3.2

3.2 微 微 微積 積 積 分 分 分基 基 基本 本 本定 定 定理 理 理

3.2. 微積分基本定理 69





 習題解答 3.1.14.

若在 [a, b] 中沒有任何點 c 滿足 f(c) = ¯f , 又因為 y = f (x) 是連續函數, 因此只有兩種 可能：(1) 對所有 a ≤ x ≤ b, f(x) < ¯f ; (2) 對所有 a≤ x ≤ b, f(x) > ¯f . 但

f (x) < ¯f ⇒ ¯f =

´_b

af (x) dx b− a <

´_b

af dx¯ b− a = ¯f

得到顯然的矛盾, 因此 (1) 不可能；同理, (2) 也不可能. 這表示原先沒有任何點 c 滿足 f (c) = ¯f 的假設錯誤, 所以必有一點 c, 使得 f (c) = ¯f .

3.2 微積分基本定理





 習題解答 3.2.1.

ˆ π 0

sin x dx = lim

N→∞

∑N i=1

sin ξi∆x, 取 ξi= xi−1+ xi

2 （中點）,

則 ξ_i− ∆x

2 = x_i−1, ξi+∆x 2 = x_i.

Nlim→∞

∑N i=1

sin ξi∆x = lim

N→∞

∑N i=1

cos(ξi−^∆x₂ )− cos(ξi+^∆x₂ ) 2 sin^∆x₂ ∆x

= lim

N→∞

∑N i=1

cos xi−1− cos xi

2 sin^∆x₂ ∆x

= lim

N→∞(cos 0− cos π) · lim

∆x→0

∆x 2

sin^∆x₂

= 2· 1 = 2





 習題解答 3.2.2. (1)

ˆ _b

a

2 dx = 2x^b

a= 2(b− a) (2)

ˆ _b

a

x dx = x² 2

^b

a= 1

2(b²− a²) (3)

ˆ _b

a

x³dx = x⁴ 4

^b

a= 1

4(b⁴− a⁴) (4)

ˆ 1 0

√x dx = ˆ 1

0

x¹² dx =2 3x^321

0= 2 3 (5)

ˆ 2 1

1

x dx = ln|x|²

1= ln 2− 0 = ln 2

3.2. 微積分基本定理 69





 習題解答 3.1.14.

若在 [a, b] 中沒有任何點 c 滿足 f(c) = ¯f , 又因為 y = f (x) 是連續函數, 因此只有兩種 可能：(1) 對所有 a ≤ x ≤ b, f(x) < ¯f ; (2) 對所有 a≤ x ≤ b, f(x) > ¯f . 但

f (x) < ¯f ⇒ ¯f =

´b

af (x) dx b− a <

´b af dx¯ b− a = ¯f

得到顯然的矛盾, 因此 (1) 不可能；同理, (2) 也不可能. 這表示原先沒有任何點 c 滿足 f (c) = ¯f 的假設錯誤, 所以必有一點 c, 使得 f (c) = ¯f .

3.2 微積分基本定理





 習題解答 3.2.1.

ˆ π 0

sin x dx = lim

N→∞

∑N i=1

sin ξi∆x, 取 ξi= xi−1+ xi

2 （中點）,

則 ξi−∆x

2 = xi−1, ξi+∆x 2 = xi.

Nlim→∞

∑N i=1

sin ξi∆x = lim

N→∞

∑N i=1

cos(ξi−^∆x₂ )− cos(ξi+ ^∆x₂ ) 2 sin^∆x₂ ∆x

= lim

N→∞

∑N i=1

cos xi−1− cos xi

2 sin^∆x₂ ∆x

= lim

N→∞(cos 0− cos π) · lim

∆x→0

∆x 2

sin^∆x₂

= 2· 1 = 2





 習題解答 3.2.2. (1)

ˆ b a

2 dx = 2x^b

a= 2(b− a) (2)

ˆ b a

x dx = x² 2

^b

a= 1

2(b²− a²) (3)

ˆ b a

x³dx =x⁴ 4

^b

a= 1

4(b⁴− a⁴) (4)

ˆ 1 0

√x dx = ˆ 1

0

x¹² dx =2

3x^321₀= 2 3 (5)

