代數第四章目錄

(1)

代數第四章

第四章直角座標與二元一次方程式 1

學習目標...1

4.1 節平面上的直角座標 2 4.1.1 節認識直角座標...3

4.1.2 節點與座標軸的距離...15

4.1.3 節點在直角座標上的移動...20

4.1.4 節兩點的重合與對稱...28

4.1.5 節由座標求周長與面積...35

4.1.6 節象限問題...42

4.1 節習題...46

4.2 節二元一次方程式的圖形 55 4.2.1 節畫出二元一次方程式的圖形...55

4.2.2 節求直線方程式...69

(2)

4.2.3 節二元一次聯立方程式的圖解...81 4.2.4 節直線方程式的移動...89 4.2 節習題...101

4.3 節直角座標的應用題與綜合題 112

4.3 節習題...120 第四章綜合習題 124

基測與會考模擬試題130

習題解答 140

(3)

第四章直角座標與二元一次方程式

在本章中，我們將開始學習直角座標，並將前章學過的二元一次方程式應用到直角座標上，有了這些能力後，就可以解決直角座標上簡單的圖形問題。

學習目標

1.能理解直角座標，並在直角座標上描點。

2.能在直角座標平面上畫出二元一次方程式的圖形。

3.瞭解直角座標平面上二元一次聯立方程式解的意義。

(4)

4.1 節平面上的直角座標

讓我們回想一下，以前老師排座位時會用第幾排、第幾個來表示位置，現在我們則以

「數對」來表示所處的位置。

下圖(4.1-1)是某班的座位表：

小李坐在第五排第三個，我們以⁽⁵^,³⁾表示小李的位置小博坐在第二排第二個，我們以⁽²^,²⁾表示小博的位置阿幼坐在第七排第一個，我們以⁽⁷^,¹⁾表示小李的位置

第四個

第三個小李

第二個小博

第一個阿幼

第一排

第二排

第三排

第四排

第五排

第六排

第七排講台

圖4.1-1

像這樣用數對來表示位置，便是直角座標的概念。

(5)

4.1.1 節認識直角座標

本小節我們開始正式認識直角座標。

如圖4.1-2，首先在平面上畫出兩條互相垂直的數線，兩線的交點為原點。

圖4.1-2 平面座標示意圖上圖的平面座標圖又稱為直角座標。

水平的數線稱為x 軸，向右(箭頭方向)為正向，向左為負向。

鉛直的數線稱為y 軸，向上(箭頭方向)為正向，向下為負向。

x 軸與 y 軸的交點稱為原點，以 O 表示。x 軸與 y 軸稱為座標軸。

我們來看看在直角座標上的點如何用數對(x,y)表示，x 為 x 軸的座標，y 為 y 軸的座標：

x y

↙原點 O

y

(6)

圖4.1-3

A：A 點在 x 軸上，且在 x 軸數線上的位置是 3，我們就稱 A 點的座標為⁽³^,⁰⁾。其中3 是 A 點的 x 座標，0 是 A 點的 y 座標。

B：B 點在 y 軸上，且在 y 軸數線上的位置是 2，我們稱 B 點的座標為⁽⁰^,²⁾。 O： O 點在兩軸的位置都是 0，我們稱 O 點的座標為⁽⁰^,⁰⁾，也就是原點。

C：C 點不在座標軸上，但若我們從 C 點畫一條鉛直線，會與 x 軸交於 2 這個點，因 此我們稱C 點的 x 座標為 2；同樣地，我們從 C 點畫一條水平線，會與 y 軸交於 3 這個點，因此稱C 點的 y 座標為 3。

x 座標為2，y 座標為 3，C 點座標為⁽²^,³⁾。

同樣的方法，我們可以得到 D 點座標為^(⁴^,¹⁾，E 點座標為⁽^³^,^²⁾，F 點座標為

) 3 , 3

(  。

x

(7)

例題 4.1.1-1

寫出下圖中A、B、C、D 點的座標位置。

圖4.1-4 詳解：

A：過 A 點的鉛直線交 x 軸於 4，水平線交 y 軸於 3，A 點座標為⁽⁴^,³⁾。

B：過 B 點的鉛直線交 x 軸於－2，水平線交 y 軸於－4，B 點座標為⁽^²^,^⁴⁾。 C：C 點在 x 軸上，位置為－4，C 點座標為^(⁴^,⁰⁾。

D：D 點在 y 軸上，位置為 1，D 點座標為⁽⁰^,¹⁾。

x

y

(8)

【練習】4.1.1-1

寫出下圖中A、B、C、D 點的座標位置。

圖4.1-5

(1)A 點的座標是__________________ (2)B 點的座標是__________________

(3)C 點的座標是__________________ (4)D 點的座標是__________________

y

x

(9)

前面已經介紹了從點來找座標的方法。換一個方向來看，我們也可以從座標來找點。

例如有一點A 的座標為⁽⁴^,²⁾，我們想要在圖上描出A 點，可以從原點出發：

A 點的 x 座標為 4，所以我們往右走 4 格到達⁽⁴^,⁰⁾。(若為負數則從原點往左走)

A 點的 y 座標為 2，所以我們從⁽⁴^,⁰⁾再往上走2 格，便到達⁽⁴^,²⁾。(若為負數則從原點往下走)

如圖4.1-6

圖4.1-6

當然我們也可以先找 y 軸位置再找 x 軸位置，也就是先往上走2 格，再往右走 4 格，

也能到達一樣的位置。

y

x

(10)

例題 4.1.1-2

在圖4.1-7 中標出下列各點的位置：

(1) A⁽¹^,⁰⁾ (2) B^(¹^,²⁾ (3) C⁽⁰^,⁴⁾ (4) D⁽²^,⁵⁾ (5) E^(⁴^,³⁾

詳解：

依照前頁所教的作法將點一個一個找出。

圖 4.1-7

y

x

(11)

