結 (1)
Louis H. Kauffman 著 · 謝春忠 譯
第一節 : 前言
結的理論 (Theory of Knots) 因 1984 年 Jones 多項式 (Jones polynomial) 的發 現和它所帶動的一連串研究而深受影響, 本 文由這個角度來介紹結的理論。
作者希望能將這些不凡的事件其中蘊涵 的趣味介紹給讀者, 即使是繫鞋帶這樣的小 事也可以成為一窺“編結”堂奧之旅, 我們日 常生活中的帶子、 繩子、 三度空間等都是靈感 與現象取用不盡的泉源。
本文共分十節, 第二、 三節是關於“結”
的起始, 後面的章節則介紹較具技巧性的題 材, 而結與物理之間的關聯在 Jones 多項式 及其括號模型 (Bracket Model) 即已顯現, 這部份將在第五節詳細討論。 第六、 七節介 紹 Vassiliev 不變量 (invariants) 和李代 數 (Lie algebra) 與結理論間奇妙的關係。
括號模型及其推廣的想法是將結本身看做離 散物理系統, 經由對各個物理狀態 (states) 做“平均”(averaging) 後, 獲得拓樸不變量。
在括號模型時, 這種“平均”是有限和, 而且 完全是“組合”性質的。 這種對各物理狀態“平 均”的想法在近代物理處處可見, 例如量子力 學 (見第八、 九節) 和量子場論 (見第十節)。
因此結理論不僅是拓樸想法也是近代理論物 理方法的試金石。
本文著重於結不變量的建構及與其他數 學 (如李代數), 或與物理 (如量子力學及量 子場論) 的關係。 另一方面, 考慮結為三度空 間中的實體, 那麼我們可以充入些許電荷, 在 電腦上觀察結如何因電力間的互斥而在空間 中形成美麗的形狀。 又如, 我們可將結想成由 粗繩組成, 試問何時可得繩長, 繩寬比例最小 的理想繩結, 凡此種種, 實際具體的結有許多 的層面, 也是目前熱門的研究對象, 礙於篇幅, 在此不多作介紹。
第二節 : 打結與 Reidemeister 形變
希望讀者在閱讀本節時能準備軟繩一 段, 做實際的操演。
我們就從打結開始, 先看帆繩結 (見圖 一), 這是最有用的結, 常被用來將馬栓在馬 樁上或將帆船繫在岸邊, 易結易解又牢靠。 圖 一顯示如何打帆繩結。 用的時候抓住下方的 環, 抽緊上方繩頭, 一個當中有“環”結實的繩 結於焉完成, 要解不難, 只須親身操做試試即 知。
20
圖一: 帆繩結
我們主要的目的是藉由結的圖解或圖示 得知它的拓樸性質。 所謂拓樸性質是指不因 結的質材或拉長、 彎曲等作用 (只要不扯斷) 而改變的性質。 但我們不希望“結”在拉長過 程中滑過任一繩頭以致“結”消失無蹤, 所以 結理論家通常假定結是由頭尾相接封閉的繩 子構成以避免上述情形發生。 圖二的三葉結 (trefoil) 就是這樣的一個閉路繩結。
圖二: 三葉結
以閉路繩結形式呈現的結是非常有用 的, 可以被扭曲、 拉扯成許多拓樸性質等同的
形狀, 例如圖三的繩結就是和圖二的三葉結 等價的。
任一繩結或鏈結 (Link) 可具有無 數不同的“表徵”引發數學上的一個問題, 我 們說一個環 (Loop) 有“結”(knotted), 意 思是說這個結不會因為拉長彎曲等作用而消 失, 也就是說在這個環其他的表徵中找不到 無“結”的表徵。 所謂二個環 (拓樸) 等價, 是指其中之一可經本身不自相交 (without self-intersection) 的變形變化成另一。 在這 種意義下, 一個環有“結”是說它不與平面上 毫無相交的閉曲線等價。
