代數第四章 目錄

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代數第四章

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第四章 直角座標與二元一次方程式 1

學習目標...1

4.1 節 平面上的直角座標 2 4.1.1 節 認識直角座標...3

4.1.2 節 點與座標軸的距離...15

4.1.3 節 點在直角座標上的移動...20

4.1.4 節 兩點的重合與對稱...28

4.1.5 節 由座標求周長與面積...35

4.1.6 節 象限問題...42

4.1 節 習題...46

4.2 節 二元一次方程式的圖形 55 4.2.1 節 畫出二元一次方程式的圖形...55

4.2.2 節 求直線方程式...69

(2)

4.2.3 節 二元一次聯立方程式的圖解...81 4.2.4 節 直線方程式的移動...89 4.2 節 習題...101

4.3 節 直角座標的應用題與綜合題 112

4.3 節 習題...120 第四章綜合習題 124

基測與會考模擬試題130

習題解答 140

(3)

第四章 直角座標與二元一次方程式

在本章中,我們將開始學習直角座標,並將前章學過的二元一次方程式應用到直角座 標上,有了這些能力後,就可以解決直角座標上簡單的圖形問題。

學習目標

1.能理解直角座標,並在直角座標上描點。

2.能在直角座標平面上畫出二元一次方程式的圖形。

3.瞭解直角座標平面上二元一次聯立方程式解的意義。

(4)

4.1 節 平面上的直角座標

讓我們回想一下,以前老師排座位時會用第幾排、第幾個來表示位置,現在我們則以

「數對」來表示所處的位置。

下圖(4.1-1)是某班的座位表:

小李坐在第五排第三個,我們以(5,3)表示小李的位置 小博坐在第二排第二個,我們以(2,2)表示小博的位置 阿幼坐在第七排第一個,我們以(7,1)表示小李的位置

第四個

第三個 小李

第二個 小博

第一個 阿幼

第 一 排

第 二 排

第 三 排

第 四 排

第 五 排

第 六 排

第 七 排 講台

圖4.1-1

像這樣用數對來表示位置,便是直角座標的概念。

(5)

4.1.1 節 認識直角座標

本小節我們開始正式認識直角座標。

如圖4.1-2,首先在平面上畫出兩條互相垂直的數線,兩線的交點為原點。

圖4.1-2 平面座標示意圖 上圖的平面座標圖又稱為直角座標。

水平的數線稱為x 軸,向右(箭頭方向)為正向,向左為負向。

鉛直的數線稱為y 軸,向上(箭頭方向)為正向,向下為負向。

x 軸與 y 軸的交點稱為原點,以 O 表示。x 軸與 y 軸稱為座標軸。

我們來看看在直角座標上的點如何用數對(x,y)表示,x 為 x 軸的座標,y 為 y 軸的座標:

x y

↙原點 O

y

(6)

圖4.1-3

A:A 點在 x 軸上,且在 x 軸數線上的位置是 3,我們就稱 A 點的座標為(3,0)。 其中3 是 A 點的 x 座標,0 是 A 點的 y 座標。

B:B 點在 y 軸上,且在 y 軸數線上的位置是 2,我們稱 B 點的座標為(0,2)。 O: O 點在兩軸的位置都是 0,我們稱 O 點的座標為(0,0),也就是原點。

C:C 點不在座標軸上,但若我們從 C 點畫一條鉛直線,會與 x 軸交於 2 這個點,因 此我們稱C 點的 x 座標為 2;同樣地,我們從 C 點畫一條水平線,會與 y 軸交於 3 這個點,因此稱C 點的 y 座標為 3。

x 座標為2,y 座標為 3,C 點座標為(2,3)

同樣的方法,我們可以得到 D 點座標為(4,1),E 點座標為(3,2),F 點座標為

) 3 , 3

(  。

x

(7)

例題 4.1.1-1

寫出下圖中A、B、C、D 點的座標位置。

圖4.1-4 詳解:

A:過 A 點的鉛直線交 x 軸於 4,水平線交 y 軸於 3,A 點座標為(4,3)

B:過 B 點的鉛直線交 x 軸於-2,水平線交 y 軸於-4,B 點座標為(2,4)C:C 點在 x 軸上,位置為-4,C 點座標為(4,0)

D:D 點在 y 軸上,位置為 1,D 點座標為(0,1)

x

y

(8)

【練習】4.1.1-1

寫出下圖中A、B、C、D 點的座標位置。

圖4.1-5

(1)A 點的座標是__________________ (2)B 點的座標是__________________

(3)C 點的座標是__________________ (4)D 點的座標是__________________

y

x

(9)

前面已經介紹了從點來找座標的方法。換一個方向來看,我們也可以從座標來找點。

例如有一點A 的座標為(4,2),我們想要在圖上描出A 點,可以從原點出發:

A 點的 x 座標為 4,所以我們往右走 4 格到達(4,0)。(若為負數則從原點往左走)

A 點的 y 座標為 2,所以我們從(4,0)再往上走2 格,便到達(4,2)。(若為負數則從原點 往下走)

如圖4.1-6

圖4.1-6

當然我們也可以先找 y 軸位置再找 x 軸位置,也就是先往上走2 格,再往右走 4 格,

也能到達一樣的位置。

y

x

(10)

例題 4.1.1-2

在圖4.1-7 中標出下列各點的位置:

(1) A(1,0) (2) B(1,2) (3) C(0,4) (4) D(2,5) (5) E(4,3)

詳解:

依照前頁所教的作法將點一個一個找出。

圖 4.1-7

y

x

(11)

【練習】4.1.1-2

在圖中標出下列各點的位置:

(1) A(3,0) (2) B(0,4) (3) C(5,3) (4) D(4,2)

y

x

(12)

例題 4.1.1-3

在圖4.1-8 中標出下列各點的位置:

(1) A(431,0) (2) B(143,3) (3) C(3,12) 詳解:

本題含有分數座標

A(413,0):我們將x 座標4 和 5 做 3 等分,取第 1 等分的點找出431

B(143,3):我們將x 座標-1 和-2 做 4 等分,取第 3 等分的點找出143 。 (注意要從-1 開始找)

C(3,21): 我們將y 座標0 和 1 做 2 等分,取第 1 等分的點找出12

圖4.1-8

(13)

【練習】4.1.1-3

在圖中標出下列各點的位置:

(1) A ,0)

2 31

( (2) B )

2 11 , 2

(  (3) C )

4 11 3, 32

( 

象限

從前面的例子我們可以觀察到,當一個點的 x 座標與 y 座標都為正數時,這個點會落

y

x

(14)

在原點的右上角區域;x 座標為負,y 座標為正,會落在左上角區域;x 座標為負,y 座標也為負,會落在左下角區域;x 座標為正,y 座標為負,會落在右下角區域。

這四個區域我們稱為象限,由x 軸與 y 軸當分界線。

右上角的區域為第一象限,然後逆時針方向依序為第二象限,第三象限,第四象限。

在此請注意一點:因為x 軸與 y 軸是這些象限的分界線,所以在座標軸上的任意點都 不屬於任一象限。例如(3,0)x 軸上,(0,2)y 軸上,都不屬於任一象限

每一象限的座標都有些特性:

第一象限中的座標,x 座標為正,y 座標也為正,用(,)表示;

第二象限中的座標,x 座標為負,y 座標為正,用(,)表示;

第三象限中的座標,x 座標為負,y 座標也為負,用(,)表示;

第四象限中的座標,x 座標為正,y 座標為負,用(,)表示。

圖4.1-9

y

x

(15)

例題 4.1.1-4

寫出下列各點各在第幾象限,並畫在座標平面上。

(1) A(3,2) (2) B(3,2) (3) C(3,2) (4) D(3,2) 詳解:

A 點 x 座標為正,y 座標也為正,在第一象限。

B 點 x 座標為負,y 座標也為負,在第三象限。

C 點 x 座標為正,y 座標為負,在第四象限。

D 點 x 座標為負,y 座標為正,在第二象限。

圖4.1-10

y

x

(16)

【練習】4.1.1-4

寫出下列各點各在第幾象限,並畫在座標平面上。

(1) A(1,4) (2) B(1,4) (3) C(1,4) (4) D(1,4) A 點在第_______象限;B 點在第_______象限;

C 點在第_______象限;D 點在第_______象限。

y

x

(17)

4.1.2 節 點與座標軸的距離

本小節會介紹如何計算直角座標上一點到兩座標軸的距離。

現在直角座標平面上有點A(3,2)

我們想知道A(3,2)x 軸的距離,可以做一條過A 點的鉛直線交於 x 軸,如下圖

4.1-11。鉛直線與 x 軸的交點是(3,0),而A 到(3,0)的線段長是2,也就是 A 到 x 軸的 距離為2。

接著我們再看 A(3,2)y 軸的距離,做一條過 A 點的水平線段交於 y 軸,水平線與 y 軸的交點是(0,2),而A 到(0,2)的線段長是3,也就是 A 到 y 軸的距離為 3。