【練習】4.1.1-2

在圖中標出下列各點的位置：

(1) A^(³^,⁰⁾ (2) B⁽⁰^,^⁴⁾ (3) C⁽^⁵^,^³⁾ (4) D⁽⁴^,^²⁾

y

x

(12)

例題 4.1.1-3

在圖4.1-8 中標出下列各點的位置：

(1) A⁽⁴₃¹^,⁰⁾ (2) B^(¹₄³^,³⁾ (3) C^(³^,¹₂⁾ 詳解：

本題含有分數座標

A⁽⁴¹₃^,⁰⁾：我們將x 座標4 和 5 做 3 等分，取第 1 等分的點找出⁴₃¹。

B^(¹₄³^,³⁾：我們將x 座標－1 和－2 做 4 等分，取第 3 等分的點找出^¹₄³ 。 (注意要從－1 開始找)

C^(³^,₂¹⁾：我們將y 座標0 和 1 做 2 等分，取第 1 等分的點找出¹₂ 。

圖4.1-8

(13)

【練習】4.1.1-3

在圖中標出下列各點的位置：

(1) A ^,⁰⁾

2 31

( (2) B ⁾

2 11 , 2

(  (3) C ⁾

4 11 3, 32

( 

象限

從前面的例子我們可以觀察到，當一個點的 x 座標與 y 座標都為正數時，這個點會落

y

x

(14)

在原點的右上角區域；x 座標為負，y 座標為正，會落在左上角區域；x 座標為負，y 座標也為負，會落在左下角區域；x 座標為正，y 座標為負，會落在右下角區域。

這四個區域我們稱為象限，由x 軸與 y 軸當分界線。

右上角的區域為第一象限，然後逆時針方向依序為第二象限，第三象限，第四象限。

在此請注意一點：因為x 軸與 y 軸是這些象限的分界線，所以在座標軸上的任意點都 不屬於任一象限。例如⁽³^,⁰⁾在x 軸上，⁽⁰^,^²⁾在y 軸上，都不屬於任一象限

每一象限的座標都有些特性：

第一象限中的座標，x 座標為正，y 座標也為正，用⁽^^,^⁾表示；

第二象限中的座標，x 座標為負，y 座標為正，用⁽^^,^⁾表示；

第三象限中的座標，x 座標為負，y 座標也為負，用⁽^^,^⁾表示；

第四象限中的座標，x 座標為正，y 座標為負，用⁽^^,^⁾表示。

圖4.1-9

y

x

(15)

例題 4.1.1-4

寫出下列各點各在第幾象限，並畫在座標平面上。

(1) A⁽³^,²⁾ (2) B⁽^³^,^²⁾ (3) C⁽³^,^²⁾ (4) D^(³^,²⁾ 詳解：

A 點 x 座標為正，y 座標也為正，在第一象限。

B 點 x 座標為負，y 座標也為負，在第三象限。

C 點 x 座標為正，y 座標為負，在第四象限。

D 點 x 座標為負，y 座標為正，在第二象限。

圖4.1-10

y

x

(16)

【練習】4.1.1-4

寫出下列各點各在第幾象限，並畫在座標平面上。

(1) A^(¹^,⁴⁾ (2) B⁽^¹^,^⁴⁾ (3) C⁽¹^,⁴⁾ (4) D⁽¹^,^⁴⁾ A 點在第_______象限；B 點在第_______象限；

C 點在第_______象限；D 點在第_______象限。

y

x

(17)

4.1.2 節點與座標軸的距離

本小節會介紹如何計算直角座標上一點到兩座標軸的距離。

現在直角座標平面上有點A⁽³^,²⁾。

我們想知道A⁽³^,²⁾與x 軸的距離，可以做一條過A 點的鉛直線交於 x 軸，如下圖

4.1-11。鉛直線與 x 軸的交點是⁽³^,⁰⁾，而A 到⁽³^,⁰⁾的線段長是2，也就是 A 到 x 軸的 距離為2。

接著我們再看 A⁽³^,²⁾與y 軸的距離，做一條過 A 點的水平線段交於 y 軸，水平線與 y 軸的交點是⁽⁰^,²⁾，而A 到⁽⁰^,²⁾的線段長是3，也就是 A 到 y 軸的距離為 3。

我們再看B⁽^³^,^²⁾到兩軸的距離。

B 到^(³^,⁰⁾的線段長是2，也就是 B 到 x 軸的距離為 2。

B 到⁽⁰^,^²⁾的線段長是3，也就是 B 到 y 軸的距離為 3。

圖4.1-12

觀察前面例子可以發現，A⁽³^,²⁾到x 軸的距離是2，B⁽^³^,^²⁾到x 軸的距離是2。

到x 軸的距離其實就是 y 座標的絕對值。

A⁽³^,²⁾到y 軸的距離是3，B⁽^³^,^²⁾到y 軸的距離是3。

y

x

(18)

到y 軸的距離其實就是 x 座標的絕對值。

也就是說，座標平面上任一點

P

⁽^a^,^b⁾，與x 軸的距離是 ^b ，與y 軸的距離是 ^a 。

圖4.1-15

※ 在 x 軸上的點，例如⁽³^,⁰⁾，到x 軸的距離是0。

在y 軸上的點，例如⁽⁰^,⁵⁾，到y 軸的距離是0。

y

x

P(a,b)

|a|

|b|

(19)

