3-2 指 數 函 數
（每題 5 分﹐共 30 分）
1. 已知右圖為
y
=2x﹐y
=2−x﹐y
= 與3xy
=3−x的部分圖形﹒(1)請判別
y
= 的圖形為3x C ﹒(2)四數20.7﹐2−0.7﹐3 ﹐0.7 3−0.7中﹐最小的數為 3−0.7 ﹒ 解：(1)因x> 時﹐ 30 x >2x > ﹐ 1
知 y= 的圖形為 C﹒ 3x
(2)因x> 時﹐ 30 x >2x > >1 2−x >3−x﹐ 知最小的數為3−0.7﹒
2. 指數函數
f x
( )=a
x﹐其中a > 0
且a ≠ 1
﹐下列何者正確？(1) (
f x
+y
)=f x
( )+f y
( ) (2) (f x
+y
)=f x
( )⋅f y
( ) (3) (f xy
)=f x
( )+f y
( ) (4) (f xy
)=f x
( )⋅f y
( )﹒ 解： f x( +y)=ax y+ =ax⋅ay = f x f y( ) ( )﹐( ) ( )f xy = ax y﹐
知 (f x+y)= f x f y( ) ( )﹐ 故選(2)﹒
3. 對任意實數 x 而言﹐試求
2 2
( )
27x +3 的最小值﹒
解：因 2 2 2 3 3 x + ≥ ﹐
由指數函數圖形知：
2 2 2 2
3 2
3 3 3
27x + ≥27 =(3 ) =3 = ﹐ 9 知最小值為 9﹒
4. 請判別下列各函數所對應的圖形：
(A) (B) (C) (D)
(1)
y
=2x+ (2)1y
=2x−1 (3)y
= ⋅ (4)2 2xy
=2| |x﹒ 解：(1) (A)﹒ (2) (C)﹒ (3) (B)﹒ (4) (D)﹒5. (1)試求
y
=2x與y = − x
兩圖形交點的個數﹒(2)試求方程式 2x+ = 實數解的個數﹒
x
0 解：(1)作y= 與 y2x = − 的圖形﹐ x兩圖形有一個交點﹒
(2)交點的 x 坐標﹐即方程式的解﹐
知恰有一實數解﹒
6. 試求
y
=4x+ 與2y
= ⋅ 兩圖形交點的坐標﹒ 3 2x 解：解方程式 4x+ = ⋅ ﹐ 2 3 2x即 (2x−1)(2x−2)= ﹐ 0 得x= 或0 x= ﹐ 1
故所求交點為 (0,3) 與 (1,6) ﹒
（每題 5 分﹐共 30 分）
1. 解下列不等式：
(1)4x− ⋅3 2x−1− > ﹒ (2)1 0 2x+1+22−x− < ﹒ 6 0 解：(1)(2 )2 3 2 1 1 0
2
x − ⋅ ⋅ − > ﹐令x t=2x > ﹐ 0
整理得2t2− − > ﹐ (2 1)(3t 2 0 t+ t−2)> ﹐得0 t> ﹐即 22 x > ﹐知2 x> ﹒ 1 (2) 2 2⋅ x + ⋅4 2−x − < ﹐令6 0 t=2x > ﹐ 0
整理得t2− + < ﹐ ( 1)(3t 2 0 t− t− < ﹐ 2) 0 得1< <t 2﹐即1 2< x<2﹐知0< <x 1﹒
2. 設
f x
( )=4x−2x+1− 且1− ≤ ≤ 1 x 1
﹐若 ( )f x 的最小值為 f a ﹐試求 a 及 ( )
( )f a 的
值﹒解： f x( )=(2 )x 2− ⋅2 2x− ﹐令1 t= ﹐ 2x 整理得 f x( )= − − 且t2 2t 1 1
2≤ ≤ ﹐即t 2 f x( )= −(t 1)2− 且2 1
2≤ ≤ ﹐ t 2 知t= 時 ( )1 f x 有最小值 2− ﹐即 2x = ﹐在1 a= 時有最小值 ( )0 f a = − ﹒ 2
3. 設
f x
( )=4x+4−x−2(2x+2 ) 3−x + ﹐其中 x 為實數﹐則 (1)若t
=2x+2−x﹐請用 t 表示 ( )f x ﹒
(2)試求
f x 的最小值﹒
( )解：因t=2x+2−x時﹐t≥ 且2 t2=4x + +2 4−x﹒ (1) f x( )=(t2− − ⋅ + ﹐2) 2 t 3 f x( )= − + ﹒ t2 2t 1
(2) f x( )= −(t 1)2且t≥ ﹐知2 t= 時﹐ ( )2 f x 有最小值 1﹒
4. 解不等式
( ) 5 ( ) 4 41
4 5 20
x
+
x<
﹒解：令 ( )5 4
t= x﹐化為 t 的不等式 1 41 t 20
+ <t ﹐
因t> 得0 20t2−41t+20< ﹐即 (5 4)(4 5) 00 t− t− < ﹐
得 4 5
5< < ﹐即t 4 4 5 5 5 ( )4 4
< x< ﹐知 1− < <x 1﹒
5. 已知
( ) 1 (3 1) 20
f x =
x−
與y = x
的圖形交於原點與 (4, 4) ﹐試觀察y
=f x
