(32)4

(1)

1

高雄市明誠中學高一數學平時測驗日期：104.09.24 範

圍數與數線、絕對值班級一年____班姓名

座號

一、填充題(每題 10 分)

1. 設 11 6 2  a  b﹐其中 aZ﹐0  b  1﹐則 ¹ ab ¹

2 b  ____________﹒

解答 ⁶ 7

解析 11 6 2  (3 2)²  3  2

4. ~

 a  4﹐b = (3 2) 4  2 1 1

ab ¹

2 b  ¹

3 2 ¹

2 ( 2 1)   ¹

3 2 ¹

3 2⁽³ ²⁾ ⁽³ ²⁾ (3 2)(3 2)

  

  ⁶

7

2. x﹐yR﹐且 x²  4xy  5y²  4x  10y  5  0﹐則數對(x﹐y)  ____________﹒

解答 ( 0﹐1)

解析先對 x 作配方

原式  [x²  2(2y  2)x  (2y  2)²]  (5y²  10y  5)  (2y 2)²  0  [x  (2y  2)]²  (y²  2y  1)  0  (x  2y 2)²  (y  1)²  0

2 2 0 1 0

x y

y

  

  

  ⁰

1 x y

 

  ﹐即數對(x﹐y)  ( 0﹐1) 3. x﹐yR﹐ 2  x  5﹐1  y  3﹐求(1) ^x

y之範圍 ____________﹒(2)^x²^y²之範圍 ____________﹒

解答 (1) 2

x

5

   (2)

y

1

x

²

y

² 34 解析 (1) 2  x  5﹐1  y  3 ∴ ²

1

 ^x y ⁵

1 2

x

5

   

y

(2)0

x

² 25, 1

y

²  9 1

x

²

y

² 34

4. 求介於¹

8與¹

7之間的有理數形如

280

k （k  N）者共有____________個﹒

解答 4 解析 ¹ 8

280 k ¹

7  ³⁵ 280

280 k  ⁴⁰

280﹐k  N ∴ k  36﹐37﹐38﹐39 共 4 個

5. 設 ² ⁶ 7 x 7

   ﹐化簡 (7x2)²  (7x6)² ____________﹒

解答 8

解析由 ² ⁶ 2 7 6

7 x 7 x

        7x 2 0﹐7x 6 0

∴ 原式 7x 2 7x 6 7x  2 6 7x8

(2)

2

6. 設a³ 52﹐b³ 52﹐則

(1)a b ____________﹒ (2)x a b﹐則x³3x____________﹒

解答 (1)1;(2)2 5

解析 (1)ab³( 52)( 52)³1 1

(2)x³3x(ab)³3(a b) (ab)³3ab a(  b) a³b³

(³ 52)³(³ 52)³ ^{( 5} ²⁾ ^{( 5} ²⁾ ^{2 5}

7. 設 x﹐y﹐z 均為整數﹐且滿足|x + 7| + 2|y  4| + 3|z + 2| = 6﹐則數對(x﹐y﹐z)共有________組解﹒

解答 26

解析 (1)若|z + 2| = 0 時  |x + 7| + 2|y  4| = 6 ∴ ^| 4 | 0, 1, 2, 3

| 7 | 6, 4, 2, 0 y

x

  

  

  有 1  (1  2 + 2  2 + 2  2 + 2  1) = 12（組）

(2)若|z + 2| = 1 時  |x + 7| + 2|y  4| = 3 ∴ ^| ^{4 | 0, 1,}

| 7 | 3, 1, y

x

  

  

  有 2  (1  2 + 2  2) = 12（組）

(3)若|z + 2| = 2 時  |x + 7| + 2|y  4| = 0 ∴ ^| ^{4 | 0}

| 7 | 0 y x

  

  

  有 2  (1  1) = 2（組）

故所求有 12 + 12 + 2 = 26 組解

8. 用一條長度 60 公尺的繩子在河邊圍成一矩形菜圃﹐且河邊不圍繩﹐則其可圍成的面積之最大值為_____平方公尺﹒

解答 450

解析如圖  2x + y = 60﹐又矩形面積 = xy

由算幾不等式：² 2

2 x y

x y

  