例題 4.1.2-1

在座標平面上畫出下列各點，並求各點到兩軸的距離：

(1) A⁽¹^,²⁾ (2) B^(⁵^,⁴⁾ (3) C⁽^⁴^,^³⁾ (4) D⁽²^,^⁵⁾ 詳解：

A 點到 x 軸距離為 ² ^²，到y 軸距離為¹ ^¹。 B 點到 x 軸距離為 ⁴ ^⁴，到y 軸距離為^⁵ ^⁵。 C 點到 x 軸距離為 ^³ ^³，到y 軸距離為 ^⁴ ^⁴。 D 點到 x 軸距離為 ^⁵ ^⁵，到y 軸距離為 ² ^²。

圖4.1-13

y

x

(20)

【練習】4.1.2-1

在座標平面上畫出下列各點，並求各點到兩軸的距離：

(1) A⁽²^,³⁾ (2) B^(³^,²⁾ (3) C⁽^³^,^¹⁾ (4) D⁽¹^,^⁴⁾ A 點到 x 軸距離為____________，到 y 軸距離為____________。

B 點到 x 軸距離為____________，到 y 軸距離為____________。

C 點到 x 軸距離為____________，到 y 軸距離為____________。

D 點到 x 軸距離為____________，到 y 軸距離為____________。

例題 4.1.2-2

求下列各點到兩軸的距離：

x

(21)

(1) A⁽⁰^,¹¹₂⁾ (2) B^(³^,₃²⁾ (3) C⁽^³₂¹^,^¹⁾ (4) D^(²^,⁰⁾ 詳解：

A 點到 x 軸距離為¹₂¹ ^¹₂¹ ，到y 軸距離為 ⁰ ^⁰。 B 點到 x 軸距離為 ₃^{2 } ₃² ，到y 軸距離為 ^³ ^³。 C 點到 x 軸距離為 ^¹ ^¹，到y 軸距離為^³₂¹ ^³₂¹ 。 D 點到 x 軸距離為 ⁰ ^⁰，到y 軸距離為^² ^²。

【練習】4.1.2-2

求下列各點到兩軸的距離：

(1) A^(¹^,⁰⁾ (2) B ⁾

7 , 3 2

(  (3) C⁽⁰^,^³⁾ (4) D ⁾

2 31 , (5

A 點到 x 軸距離為____________，到 y 軸距離為____________。

B 點到 x 軸距離為____________，到 y 軸距離為____________。

C 點到 x 軸距離為____________，到 y 軸距離為____________。

D 點到 x 軸距離為____________，到 y 軸距離為____________。

4.1.3 節 ^{點在直角座標上的移動}

前幾節我們學習了在座標上描點與計算點和座標軸的距離，接下來我們來看點如何在座標平面上移動。

我們已經知道直角座標是由x 軸與 y 軸所組成，x 軸從原點往右邊為正、往左邊為負；

y 軸從原點往上為正、往下方為負。

在圖4.1-14 中，

A⁽²^,¹⁾往右邊移動1 單位，會到達 A'⁽³^,¹⁾ B⁽¹^,²⁾往上移動1 單位，會到達 B'⁽¹^,³⁾ C^(²^,¹⁾往左邊移動2 單位，會到達 C'^(⁴^,¹⁾

(22)

D⁽^²^,^¹⁾往下移動2 單位，會到達 D'⁽^²^,^³⁾

.

圖4.1-14

y

x

(23)

由前面的例子可知，座標平面上的點在移動時有以下規律：

往右邊移動s 單位，即為 x 座標增加 s；往左邊移動 s 單位，即為 x 座標減少 s。

往上移動t 單位，即為 y 座標增加 t；往下移動 t 單位，即為 y 座標減少 t。

也就是說圖4.1-15，若有一點 P⁽â^,^b⁾ (1)往右邊移動 s 單位，會到達⁽â^^s^,^b⁾。 (2)往左邊移動 s 單位，會到達⁽â^^s^,^b⁾。 (3)往上移動 t 單位，會到達⁽â^,^b^^t⁾。 (4)往下移動 t 單位，會到達⁽â^,^b^^t⁾。

圖4.1-15 例題 4.1.3-1

寫出下列各點座標；

(1)在座標平面上，由原點出發，往右移動 4 單位，到達 A 點，A 點座標為何？

(2)由 A 點出發，往上移動 3 單位，到達 B 點，B 點座標為何？

(3)由 B 點出發，往左移動 6 單位，到達 C 點，C 點座標為何？

(4)由 C 點出發，往下移動 7 單位，到達 D 點，D 點座標為何？

詳解：

如圖4.1-16

(1) 原點為⁽⁰^,⁰⁾，往右移動4 單位，也就是 x 座標加 4。A 點座標為⁽⁰^⁴^,⁰⁾^⁽⁴^,⁰⁾^。

y

x

P

) , (a b

) , (a bt

) , (a bt

) , (as b )

, (as b

(24)

(3) B 點為⁽⁴^,³⁾，往左移動6 單位，也就是 x 座標減 6。B 點座標為

) 3 , 2 ( ) 3 , 6 4

(    。

(4) C 點為^(²^,³⁾，往下移動7 單位，也就是 y 座標減 7。

D 點座標為⁽^²^,³^⁷⁾^⁽^²^,^⁴⁾^。

圖4.1-16

y

x x

(25)

【練習】4.1.3-1

寫出下列各點座標；

(1)在座標平面上，由原點出發，往右移動 3 單位，到達 A 點，A 點座標為何？

(2)由 A 點出發，往下移動 2 單位，到達 B 點，B 點座標為何？

(3)由 B 點出發，往左移動 5 單位，到達 C 點，C 點座標為何？

(4)由 C 點出發，往上移動 6 單位，到達 D 點，D 點座標為何？

y

x

(26)