我們再看B(3,2)到兩軸的距離。

B 到(3,0)的線段長是2,也就是 B 到 x 軸的距離為 2。

B 到(0,2)的線段長是3,也就是 B 到 y 軸的距離為 3。

圖4.1-12

觀察前面例子可以發現,A(3,2)x 軸的距離是2,B(3,2)x 軸的距離是2。

x 軸的距離其實就是 y 座標的絕對值。

A(3,2)y 軸的距離是3,B(3,2)y 軸的距離是3。

y

x

(18)

y 軸的距離其實就是 x 座標的絕對值。

也就是說,座標平面上任一點

P

(a,b),與x 軸的距離是 b ,與y 軸的距離是 a

圖4.1-15

※ 在 x 軸上的點,例如(3,0),到x 軸的距離是0。

y 軸上的點,例如(0,5),到y 軸的距離是0。

y

x

P(a,b)

|a|

|b|

(19)

例題 4.1.2-1

在座標平面上畫出下列各點,並求各點到兩軸的距離:

(1) A(1,2) (2) B(5,4) (3) C(4,3) (4) D(2,5) 詳解:

A 點到 x 軸距離為 2 2,到y 軸距離為1 1B 點到 x 軸距離為 4 4,到y 軸距離為5 5C 點到 x 軸距離為 3 3,到y 軸距離為 4 4D 點到 x 軸距離為 5 5,到y 軸距離為 2 2

圖4.1-13

y

x

(20)

【練習】4.1.2-1

在座標平面上畫出下列各點,並求各點到兩軸的距離:

(1) A(2,3) (2) B(3,2) (3) C(3,1) (4) D(1,4) A 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。

B 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。

C 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。

D 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。

例題 4.1.2-2

求下列各點到兩軸的距離:

x

(21)

(1) A(0,112) (2) B(3,32) (3) C(321,1) (4) D(2,0) 詳解:

A 點到 x 軸距離為121 121 ,到y 軸距離為 0 0B 點到 x 軸距離為 32  32 ,到y 軸距離為 3 3C 點到 x 軸距離為 1 1,到y 軸距離為321 321D 點到 x 軸距離為 0 0,到y 軸距離為2 2

【練習】4.1.2-2

求下列各點到兩軸的距離:

(1) A(1,0) (2) B )

7 , 3 2

(  (3) C(0,3) (4) D )

2 31 , (5

A 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。

B 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。

C 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。

D 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。

4.1.3 節 點在直角座標上的移動

前幾節我們學習了在座標上描點與計算點和座標軸的距離,接下來我們來看點如何在 座標平面上移動。

我們已經知道直角座標是由x 軸與 y 軸所組成,x 軸從原點往右邊為正、往左邊為負;

y 軸從原點往上為正、往下方為負。

在圖4.1-14 中,

A(2,1)往右邊移動1 單位,會到達 A'(3,1) B(1,2)往上移動1 單位,會到達 B'(1,3) C(2,1)往左邊移動2 單位,會到達 C'(4,1)

(22)

D(2,1)往下移動2 單位,會到達 D'(2,3)

.

圖4.1-14

y

x

(23)

由前面的例子可知,座標平面上的點在移動時有以下規律:

往右邊移動s 單位,即為 x 座標增加 s;往左邊移動 s 單位,即為 x 座標減少 s。

往上移動t 單位,即為 y 座標增加 t;往下移動 t 單位,即為 y 座標減少 t。

也就是說圖4.1-15,若有一點 P(a,b) (1)往右邊移動 s 單位,會到達(as,b)(2)往左邊移動 s 單位,會到達(as,b)(3)往上移動 t 單位,會到達(a,bt)(4)往下移動 t 單位,會到達(a,bt)

圖4.1-15 例題 4.1.3-1

寫出下列各點座標;

(1)在座標平面上,由原點出發,往右移動 4 單位,到達 A 點,A 點座標為何?

(2)由 A 點出發,往上移動 3 單位,到達 B 點,B 點座標為何?

(3)由 B 點出發,往左移動 6 單位,到達 C 點,C 點座標為何?

(4)由 C 點出發,往下移動 7 單位,到達 D 點,D 點座標為何?

詳解:

如圖4.1-16

(1) 原點為(0,0),往右移動4 單位,也就是 x 座標加 4。A 點座標為(04,0)(4,0)

y

x

P

) , (a b

) , (a bt

) , (a bt

) , (as b )

, (as b

(24)

(3) B 點為(4,3),往左移動6 單位,也就是 x 座標減 6。B 點座標為

) 3 , 2 ( ) 3 , 6 4

(   

(4) C 點為(2,3),往下移動7 單位,也就是 y 座標減 7。

D 點座標為(2,37)(2,4)

4.1-16

y

x x

(25)

【練習】4.1.3-1

寫出下列各點座標;

(1)在座標平面上,由原點出發,往右移動 3 單位,到達 A 點,A 點座標為何?

(2)由 A 點出發,往下移動 2 單位,到達 B 點,B 點座標為何?

(3)由 B 點出發,往左移動 5 單位,到達 C 點,C 點座標為何?