開啟 (組合) 編結理論的一個關鍵是 Reidemeister 定理 ([13])(以下簡稱芮氏定 理), 這個定理是說兩個結是等價的若且唯 若, 其中之一可以經由有限次所謂的芮氏形 變 (Reidemeister moves) 變化而成另一個。
圖三: 變形的三葉結
芮氏定理將關於結的拓樸問題歸結為以 結的線圖 (diagram) 來處理。
有一個很有名的數學思維方法叫做“形 式化 (formalism)”, 將數學視為遵循特定 規則的符號的遊戲, 以線圖來處理的結理論, 對這種形式化的想法做了很好的示範, 在
形式化想法中一個特定的數學遊戲 (形式系 統)(formal system), 自身就是數學家鑽研 的對象, 每一個特殊的遊戲可看做一個座標 系統, 展示其關鍵的面相, 我們可經由線圖的 模型來考慮結。
其他的模式 (如將結想成 3 度空間中特 定的繩結) 在不同情況下也是一樣有用。 我 們將發現線圖之為用大矣, 可將我們由結導 入其他的想法或領域, 然後又再回到拓樸。
圖四是三種芮氏形變。
.... ........................... .... ...........................
.... ...........................
.... ...........................
I.
II.
III.
圖四: 三種芮氏形變
以上圖示所顯現的是大圖示中局部的改變, 圖五則展示三葉結的一種圖示如何經過一連 串的芮氏形變而轉化為另一種圖示。 在圖五 中我們在第一步做了二次第二種 (芮氏) 形 變, 第二步則是第二種和第三種形變的組合, 而且我們在最後一步還用了“零形變”, 即不 改變跨越 (crossing) 樣式的拓樸重組。“零形 變”和其他種形變同樣重要, 但因它不會改變 線圖中真正的關係, 所以我們讓它隱身幕後。
II
III
II
I
圖五
結與類比電腦 :
在結束本節之前, 我們再看一個圖 (圖 六), 這次我們將帆繩結頭尾相連成一閉曲線。
經過變形後發現封閉的帆繩結在拓樸上與二 個相扣在一起的三葉結等價。 變形的方法是 用長的繩子打個帆繩結, 再把繩子二頭相連 成閉曲線, 然後調整繩子直至現出二個扣在 一起的三葉結。 不過要注意的是將帆繩結二 頭相連的方法並不唯一。 圖六所示是其中一 種方法, 在發現帆繩結與三葉結的關係後, 還 要花點時間才能找到清楚的圖形, 顯示如何 由帆繩結變化為雙扣的三葉結。 我們可以很 容易地將圖六中的變化分解為一串的芮氏形 變, 如此則實際繩結的模式就像類比電腦般 可以幫助我們發現一連串可能被忽略的變形。
實際的研究對象變成計算的輔助工具用 來探究數學的內涵, 這樣的角色互置真是令
人好奇, 當然實際上這是雙向的, 結的數學模 型與實際繩結的拓樸性質間的緊密相合是其 關鍵。 結就如整數般, 就如我們相信數字遵循 算術法則, 繩結的拓樸性質也是遵循結的拓 樸法則。
圖六
第三節 : 結與鏈結的不變量 — 第一關 (Invariants of knots or links)
我們想由所給的鏈結線圖中計算出一些 代數量, 如多項式、 數字等, 不會隨著線圖 在芮氏形變之下的變動而改易, 如此的數字 或多項式稱做這個線圖所代表的結或鏈結的 不變量。 如果我們製造出這樣的不變量, 則 我們就找到結或鏈結的拓樸訊息。 最簡單的 不變量的例子就是二條曲線的連結數 (Link- ing number)(或做扣數), 也就是計算一條曲