例題 4.1.3-2

在座標平面上，甲由原點出發，沿著x 軸向右走5 單位，再往下方走 2 單位，到達A 點，則：

(1)A 點的座標為何？

(2)A 點到 x 軸的距離為何？

(3)A 點到 y 軸的距離為何？

詳解：

甲的移動如圖4.1-17

(1) 甲由原點出發，沿著 x 軸向右走個 5 單位，也就是 x 座標加 5，

座標為⁽⁰^⁵^,⁰⁾^⁽⁵^,⁰⁾^。

再往下方走個2 單位，也就是 y 座標減 2，A 點座標為⁽⁵^,⁰^²⁾^⁽⁵^,^²⁾^。 (2) A 點到 x 軸的距離，也就是 y 座標的絕對值： ^² ^²^。

(3) A 點到 y 軸的距離，也就是 x 座標的絕對值： ⁵ ^⁵^。

圖4.1-17

【練習】4.1.3-2

在座標平面上，乙由原點出發，沿著x 軸向左走3 單位，再往上方走 4 單位，到達B 點，則：

(1)B 點的座標為何？

y

x

(27)

(3)B 點到 y 軸的距離為何？

y

x

(28)

例題 4.1.3-3

座標平面上，有一點P⁽^a^,^b⁾，若P 點先向右移動 7 單位，再向下移動 8 單位，會到達Q⁽⁴^,^⁵⁾，則P 點座標為何？

詳解：

P 的移動如圖 4.1-18 解法一：

我們將點的移動反過來看，從Q⁽⁴^,^⁵⁾出發，向上移動8 單位，再向左移動 7 單位，會到達P⁽^a^,^b⁾。

) 5 , 4

(  向上移動8 單位，會到達⁽⁴^,^⁵^⁸⁾^⁽⁴^,³⁾

) 3 , 4

( 向左移動7 單位，會到達⁽⁴^⁷^,³⁾^⁽^³^,³⁾ 因此P 的座標為^(³^,³⁾。

解法二：

P⁽^a^,^b⁾往右移動7 單位，會到達⁽^a^⁷^,^b⁾

) , 7

(a b 向下移動8 單位，會到達⁽^a^{ b}⁷^, ^⁸⁾

題目說會到達Q⁽⁴^,^⁵⁾，也就是⁽⁴^,^⁵⁾和⁽^a^{ b}⁷^, ^⁸⁾是一樣的，兩邊x 座標與 y 座標會相等。(這裡運用到點的重合觀念，會在下一節詳細介紹)

可列出聯立方程式：













 5 8

4 7 b

a ，解得a3、b3。因此P 的座標為^(³^,³⁾。

圖4.1-18

y

x

(29)

【練習】4.1.3-3

座標平面上，有一點P⁽^a^,^b⁾，若P 點先向上移動 6 單位，再向左移動 7 單位，會到達Q^(²^,³⁾，則P 點座標為何？

y

x

(30)

4.1.4 節兩點的重合與對稱

兩點重合：在座標平面上，若兩點重合，表示兩點的位置相同，所以兩點的x 座標相 同，y 座標也相同。

例如若點P⁽^a^,^b⁾與Q⁽¹^,²⁾重合，則可得^a^¹、^b^²，P 座標為⁽¹^,²⁾。如圖4.1-19

圖4.1-19

兩點對稱：在座標平面上，若兩點對稱於x 軸，則兩點的 x 座標相同，y 座標互為相 反數。若兩點對稱於y 軸，則兩點的 y 座標相同，x 座標互為相反數。

若兩點對稱於原點，則兩點的x 座標、y 座標皆互為相反數。

※相反數：在數線上分別位於兩點兩邊，且與原點距離相等的兩個點所代表的兩數，

如8 與－8。

圖4.1-20 中，A、B 兩點對稱於 x 軸。

圖4.1-20 圖4.1-21 中，C、D 兩點對稱於 y 軸。

P

) , (a b

Q

) 2 , 1 (

y

x

x y

y

(31)

圖4.1-21

若有P、Q 兩點對稱於 x 軸，且 P 座標為⁽â^,^b⁾，則Q 座標為⁽â^,^^b⁾。若有P、K 兩點對稱於 y 軸，且 P 座標為⁽â^,^b⁾，則K 座標為⁽^â^,^b⁾。如圖4.1-22

圖4.1-22

x

P

) , (a b

Q⁽^a^,^^b⁾ K⁽^^a^,^b⁾

x

y

(32)

例題 4.1.4-1

A⁽^a^²^,^b^¹⁾與B⁽⁴^,^⁵⁾為座標平面上重合的兩點，試求a、b 之值。

詳解：

A、B 兩點重合，因此 x 座標相同，y 座標也相同。













 5 1

4 2 b

a

解得^a^²、^b^^⁴

【練習】4.1.4-1

A⁽^a^{ b}¹^, ^³⁾與B⁽³^,⁵⁾為座標平面上重合的兩點，試求a、b 之值。

例題 4.1.4-2

A⁽^a^⁵^,²^b^⁷⁾與B⁽^b^¹^,³^a^⁶⁾為座標平面上重合的兩點，試求A 點座標。

詳解：

A、B 兩點重合，因此 x 座標相同，y 座標也相同。















6 3 7 2

1 5

a b

b a

化簡得











13 2 3

6 b a

b a

解得a 1、b5

將a、b 之值代入A 點座標：

x 座標：^a^⁵^⁽^¹⁾^⁵^⁴ y 座標：²^b^⁷^²^⁽⁵⁾^⁷^³ 得A 點座標為⁽⁴^,³⁾

驗算：

將a、b 之值代入B 點座標：

x 座標：^b^¹^⁵^¹^⁴

y 座標：³^a^⁶^³^⁽^¹⁾^⁶^³ 得B 點座標為⁽⁴^,³⁾

A 點與 B 點兩點重合，符合題意，故答案正確。

(33)

A⁽^a^²^b^,⁶^^a⁾與B⁽⁴^,^b^¹⁾為座標平面上重合的兩點，試求a、b 之值與B 點座標。

(34)