(4)由 C 點出發,往上移動 6 單位,到達 D 點,D 點座標為何?

y

x

(26)

例題 4.1.3-2

在座標平面上,甲由原點出發,沿著x 軸向右走5 單位,再往下方走 2 單位,到 達A 點,則:

(1)A 點的座標為何?

(2)A 點到 x 軸的距離為何?

(3)A 點到 y 軸的距離為何?

詳解:

甲的移動如圖4.1-17

(1) 甲由原點出發,沿著 x 軸向右走個 5 單位,也就是 x 座標加 5,

座標為(05,0)(5,0)

再往下方走個2 單位,也就是 y 座標減 2,A 點座標為(5,02)(5,2) (2) A 點到 x 軸的距離,也就是 y 座標的絕對值: 2 2

(3) A 點到 y 軸的距離,也就是 x 座標的絕對值: 5 5

圖4.1-17

【練習】4.1.3-2

在座標平面上,乙由原點出發,沿著x 軸向左走3 單位,再往上方走 4 單位,到 達B 點,則:

(1)B 點的座標為何?

y

x

(27)

(3)B 點到 y 軸的距離為何?

y

x

(28)

例題 4.1.3-3

座標平面上,有一點P(a,b),若P 點先向右移動 7 單位,再向下移動 8 單位,會 到達Q(4,5),則P 點座標為何?

詳解:

P 的移動如圖 4.1-18 解法一:

我們將點的移動反過來看,從Q(4,5)出發,向上移動8 單位,再向左移動 7 單位,會到達P(a,b)

) 5 , 4

(  向上移動8 單位,會到達(4,58)(4,3)

) 3 , 4

( 向左移動7 單位,會到達(47,3)(3,3) 因此P 的座標為(3,3)

解法二:

P(a,b)往右移動7 單位,會到達(a7,b)

) , 7

(ab 向下移動8 單位,會到達(a b7, 8)

題目說會到達Q(4,5),也就是(4,5)(a b7, 8)是一樣的,兩邊x 座標與 y 座標會相等。(這裡運用到點的重合觀念,會在下一節詳細介紹)

可列出聯立方程式:



 5 8

4 7 b

a ,解得a3、b3。 因此P 的座標為(3,3)

圖4.1-18

y

x

(29)

【練習】4.1.3-3

座標平面上,有一點P(a,b),若P 點先向上移動 6 單位,再向左移動 7 單位,會 到達Q(2,3),則P 點座標為何?

y

x

(30)

4.1.4 節 兩點的重合與對稱

兩點重合: 在座標平面上,若兩點重合,表示兩點的位置相同,所以 兩點的x 座標相 同,y 座標也相同。

例如若點P(a,b)與Q(1,2)重合,則可得a1b2,P 座標為(1,2)。如圖4.1-19

圖4.1-19

兩點對稱: 在座標平面上,若兩點對稱於x 軸,則兩點的 x 座標相同,y 座標互為相 反數。若兩點對稱於y 軸,則兩點的 y 座標相同,x 座標互為相反數。

若兩點對稱於原點,則兩點的x 座標、y 座標皆互為相反數。

※相反數:在數線上分別位於兩點兩邊,且與原點距離相等的兩個點所代表的兩數,

如8 與-8。

4.1-20 中,A、B 兩點對稱於 x 軸。

圖4.1-20 圖4.1-21 中,C、D 兩點對稱於 y 軸。

P

) , (a b

Q

) 2 , 1 (

y

x

x y

y

(31)

圖4.1-21

若有P、Q 兩點對稱於 x 軸,且 P 座標為(a,b),則Q 座標為(a,b)。 若有P、K 兩點對稱於 y 軸,且 P 座標為(a,b),則K 座標為(a,b)。 如圖4.1-22

圖4.1-22

x

P

) , (a b

Q(a,b) K(a,b)

x

y

(32)

例題 4.1.4-1

A(a2,b1)與B(4,5)為座標平面上重合的兩點,試求a、b 之值。

詳解:

A、B 兩點重合,因此 x 座標相同,y 座標也相同。

可列出聯立方程式:



 5 1

4 2 b

a

解得a2b4

【練習】4.1.4-1

A(a b1, 3)與B(3,5)為座標平面上重合的兩點,試求a、b 之值。

例題 4.1.4-2

A(a5,2b7)與B(b1,3a6)為座標平面上重合的兩點,試求A 點座標。

詳解:

A、B 兩點重合,因此 x 座標相同,y 座標也相同。

可列出聯立方程式:



6 3 7 2

1 5

a b

b a

化簡得

13 2 3

6 b a

b a

解得a 1、b5

a、b 之值代入A 點座標:

x 座標:a5(1)54 y 座標:2b72(5)73 得A 點座標為(4,3)

