

⎩ 解 x, y 可得 x ar bs y cr ds

= +

⎧⎨ = +

⎩ ，則 ( , )b c = _________。

答案：(−4, −2)

解析： ^{3 4} , 3 2 ^{3 4}

2 3 2 3

x y r x r s

y r

x y s

+ = = −

⎧ ⎧

− − ⇒

⎨ ⎨

= − + s

+ = ⎩

⎩

"

"

① ①ⅹ ②ⅹ4; ①ⅹ ②ⅹ3

② ，∴b= −4, c= −2

10、若xyz≠0且滿足 3 5 0 2 4 7

x y z

x y z

+ + =

⎧⎨

+ + =0

⎩ ，求(1) x：y：z= ___________ (2) ²₂ ^{3 2}₂ ^{5 2}₂

2 4 4

x y z

x y z

+ + =

+ + ______。

答案：8 9

解析：x：y：z 3 5 4 7

= ：5 1

7 2 ：1 3

2 4 = 1：3：(−2) 設x=t y, 3 , 2= t z = − ，t ²₂ ^{3 2}₂ ^{5 2}₂

2 4 4

x y z

y z

+ +

+ + =

x

2 2 2

2 2

27 20 2 36 16

t t t

t t

+ +

+ + t² 48

=54 = 8 9

11、甲乙丙三人合作一工程，甲乙二人合作 20 天完工，乙丙二人合作 10 天完工，而甲丙二人合 作 12 天完工，則甲獨作_____日可完工，乙獨作_____日可完工，丙獨作_____日可完工。

答案：60; 30;15

解析：設甲獨作 x 天可完工，乙獨作 y 天可完工，丙獨作 z 天可完工

1 1 1 20 1 1 1

10 1 1 1

12 x y

y z

x z

⎧ + =

⎪⎪

⎪ + =

⎨⎪

⎪ + =

⎪⎩

∴1 1 1 1 1 1 , ,

60 30 15

x = y = z = ；∴x=60, y=30, z=15

甲獨作 60 天可完工，乙獨作 30 天可完工，丙獨作 15 天可完工 12、空間中相異四點為 A(0,1,1), B(2,1,4), C(−3,2,1), D(0,2,2)，則

(1)△ABC 的面積為_________，(2)四面體 ABCD 的體積為__________。

答案：(1) 94

2 (2)7 6 解析：(1)AB

K

( 3,1, 0) AC

K

, AD

K

AB AC

K K

∴△ABC 面積為 1 9 9 81 4

2 2

= + + = 4

(2)四面體 ABCD

2 0 3 1 3 1 0 6 0 1 1

= − = 1

( 3, 9, 2) (0,1,1) 6 − − ⋅ = 7

6

13、設方程組 ，則

(1)當 ________時，方程組恰有一組解，且此解 ( , ( 1)

4 ( 3) 10

a x ay a

x a y

− + = +

⎧⎨ + + =

⎩

2

a≠ x y)= ___________。

(2)當 ________時，方程組有無限多組解。

(3)當 ________時，方程組無解。

a= a=

答案：(1) 3, 1− ；( 2 6 1, 1 a

a a

−

+ + )(2)3; (3)-1

解析： 1 ²

( 1)( 3) 4 2 3 ( 3)( 1)

4 3

a a

a a a a a a a

a

Δ = − = − + − = − − = − +

+ 2 2

( 2)( 3) 10 5 6 ( 2)( 3)

10 3

x

a a

a a a a a a a

a

Δ = + = + + − = − + = − −

+

1 2

10( 1) 4( 2) 6( 3) 4 10

y

a a

a a a

− +

Δ = = − − + = −

方程組解為

2

10 3 ( 2)( 3) 2

1 ( 3)( 1) 1

4 3

x

a a

a a a a

x a a a a a

a +

+

Δ − − −

= = = =

Δ − −

+

+ + ,

1 2

4 10 6( 3) 6

1 ( 3)( 1)

4 3

y

a a

y a

a a a a a

a

− +

Δ −

= = = =

Δ − −

+

+ +1

(2)當a=3時，Δ = Δ = Δ =_{x y} 0，有無限多組解， 1 3

2 3 5 ,

1 2

x t

x y t

y t

⎧ = +

+ = ⇒⎨ = −⎩ ∈R (3)當a= −1時，Δ =0,butΔ ≠ Δ ≠_x 0, _y 0，無解

14、 求圓心為(2, –1)，半徑為 5 的圓之方程式。

答案：x²+y²−4x+2y−20= 0

解析：此圓之方程式為(x−2)²+(y+1)² = ，即5² x²+y²−4x+2y−20= 0 15、 有一圓的圓心為(−1, −2)並且通過點(−2, 2)，求其方程式。

答案：(x+1)²+(y+2)² =17

解析：由兩點距離公式知，圓的半徑r= ( 2 1)− + ²+ +(2 2)² = 17 故圓的方程式為(x+1)²+(y+2)² =17

16、 求過 A(0, 2), B(1, 1), C(1,−1)三點之圓的方程式為________________。

答案：x²+y²+2x− = 04

解析：設圓：x²+y²+dx ey+ + =f 0，將(0, 2), (1, 1), (1,−1)代入

∴ ∴圓：

4 2 0

2 0

2 0

e f d e f d e f + + =

⎧⎪ + + + =

⎨⎪ + − + =

⎩

2 0

4 d e f

⎧ =

⎪ =⎨

⎪ = −

⎩

⇒ x²+y²+2x− = 4 0

17、 圓 C 以 A(−1,2)與 B(3,5)之線段為直徑，則圓 C 之方程式為______。

答案：x²+y²−2x−7y+ = 07

解析： (x+1)(x− +3) (y−2)(y− = ⇒5) 0 x²+y²−2x−7y+ = 7 0

18、 求圓2x²+2y² −4x+8y+ = 01 圓心坐標為_______；圓面積為_______。

答案：(1,−2)，9 2

π

解析：圓： ^{2 2} 1

2 4

x +y − x+ y= − ⇒2 ^{2 2} 9 ( 1) ( 2)

x− + y+ = 2

∴圓心坐標為(1,−2)，圓面積 ² 9 9 2 2

r π

π π

= = × = 。