第 16 章行列式與方陣的逆矩陣

(1)

第 16 章行列式與方陣的逆矩陣

教學例題

(16A001) 教學例題 16.1

設 

 



 8 5

2

A 3 及 

 





 

1 2

2

2 x

B x 。

(a) 計算 det A 的值。

(b) 若 det A = det B，求 x 的可能值。

(16A002) 教學例題 16.2

證明 3 5

2 4

5 2 3

2

d c

b a b d a c

b

a 



 。

(16A003) 教學例題 16.3 計算

5 0 1

3 1 2

0 2 3

及

5 0 3

3 1 6

0 2 9

的值。

這兩個行列式之間有甚麼關係呢？

(16A004) 教學例題 16.4 設

6 3 1

7 4 1

8 5 2 det





A 。

求元素「7」的子行列式及餘子式。

(2)

(16A005) 教學例題 16.5

根據下列各方法，利用展開定理

計算

2 0 3

1 2 4

3 1 2

的值。

(a) 按第三行展開 (b) 按第二列展開

(16A006) 教學例題 16.6

設 















d n c

b m a

A 0 1 0 。

按某一行展開行列式，並證明 det

d c

b A a 。

(16A007) 教學例題 16.7

設 

















x x A

5 1 2

2 1 1

2 0

、B =



















 x x

4 3 1

2 0 1

0 1

及 



 





1 3

2 x

C x 。

(a) 展開 det A、det B 和 det C。

(b) 若 (det C)(det A + det B) = 0，求 x 的值。

(16A008) 教學例題 16.8

設 















i h g

f e d

c b a

A ，證明   0

h g

b i a i g

c h a i h

c

g b 。

(3)

(16A009) 教學例題 16.9

若 8

3 2 1



 c c c

b b b

a a a

，求下列各行列式的值。

(a)

1 1 1

3 3 3

2 2 2

c b a

(b) 2 2 2

3 2 1

c c c

a a a

b b b



(16A010)

教學例題 16.10 設 A 為方陣及

5 detA1。

(a) 若 A 為 3  3 矩陣，求 det(5A)。

(b) 若 A 為 2  2 矩陣，求 det(5A^T)。

(16A011)

教學例題 16.11 展開下列各行列式。

(a)

2 2

2

3 3

3

1 2

3



 b c

a

(b)

1 1













c c c

b b b

a a a

(16A012)

教學例題 16.12

試不用直接展開的方法，計算下列各行列式的值。

(a)

2 5 4

2 5 2

1 1 1



(4)

(b)

2 4 1

6 1 3

5 2 4

(16A013)

教學例題 16.13

計算下列各行列式的值。

(a)

15 4 2

9 2 1

3 6 4



(b)

7 1 2 3 2

5 1 2 3

7 1 5 2 3 1



(16A014)

教學例題 16.14

因式分解

2 3

c c c

b b b

a a a

。

(16A015)

教學例題 16.15

證明 ( )( )( )( )

1 1 1

2 2 2

3 3 3

ca bc ab a c c b b a c

b a

c b a





 。

(16A016)

教學例題 16.16

(a) 設 



 







 

1 0

0

A 1 ，證明 AA^TA = –I。

(b) 設 B 和 I 分別為 2  2 矩陣和單位矩陣。若 BB^TB = –I，求 det B 的值。

(5)

(16A017)

教學例題 16.17

設 



 







 

2 4

6

A 7 及 



 



 1 0

0

I 1 。

(a) 計算 det(A + I) 的值。

(b) 求 det(A² + I) 及 det(A³ + I)。

(c) 由此，或用其他方法，求 det(A⁷ + I)。

(16A018)

教學例題 16.18

設 A 為方陣，使 A²+ 5A – 2I = 0。證明 A 為非奇異矩陣。

(16A019)

教學例題 16.19

求下列各矩陣的餘子式矩陣。

(a) 



 



 5 0

3 2

(b) 













 1 2 0

0 1 1

2 1 3

(16A020)

教學例題 16.20

設 



 





11 4

5

A 2 。證明 A 是非奇異的，並求 A^–1。

(16A021)

