§ 4-3: 矩陣之秩 (Rank of a Matrix)

J.C. Hsu

§ 4-3: 矩陣之秩 (Rank of a Matrix)

(1) 定義 (Definition)

矩陣 A 中線性獨立列向量最大的數目稱為矩陣 A 的秩。

m × n 矩陣 A 的秩(rank)，記為

rank(A) 。

1. 線性獨立與線性相依 (Linearly Independence and Linearly Dependence)

n 個向量

a K

₁、 ₂

a K

_、

"

_、

a K

_n，且

c a

_{1 1}

K + c a

₂

K

₂

+ " + c a

_n

K

_n

= 0 K

其中

c

₁、

c

₂、

"

、

c

_n 為常數；

(i) 若

c

₁

= c

₂

= " = c

_n

= 0

，則向量

a K

₁、

a K

₂、

"

、

a K

_n為線性獨立(L. I.)。

(ii) 若

c

₁、

c

₂、

"

、

c

_n

存在有一個不為零，則向量 a K

₁

、

a K

₂、

"

、

a K

_n

為線性 相依(L. D.)。

Ex 4-2.1:

線性系統：

^{1 2}

1 2

2 3

3 5

x x

x x

+ =

− = − 4

表示成矩陣形式：A xK =

b

K

。

<Sol>:

2

2 3 1 4

3 1 5

2 3 4

1 5

x b

⎡ ⎤

x

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎡ ⎤ ⇒ =

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥−

⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 2

, ,

3

2 3 4

[ ]

3 1

x

5 ,

b b

x

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢⎣ − ⎥⎦ =⎢ ⎥ =⎢ ⎥− = =

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎦

⎣

⎣ − − ⎦

A x

A x

⎣ ⎦

B A

K

K K K

K

要記住

J.C. Hsu

ij：第

i

列與第

j

列互換。

R

2. k R

_i^：第

i

列乘以

k (

0 )。

i j

k R

+

R

[

a

_{ij m n}]

k

≠

3.

^：第

i

列乘以

k

加至第

j

列。

以

n

個未知數(unknowns)形成

m

個線性方程式(linear equations)的系統，其通式 如下：

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n n n

m m mn n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =

+ + + =

+ + + =

"

"

# #

"

_m

此系統可寫成矩陣方程式(matrix equation)：

= b A x K K

，它是 其中

11 12 1

21 22 2

1 2

n n

m m mn m n

a a a

a a a

a a a

_×

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎢ ⎥

⎢ ⎣ ⎦

=

⎥

⎥

"

"

# # % #

"

：系統之係數矩陣(coefficient matrix)。

=

A

=

x

K

b

K=

×

：系統之解向量(solution vector)。

1 2

n n 1

x x

x

_×

⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎦

⎣

#

1 2

b b

b

⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎦ ⎥

⎣

#

：系統之常數向量(constant vector)。

很重要,必考

J.C. Hsu

B

=[

A b

K]_{m× +(n 1)}

：系統之增廣矩陣(augmented matrix)。

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n n

m m mn m

a a a b

a a a b

A b

a a a b

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎡ ⎤

= ⎣ ⎦ ⎢ = ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

B

"

K "

# # % # #

"

★ 增廣矩陣的每一列即表示相對應線性系統之每一個方程式。

Ex 4-2.1:

線性系統：

^{1 2}

1 2

2 3

3 5

x x

x x

+ =

− = − 4

表示成矩陣形式：A xK =

b

K

。

<Sol>:

2

2 3 1 4

3 1 5

2 3 4

1 5

x b

⎡ ⎤

x

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎡ ⎤ ⇒ =

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥−

⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 2

, ,

3

2 3 4

[ ]

3 1

x

5 ,

b b

x

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢⎣ − ⎥⎦ =⎢ ⎥ =⎢ ⎥− = =

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎦

⎣

⎣ − − ⎦

A x

A x

⎣ ⎦

B A

K

K K K

K

Ex 4-2.2:

線性系統：

1 2 3

1 3

1 2

0 2 1 2 3

x x x

x x

x x

+ − =

− + =

− = 2

表示成矩陣形式：A xK =

b

K

。

<Sol>:

J.C. Hsu

1 2 3

1 1 1 0

1 0 2 1

2 3 0 2

x

x b

x

− ⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢− ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⇒

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A xK= K

1

1 0 2

,

x

2 ,

b 1

, [

b

]

1 0 2

= =

⎢ ⎥

=

⎢

3

1 1 1 0 1 1 1 0

1

2 3 0 2 2 3 0 2

x

x

− ⎡ ⎤ ⎡ − ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎥

⎢ ⎥ ⎥

− ⎢ ⎥ ⎢ −

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ −

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎢ ⎥

= =

A x

K K

B A

K

Ex 4-2.3:

一線性系統之增廣矩陣為

1 2 1 2

2 3 2 3

4 3 5 4

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=⎢ − ⎥

⎢ − − − ⎥

⎣ ⎦

B ，

則此系統為何？

<Sol>:

1 2

1 2

1 2

2 2 3 4

1 2 1 2

[ ] 2 3 2 3

4 3 5 4 3

x x

x x

b

x x

+ +

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= =⎢ − ⎥ ⇒

⎢ − − ⎥

3 3 3

2 2 3

5 4

x x x

− =

− = B A K

− − =

⎣ − ⎦ −

(2) 基本列運算 ERO (Elementary Row Operation)

1. R

ij：第

i

列與第

j

列互換。

2. k R

_i：第

i

列乘以

k (

0 )。

i j

k R

+

R

k

≠

3.

：第

i

列乘以

k

加至第

j

列。

★ 線性系統經由基本列運算(ERO)後所得之線性系統，其解與原系統相同。

很重要,要記住

J.C. Hsu

Ex 4-2.4:

1

1 2

3 1 1 1 2

0 3 6

3 3 3 1 1 1

2 1 4 2 1 4

R − R+R

− − − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥⎯⎯⎯→⎢ ⎥ ⎯⎯⎯→⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

B ⎤

− − ⎯

Ex 4-2.5:

1 2

1 3

2 3

1 2 3

2 2

4

1 11

2 3

1 1

x

=

=

3 =

1 2 1 2 1 2 1 2

2 3 2 3 0 1 0 1

4 3 5 4 0 11 1 12

1 2 1 2 2 2

0 1 0 1 1

0 0 1 1 1

1

R R R R

R R

x x x

x x

x x

− +

− +

− +

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ − ⎥⎯⎯⎯⎯→⎢ − − ⎥

⎢ − − − ⎥ ⎢ − − − ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− + − =

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎯⎯⎯⎯→⎢ − − ⎥ ∴ − = − ⇒

⎢ − − ⎥ − −

⎣ ⎦ =

B

(3) 高斯消去法 (Gauss Elimination Method)

B = [ A b K ] ⎯⎯⎯

^ERO

→ B

_R

= 0

0 0

0 0 0

" " "

# #

# # % #

"

"

#

#

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

列梯形矩陣

B

_R

(matrix in row-echelon form)

Ex 4-2.6:

^{列梯形矩陣}

J.C. Hsu

(1) 1 3 7

0 4 8

R

⎡ ⎤

= ⎢ ⎣ − − ⎥ ⎦

B

(2)

1 2 1 2

0 1 0 1

0 0 1 1

R

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ − − ⎥

⎢ − − ⎥

⎣ ⎦

B

(3) 1 2 1 1

0 1 1 2

R

−

⎡ ⎤

= ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦

B

(4)

2 1 2 3 4

0 3 1 4 0

0 0 2 3 1

R

− − −

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ − ⎥

⎢ − − ⎥

⎣ ⎦

B

Ex 4-2.7:

利用高斯消去法，求解線性系統：

^{1 2}

1 2

3 4

2 6

x x

x x

+ =

− = −

<Sol>:

增廣矩陣

B

1 2

1 1

2

2 1

2

2 2

x

2

x

2

1 3 4 1 3 4

[ ] :