線繞過另一條曲線的次數, 為了計算這個數 目, 我們為這些曲線定出方向, 也就是說每一 條線都加上一個方向的箭頭, 在曲線因芮氏 形變而變動時, 我們時時留意箭頭的方向, 如 果 A, B 二曲線是由一個有方向的鏈結的二 個組件 (components) 來表示, 我們在每個 跨越處給出如圖七所示 +1, 或 −1
+ −
圖七
的符號, 所謂的連結數 LK(A, B), 就是 A, B 上所有跨越處符號的總和。 自然, 像圖八所 示的二個相扣的單環, 它們的連結數不是 +2 就是 −2。
LK = −2 LK = +2
圖八
我們可以證明連結數在芮氏形變下不變, 也 就是說如果我們用線圖 D 來表示 A, B 二 曲線, 用線圖 E 來表示 D 經芮氏形變後 的鏈, 則計算 D 與 E 所得的連結數將是一 樣。 第一種芮氏形變不會影響計算的結果, 因 為單一曲線自身的跨越並不計算在連結數中, 第二種形變或是製造或是摧毀二個符號相反
的跨越, 而第三種則只不過是將圖形重組並 不改變其符號。
以上這些觀察事實上證明了二個相扣的 單環確實是相“扣”的。 不可能有任何一串的 芮氏形變將它變形為二個分開的單環, 因為 分開的二個環其連結數為 0, 不是 +2 或 −2。
看起來證明這麼明顯的事實似乎是小事一件, 不過這卻是成功的運用代數拓樸來探討結與 鏈結的第一步。 連結數本身有悠久而有意思 的歷史, 有很多定義它的方法, 其中有許多定 法比定義為圖形中符號和複雜得多。 我們將 在本節來討論其中一些方法。
連結數最令人著迷處之一是它的侷限 性。 圖九的 Whitehead 鏈結, 是有二個組件 的鏈結, 其連結數為0。 Whitehead 鏈結確確 實實是相扣的結 (不同於分開的二個結), 不 過需要比“連結數”更為有效的方法來證明這 個事實。
圖九: Whitehead 鏈結
另一個這類的例子是 Borromean(或做 Ballantine) 環, 如圖十所示。 這三個環在拓 樸上是不可分的, 但如果拿掉其中任一個, 剩 下的二個就可以分開。
圖十: Borromean 環
上面這些例子也許使你對連結數的前景 略感悲觀, 這裡有個運用連結數正面的例子, 我們要利用連結數來證明 M¨obius 帶與它的 鏡中像拓樸不等價。 M¨obius帶是一條轉半圈 的帶子, 如圖十一示, 它正是有名的只有一個 面及一條邊的曲面。 一個觀測者沿著曲面走, 在帶子上走一圈, 卻發現自己在原出發點的 另一面, 還要再走一圈才能回到原出發點, 結 論是這個曲面只有一邊 (就像是世界的另一 端與我們無限接近, 只需鑽個洞即是, 不過如 果我們在地表旅行, 卻要繞過整個地球才能 到達。)
M
M∗
圖十一: M¨obius 帶及其鏡中像
更令人吃驚的是, 事實上只有二種 M¨obius 帶, 如圖十一所示, 叫它們做 M, M∗, 取 決於半扭的方向。 用紙帶黏一個 M¨obius 帶, 試試看從其中之一變形到另一個, 不能撕破, 哈! 不成的。(試試看!!)
我們如何了解 M¨obius 帶 M 的單向的 拓樸本質呢? 如圖十一在 M 上, 畫一條曲線 C, 比較 C 與 M 的邊界所成的曲線。 二者 定出平行的方向, 計算此二曲線的連結數, 其 數為 +2, 同理可計算 M∗ 的相關連結數得
−2。
如果 M 可拓樸變形到 M∗, 則相關的 鏈結 (即當中曲線與邊界所成的鏈結) 拓樸 等價, 所以必有相同的連結數。 既然事實不是 如此, 可知 M 不可變形到 M∗。
上面我們證明了有二個拓樸不等價的 M¨obius 帶, 這二個 M-帶正是彼此鏡中的 影像, 當一件物體在拓樸上不等價於其鏡中 像時, 叫做 chiral。 我們證明了 M¨obius 帶 的 chirality.