教學例題 16.21

設 

















1 1 2

3 1 0

1 2 1

A 。

(a) 證明 A 是非奇異的，並求 A^–1。

(b) 若









 1 0 2

1 4 2

B ，求矩陣 C，使 CA = B。

(6)

(16A022)

教學例題 16.22

試判斷以下各矩陣是奇異的還是非奇異的，其中 x 和 y 均為非零實數。

(a) 



 





 x x 5 5

2 2

(b) 















y x

1 3 3

1 2 2

1 1

(16A023)

教學例題 16.23

設 A 和 B 為兩個等階的非奇異矩陣。

(a) 證明 A^–1B²A 是非奇異的。

(b) 證明若 A²  5A – I，則 (5I – A) 亦是非奇異的。

(16A024)

教學例題 16.24

設 



 



 2 3

1

A 2 。

(a) 證明 A 為非奇異矩陣。

(b) 證明 A² – 4A  I  0，並由此求 A^–1。 (c) 問 (A^–1)² – 4(A^–1) + I  0 是否成立？

(16A025)

教學例題 16.25

設 



 





1 1

0

A 2 及 



 



 6 2

0

B 2 。

(a) 證明 A 是非奇異的，並求 A 的逆矩陣。

(b) 證明 A^–1BA 是對角矩陣。

(c) 已知對於任意實數 x 和 y 及正整數 n， _



 







 





n n n

y x y

x

0 0 0

0 。

利用 (b) 的結果計算 B¹⁰。

(7)

(16A026)

額外教學例題 16.21

設

















2 0 0

0 1 3

0 3 1

A 。

(b) 若

















4 0 0

0 1 3

0 3 1

B ，求矩陣 C，使 AC  B  I。

(16A027)

額外教學例題 16.24

設 



 







 

2 3

1

A 2 。

(a) 證明 A 為非奇異矩陣。

(b) 若 A²  xA  yI  0，求實數 x 和 y 的值，並由此求 A^–1。

(c) 對於從 (b) 中所得的方程 A²  xA  yI  0，問 (A^–1)² + xA^–1 + yI  0 是否成立？

(16A028)

額外教學例題 16.25

設 



 



 

 3 2

1

A 2 及 



 







 

18 6

2 17 7

B 1 。

(b) 證明 A^–1BA 是對角矩陣。

(c) 已知對於任意實數 a 和 b 及正整數 n， _



 







 





n n n

b a b

a

0 0 0

0 。

利用 (b) 的結果計算 B⁵。

(8)

基礎題目

§16.1 行列式 (16B001)

根據定義，計算下列各行列式。

(a) 0 1 2 6 

(b) 3 6 7 2



(16B002)

根據定義，計算下列各行列式。

(a)

10 15

3

2 (b)

6 5 4 1

5 3 3 2



(16B003)

利用薩拉士法則，計算下列各行列式。

(a)

2 1 0

4 3 1

3 1 2



 (b)

3 2 3

2 1 4

1 0 2



(16B004)

利用薩拉士法則，計算下列各行列式。

(a)

2 1 1 4 1

4 1 1 2

1 4

1 2 1 1

(b)

4 4 4

3 3 3

2 2 2

(16B005)

設 30 5

24

detA 11 。求下列各元素的子行列式和餘子式。

(a) 元素「11」 (b) 元素「30」

(9)

(16B006)

設

5 3 2

1 3 0

3 2 1

detA  。求下列各元素的子行列式和餘子式。

(a) 元素「0」 (b) 元素「5」

(16B007)

根據下列各方法，利用展開定理計算

4 3 5

0 3 4

2 1 0



的值。

(a) 按第一行展開 (b) 按第三列展開

(16B008)

根據下列各方法，利用展開定理計算

3 2 5

0 4 3

1 2 2



的值。

(a) 按第一列展開 (b) 按第二行展開

(16B009)

展開 2

2 1

x x 

 。

(16B010)

展開 ₄ ₂

1 5

3 2



x x

x

x 。

(16B011)

展開

3 1

0 1 1

2 x

x x x



。

(10)

(16B012)

展開及因式分解

1 0

1 1 2

5 2



y y

。

(16B013)

解 0

2 1

3 



 x

x 。

(16B014)