2 1 6 7 14

3

0 4

14

2 2

7

R R R

x x

b

x x

x

− +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢⎣ − − ⎥⎦⎯⎯⎯⎯→⎢⎣ − − ⎥⎦

+ = ⇒

∴ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥=

⎣ ⎦

x

K ⎣ ⎦

− =− ⇒ ⇒

= −

=

B A K

B

Ex 4-2.8:

利用高斯消去法，求解線性系統：

^{1 2}

1 2

3 2 2

x x

x x

− =

− = − 4

<Sol>:

增廣矩陣 B

J.C. Hsu

1 2

1 3

1 2

8 10

x

x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥=

1 2

2 2

3 2 4 3 2 4

[ ] :

1 1 2 1 3 10 3

3 2 4

1 1

8

0

3

10

3

0 ^R

R R

x x

b x x

x

− +

=

=

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢⎣ − − ⎥⎦⎯⎯⎯⎯→⎢⎣ − − ⎥⎦

− = ⇒

∴ ⇒

− = − ⇒

B

B A K

⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎦

x

K ⎣

◎ <另解>

3 2 4 ¹² 1 1 2 [ ]

1 1 2 3 2 4

b

⎡ − ⎤ R ⎡ − ⎤

= =⎢⎣ − − ⎥⎦⎯⎯→⎢⎣ − ⎥⎦

B A K −

1 2

3

0

1 1 2

1 10 :

R

R

− +R ⎡ − − ⎤

⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥

⎣ ⎦

B

2

1 2 2 1

8

0 1

x x x

x

₂

1 8

10

x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

x

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥=

⎣

− = − ⇒

=

⇒

=

x

K

∴ ⎦ ⎣ ⎦

Ex 4-2.9:

利用高斯消去法，求解線性系統：

1 2 3

1 3

1 2

0 2 1 2 3

x x x

x x

x x

+ − =

− + =

− = 2

<Sol>:

增廣矩陣 B

1

3

2

2

1

2 3

5

1 1 1 0 1 1 1 0

[ ] 1 0 2 1 1 1 1

2 3 0 2 5 2 2

1 1 1 0 1 1

0 0

0 0 0

1 : 7 7

R R R

R

R

R R

b

⁺

+

− +

− −

⎡ ⎤ ⎡

⎢ ⎥ ⎢

= = −⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯→⎢

⎢ − ⎥ ⎢ −

⎣ ⎦ ⎣

⎡ − ⎤

⎢ ⎥

⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

B A

B

K ⎤

⎥⎥

⎥⎦

J.C. Hsu

1

3

1

1

x

x

1 2

3

1 2 3

2

2 3

3

0

1 0

7 7

1 0

1

x x

x

x x x

x x

x x

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥=

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦

+ − = ⇒

∴ + =

=

= ⇒

=

⇒ ⇒

x

K

Ex 4-2.10:

利用高斯消去法，求解線性系統：

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 5

3 2

3 3

x x x

x x x

x x x

+ − =

− + =

+ − = 0

<Sol>:

增廣矩陣 B

12 1 2

1 3

2 3

2

6 7

2 1 1 5 1 3 1 2

0

1 3 1 2

[ ] 1 3 1 2 2 1 1 5 7 3 1

1 3 3 0 1 3 3 0 6 4

0 0

0 0

2

1 3 1 2

7 3 1 :

