正參】045 科目：商用微積分

1

國立空中大學 108 學年度下學期期中考試題【 正參】045

科目：商用微積分 一律橫式作答 頁

 答案卷請標明題號，字體務必工整，並詳列計算過程，只寫最後結果不予計分。

 答案請掃描後於 109/04/20，24：00 前寄至命題教師信箱 [email protected]。

（檔案名稱：期中考學號OOO 姓名 OOO，例如：期中考 107070 陳卓泰），逾時不候。

1. 導 數與 導 函數(20％)

(1)試分別利用(a)乘法規則(b)乘開後再微分(c)冪函數的連鎖律等三種方式，

求 d ( ² 1)²

dx x  。(15％)

(2)比較三種方法的差異。(5％) 答 ：參 考 課 本 CH3-2

(a) 乘法 規 則： d ( ² 1)² d (( ² 1)( ² 1))

x x x

dx  dx  

2 2

2 2 2 2 2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 4 ( 1)

x x

x  x x x  x x

       

(b) 乘開後再微分： ₍ ² _1)² _{ (x}⁴ _2x² _1)4x³ _4x4x(x² _1) dx

x d dx

d

(c)冪函數的連鎖律： ( 1) 2( 1)( 1) 4 ( ² 1)

2 2 2

2

2   x  x   x x 

dx x

d ^x

2. 隱函數微分法(20％)

(1)分別以(a)隱函數微分法(b)顯函數微分法求(xy)³1的dy dx/ ， (c)求導數在點(0, 1) 的 值。(15％)

(2)比較隱函數微分法與顯函數微分法的不同。 (5％) 答 ：參 考 課 本 CH3-4

2 (xy)31

隱函數微分

1

0 ) ( ) ( 3

1 )

(

1 2 3



















dx dy

y dx x y d x

dx y d dx x

d

dx dy







顯函數微分

1 1 1 1 )

( ³





















dx dy

x y

y x

y x

(0, 1) |_(0,1)1 dx

dy

3. 偏微分的應用(20％)

假設無異曲線為^{U0 U x y( , )}





(1) 何謂無異曲線？為何要以無異曲線描述消費者的偏好？(5％) (2) 試求出無異曲線上任一點的切線斜率。(10％)

(3) 就上述(2)小題解出的結果，解釋其意義。(5％) 答：參 考 課 本 CH3-6

x 1

y



  

 

4. 指數與對數函數的應用(20％)

(1) 何謂自然指數 e ？何以計算連續複利的公式中會包含自然指數 e ，請敘明您的看法(10％) (2) 以年利率 6% 連續複利計息，試問需經多久才能使存款額增加一倍？(10％)

答 ： 參 考 課 本 CH4-1

(1)數 學 常 數 ， 是 自 然 對 數 函 數 的 底 數 。 有 時 被 稱 為 歐 拉 數 （ Euler's number） ， 以瑞 士 數 學家 歐拉 命名 ， 是 一個 無 限 不循環 小 數，數 值約是 2.71828。

e 代表 成 長 有 其極 限， 以函 數圖 形 而言 ， 隨著 x 增 加 且 趨 近於 無 窮 大 時 ， e 將 收 斂 至 2.71828。

1) 2.71828 1

(

lim  

 

x

x x

e

(0.06)

(0.06) 0.06

(2)2

2 ln 2 ln 0.06

ln 2 11.55 0.06

t

t t

P A Pe

e e t

t

．

（年）

= =

= ? =

= =

3

5. 價 格 需 求彈 性(20％)

(1) 設反需求函數P36Q²，其中P0且Q0，求P11時的價格需求彈性。(10％) (2) 請將上題反需求函數P36Q²，改寫為需求函數型式，即QF P( )，並解釋兩者差異。

(10％)

答：參 考 課 本 CH4-5 P11 Q 5

^{1 11} 0.22

2 50

P

dQ P P

e dP Q Q Q

 

        

 