解 1

3 2 2

1 ²  x

x 。

(16B015)

設 



 



 d c

b

A a 及 



 







 

b a

d

B c 。證明 detAdetB。

(16B016)

設 















2 0 0

0 2 x

x y x

A 及 



 







 

2 3

0 y x

y

B x 。證明 detAxdetB0。

§16.2 行列式的性質 (16B017)

計算

5 4 3

1 1 2

2 2 0



的值。

(16B018)

計算

1 4 2

4 5 4

5 1 4

的值。

(11)

(16B019)

計算

4 6 8

2 3 3

2 3 5



的值。

(16B020)

計算

2 0 1

8 12 4

4 3 3



 的值。

(16B021)

計算

7 1 5

10 7

4

6 4 2



的值。

(16B022)

若 2

3 2 1

 c c c

b b b

a a a

(a)

1 3 2

c c c

b b b

a a a

(b)

3 3 3

1 1 1

2 2 2

a b c



(16B023)

若 1

3 2 1



 c c c

b b b

a a a

(a)

4 3 2

3 1 2

c c c

b b b

a a a

(b)

7 7

7

2 2

2

3 3

3

2 2

2

3 1 3 1 3 1

b c

a

b c

a

b b c c a

a   

(12)

(16B024)

展開及因式分解 1 1 1

q p r

p r q

r q p



。

(16B025)

展開及因式分解 0

y y x

x x y

x x

。

(16B026)

展開及因式分解 1 1

1 1

a a a

。

(16B027)

試不用直接展開的方法，證明 0

12 18 7

2 3

4

10 15

1





。

(16B028)

試不用直接展開的方法，證明 0

1 tan sec

2 2









。

(16B029)

設 A 和 B 為兩個 22 矩陣，及 I 為一個單位矩陣。若 AB2I ，證明 A B

det det  4 。

(16B030)

設 A 為一個 33 矩陣。若 A^TA0，證明 detA0。

(13)

§16.3 方陣的逆矩陣 (16B031)

試判斷以下各矩陣是奇異的還是非奇異的。

(a) 



 





2 5 9

7 (b) 



 







6 9

6 4

(16B032)

(a) 



 







 1 a

b

ab ，其中 a 和 b 為實常數。

(b) 



 







a a b b

b

a ，其中 a 和 b 為正常數，且 ab。

(16B033)

(a) 













4 0 0 6 2 9

3 1 0

(b) 















 23 19 2

2 5 4

9 3 2

(16B034)

(a) 















6 3 1

30 9 5

12 0 2

(b) 















 5 10 5

2 2 3

8 1 1

(16B035)

(a) 



 





1 2

4

5 (b)



















 1 2 0

1 1 2

3 1 5

(14)

(16B036)

(a) _







 

3 2

2

3 (b)













2 1 1 3

1 4

1 5 1 4 1

3 1 2 1 1

(16B037)

求下列各矩陣的伴隨矩陣。

(a) 



 





1 0

4

2 (b)

















9 6 4

7 0 0

1 4 1

(16B038)

求下列各矩陣的伴隨矩陣。

(a) 



 







 6 1

0

3 (b)



















2 0 1

0 5 2

4 3 1

(16B039)

證明下列各矩陣是非奇異的，並求它的逆矩陣。

(a) 



 







 4 3

7

5 (b)

















1 1 0

1 0 1

1 2 2

(16B040)

證明下列各矩陣是非奇異的，並求它的逆矩陣。

(a) 



 





36 25

16

9 (b)



















2 3 1

0 10 5

6 4 3

(15)

(16B041)

設 



 





 

x x

A x

1 2

2 。求 x 的取值範圍，使 A 為非奇異的。

(16B042)

設

















2 1 3 0 2

8 1

m

m m

M 。證明除了 2 以外，對於所有實數 m， M 是非奇異的。

(16B043)

設 B 為一個方陣，使 B²7B9I 0。證明 B 是非奇異的，並以 B 和 I 表示 B 。 ^¹

(16B044)

設 Y 為一個方陣，使 Y³Y2I 6Y²。證明 Y 是非奇異的，並以 Y 和 I 表示 Y^¹。

(16B045)

設 

 