驗算:

a、b 之值代入B 點座標:

x 座標:b1514

y 座標:3a63(1)63 得B 點座標為(4,3)

A 點與 B 點兩點重合,符合題意,故答案正確。

(33)

A(a2b,6a)與B(4,b1)為座標平面上重合的兩點,試求a、b 之值與B 點座標。

(34)

例題 4.1.4-3

座標平面上,A(2,3)與B(a,b)對稱於x 軸,試求B 點座標。

詳解:

A、B 兩點對稱於 x 軸,即 x 座標相同,y 座標互為相反數。

因此B 的 x 座標為 2,y 座標為(3)3 B 點座標為(2,3)

圖4.1-23

x

y

(35)

【練習】4.1.4-3

座標平面上,A(2,3)與B(a,b)對稱於y 軸,試求B 點座標。

例題 4.1.4-4

座標平面上,A(2a1,2b)與B(b,3a)對稱於y 軸,試求A 點座標。

詳解:

A、B 兩點對稱於 y 軸,即 x 座標互為相反數,y 座標相同。

x 座標互為相反數:2a1(b),化簡得2a b1

y 座標相同;2b3a,化簡得3a b2

可列出聯立方程式:



 2 3

1 2

b a

b a

解得a3,b7

代入A 點 x 座標:2a12317 代入A 點 y 座標:2 b2(7)9 得A 點座標為(7,9)

驗算:

B 點座標為(b,3a)(7,33)(7,9),與點A(7,9)對稱 y 軸,故答案正確。

x

y

(36)

【練習】4.1.4-4

座標平面上,A(3a b1, 1)與B(2b1,2a)對稱於x 軸,試求A 點座標。

(37)

4.1.5 節 由座標求周長與面積

在座標平面上,我們可以用點與線來做出一些幾何圖形,例如三角形、長方形和正方 形等。當然也可以再利用座標計算這些圖形的周長與面積。

長方形周長=(長+寬)×2 長方形面積=長×寬 三角形面積=底×高÷2

例題 4.1.5-1

如圖4.1-24,長方形 ABCD 中,A 點座標為(1,2),B 點座標為(1,1),C 點座標 為(3,1),D 點座標為(3,2),試求長方形ABCD 的周長與面積。

詳解:

要計算周長,首先需要先算出長與寬的長度,

也就是A、B 兩點的距離與 B、C 兩點的距離

若兩點間的x 座標相同,則距離為 y 座標相減的絕對值。

若兩點間的y 座標相同,則距離為 x 座標相減的絕對值。

圖4.1-24

A、B 兩點因為 x 座標相同,因此距離為 y 座標相減的絕對值。

A、B 距離為 211,即長方形的寬為1。

B、C 兩點因為 y 座標相同,因此距離為 x 座標相減的絕對值。

B、C 距離為 31 2,即長方形的長為2。

長方形ABCD 周長=(12)26

x

y

(38)

長方形ABCD 面積=212

長方形ABCD 的周長為 6 單位,面積為 2 平方單位。

【練習】4.1.5-1

如圖4.1-25,長方形 ABCD 中,A 點座標為(1,1),B 點座標為(1,3),C 點座標 為(3,3),D 點座標為(3,1),試求長方形ABCD 的周長與面積。

圖4.1-25 例題 4.1.5-2

如圖4.1-26,三角形 ABC 中,A 點座標為(1,1),B 點座標為(2,1),C 點座標 為(2,5),試求三角形ABC 的面積。

詳解:

三角形ABC 面積:底×高÷2=AB BC2

(這裡AB代表A 點與 B 點的距離,BC代表B 點與 C 點的距離。) A、B 兩點因為 y 座標相同,因此距離為 x 座標相減的絕對值。

3 3 2 ) 1

( AB

B、C 兩點因為 x 座標相同,因此距離為 y 座標相減的絕對值。

4 4 5

1

BC

三角形ABC 面積=AB BC23426 三角形ABC 面積為 6 平方單位。

x

y

(39)

圖4.1-26

x

(40)

【練習】4.1.5-2

三角形ABC 中,A 點座標為(1,2),B 點座標為(1,3),C 點座標為(3,3),試 求三角形ABC 的面積。

例題 4.1.5-3

如圖4.1-27,三角形 ABC 中,A 點座標為(2,0),B 點座標為(4,0),C 點座標 為(2,4),試求三角形ABC 的面積。

詳解:

三角形ABC 面積:底×高÷2 底為ABAB 4(2) 6

高為C 點到 x 軸的距離,也就是 y 座標的絕對值,高: 4 4 三角形ABC 的面積=底×高÷2=64212

三角形ABC 面積為 12 平方單位。

x y

y

(41)

