數學學科筆試

國立成功大學數學系 107 學年度 學士班申請入學

數學學科筆試

1 0 e i ^  

准考證號碼：

姓名：

試題說明：

1. 本試題含九大題，總分一百分。測驗時間：150 分 鐘

2. 請在每一試題所屬頁面作答，若使用試題背面，

請標示清楚。

3. 請完整寫出解答過程。

題號 滿分 得分

1 10

2 10

3 10

4 10

5 15

6 15

7 10

8 10

9 10

總分

1. (10%)假設0a 且1 ² 1₂ b a a 2

  a  ，試求出 ab 之值。

2. (10%)假設a為實數，證明多項式方程式x³x² x a0只有一個 實根。(可參考提示：可假設此多項式方程式的三個根分別為

   ，並計算, , ²²²之值)。

3. (10%)令C 表示一半徑為¹ 1的圓而T 表示¹ C 的一個圓內接正三角¹ 形，定義C 為² T 的內切圓，再取¹ C 的一圓內接正三角形² T 依此類² 推得到圓C C², ³,,C_n,。試問n為多少時，C 的半徑開始小於ⁿ

1

1000。(log 20.3010)

4. (10%)圓錐曲線Q為以下二次曲線方程所決定

2 2

2x 4xy5y 4x16y2 。 0 (a) (5%)請找出一個旋轉矩陣 cos sin

sin cos

M  

 

  

  

 

，使得在新坐標 '

'

x x

y M y

   

   

   

下，原方程可以化簡為以x y', '為變數的標準二 次曲線方程。(提示：標準式沒有交錯項x y' '項)。

(b) (5%)請判斷Q為橢圓、雙曲線、或是拋物線並找出其焦點。

5. (15%)記空間中的原點為O (0,0,0)，並給定三個點A (1, 0, 2)， (1,1, 0)

B  ，C (0, 2, 3)。 O

平面V

(a) (5%)若V 是過點A B C, , 的平面，試求 OA

與平面V 的夾角。

(b) (5%)試求OA

至平面V 的正射影。

(c) (5%)試求四面體OABC 的體積。

A

6. (15%) 我們將計算正十二面體之兩面角，正十二面體圖如下圖所 示。

下圖為截取上方圖中十二面體的一部分。

已知a b c  , ,

長度均為1，且x y ,

皆垂直於 c

，如圖所示。

記 為x y ,

的夾角。若a c ,

的夾角與b c ,

的夾角為，且a b , 的夾 角為  。

(a) (5%)請以a b c  , ,

與  來表示, x y ,

。

(b) (5%)請以  的三角函數值表示 cos 。 ^,

(c) (5%)試計算 cos 36 ，並由(b)算出正十二面體相鄰兩面的兩面角

之 cos 值。(提示：若A 36 則 2A3A)。

(本頁空白)

7. (10%) 某扭蛋機裡面包含 3 種不同款式之扭蛋無限個。假設每投幣 10 元會掉下一顆扭蛋而獲得任一款式的機率均為¹

3。假設每次投 幣所獲得的扭蛋款式不受其他次投幣結果影響。試求

(a) (5%) 集滿 3 種不同款式扭蛋所需投幣次數小於等於 5 的機率。

(b) (5%) 要集滿 3 種不同款式之扭蛋所需花費之期望值(提示: 定義a 為已_k 收集到 k 種不同款式的扭蛋情況下要達成目標所需的剩餘投幣次數期望 值, k 0,1, 2, 3。很明顯地，a  。找出₃ 0 a a a a 彼此間的關聯)。 ₀, ₁, ₂, ₃

8. (10%) 籃球比賽規則中，每次被犯規罰兩球且每投進一球得 1 分。假設阿中 被犯規 3 次，試求在下列不同情況下阿中從罰球中恰好獲得 4 分的機率是多 少?

(a) (5%) 每次罰球命中率均為 7 成。(可用組合數C_n^m表示答案)

(b) (5%) 每次被犯規的第一次罰球命中率均為 7 成。 若第一球有進籃則第 二球之命中率也是 7 成。若第一球沒進則會受心理壓力影響，第二球命 中率降為 6 成。

9. (10%) 某次數學測驗共有 25 題是非題，每答對一題得 4 分，答錯倒扣 1 分。某生確定其中 15 題可答對而剩餘的 10 題全亂猜(猜對的機率是 0.5)。

試問他這次測驗得分之期望值為多少? (可用組合數C_mⁿ表示答案)