∴ ⁶⁰ 2

2  xy  900  2xy ∴ xy450 即所求之最大值為 450 平方公尺

9. 若｜ax + 2｜ b 的解為3  x  11﹐則數對(a﹐b) =____________﹒

解答 ( ¹, ⁷) 2 2



解析 3  x  11﹐∵ ^{3 11} 4 2

    3  4  x  4  114  7  x  4  7

4 7 | ( 2) ( 1 2) | 7

x 2x

         1 7

| ( 2) |

2x 2

    與|ax2 |b同義﹐

∴ ¹

a 2﹐ ⁷ b 2﹒

(3)

3

10. 將分數¹²³⁴

4995化成小數﹐則小數點後第 99 位數字為____________﹒

解答 7

解析 ¹²³⁴ ²⁴⁶⁸ ^{2470 2} 0.2470 0.2470470 4995 9990 9990

     …﹐小數點後第二位開始每三位循環﹐

又 99 = 1 + 3  32 + 2﹐所以循環 32 次後﹐再數二位﹐即小數點後第 99 位數字為 7﹒

11.方程式｜x  1｜｜2x  3｜ 4 的解為____________﹒

解答 0 或 2 解析若 ³

2

x ﹐則 x + 1 + 2x  3 = 4﹐x = 2﹐

若 1 ³

  x 2﹐則 x + 1  2x + 3 = 4﹐x = 0﹐

若 x < 1﹐則x  1  2x + 3 = 4﹐ ²

 3

x （不合）﹐

∴x = 2 或 0﹒

12. 設 3 1 3 1

,

3 1 3 1

a



b



 

  ，試求

2 2

b a

a



b

的值為_________．

答案 52

解析 3 1 3 1

, , 1

3 1 3 1

a

 

b

 

ab



  ；

2 2

( 3 1) ( 3 1) 8 2 4 ( 3 1)( 3 1)

a   b     

 

∴

2 2 3 3

3 3

b a b a

a b

a b ab

     (

a b

 )³3

ab a b

(  )64 12 52

13. 設 x 為實數，則│x－1│＋│x＋7│的最小值為____________，此時 x 之解為_______________。

答案：8；－7≦x≦1

解析：由三角不等式得知│x－1│＋│x＋7│≧│ (1   │＝8 ∴最小值 8，

x

) (

x

7) 此時－7≦x≦1

14. 在數線上滿足 6≦│3x－5│＜17 的整數 x 共有____________個。

答案：7

解析：│3x－5│≧6  3x－5≧6 或 3x－5≦－6  x≧

3

11

或 x≦－

3

1

……○ ^１

又│3x－5│＜17  －17＜3x－5＜17  －12＜3x＜22  －4＜x＜

3 22

…○ ^２由○、^１ ○得 ^２

∴x＝－3，－2，－1，4，5，6，7，共 7 個

(4)

4

15. x 為實數，│3x＋1│＞5，則 x 之範圍為_____________________。

答案：x＞

3

4

或 x＜－2

解析：│3x＋1│＞5 

3 x＋＞ 1 5

或

3 x＋＜－ 1 5





 



2 3 4

＜－

＞ x x

16. 設 x，y，z 均為整數，若│x－5│＋3│y＋2│＋2（z－1）²＝1，則 序組（x，y，z）＝____________或 ____________。

答案：（6，－2，1）；（4，－2，1）

解析：│x－5│＝1 且│y＋2│＝0 且（z－1）²＝0  x＝6 或 4，y＝－2，z＝1 所以序組（x，y，z）＝（6，－2，1）或（4，－2，1）

17. 已知 x＞5，試解不等式｜x－5｜＜｜2x－4｜答：______________________。

答案：x＞5

解析：∵x＞5 ∴｜x－5｜＜｜2x－4｜＝2｜x－2｜

 x－5＜2（x－2）  x－5＜2x－4  x＞－1  x＞5

18. 不等式｜x  1｜｜x  3｜  6 的解為____________﹒

解答 x4或x 2

解析 ①若x3﹐則 x + 1 +x  3  6﹐x  4﹐

②若  1 x 3﹐則 x + 1  x + 3  6﹐0  2﹐無解

③若 x < 1﹐則x  1  x + 3  6﹐x 2﹐ 由①②③知 x4或x 2