圖4.1-27

【練習】4.1.5-3

三角形ABC 中,A 點座標為(0,3),B 點座標為(0,3),C 點座標為(5,1),試求 三角形ABC 的面積。

例題 4.1.5-4

如圖4.1-28,三角形 ABC 中,A 點座標為(2,2),B 點座標為(4,2),C 點座 標為(2,2),試求三角形ABC 的面積。

詳解:

x

x

y

(42)

三角形ABC 面積:底×高÷2 底為ABAB 4(2) 6

高為C 點到AB的距離,由C 作鉛直線交AB於D 點,由圖形可知 D 點座標為

) 2 , 2 ( 

高為CDCD 2(2) 4

三角形ABC 的面積=底×高÷2=64212 三角形ABC 面積為 12 平方單位。

圖4.1-28

x

y

(43)

【練習】4.1.5-4

三角形ABC 中,A 點座標為(2,4),B 點座標為(22),C 點座標為(3,1),試 求三角形ABC 的面積。

x

y

(44)

4.1.6 節 象限問題

在4.1.1 節中,我們已介紹了象限的基本意義,如圖 4.1-29。

圖4.1-29

第一象限中的座標,x 座標為正,y 座標也為正,用(,)表示;

第二象限中的座標,x 座標為負,y 座標為正,用(,)表示;

第三象限中的座標,x 座標為負,y 座標也為負,用(,)表示;

第四象限中的座標,x 座標為正,y 座標為負,用(,)表示。

本節我們將更進一步介紹象限的相關問題。

x

y

(45)

例題 4.1.6-1

座標平面上,若點(a,b)在第二象限,求下列各點分別在哪一象限或哪一座標軸上:

(1) (a,b) (2) (a,b) (3) (a,ab) (4) ( a ,0) (5) (0,b) (6) (ab,a) 詳解:

) ,

(a b 在第二象限,符號表示為(,),即a0b0。 (1) a0 a0,即(a,b)x 座標為正,y 座標也為正,

符號表示為(,),在第一象限。

(2) b0 b0,即(a,b)x 座標為負,y 座標也為負,

符號表示為(,),在第三象限。

(3) a0b0ab0,即(a,ab)x 座標為負,y 座標也為負,

符號表示為(,),在第三象限。

(4) ( a ,0)x 座標不為零,y 座標為零,在 x 軸上。

(5) (0,b)x 座標為零,y 座標不為零,在 y 軸上。

(6) ab0 ab0;即(ab,a)x 座標為正,y 座標為負,

符號表示為(,),在第四象限。

【練習】4.1.6-1

座標平面上,若點(a,b)在第三象限,求下列各點分別在哪一象限或哪一座標軸上:

(b,a) ( a ,0) (b,a) (0,a) (ab,b) (ab,a) 象限或

座標軸

(46)

例題 4.1.6-2

座標平面上,若點(a,ab)在第二象限,求下列各點分別在哪一象限或哪一座標軸 上:

(1) (a,b) (2) (ab,ba) (3) (b,a) 詳解:

) ,

(aab 在第二象限,符號表示為(,),即a0 ab0

0

 abab0

因為a0,可得b0 (若 a、b 都小於 0,那麼 ab 會大於 0) (1) a0b0,即(a,b)x 座標為負,y 座標為正,

符號表示為(,),在第二象限。

(2) ab00

b

a ,即( , )

b

ab ax 座標為負,y 座標也為負,

符號表示為(,),在第三象限。

(3) b0 a0,即(b,a)x 座標為正,y 座標也為正,

符號表示為(,),在第一象限。

【練習】4.1.6-2

座標平面上,若點(a,ab)在第四象限,求下列各點分別在哪一象限或哪一座標軸 上:

(a,b) (ab,a) (0,b) 象限或

座標軸

(47)

例題 4.1.6-3

座標平面上,若點A(a1,2a7)在第三象限內,且A 點到 x 軸距離為 1,則 A 點到 y 軸距離是多少?

詳解:

A 點到 x 軸距離為 1,即 y 座標為 1 或-1……(1) A 點在第三象限,可知 y 座標為負……(2)

由(1)(2)得 A 點的 y 座標為-1 y 座標:2a71,解得a4

a 4代入x 座標:a1(4)13,得x 座標為-3 A 點到 y 軸距離為 x 座標的絕對值: 3 3

A 點到 y 軸距離為 3。

圖4.1-30

【練習】4.1.6-3

座標平面上,若B 點(b9,b1)在第二象限內,且B 點到 x 軸距離為 4,則 B 點y 軸距離是多少?

