高級中學數理及資訊學科能力競賽複試試題 數學科筆試（一） 參考解答

100 學年度台灣省第十區(屏東區)

高級中學數理及資訊學科能力競賽複試試題 數學科筆試（一） 參考解答

注意事項：

(1)時間分配：2 小時

(2)本試卷共四題，滿分 49 分。第一題 13 分，第二題 12 分，第三題 12 分，第四題 12 分。

(3)將計算ヽ證明過程依序寫在答案卷上。不可使用電算器。

(4)試題與答案卷一同繳回。

一、證明：sin 13

 2

sin 13

 …sin⁶ 13

 ＝

6

13 2

【參考解答】 設 2 2

cos sin 13 i 13

  ， 則 ¹³1，

 是 x¹³ 1 0 的一虛根，其餘的虛根分別是²、³、…、¹¹、¹²。

12 11

x x … x1＝(x) (x²)…(x¹¹)(x¹²)

令 x1 代上式得 13＝(1)(1²)…(1¹¹) (1¹²)，再兩邊取絕對值 得

13＝ 1 1² …1¹¹ 1¹²

1^k  2 ^{2 2}2

(1 cos ) sin

13 13

k k

  ＝ 2

2 2 cos 13

k

  4sin² 13

k 2sin 13 k

13 ＝ 1 1² …1¹¹ 1¹²

＝ 2¹² sin 13

 2

sin13

 … 6 sin13

 7 sin13

 8 sin13

 … 11 sin 13

 12 sin 13



＝ 2¹² sin 13

 2

sin13

 … 6 sin13

 6 sin13

 5 sin13

 … 2 sin13

 sin 13



D

I C

A

B

＝ 2¹² 2 (sin sin

13 13

 

… 6 ² sin )

13



 sin 13

 2

s i n 13

 …sin⁶ 13

 ＝

6

13 2

。

二、已知I為ABC的內切圓之圓心，且 CA AI BC，如果CBA k BAC， 試求k 值。

【參考解答】 ¹

k 2

使得ADAI，如圖所示。 CA AI BCCDBC CDB 為等腰三角形。

又 I 在DCB角平分線上，且 I 為ABC的內切圓之圓心，

 C D I  C B I C D I ，又 ADIC B I 為等腰三角形，

1 1

2 2

2 CAB CAI CDI CBI CBA CBA 2 BAC

              ，

所以 ¹ k 2。

三、令 x 為大於零的實數，試求

2 4

2 4

x x

x

  

的最大值

【參考解答】

Sol:

2 4 2 4 2 4

2 4

2

2 4

2 4

2 2

2 4 ( 2 4)( 2 4)

( 2 4)

4

( 2 4)

4

1( 2 4) 4

2 4

( )

x x x x x x

x x x x

x

x x x

x x

x

x x

x x

         

  

   



  



  

因為 2

2 2

x x 且 ² 4₂ 4

x  x  所以

2 4

2 4 4

2 2 2 2 2 2

x x

x

     

 當x 2時 等式成立

四、設方程式x³  x 1 0的三個根為₁、₂、₃。試求

3

8 8 8

1 2

    的值。

【參考解答】

已知_i³ _i1。可得_i⁴  _i² _i。

及_i⁸ ( _i² _i)² _i⁴2 _i³ _i²  _i² _i 2(_i 1) _i² 2_i²3_i2。

所求  ₁⁸ ₂⁸ ₃⁸ 2(  ₁² ₂² ₃²) 3(   ₁  ₂  ₃) 6 。

由根與係數關係可得  ₁  ₂ ₃ 0及

2 2 2 2

1 2 3 ( 1 2 3) 2( 1 2 2 3 1 3) 2

                  。

即所求為  ₁⁸ ₂⁸ ₃⁸ 2(  ₁² ₂² ₃²) 3(   ₁  ₂  ₃) 6 10  。