ˆ 2 1

1

x dx = ln|x|²

1= ln 2− 0 = ln 2

70 第 3 章 積分

(6) ˆ 2

1

1 x² dx =

ˆ 2 1

x⁻²dx =−x^−12₁=−1

2+ 1 =1 2 (7)

ˆ π 0

cos x dx = sin x^π

0 = 0− 0 = 0 (8)

ˆ 1

−1

1

1 + x² dx = tan⁻¹x¹

−1= π 4 − (−π

4) = π 2 (9)

ˆ 1 0

√ 1

1− x² dx = sin⁻¹x¹

0= π

2 − 0 =π 2





 習題解答 3.2.3.

令 F (x) = ´_a^xf (t) dt, 則 F^′(x) = f (x). 又 ˆ g(x)

h(x)

f (t) dt = ˆ g(x)

a

f (t) dt− ˆ h(x)

a

f (t) dt = F (g(x))− F (h(x))

所以

d dx(

ˆ g(x) h(x)

f (t) dt) = (F (g(x))− F (h(x)))^′

= (F (g(x)))^′− (F (h(x)))^′

= F^′(g(x))· g^′(x)− F^′(h(x))· h^′(x)

= f (g(x))· g^′(x)− f(h(x)) · h^′(x)





 習題解答 3.2.4. (1)

(ˆ ^x2

x2 2

ln√ t dt)_′

= ln√

x²· 2x − ln

√x² 2 · x

= 2x ln x− (ln x −1

2ln 2) · x = x ln x +1 2ln 2 (2) (ˆ ^{sin x}

1

3t²dt)_′

= 3 sin²x· cos x.

(3) (ˆ ^{tan x}

0

1 1 + t² dt)_′

= 1

1 + tan²x· sec²x 1

sec²x · sec²x = 1.

(4) (ˆ ^tan−1x

0

sec²t dt)_′

= (sec tan⁻¹x)²· 1

1 + x² = (√

1 + x²)²· 1 1 + x² = 1.

(5)

(ˆ ^√x

−√x

sin(t²) dt)_′

= sin(√ x²)· 1

2√

x − sin(−√

x)²· (− 1 2√

x)

= sin x· 1 2√

x− sin x · (− 1 2√

x) = sin x

√x

70 第 3 章 積分

(6) ˆ 2

1

1 x² dx =

ˆ 2 1

x⁻²dx =−x^−12₁=−1

2+ 1 =1 2 (7)

ˆ π 0

cos x dx = sin x^π

0 = 0− 0 = 0 (8)

ˆ 1

−1

1

1 + x² dx = tan⁻¹x¹

−1= π 4 − (−π

4) = π 2 (9)

ˆ 1 0

√ 1

1− x² dx = sin⁻¹x¹₀= π

2 − 0 =π 2





 習題解答 3.2.3.

令 F (x) = ´_a^xf (t) dt, 則 F^′(x) = f (x). 又 ˆ g(x)

h(x)

f (t) dt = ˆ g(x)

a

f (t) dt− ˆ h(x)

a

f (t) dt = F (g(x))− F (h(x))

所以

d dx(

ˆ g(x) h(x)

f (t) dt) = (F (g(x))− F (h(x)))^′

= (F (g(x)))^′− (F (h(x)))^′

= F^′(g(x))· g^′(x)− F^′(h(x))· h^′(x)

= f (g(x))· g^′(x)− f(h(x)) · h^′(x)





 習題解答 3.2.4. (1)

(ˆ ^x2

x2 2

ln√ t dt)_′

= ln√

x²· 2x − ln

√x² 2 · x

= 2x ln x− (ln x −1

2ln 2) · x = x ln x +1 2ln 2 (2) (ˆ ^{sin x}

1

3t²dt)_′

= 3 sin²x· cos x.

(3) (ˆ ^{tan x}

0

1 1 + t² dt)_′

= 1

1 + tan²x· sec²x 1

sec²x · sec²x = 1.

(4) (ˆ ^tan−1x

0

sec²t dt)_′

= (sec tan⁻¹x)²· 1

1 + x² = (√

1 + x²)²· 1 1 + x² = 1.