) 7 2 , 1 (aa

x y

x

y

(48)

4.1 節 習題

習題 4.1-1

圖4.1-31 是博幼國中 1 年 3 班的座位表,座位位置以數對(行,個)來表示,例如 小博的位置是(2,4)。請回答下列的問題:

第五個 小美

第四個 小惠 小博 小新 阿明

第三個 小強

第二個 小白

第一個 小李 小幼

第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 圖4.1-31

(1)小李的位置在 (2)小惠的位置在

(3)小強的位置在 (4)阿明的位置在

(5)坐在(3,4)的是 (6)坐在(3,1)的是

(49)

習題 4.1-2

依據圖4.1-32,寫出各點座標:

圖4.1-32

(1)A 點座標為 (2)B 點座標為 (3)C 點座標為 (4)D 點座標為 (5)E 點座標為 (6)F 點座標為 習題 4.1-3

在座標平面上標出下列各點的位置:

A(2,3)、 B(3,5)、C(2.5,4)、D(4,0)、E(3,3.5)

習題 4.1-4

座標平面上,求下列各點到x 軸與 y 軸的距離:

(1)A(4,4)x 軸的距離是 單位長,到 y 軸的距離是 單位長。

(2)B(8,6)x 軸的距離是 單位長,到 y 軸的距離是 單位長。

x y

x

y

(50)

(3)C(2.5,3)x 軸的距離是 單位長,到 y 軸的距離是 單位長。

(4)D(5,4)x 軸的距離是 單位長,到 y 軸的距離是 單位長。

習題 4.1-5

在座標平面上有A(4,4)、B(3,4)、C(4,3)、D(3,4)四點,請問哪一點和x 軸的 距離最近?

習題 4.1-6

直角座標上有一點A(-1,-2),從 A 往上移動 2 個單位長,再向右移動 3 個單位長,

請問移動後的座標位置是?

習題 4.1-7

在座標平面上,從A 點出發,先往上 2 個單位長,再向右 4 個單位長,最後再往 下5 個單位長,便可回到原點。則 A 點的座標為?

習題 4.1-8

座標平面上有一點P(ab,ab),若P 點先向右移動 10 個單位,再向上移動 7 個 單位,最後到達Q(5,2),求a、b 之值及P 點座標。

(51)

習題 4.1-9

有一隻螞蟻從座標平面上A 點向東走 2 單位,又向南走 3 單位,再向西走 1 單位,

最後到達(0,1),則A 點座標為何?(東為 x 軸正向;北為 y 軸正向)

習題 4.1-10

在座標平面上,甲由原點出發,沿著x 軸向右走5 單位,再往下走 2 單位,到達 A 點,則:

(1)A 點的座標為     。

(2)A 點到 x 軸的距離為     。 (3)A 點到 y 軸的距離為     。 習題 4.1-11

A 為座標平面上的一點,若 A 與 x 軸的距離是 4,A 與 y 軸的距離是 3,且 A 在 第二象限內,則A 的座標為多少?

習題 4.1-12

在座標平面上,若點A(3a5,a)在第二象限內,且A 點到 y 軸距離為 2,則 A 點x 軸距離是多少?

習題 4.1-13

座標平面上,若兩點(a,2)(1,2)距離4 個單位長,則 a=?

(52)

習題 4.1-14

在座標平面上,乙由(6,7)出發,向    (填入左或右)移動    個單 位,

再向    (填入上或下)移動     個單位後,將可到達原點。

習題 4.1-15

座標平面上,以x 軸為對稱軸,則A(3,5)的對稱點座標為 。

習題 4.1-16

座標平面上,A(2ab,4ab)、B(a3b,a18)兩點互相對稱於x 軸,求 a、b 之值與 A 點座標。

習題 4.1-17

已知座標平面上兩點A(2,ab)、B(a,2a1)重合,則A 點座標為 。

習題 4.1-18

已知座標平面上兩點A(a3b,3ab)、B(2ab,5)重合,則A 點座標為 。

習題 4.1-19

A 點座標為(5,1),若B 點與 A 點對稱於 x 軸,C 點與 A 點對稱於 y 軸,試求 B、C 兩點的座標。

(53)

習題 4.1-20

座標平面上有A(a b1, 1),B(4,1)兩點,若A 點向左移動 5 個單位後即與 B 點 重合,試求a、b 之值。

習題 4.1-21

長方形四個頂點座標分別為A(2,3)、B(0,3)、C(0,0)、D(2,0), 試求此長方形的周長與面積。

習題 4.1-22

甲由原點O 出發,沿著 x 軸向右方走 5 個單位到達 A 點,接著向上方走 6 個單位 到達B 點,再向左方走 5 個單位到達 C 點,試回答下列問題:

(1)求 A、B、C 的座標。

(2)四邊形 OABC 是何種四邊形?