例題 4.1.4-3

座標平面上，A⁽²^,³⁾與B⁽^a^,^b⁾對稱於x 軸，試求B 點座標。

詳解：

A、B 兩點對稱於 x 軸，即 x 座標相同，y 座標互為相反數。

因此B 的 x 座標為 2，y 座標為^⁽³⁾^^³ B 點座標為⁽²^,^³⁾

圖4.1-23

x

y

(35)

【練習】4.1.4-3

座標平面上，A⁽^²^,^³⁾與B⁽^a^,^b⁾對稱於y 軸，試求B 點座標。

例題 4.1.4-4

座標平面上，A⁽²^a^¹^,²^^b⁾與B⁽^b^,³^a⁾對稱於y 軸，試求A 點座標。

詳解：

A、B 兩點對稱於 y 軸，即 x 座標互為相反數，y 座標相同。

x 座標互為相反數：²^a^¹^^⁽^b⁾，化簡得2a b1

y 座標相同；²^^b^³^a，化簡得3a b2













 2 3

1 2

b a

解得a3，b7

代入A 點 x 座標：²^a^¹^²^³^¹^⁷ 代入A 點 y 座標：²^{ b}^²^⁽^⁷⁾^⁹ 得A 點座標為⁽⁷^,⁹⁾

驗算：

B 點座標為⁽^b^,³^a⁾^⁽^⁷^,³^³⁾^⁽^⁷^,⁹⁾，與點A(7,9)對稱 y 軸，故答案正確。

x

y

(36)

【練習】4.1.4-4

座標平面上，A⁽³^a^{ b}¹^, ^¹⁾與B⁽²^b^¹^,^²^a⁾對稱於x 軸，試求A 點座標。

(37)

4.1.5 節由座標求周長與面積

在座標平面上，我們可以用點與線來做出一些幾何圖形，例如三角形、長方形和正方形等。當然也可以再利用座標計算這些圖形的周長與面積。

長方形周長＝(長＋寬)×2 長方形面積＝長×寬三角形面積＝底×高÷2

例題 4.1.5-1

如圖4.1-24，長方形 ABCD 中，A 點座標為⁽¹^,²⁾，B 點座標為⁽¹^,¹⁾，C 點座標為⁽³^,¹⁾，D 點座標為⁽³^,²⁾，試求長方形ABCD 的周長與面積。

詳解：

要計算周長，首先需要先算出長與寬的長度，

也就是A、B 兩點的距離與 B、C 兩點的距離

若兩點間的x 座標相同，則距離為 y 座標相減的絕對值。

若兩點間的y 座標相同，則距離為 x 座標相減的絕對值。

圖4.1-24

A、B 兩點因為 x 座標相同，因此距離為 y 座標相減的絕對值。

A、B 距離為 ²^¹^¹，即長方形的寬為1。

B、C 兩點因為 y 座標相同，因此距離為 x 座標相減的絕對值。

B、C 距離為 ³^¹ ^²，即長方形的長為2。

長方形ABCD 周長＝⁽¹^²⁾^²^⁶

x

y

(38)

長方形ABCD 面積＝212

長方形ABCD 的周長為 6 單位，面積為 2 平方單位。

【練習】4.1.5-1

如圖4.1-25，長方形 ABCD 中，A 點座標為⁽¹^,¹⁾，B 點座標為⁽¹^,^³⁾，C 點座標為⁽³^,^³⁾，D 點座標為⁽³^,¹⁾，試求長方形ABCD 的周長與面積。

圖4.1-25 例題 4.1.5-2

如圖4.1-26，三角形 ABC 中，A 點座標為^(¹^,¹⁾，B 點座標為⁽²^,¹⁾，C 點座標為⁽²^,⁵⁾，試求三角形ABC 的面積。

詳解：

三角形ABC 面積：底×高÷2＝^AB^{ BC}^²

(這裡^AB代表A 點與 B 點的距離，^BC代表B 點與 C 點的距離。) A、B 兩點因為 y 座標相同，因此距離為 x 座標相減的絕對值。

3 3 2 ) 1

(     AB

B、C 兩點因為 x 座標相同，因此距離為 y 座標相減的絕對值。

4 4 5

1   

 BC

三角形ABC 面積＝^AB^{ BC}^²^³^⁴^²^⁶ 三角形ABC 面積為 6 平方單位。

x

y

(39)

圖4.1-26

x

(40)

【練習】4.1.5-2

三角形ABC 中，A 點座標為^(¹^,²⁾，B 點座標為⁽^¹^,^³⁾，C 點座標為⁽³^,^³⁾，試求三角形ABC 的面積。

例題 4.1.5-3

如圖4.1-27，三角形 ABC 中，A 點座標為^(²^,⁰⁾，B 點座標為⁽⁴^,⁰⁾，C 點座標為⁽²^,⁴⁾，試求三角形ABC 的面積。

詳解：

三角形ABC 面積：底×高÷2 底為AB，^AB^ ⁴^⁽^²⁾ ^⁶

高為C 點到 x 軸的距離，也就是 y 座標的絕對值，高： ⁴ ^⁴ 三角形ABC 的面積＝底×高÷2＝⁶^⁴^²^¹²

三角形ABC 面積為 12 平方單位。

x y

y

(41)

圖4.1-27

【練習】4.1.5-3

三角形ABC 中，A 點座標為⁽⁰^,³⁾，B 點座標為⁽⁰^,^³⁾，C 點座標為⁽⁵^,¹⁾，試求三角形ABC 的面積。

例題 4.1.5-4

如圖4.1-28，三角形 ABC 中，A 點座標為⁽^²^,^²⁾，B 點座標為⁽⁴^,^²⁾，C 點座標為⁽²^,²⁾，試求三角形ABC 的面積。

詳解：

x

y

(42)