(5)

(ˆ ^√x

−√x

sin(t²) dt)_′

= sin(√ x²)· 1

2√

x − sin(−√

x)²· (− 1 2√

x)

= sin x· 1 2√

x− sin x · (− 1 2√

x) = sin x

√x

1

70 第 3 章 積分

(6) ˆ 2

1

1 x² dx =

ˆ 2 1

x⁻²dx =−x^−12

1=−1

2+ 1 =1 2 (7)

ˆ _π

0

cos x dx = sin x^π

0 = 0− 0 = 0 (8)

ˆ 1

−1

1

1 + x² dx = tan⁻¹x¹

−1= π 4 − (−π

4) = π 2 (9)

ˆ ₁

0

√ 1

1− x² dx = sin⁻¹x¹

0= π

2 − 0 =π 2





 習題解答 3.2.3.

令 F (x) = ´_a^xf (t) dt, 則 F^′(x) = f (x). 又 ˆ g(x)

h(x)

f (t) dt = ˆ g(x)

a

f (t) dt− ˆ h(x)

a

f (t) dt = F (g(x))− F (h(x))

所以

d dx(

ˆ g(x) h(x)

f (t) dt) = (F (g(x))− F (h(x)))^′

= (F (g(x)))^′− (F (h(x)))^′

= F^′(g(x))· g^′(x)− F^′(h(x))· h^′(x)

= f (g(x))· g^′(x)− f(h(x)) · h^′(x)





 習題解答 3.2.4. (1)

(ˆ ^x2

x2 2

ln√ t dt)_′

= ln√

x²· 2x − ln

√x² 2 · x

= 2x ln x− (ln x −1

2ln 2) · x = x ln x +1 2ln 2 (2) (ˆ ^{sin x}

1

3t²dt)_′

= 3 sin²x· cos x.

(3) (ˆ ^{tan x}

0

1 1 + t² dt)_′

= 1

1 + tan²x· sec²x 1

sec²x · sec²x = 1.

(4) (ˆ ^tan−1x

0

sec²t dt)_′

= (sec tan⁻¹x)²· 1

1 + x² = (√

1 + x²)²· 1 1 + x² = 1.

(5)

(ˆ ^√x

−√x

sin(t²) dt)_′

= sin(√ x²)· 1

2√

x − sin(−√

x)²· (− 1 2√

x)

= sin x· 1 2√

x− sin x · (− 1 2√

x) = sin x

√x

3.3. 基本積分技巧 71

(6)

(ˆ ^√x

−√x

sin(t³) dt)_′

= sin(√

x)³· 1 2√

x− sin(−√

x)³· −1 2√

x

= sin(√

x)³· 1 2√

x− sin(√ x)³· 1

2√ x = 0 註 sin t³ 是奇函數, 積分範圍對稱於原點, 所以原定積分已等於 0.

3.3 基本積分技巧

3.3.1 分部積分法 ←→ 萊布尼茲法則





 習題解答 3.3.1.

取定 u = x, dv = e^xdx, 選擇 v = e^x+ m, 則

´ xe^x dx = ´ xd(e^x+ m)

= x(e^x+ m)−´

e^x+ m dx

= xe^x+ mx− e^x− mx + C

= xe^x− e^x+ C 由上述可知, v 取成 e^x+ m 並不會影響答案.





 習題解答 3.3.2.

((x²− 2x + 2)e^x+ C)_′

= (

x²e^x− 2xe^x+ 2e^x+ C)_′

= 2xe^x+ x²e^x− (2e^x+ 2xe^x) + 2e^x = x²e^x





 習題解答 3.3.3. (1) ´

x³e^xdx 即 E3(x), 利用例 3.3.2 公式可得 E₃(x) = x³e^x− 3E2(x)

= x³e^x− 3(x²e^x− 2(xe^x− e^x)) + C

= x³e^x− 3x²e^x+ 6xe^x− 6e^x+ C (2) ´

x⁴e^xdx 即 E4(x), 利用例 3.3.2 公式可得 E4(x) = x⁴e^x− 4E3(x)

= x⁴e^x− 4[x³e^x− 3(x²e^x− 2(xe^x− e^x))] + C

= x⁴e^x− 4x³e^x+ 12x²e^x− 24xe^x+ 24e^x+ C

2