(3)求四邊形 OABC 的周長與面積。

(54)

習題 4.1-23

如圖4.1-33,四邊形 ABCD 為長方形,且ABx 軸垂直,試回答下列問題:

(1)B 點座標為何?

(2)D 點座標為何?

(3)四邊形 ABCD 之面積為何?

圖4.1-33

習題 4.1-24

座標平面上有三點A(0,3)、B(0,5)、C(4,1),試求三角形ABC 的面積。

習題 4.1-25

座標平面上,A(m,2m3n)在 x 軸上,B(3m3n3,n)在 y 軸上。

O 為原點,則三角形 AOB 的面積為 平方單位。

(55)

習題 4.1-26

如圖4.1-34,長方形 ABCD 中,已知 A 點座標為(2,3),C 點座標為(3,1),且

ABx 軸垂直,求長方形ABCD 的周長。

習 題 4.1-27

座標平面上有P(3,4)、Q(2,2)、R(3,2)三點,求三角形PQR 的面積。

習題 4.1-28

下表中各點分別在哪一象限內或哪一個座標軸上?

(2,0) (7,2) (5,3) (6,2) (0,8) 圖4.1-34

圖4.1-35

(56)

象限或 座標軸 習題 4.1-29

a>0,b<0,則下表中各點分別在哪一象限內或哪一個座標軸上?

(a,b) ( a ,0) (b,a) (a,ab) (0,ab) 象限或

座標軸

習題 4.1-30

(a,b)在第二象限,則下表中各點分別在哪一象限內或哪一個座標軸上?

(b,a) ( , )

b a a

b (ba,a) (a2,0) (ab,ab)

象限或 座標軸

習題 4.1-31

在座標平面上,已知點(a,b)在第二象限,點(c,d)在第三象限,則點(ac,bd)在第 幾象限?

(57)

4.2 節 二元一次方程式的圖形

4.1 節中我們學習了直角座標上點的表示,本節將結合第三章學過的二元一次方程式,

將其圖形畫在直角座標上。

4.2.1 節 畫出二元一次方程式的圖形

若現在有一個二元一次方程式:x y0

我們將二元一次方程式 x y0的解用數對表示,有(5,5)(3,3)(2,2)(0,0)

) 4 , 4

(  等無限多組,將這些數對記在直角座標上,如圖4.2-1。

圖4.2-1

x

y

(58)

若將圖4.2-1 的點連接起來,會得到一條直線,如圖 4.2-2:

圖4.2-2

事實上,二元一次方程式的圖形都是一條直線。

因為兩點可以決定一條直線,所以若我們想在座標平面畫出二元一次方程式的圖形,

只需要找出二元一次方程式的兩組不同的解,標在座標平面上,再畫出過此兩點的直 線即為此二元一次方程式的圖形。

x

y

(59)

例題 4.2.1-1

下表中的x、y 值都是二元一次方程式x y2的解,請完成下表,並在座標平面上 標出各數對的位置。

x 5 3

y 0 -2 -5

詳解:

方程式為x y2

(1)x5時,(5) y2,解得y3 (2)x3時,(3) y2,解得y 1 (3)y0時,x(0)2,解得x2

(4)y2時,x(2)2,解得x0

(5)y5時,x(5)2,解得x3

填入表格:

x 5 3 2 0 -3

y 3 1 0 -2 -5

標在座標平面:

圖4.2-3

x

y

(60)

【練習】4.2.1-1

下表中的x、y 值都是二元一次方程式2x y1的解,請完成下表,並在座標平面 上標出各數對的位置。

x 3 1 0

y -3 -5

x

y

(61)

例題 4.2.1-2

在座標平面上畫出二元一次方程式x y3 3的圖形。

詳解:

因為二元一次方程式的圖形是一條直線,所以我們只要找到方便計算的兩組解,

標在座標平面上,再畫出過這兩點的直線即可。

x0代入x y3 3,得到(0) y3 3,解得y 1。即(0,1)為一解。

y0代入x y3 3,得到x3(0)3,解得x3。即(3,0)為一解。

(0,1)(3,0)畫在座標平面上,並過此兩點做直線。

圖4.2-4

x

y

(62)

【練習】4.2.1-2

在座標平面上畫出二元一次方程式x y5的圖形。

例題 4.2.1-3

在座標平面上畫出二元一次方程式3x y2 6的圖形。

詳解:

x0代入3x y2 6,得到3(0)2y6,解得y3。即(0,3)為一解。

y0代入3x y2 6,得到3x2(0)6,解得x2。即(2,0)為一解。

(0,3)(2,0)畫在座標平面上,並過此兩點做直線。

x

y

(63)

圖4.2-5

【練習】4.2.1-3

在座標平面上畫出二元一次方程式4x y3 12的圖形。

x y

x

y

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