結的三著色
證 明 三 葉 結 確 實 是“結”有 一 個 出“色”的證法, 證明如下: 把三葉結的三個 弧 (arc) 塗上三種不同的顏色, 比方說紅、
藍、 紫。 注意在標準的三葉結圖上每個跨越 點附近都有三種顏色。
現在我們選擇下述的上色規則, “在著色 的圖形上, 任一跨越點附近不是三種顏色都 有, 就是只能有一種顏色。”
我們稱一個圖是“著色的”, 如果它的弧 照上述規則塗了顏色。 沒有結的圖只須用單 一顏色塗上即可。 不見得所有“著色的”圖中
都有三個顏色, 如果確有三色則稱為三著色 圖。
圖十二: 三著色的三葉結
定理: 每一種由標準三葉結線圖經芮氏 形變所得的圖都是三著色的, 所以三葉結線 圖的確代表一個“結”。
與其寫下一個正式的證明, 我們選擇以 圖十三、 十四來說明著色的過程。 每做一次芮 氏形變, 總是可能將原有圖解上的著色延續 到形變後的圖解。 想要證明這行得通最好是 自己試一試, 圖十三、 十四應該是個起頭。
我們注意到如果做第二種芮氏形變將跨 越打開, 雖然如此一來少了個顏色, 但這個顏 色一定在線圖中的另一處出現, 不然的話這 兩個弧在形變之下不可能有不同的顏色 (因 為結上一定有一條路徑連接這兩個弧)。 如此 不論芮氏形變使圖形簡化或複雜, 圖形的三 著色性質都是不變的。 由於三葉結可以被“三 著色”, 則三葉結是確實打結的。 原因是這樣 的, 如果三葉結可以經由芮氏形變逐步變化 為不打結的圓 (無跨越點的線圖), 則每次變 化時, 其中的顏色的種類並不會改變, 但到最 後時, 在無交叉點的標準圓之中, 其顏色就只 能有一種。 這表示原本三葉結之中也只能是 單一顏色。 如此就與三葉結的三著色矛盾。
圖十三: 三著色的三葉結在第二 種芮氏形變下的變化
圖十四: 著色的三葉結在第二、 三 種芮氏形變下的變化
Quandle 和結判別式
著色的論述可有廣泛的推衍。 我們將線 圖中的每個弧以標籤取代顏色, 而著色法則 則以結合這些標籤的乘法法則代替。 如圖十 五所示, 我們看到標為 a 的下跨越弧結合標
A ∗ B A#B
B B
A A
圖十五: Quandle運算
為 b 的上跨越弧得到 c = a ∗ b 或 c = a#b, 二者的取捨決定於上弧的定向對於站 在 a 弧面向上弧的觀測者是向左或向右。 值 得注意的是, 在相交處只有從下跨越的線段 才有二個不同的標籤, 如圖十五若從上跨越 的線段標籤是 b, 從下穿越線段的下半段標 為 a, 則當 b 是向右時從下穿越線段的上半 段給它 a ∗ b 的標籤, 而當 b 是向左時則標 為 a#b。 二元運算 ∗ 和 # 並不一定滿足結 合律。 舉例來說, 在三葉結著色中, 我們用紅 (R)、 藍 (B)、 紫 (P) 三色來上色, 上述的 乘法法則變成 R ∗ R = R, B ∗ B = B, P ∗ P = P , R ∗ B = P , B ∗ P = R, P ∗R = B。 因此 R∗(B ∗P ) = R∗R = R 而 (P ∗ B) ∗ P = P ∗ P = P, 二者不 等。 為了讓這些標籤能與芮氏形變相容, 我們 將要求這些運算滿足一些等式。 在圖十六裡 我以圖證明下列關於 ∗ 和 # 的代數規則, 而 滿足下述規則的代數系統稱為一個 quandle [6]。
1. 對所有 a, a ∗ a = a and a#a = a 2. 對任意標籤 a, b, (a ∗ b)#b = a 且
(a#b) ∗ b = a
3. 對任意標籤 a, b, c, (a ∗ b) ∗ c = (a ∗ c) ∗ (b ∗ c), 且 (a#b)#c = (a#c)#(b#c).