三角形ABC 面積：底×高÷2 底為AB，^AB^ ⁴^⁽^²⁾ ^⁶

高為C 點到AB的距離，由C 作鉛直線交AB於D 點，由圖形可知 D 點座標為

) 2 , 2 ( 

高為^CD，^CD^ ²^⁽^²⁾ ^⁴

三角形ABC 的面積＝底×高÷2＝⁶^⁴^²^¹² 三角形ABC 面積為 12 平方單位。

圖4.1-28

x

y

(43)

【練習】4.1.5-4

三角形ABC 中，A 點座標為^(²^,⁴⁾，B 點座標為⁽^²^²⁾，C 點座標為⁽³^,¹⁾，試求三角形ABC 的面積。

x

y

(44)

4.1.6 節象限問題

在4.1.1 節中，我們已介紹了象限的基本意義，如圖 4.1-29。

圖4.1-29

第一象限中的座標，x 座標為正，y 座標也為正，用⁽^^,^⁾表示；

第二象限中的座標，x 座標為負，y 座標為正，用⁽^^,^⁾表示；

第三象限中的座標，x 座標為負，y 座標也為負，用⁽^^,^⁾表示；

第四象限中的座標，x 座標為正，y 座標為負，用⁽^^,^⁾表示。

本節我們將更進一步介紹象限的相關問題。

x

y

(45)

例題 4.1.6-1

座標平面上，若點⁽^a^,^b⁾在第二象限，求下列各點分別在哪一象限或哪一座標軸上：

(1) ⁽^â^,^b⁾ (2) ⁽â^,^^b⁾ (3) ⁽â^,âb⁾ (4) ^{( a}^ ^,⁰⁾ (5) ⁽⁰^,^b⁾ (6) ⁽^âb^,â⁾ 詳解：

) ,

(a b 在第二象限，符號表示為⁽^^,^⁾，即â^⁰、^b^⁰。 (1) â^⁰→^{ a}^⁰，即⁽^â^,^b⁾的x 座標為正，y 座標也為正，

符號表示為⁽^^,^⁾，在第一象限。

(2) ^b^⁰→^{ b}^⁰，即⁽^a^,^^b⁾的x 座標為負，y 座標也為負，

符號表示為⁽^^,^⁾，在第三象限。

(3) â^⁰、^b^⁰→âb^⁰，即⁽â^,âb⁾的x 座標為負，y 座標也為負，

(4) ^{( a}^ ^,⁰⁾的x 座標不為零，y 座標為零，在 x 軸上。

(5) ⁽⁰^,^b⁾的x 座標為零，y 座標不為零，在 y 軸上。

(6) âb^⁰→^{ ab}^⁰；即⁽^âb^,â⁾的x 座標為正，y 座標為負，

符號表示為⁽^^,^⁾，在第四象限。

【練習】4.1.6-1

座標平面上，若點⁽^a^,^b⁾在第三象限，求下列各點分別在哪一象限或哪一座標軸上：

點 ⁽^b^,â⁾ ^{( a}^ ^,⁰⁾ ⁽^^b^,â⁾ ⁽⁰^,â⁾ ⁽âb^,^b⁾ ⁽^âb^,^â⁾ 象限或

座標軸

(46)

例題 4.1.6-2

座標平面上，若點⁽^a^,^^ab⁾在第二象限，求下列各點分別在哪一象限或哪一座標軸上：

(1) ⁽â^,^b⁾ (2) ⁽âb^,_bâ⁾ (3) ⁽^b^,^â⁾ 詳解：

) ,

(a ab 在第二象限，符號表示為⁽^^,^⁾，即^a^⁰、^{ ab}^⁰。

0

 ab →^ab^⁰

因為â^⁰，可得^b^⁰ (若 a、b 都小於 0，那麼 ab 會大於 0) (1) â^⁰、^b^⁰，即⁽â^,^b⁾的x 座標為負，y 座標為正，

符號表示為⁽^^,^⁾，在第二象限。

(2) ^ab^⁰、 ^⁰

b

a ，即⁽ ^, ⁾

b

ab a 的x 座標為負，y 座標也為負，

(3) ^b^⁰、^{ a}^⁰，即⁽^b^,^^a⁾的x 座標為正，y 座標也為正，

符號表示為⁽^^,^⁾，在第一象限。

【練習】4.1.6-2

座標平面上，若點⁽^^a^,^ab⁾在第四象限，求下列各點分別在哪一象限或哪一座標軸上：

點 ⁽â^,^b⁾ ⁽^âb^,â⁾ ⁽⁰^,^^b⁾ 象限或

座標軸

(47)

例題 4.1.6-3

座標平面上，若點A⁽^a^¹^,²^a^⁷⁾在第三象限內，且A 點到 x 軸距離為 1，則 A 點到 y 軸距離是多少？

詳解：

A 點到 x 軸距離為 1，即 y 座標為 1 或－1……(1) A 點在第三象限，可知 y 座標為負……(2)

由(1)(2)得 A 點的 y 座標為－1 y 座標：²^a^⁷^^¹，解得^a^^⁴

將^a ^^⁴代入x 座標：^a^¹^⁽^⁴⁾^¹^^³，得x 座標為－3 A 點到 y 軸距離為 x 座標的絕對值： ^³ ^³

得A 點到 y 軸距離為 3。

圖4.1-30

【練習】4.1.6-3

座標平面上，若B 點⁽^b^⁹^,^b^¹⁾在第二象限內，且B 點到 x 軸距離為 4，則 B 點 到y 軸距離是多少？

) 7 2 , 1 (a a

x y

x

y

(48)