10 7 20 7

R R R

R R

R R

R

b

− +

− +

− +

− − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

= =⎢ − ⎥⎯⎯→⎢ − ⎥⎯⎯⎯⎯→⎢ −

⎢ − ⎥ ⎢ − ⎥ ⎢

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

⎡ − ⎤

⎢ ⎥

⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ − ⎥

⎢ − − ⎥

⎣ ⎦

B A

B

K ⎤

⎥⎥

− − ⎦⎥

1 2 3

2

3 3

3

1 2

3 2

7 3 1

10 20

7 7

1

3

2

x x x

x x

x

x

x x

1 2 3

3 1 2

x

x x

=

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥=

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦

− + = ⇒

− = ⇒ ⇒

− = − ⇒

=

x

K

∴

◎ <另解>

1 2

3

1

2

3

5 7

2 2

2 1 1 5 2 1 1 5

[ ] 1 3 1 2 7 2 3 2 1 2

1 3 3 0 5 2 5 2

0 0

0 0

5 2

2 1 1 5

7 2 3 2 1 2 : 7

0

10 7 20

R

R

R

R

R R

R

b

⁻₋ ⁺₊

+

− −

⎡ ⎤ ⎡

⎢ ⎥ ⎢

= =⎢ − ⎥⎯⎯⎯⎯→⎢ − −

⎢ − ⎥ ⎢ −

⎣ ⎦ ⎣

⎡ − ⎤

⎢ ⎥

⎯⎯⎯⎯→⎢ − − ⎥

⎢ − − ⎥

⎣ ⎦

B A

B

K ⎤

⎥⎥

− ⎥⎦

J.C. Hsu

1 2 3

2 2

3

3

2 3

1

3

2 x

x

1

⎡ ⎤

3

2 5

7 3 1

2 2 2 1

10 0

1

2 2

7 7

3 x

x x

x

x

x x x

x x + −

= ⇒ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =

⎢

∴ − + = −

⎥ ⎢ ⎥ ⎣

=

⇒ ⇒

− ⇒

=

=

− = ⎣ ⎦ ⎦

x K

Ex 4-2.11:

利用高斯消去法，求解線性系統：

^{1 2 3}

1 2 3

5

2 3 4

x x x

x x x

− − =

− + =1

<Sol>:

增廣矩陣

B

1 2

1 2 3

2

3

2 3

3 1

2 3

0

7 1

1 1 1 5 1 1 1 5

[

,

] :

2 3

4 6

4 1 1 6 9

5

9

6 9

R R

b

R

x x x x

x x x x t R

x t

x

− +

− − − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦ ⎯⎯⎯⎯ → ⎢ ⎣ − − ⎥ ⎦

− − = ⇒

∴ = + ⇒

= ∈

+

− + = − ⇒ =

B A K B

1 2 3

7 14 6 9 ,

x t

x t t R

x t

⎡ ⎤ ⎡ + ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥ ⎢ = + ⎥ ∈

⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦

⎣ ⎦ x K

⇒

： 系統有無限多組解

Ex 4-2.12:

利用高斯消去法，求解線性系統：

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 2 3

2 0

6 2 4

x x x

x x x

x x x

+ + =

+ + = + + = 6

<Sol>:

增廣矩陣

B

J.C. Hsu

1 2

1 3

2 3

2

6

3

2

0

0

3 2 1 3 3 2 1 3

[ ] 2 1 1 0 1 3 1 3 2

6 2 4 6 2 2 0

3 2 1 3

1 3 1 3

0

2 :

0

0

0 12

R R

R R

R R

R

b

− +

− +

− +

⎡ ⎤ ⎡

⎢ ⎥ ⎢

= =⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯→⎢ − −

⎢ ⎥ ⎢ −

⎣ ⎦ ⎣

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎯⎯⎯⎯→⎢ − − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

B A

B

K

^⎤_⎥

⎥⎥⎦

1 2 3

2 3

3 2

1 1

3 3 2

3

x x x

x x

+ + =

： 系統無解

∴

0 12

− +

=

= −

Ex 4-2.13:

利用高斯消去法，求解線性系統：

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 2

4 3

2 5 7 1

x x x

x x x

x x x

+ − = −

+ + =

− + =

7 5

9

<Sol>:

增廣矩陣

B

1 2

1 3

2 3

4

2

0

0

1 3 2 7 1 3 2 7

[ ] 4 1 3 5 11 11 33

2 5 7 19 11 11

0 0

33

1 3 2 7

11 11 33

0

0

0

:

