正參】045

國立空中大學 108 學年度下學期期末考試題【 正參】045

科目：商用微積分 一律橫式作答 頁

1.反導函數與特解(20%)

(1)先利用 f ' x( )4x³3x²1，求出反導函數(10%) (2)再利用初始條件 f(1) 3 ，求出特解(5%)

(3)試以上述反導函數與初始條件求出特解的概念，說明為何當給定某國的邊際消費傾向，可求出該 國的消費函數？(5%)

參考課本P272-P276 答

(1) f ' x( )4x³3x²1， f x( )



(3)邊際消費傾向之反導函數為消費函數。求出反導函數的通解對於一個微分方程而言，其解往往不 止一個，而是有一組，加入初始條件解出特解才會使解限定在一個。

2.面積與定積分(20%)

(1)已知函數 f x( )3x²2x5，求其反導函數F x( )(10%) (2)試求反導函數F x( )在區間 1,3 的平均值(10%)

參考課本P279-P282 答

(1)





(2) ^{3 2 3 2 3 3 2}

1 1

1 1 1

(3 2 5) ( 5 ) (3 3 15) (1 1 5) 14

3 1



3.兩函數圖形圍成區域之面積(20%) (1)先畫出函數 f x( ) x 1之圖形(5%) (2)再畫出函數g x( )x²1之圖形(5%) (3)求出兩圖形交點之 x 值(5%)

(4)求解兩函數圖形圍成區域之面積(5%) 參考課本P290-P295

答

( ) 1 ( ) 2 1 f x  x 與g x x 

2 1 1,

x   x x²  x 2 0 2 1

x 或

   

2 2

1

1 1

x x dx

     



 

2 2

1

2

x x dx





2

3 2

1

1 1

3x 2x 2x



 

    

8 1 1 9

2 4 2

3 3 2 2

   

         

4.代換積分法(20%) (1)已知不定積分

3

4 1

x dx x 



3

4 1

x dx x 



參考課本P300-P310 答

(1)

3

4 1

x dx x 



令𝑢 = 𝑥⁴+ 1, 𝑑𝑢 = 4𝑥³𝑑𝑥 , 𝑥³𝑑𝑥 =¹

4𝑑𝑢 則原式可改寫為∫ ^𝑥3

√𝑥⁴+1𝑑𝑥 = ∫ ¹

√𝑢∙¹

4𝑑𝑢 =¹

4∫ 𝑢⁻

1

2𝑑𝑢 =¹

4∙ 2√𝑢 + 𝐶 = ¹₂√𝑢 + 𝐶 (2)∫ ^𝑥3

√𝑥⁴+1𝑑𝑥 =¹

2√𝑥⁴+ 1 + 𝐶

5.綜合題(20%)

空大公司有一連續所得，其營運第t年的連續所得函數為 f t( )te^0.03t（萬元），並以利率 8%連續複利 計息，若要求其永續所得的現值，請依序回答下列問題。

(1)請將算式列出。

(2)算式中需要用到瑕積分概念求解，請解釋原因，並說明其為課本中分類的何種類型？

(3)請以分部積分法求解，並說明選擇 u v與 的原因。

(4)計算過程的最後需使用羅必達定理，請解釋其原因，並完成求解。

參考課本 P335-P340 答

(1) ^{0.03 0.08 0.05}

0 0

. . lim ^{b t t} lim ^{b t}

b b

P V te ．e^ dt te^ dt

 







(2)因為是永續所得，上下限至少有一個是無窮大，故需運用瑕積分求解，此型為教材中的類型 1。

參考課本 P322-P323 (3)令 ut，dve^0.05tdt

則 dudt，v



原式 ^{0.05 0.05 0.05 0.05}

0 0 0

lim 20 ^{t b b} 20 ^t lim 20 ^b 0 400 ^{t b}

b te^ e^ dt b be^ e^

 

   

  



(4) ^{0.05 0.05} 20 400

lim 400

400

b b

b

b

e e



 

    



（利用羅必達定理）

（萬元）

參考課本 P247-P257