4.1 節習題

習題 4.1-1

圖4.1-31 是博幼國中 1 年 3 班的座位表，座位位置以數對(行,個)來表示，例如小博的位置是(2,4)。請回答下列的問題：

第五個小美

第四個小惠小博小新阿明

第三個小強

第二個小白

第一個小李小幼

第一行第二行第三行第四行第五行圖4.1-31

(1)小李的位置在 (2)小惠的位置在

(3)小強的位置在 (4)阿明的位置在

(5)坐在(3,4)的是 (6)坐在(3,1)的是

(49)

習題 4.1-2

依據圖4.1-32，寫出各點座標：

圖4.1-32

(1)A 點座標為 (2)B 點座標為 (3)C 點座標為 (4)D 點座標為 (5)E 點座標為 (6)F 點座標為習題 4.1-3

在座標平面上標出下列各點的位置：

A⁽²^,³⁾、 B⁽³^,^⁵⁾、C⁽^²^.⁵^,^⁴⁾、D^(⁴^,⁰⁾、E^(³^,³^.⁵⁾

習題 4.1-4

座標平面上，求下列各點到x 軸與 y 軸的距離：

(1)A⁽⁴^,^⁴⁾到x 軸的距離是單位長，到 y 軸的距離是單位長。

(2)B^(⁸^,⁶⁾到x 軸的距離是單位長，到 y 軸的距離是單位長。

x y

x

y

(50)

(3)C⁽²^.⁵^,^³⁾到x 軸的距離是單位長，到 y 軸的距離是單位長。

(4)D⁽^⁵^,^⁴⁾到x 軸的距離是單位長，到 y 軸的距離是單位長。

習題 4.1-5

在座標平面上有A⁽⁴^,⁴⁾、B⁽³^,^⁴⁾、C⁽⁴^,^³⁾、D^(³^,⁴⁾四點，請問哪一點和x 軸的 距離最近？

習題 4.1-6

直角座標上有一點A(-1,-2)，從 A 往上移動 2 個單位長，再向右移動 3 個單位長，

請問移動後的座標位置是？

習題 4.1-7

在座標平面上，從A 點出發，先往上 2 個單位長，再向右 4 個單位長，最後再往下5 個單位長，便可回到原點。則 A 點的座標為?

習題 4.1-8

座標平面上有一點P⁽^a^^b^,^a^^b⁾，若P 點先向右移動 10 個單位，再向上移動 7 個單位，最後到達Q⁽⁵^,²⁾，求a、b 之值及P 點座標。

●

(51)

習題 4.1-9

有一隻螞蟻從座標平面上A 點向東走 2 單位，又向南走 3 單位，再向西走 1 單位，

最後到達⁽⁰^,^¹⁾，則A 點座標為何？(東為 x 軸正向；北為 y 軸正向)

習題 4.1-10

在座標平面上，甲由原點出發，沿著x 軸向右走5 單位，再往下走 2 單位，到達 A 點，則：

(1)A 點的座標為　　　　　。

(2)A 點到 x 軸的距離為　　　　　。 (3)A 點到 y 軸的距離為　　　　　。 習題 4.1-11

設A 為座標平面上的一點，若 A 與 x 軸的距離是 4，A 與 y 軸的距離是 3，且 A 在 第二象限內，則A 的座標為多少？

習題 4.1-12

在座標平面上，若點A⁽³^a^⁵^,^a⁾在第二象限內，且A 點到 y 軸距離為 2，則 A 點 到x 軸距離是多少？

習題 4.1-13

座標平面上，若兩點^(a^,²⁾與⁽¹^,²⁾距離4 個單位長，則 a＝？

(52)

習題 4.1-14

在座標平面上，乙由^(⁶^,⁷⁾出發，向　　　　（填入左或右）移動　　　　個單位，

再向　　　　（填入上或下）移動　　　　　個單位後，將可到達原點。

習題 4.1-15

座標平面上，以x 軸為對稱軸，則A^(³^,⁵⁾的對稱點座標為。

習題 4.1-16

座標平面上，A⁽²â^^b^,⁴â^^b⁾、B⁽â^³^b^,â^¹⁸⁾兩點互相對稱於x 軸，求 a、b 之值與 A 點座標。

習題 4.1-17

已知座標平面上兩點A⁽²^,â^^b⁾、B⁽â^,²â^¹⁾重合，則A 點座標為。

習題 4.1-18

已知座標平面上兩點A⁽â^³^b^,³â^^b⁾、B⁽²â^^b^,⁵⁾重合，則A 點座標為。

習題 4.1-19

A 點座標為⁽⁵^,^¹⁾，若B 點與 A 點對稱於 x 軸，C 點與 A 點對稱於 y 軸，試求 B、C 兩點的座標。

(53)

習題 4.1-20

座標平面上有A⁽^a^{ b}¹^, ^¹⁾，B^(⁴^,¹⁾兩點，若A 點向左移動 5 個單位後即與 B 點重合，試求a、b 之值。

習題 4.1-21

長方形四個頂點座標分別為A⁽²^,³⁾、B⁽⁰^,³⁾、C⁽⁰^,⁰⁾、D⁽²^,⁰⁾，試求此長方形的周長與面積。

習題 4.1-22

甲由原點O 出發，沿著 x 軸向右方走 5 個單位到達 A 點，接著向上方走 6 個單位 到達B 點，再向左方走 5 個單位到達 C 點，試回答下列問題：

(1)求 A、B、C 的座標。

(2)四邊形 OABC 是何種四邊形？

(3)求四邊形 OABC 的周長與面積。

(54)

習題 4.1-23

如圖4.1-33，四邊形 ABCD 為長方形，且AB與x 軸垂直，試回答下列問題：

(1)B 點座標為何？

(2)D 點座標為何？

(3)四邊形 ABCD 之面積為何？

圖4.1-33

習題 4.1-24

座標平面上有三點A⁽⁰^,³⁾、B⁽⁰^,^⁵⁾、C⁽⁴^,¹⁾，試求三角形ABC 的面積。

習題 4.1-25

座標平面上，A⁽^m^,²^m^³ⁿ⁾在 x 軸上，B⁽³^m^³ⁿ^³^,ⁿ⁾在 y 軸上。

O 為原點，則三角形 AOB 的面積為平方單位。

(55)