R R

R

R R

R R

b

⁻₋ ⁺

− +

+

− − − −

⎡ ⎤ ⎡

⎢ ⎥ ⎢

= =⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯→⎢ −

⎢ − ⎥ ⎢ −

⎣ ⎦ ⎣

− −

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎯⎯⎯⎯→⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

B A

B

K

^⎤_⎥

⎥⎥⎦

1 2 3

2

1 3

3 2 3 3

3 2 7

11 11 33

3 ,

2

x x x

x t t x

x

x x x R

+ − = −

x

∴ − + = ⇒ ⇒ ⇒

= − +

= − = ∈

0=0

J.C. Hsu

1 2 3

2 3 ,

x t

x t t R

x t

⎡ ⎤ ⎡− + ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢= − ⎥ ∈

⎢ ⎥ ⎢⎦ ⎣ ⎥⎦

⎣

x K

⇒ ： 系統有無限多組解

Ex 4-2.14:

利用高斯消去法，求解線性系統：

1 2

1 2

1 2

1

4 6

2 3

x x x x

x x

+ =

− = −

− = 8

<Sol>:

增廣矩陣 B

1 2

1 3

2 3

4

2

0

0

1 1 1 1 1 1

[ ] 4 1 6 5 1

16

0

2 3 8 5 6

1 1 1

5 10 :

0

0 0

R R

R

R R

R R

b

⁻₋ ⁺₊

− +

⎡ ⎤ ⎡

⎢ ⎥ ⎢

= =⎢ − − ⎯⎯⎯⎯⎥ →⎢ − −

⎢ − ⎥ ⎢ −

⎣ ⎦ ⎣

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎯⎯⎯⎯→⎢ − − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

B A

B

K

^⎤_⎥

⎥⎥⎦

1 2

2

1 10 5

x x

∴ −

x

= − + =

： 系統無解 0 16=

Ex 4-2.15:

利用高斯消去法，求解線性系統：

1 2 3

1 2 3

1 3

2 0

2 4 5 0

6 3 0

x x x

x x x

x x

− − =

+ + =

− =

<Sol>:

J.C. Hsu

增廣矩陣 B

2

2 3

1

1 3

2

6

0

1 1 2 0 1 1 2 0

[ ] 2 4 5 0 6 9 0

6 0 3 0 6 9 0

1 1 2 0 6 9 0 :

0

0 0 0

0

0

R R

R

R R

R R

b

⁻₋ ⁺₊

− +

− − − −

⎡ ⎤ ⎡

⎢ ⎥ ⎢

= =⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯→⎢

⎢ − ⎥ ⎢

⎣ ⎦ ⎣

− −

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

B A

B

K

^⎤_⎥

⎥⎥⎦

1 2 3

2 3 3

1 3

2 3

2 0

6

2 ,

2

9 0

3 2

x x

x x

x x x

x x x t t R

− − =

=

∴

=

0 0

+ = ⇒ ⇒

=

⇒

= − ∈

1 2 3

3 , 2

x t

x t t R

x t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢= − ⎥ ∈

⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

⎣ ⎦

x K

⇒ ： 系統有無限多組解

Ex 4-2.16:

利用高斯消去法，求解線性系統：

1 2

1 2 3

1 3

2 2 0

2 0

3 0

x x

x x x

x x

+ =

− + + =

+ =

<Sol>:

增廣矩陣 B

1 1 2

1 3

2 3

2 2

3

2 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

[ ] 2 1 1 0 2 1 1 0 3 1 0

3 0 1 0 3 0 1 0 3 1 0

0

1 1 0 0 3 1

0 0

0

0

0

: 2 0

R R R

R R

R R

R

b

₋ ⁺₊

+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

= = −⎢ ⎥⎯⎯⎯→ −⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯→⎢

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎯⎯⎯→⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

B A

B

K

^⎤_⎥

⎥⎥⎦

J.C. Hsu

1 2

3 0

0 0 0

x

x x x

1 2 1

2 3

3 3

2

0

3 0

2 0

0 0

0 x x

x

x

x x

x x

− =

∴ + = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

=

=

=

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦

K K