這些規則相對應於芮氏形變 1, 2, 3。
滿足這些規則的標籤可以用類似於三著 色的方法處理。 標記一個結的線圖, 意味著此 圖的任何經一連串芮氏形變而得的線圖都可 遵循相同的標籤法則而得到標記。 不過不是 每一個標籤都會出現在相關的線圖上, 而且 對於每個著色的方式和每個特定的結, 可能 會有某些特定的限制。
A ∗ A A
A
A ∗ A = A and A#A = A
(A ∗ B)#B B
A ∗ B
B A
(A ∗ B)#B = A and (A#B) ∗ B = A
C B A ∗ B
A (A ∗ B) ∗ C
A (A ∗ C) ∗ (B ∗ C)
A ∗ C
B ∗ C
圖十六: Quandle 等式
(A ∗ B) ∗ C = (A ∗ C) ∗ (B ∗ C) and
(A#B)#C = (A#C)#(B#C)
比方說, 考慮對於數字, 這樣的著色法則: a ∗ b = a#b = 2b − a。 這個法則滿足上面 1, 2, 3 的要求, 圖十七顯示在三葉結上這種著色必 須滿足下述方程: a ∗ b = c, c ∗ a = b, b ∗ c = a, 所以 2b − a = c, 2a − c = b, 2c − b = a, 假如 a = 0, b = 1 則 c = 2b−a = 2, 且 a = 2c−b = 4−1 = 3, 我們需要 “3=0”。 所以若以Z/3Z中元素做 為標籤則可滿足這個方程組,Z/3Z是以三為 模的數系。
C
A ∗ B = C C ∗ A = B
B B ∗ C = A
A
圖十七: 三葉結的方程組
對於不熟悉模數系觀念的讀者, 可以考 慮一個標準的時鐘, 上面有1到12的刻度, 如 果我們問 10 點過後 4 個小時是幾點? 答案是 2點, 我們可以說時鐘的計算法則是10 + 4 = 2。 事實上, 在這個計算中 12 = 0, 因為加 12 個小時並不會改變鐘面上所顯示的時間。 我 們在鐘面計算中任意 12 的倍數都視為零, 同 理也可用乘法。 現在時間的平方是 1點, 請問 現在幾點? 除了明顯的答案 1 之外, 5, 7, 11 都是可能的答案, 因為 5 的平方是 25, 7 的平 方是 49, 11 的平方是 121, 在鐘面計算下等 同於 1, 鐘面所代表的是以 12 為模的模數系
Z/12Z。 數學裡一個簡便的方法是將 Z/12Z
想成 {0, 1, 2, . . . , 11} 的集合, 因為 0 = 12, 這些數字代表了所有的鐘點。
一般而言我們可考慮以任意正整數 n 為 模的模數系 Z/nZ , 它的元素是 {0, 1, 2, . . ., n−1}, 其運作就像是 n 而非12的鐘面, 在這樣的系統裡我們說 x = y (mod n) 如果 x − y 可被 n 整除, 譬如 49 = 1 (mod 12) 因為 49 − 1 = 48 可被 12 整除。
模數系 Z/3Z 恰好可以再製三葉結的 三著色, 而“3”正是與此結相關的方程組的特 徵。 事實上, “3”是此相關方程組的行列式值, 而其絕對值是此結的不變量, 詳見 [10, Part 1, Chapter 13]。
這裡有另一個例子, 8 字結 E, 其模為 5, 這顯示了 E 確實是個“結”, 而且是異於 三葉結的結, 我們可以循以下規則用五種顏 色 0, 1, 2, 3, 4, 來著色 (或標記)8 字結:
a ∗ b = 2b − a (mod 5), 見圖十八。
0
1 −1 = 4
2 5
用以五為模的整數來標記 8字結 圖十八:五著色的8字結
c= 2b−a
b
a
注意我們只用了四種顏色。 圖十八用了 0, 1, 2, 4。 在 [12], 我們定結或鏈結 K 的著色數
(Coloring number) 為用 2b − a 這種方式 來著色 K 的“任意”線圖所需的最少 (而大 於 1) 顏色數。 一個很好的習作是證明 8 字結 的著色數的確是 4, 一般而言結或鏈結的著色 數並不容易決定, 這是拓樸不變量具有隱晦 的組合性質的例子。