習題 4.1-26

如圖4.1-34，長方形 ABCD 中，已知 A 點座標為^(²^,³⁾，C 點座標為⁽³^,^¹⁾，且

AB與x 軸垂直，求長方形ABCD 的周長。

習題 4.1-27

座標平面上有P^(³^,⁴⁾、Q⁽²^,²⁾、R⁽^³^,^²⁾三點，求三角形PQR 的面積。

習題 4.1-28

下表中各點分別在哪一象限內或哪一個座標軸上？

點 ⁽²^,⁰⁾ ⁽⁷^,²⁾ ⁽^⁵^,^³⁾ ⁽⁶^,^²⁾ ⁽⁰^,^⁸⁾ 圖4.1-34

圖4.1-35

(56)

象限或座標軸習題 4.1-29

若a＞0，b＜0，則下表中各點分別在哪一象限內或哪一個座標軸上？

點 ⁽â^,^b⁾ ^{( a}^ ^,⁰⁾ ⁽^b^,â⁾ ⁽^â^,âb⁾ ⁽⁰^,^âb⁾ 象限或

座標軸

習題 4.1-30

若⁽^a^,^b⁾在第二象限，則下表中各點分別在哪一象限內或哪一個座標軸上？

點 ⁽^b^,^a⁾ ⁽ ^, ⁾

b a a

b (ba,a) (a²,0) (ab,ab)

象限或座標軸

習題 4.1-31

在座標平面上，已知點⁽^a^,^b⁾在第二象限，點⁽^c^,^d⁾在第三象限，則點⁽^a^^c^,^b^^d⁾在第幾象限？

(57)

4.2 節二元一次方程式的圖形

4.1 節中我們學習了直角座標上點的表示，本節將結合第三章學過的二元一次方程式，

將其圖形畫在直角座標上。

4.2.1 節畫出二元一次方程式的圖形

若現在有一個二元一次方程式：^x^{ y}^⁰

我們將二元一次方程式 ^x^{ y}^⁰的解用數對表示，有⁽⁵^,⁵⁾、⁽³^,³⁾、⁽²^,²⁾、⁽⁰^,⁰⁾、

) 4 , 4

(  等無限多組，將這些數對記在直角座標上，如圖4.2-1。

圖4.2-1

x

y

(58)

若將圖4.2-1 的點連接起來，會得到一條直線，如圖 4.2-2：

圖4.2-2

事實上，二元一次方程式的圖形都是一條直線。

因為兩點可以決定一條直線，所以若我們想在座標平面畫出二元一次方程式的圖形，

只需要找出二元一次方程式的兩組不同的解，標在座標平面上，再畫出過此兩點的直線即為此二元一次方程式的圖形。

x

y

(59)

例題 4.2.1-1

下表中的x、y 值都是二元一次方程式^x^{ y}^²的解，請完成下表，並在座標平面上標出各數對的位置。

x 5 3

y 0 －2 －5

詳解：

方程式為^x^{ y}^²

(1)^x^⁵時，⁽⁵⁾^{ y}^²，解得^y^³ (2)^x^³時，⁽³⁾^{ y}^²，解得^y ^¹ (3)^y^⁰時，^x^⁽⁰⁾^²，解得x2

(4)^y^^²時，^x^⁽^²⁾^²，解得x0

(5)^y^^⁵時，^x^⁽^⁵⁾^²，解得x3

填入表格：

x 5 3 2 0 －3

y 3 1 0 －2 －5

標在座標平面：

圖4.2-3

x

y

(60)

【練習】4.2.1-1

下表中的x、y 值都是二元一次方程式²^x^{ y}^¹的解，請完成下表，並在座標平面上標出各數對的位置。

x 3 1 0

y －3 －5

x

y

(61)

例題 4.2.1-2

在座標平面上畫出二元一次方程式^x^{ y}³ ^³的圖形。

詳解：

因為二元一次方程式的圖形是一條直線，所以我們只要找到方便計算的兩組解，

標在座標平面上，再畫出過這兩點的直線即可。

將^x^⁰代入^x^{ y}³ ^³，得到⁽⁰⁾^{ y}³ ^³，解得^y ^^¹。即⁽⁰^,^¹⁾為一解。

將^y^⁰代入^x^{ y}³ ^³，得到^x^³^⁽⁰⁾^³，解得^x^³。即⁽³^,⁰⁾為一解。

將⁽⁰^,^¹⁾和⁽³^,⁰⁾畫在座標平面上，並過此兩點做直線。

圖4.2-4

x

y

(62)

【練習】4.2.1-2

在座標平面上畫出二元一次方程式^x^{ y}^⁵的圖形。

例題 4.2.1-3

在座標平面上畫出二元一次方程式³^x^{ y}² ^⁶的圖形。

詳解：

將^x^⁰代入³^x^{ y}² ^⁶，得到³^⁽⁰⁾^²^y^⁶，解得^y^³。即⁽⁰^,³⁾為一解。

將^y^⁰代入³^x^{ y}² ^⁶，得到³^x^²^⁽⁰⁾^⁶，解得^x^²。即⁽²^,⁰⁾為一解。

將⁽⁰^,³⁾和⁽²^,⁰⁾畫在座標平面上，並過此兩點做直線。

x

y

(63)

圖4.2-5

【練習】4.2.1-3

在座標平面上畫出二元一次方程式⁴^x^{ y}³ ^^¹²的圖形。

代數第四章 目錄