 ⁿ _n An



 1

1 ，其中  和  為方程 x² + x + k = 0 的根，且 n0。求 k 的值，使 A0 + A1

+ A2 為奇異的。

(16B046)

已知 A 和 B 為兩個非奇異的同階方陣。證明 det(ABA^¹B^¹)1。

(16B047)

設 X 為非奇異矩陣。若 X^1 X^T，證明 (X^TX)^1I。

(16)

甲部題目

§16.1 行列式 (16C001)

證明 1

1

2 2 2

2

y x x y

y x

y y

x x



 



 。

(16C002)

證明 2

10 5

2 cd b

b d cd ab b cd

d

ab  

 。

(16C003)

證明對於任意實數 x， 0

2 2

2

1 







x x

x

x 。

(16C004)

證明 1

2 1

2 2 sin ) cos (sin

cos 2

sin

1

sin ²



   



 。

(16C005)

證明 1

sin cos cos

cos sin

tan cos

2 







x x x

x x

x

x 。

(16C006)

解 3

1 2 1 

 x

x 。

(16C007)

解 1 2

1 1

2

6 7

2

1 ²

x

x x

x x x





 

 。

(17)

(16C008)

(a) 利用薩拉士法則，展開

2 2

2 2 2

x x

x x x



。

(b) 由此，解 8

2 2

2 2 2





x x

x x x

。

(16C009)

(a) 利用展開定理，展開

4 1 1

3 2

1

1 1



 x

x x

。

(b) 由此，解 0

4 1 1

3 2 1

1 1





 x

x x

。

(16C010)

設 

















1 2 3

2 0 2

5 1 a a a

A 。

(a) 求 det A。

(b) 若 det A = 16，求 a 的值。

(16C011)

設 



















 2 2

1

2 1 1

1 1

x x

B 。

(a) 利用展開定理，因式分解 det B。

(b) 由此，解 det B  0。

(18)

(16C012)

設 

















2 1 0

0 3

2 1 k

k

M 及





















3 2 0 1

1 4 5 k

k

N 。

(a) 求 M + N。

(b) 若 det(M + N) = –14，求 k 的值。

(16C013)

設 



 





1 6

2 x

A 及 



 





 

1 3

0 2

B x 。

(a) 求 AB。

(b) 若 det(AB) = –16，求 x 的值。

(16C014)

(a) 解二次方程 2x² + 3x – 2 = 0。

(b) 由此，求 a 的值，使 2 0

3 1 3 2 3 1 2 2

2



 

  a

a a

a 。

(16C015)

設 

















2 0

4

1 2 2

5 log 2 log log x

P 。

(a) 求 det P。

(b) 若 det P = 0，求 x 的值。

(16C016)

設 



















1 0

3 1

1 2 0

3 2

x x x

x x

P 。

(a) 利用展開定理，展開 det P。

(b) 求 x 的值，使 det P 取得其極小值。

(19)

(16C017)

若 、 和  為一個三角形的內角，證明













 sin sin

cos cos

cos

sin sin

sin

1 0

1





 。

(16C018)

設 



 



 a b

b

Y a ，其中 a 和 b 為實數。若 det Y = 0，證明對於任意正整數 n，Yⁿ^¹(2a)ⁿY。

(16C019)

(a) 對於任意 2  2 矩陣 [aij]_22，若 a₁₁ = a₂₂ 及 a₁₂ = a₂₁，則矩陣 [a_ij]_22 稱為 2  2 雙對稱矩陣。考慮兩個 2  2 雙對稱矩陣 P 和 Q。

(i) 證明 PQ 亦是一個 2  2 雙對稱矩陣。

(ii) 驗證 det(PQ)detPdetQ。

(b) 設 _











 











 



 







 



 







 

3 3

2 2

3 4

4 3 1 2

2

R 1 。

利用(a)的結果，求 det R。

§16.2 行列式的性質 (16C020)

試不用直接展開的方法，證明

1 25 ln 5 ln

1 15 ln 3 ln

1 10 ln 2 ln

 0。

(16C021)

展開及因式分解

x y

y x

y y x x

y x x y



。

第 16 章 行列式與方陣的逆矩陣