( )與y = x
的函數圖形﹐並判斷下列選項何者正確？(1) ( 0.7)
f
− < −0.7 (2) (3.1)f
<3.1 (3) (4.1)f
<4.1﹒ 解：知 ( 0.7)f − > −0.7﹐ (3.1) 3.1f < ﹐ (4.1) 4.1f > ﹐故選(2)﹒
6. 已知
f x
( )=2x+2−x與g x
( )=ax
2兩圖形都對稱於 y 軸﹐且兩圖形相交於相異兩 點 A﹐B 時﹐AB
= ﹐試求 a 值﹒ 6解：因 ( ) 2f x = x +2−x與g x( )=ax2兩圖形都對稱於 y 軸﹐
設 ( , )A
α
t ﹐ (B −α
, )t ﹐則知AB=2α
= ﹐6α
= ﹐ 3由 65
(3) 8
f = ﹐ (3) 9g = a﹐ 知 65 8 9
t= = a﹐得 65
=72
a ﹒
（每題 8 分﹐共 40 分）
1. 假設在實驗室中有一群果蠅﹐其數量為依指數成長的函數：
( )
f t
= ⋅r
5kt﹐t 表時間的天數﹐r﹐k 為常數﹒已知在第 2 天之後有 150 隻﹐在第 4 天之後有 450 隻﹒試問在開始實驗時有 幾隻果蠅？
解： f(2)= ⋅r 52k =150﹐ f(4)= ⋅r 54k =450﹐ (4) 2
5 3 (2)
f k
f = = ﹐得r=50﹐
1
5k =32﹐
知 ( ) 50 32
t
f t = ⋅ ﹐得 (0) 50f = （隻）﹒
2. 右圖為某池塘中布袋蓮蔓延的面積與時間關 係圖﹒假設其關係為指數函數﹐試問下列敘述 何者為真？
(1)此指數函數的底數為 2﹒
(2)在第 5 個月時﹐布袋蓮的面積就會超過30 m ﹒ 2 (3)布袋蓮從4 m 蔓延到2 12 m ﹐只需要 1.5 個月﹒ 2
(4)設布袋蓮蔓延到2 m ﹐2 3m ﹐2 6 m 所需的時間分別為2
t ﹐
1t ﹐
2t ﹐則
3t
1+ = ﹒t
2t
3 (5)布袋蓮在第 1 到第 3 個月之間的蔓延平均速度等於在第 2 到第 4 個月之間 的蔓延平均速度﹒解：指數函數為 ( ) 2f x = x﹐x≥0﹒ (1)指數函數的底數為 2﹒
(2) f(5)=25 =32>30﹒
(3) f(2)=22 = ﹐4 f(3.5)=23.5=8 2<12﹒
(4) f t( )1 = ﹐2 f t( )2 = ﹐3 f t( )3 = ﹐得6 2t1 = ﹐2 2t2 = ﹐3 2t3 = ﹐ 6
2t1+t2 = × = =2 3 6 2t3﹐得t1+ = ﹒ t2 t3 (5)由 (3) (1) 8 2
2 2 3
f − f −
= = ﹐ (4) (2) 16 4
2 2 6
f − f −
= = ﹐
知道蔓延平均速度不同﹒ 故選(1)(2)(4)﹒
3. 地震規模的大小通常用芮氏等級來表示﹒已知芮氏等級每增加 1 級﹐地震震 幅強度約增加為原來的 10 倍﹐能量釋放強度則約增加為原來的 32 倍﹒現假 設有兩次地震﹐所釋放的能量約相差 100000 倍﹐依上述性質則地震震幅強 度約相差幾倍？請選出最接近的答案﹒
(1)10 倍 (2)100 倍 (3)1000 倍 (4)10000 倍﹒
解：等級增加 1 級﹐震幅增為 10 倍﹐能量增為 32 倍；
等級增加 2 級﹐震幅增為10 倍﹐能量增為2 32 倍； 2
因32n=100000⇒25n=105⇒2n =10﹐ n≈ 得地震震幅約增為3 10 倍﹒ 3 4. 牛頓冷卻定律是描述一個物體在常溫環境下溫度的變化﹐物體的原始溫度為
θ ﹐而經 t 分鐘冷卻後溫度為θ ﹐滿足：1 θ θ
=
0+ (
θ θ1−
0) e
−kt﹐其中θ 表物體0 周圍的溫度﹐常數 k 是物質的特性﹒今有一杯熱茶用 95℃的開水沖泡﹐放置 在 31℃的環境中﹐測得 5 分鐘後﹐熱茶的溫度為 63℃﹐試問再經過 30 分鐘 後﹐熱茶的溫度最接近(1)32℃ (2)35℃ (3)38℃ (4)41℃ (5)44℃﹒
解：由63=31 (95 31)+ − ⋅e−5k﹐ 得 5 1 2 e− k = ﹐ 知
θ
=31 (63 31)+ − ⋅e−30k﹐因 30 5 6 1 6 1 ( ) ( )
2 64
k k
e− = e− = = ﹐得 1
31 (63 31) 31.5
θ
= + − ⋅64 = ﹐知θ
= 31.5℃﹒5. 數學教科書所描繪以 2 為底的指數函數
y
=2x的圖形中﹐請善用圖形曲線凹 口向上的特性﹐已知π≈ 3.14
﹐設a
=2π﹐b
=2π+1﹐c
=2π+2﹒試判別a + c
與2b
的大小﹒解：因y= 圖形曲線凹口向上﹐ 知2x 2 a c
+ b
> ﹐得a+ >c 2b﹒
…