在本節中提到的其他的結或鏈結都可利 用模數系的方法證明確實是結或鏈結, 讀者 不妨試試 Borromean 環和 Whitehead 鏈 結。
我們所列出的著色 (或標記) 法則可以 描述成與此結相關的代數的公設。 這被稱為 quandle [6]並被推廣為晶體 (crystal) [10], interlock algebra [11], 和 rack [4], 而 quandle 本身則是結的餘集的基本群 (fun- damental group) 的推廣 [3]。
亞歷山大多項式 (The Alexander Polynomial)
模標記方式可以巧妙的推廣到結的亞歷 山大多項式。 這是通過推廣著色法則 a ∗ b 為 ta + (1 − t)b, 而 a#b = t−1a + (1 − t−1)b, t 為一不定元。
習作: 證明這個法則滿足成為 quan- dle 的公設, 這個代數結構被稱為亞歷山大模 (Alexander Module)。
當 t = −1, 得到上面已提到的 2b − a 的法則。 用任意的 t 來著色線圖, 則可得到一 個推廣模 (modules) 的多項式, 這個多項式 即為亞歷山大多項式。 亞歷山大 [1]在原作從 不同的觀點算出這個多項式, 這段發展的歷
史饒富趣味, 詳見 [3], [5], [2], [7], [8], [9]。
可由標記如圖十九所示的三葉結這個小小的 實驗領略其間的關係。 由於線圖本身封閉成 環導出在模運算下必須滿足的關係, 像圖十 九中我們如果將弧1標為0, 弧2標為 A, 則導 出 t+(1−t)2A = 0, 事實上, t+(1−t)2 = t2− t + 1 就是三葉結的亞歷山大多項式, 亞 歷山大多項式是結的代數模數。
A ARC 2
t· 0 + (1 −t)A = (1 − t)A
0 tA+ (1 − t)(1 − t)A
= (t2−t+ 1)A
X*Y=tX+(1-t)Y
ARC 1
圖十九: 三葉結的亞歷山大多項式
參考文獻
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3. R. H. Crowell and R. H. Fox, Intro- duction to Knot Theory, Blaisdell Pub.
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9. L. H. Kauffman, On Knots, Annals of Mathematics Studies Number 115, Princeton University Press, 1987.
10. L. H. Kauffman, Knots and Physics, World Scientific Pub., 1993.
11. L. H. Kauffman, Knots Logic, In Knots and Applications, ed. by L. H. Kauff- man World Scientific Pub. Co., 1994.
12. L. H. Kauffman and F. Harary, Knots and Graphs I. (in preparation).
13. K. Reidemeister, Knotentheorie, Chelsea Pub. Co. N. Y., Springer, Berlin, 1948.
(本文原是作者為 Encyclopedia of Natural and Physical Science所寫)
—本文作者任教於美國伊利諾大學, 譯者為 中央研究院數學所研究人員—
—(下期待續)—
