Hadamard 矩陣及其應用 , 1893-1993
林 參天 · 薛昭雄
1993 年 12 月初, Hadamard 矩陣專家 Seberry教授在澳大利亞 Wollongong 大學 召開 Hadamard 論文 [5]發表一百週年學術 討論紀念會, 來自許多國家的二十多位代表 參加了會議。 Hadamard 是近代著名的法國 數學家, 他的研究領域主要在分析方面。 組合 數學研究人員為何專題紀念 Hadamard 的 這篇文章呢?
話要從1867年英國數學家 Sylvester[12]研 究正交矩陣談起。 Sylvester考慮這樣的n階 正交矩陣H, 其元素是+1或−1(在本文例子 中, 我們用+, −表示+1, −1), 且滿足條件
HHT = nI。
三個簡單的例子是
H1 = [+] , H2 =
"
+ + + −
#
,
H4 =
+ + + + + − + − + + − − + − − +
.
這項課題引起 Hadamard 的注意與興 趣。 1893 年 Hadamard 發表論文 [5], 從 最 大 行 式 值 的 觀 點 研 究 這 類 正 交 矩 陣。
Hadamard在這篇論文中證明了下述的一個 事實: 如果一個n階實矩陣A的所有元素的絕 對值皆小於或等於 1, 那麼A的行列式的絕對 值小於或等於 nn2; 等式成立若且唯若A的元 素是+1或−1且滿足條件 A· AT = nI。 由 於 Hadamard 的這篇文章揭示了這類正交 矩陣的特殊性質, 這類正交矩陣後來就稱為 Hadamard 矩陣。
由於 Hadamard 矩陣具有正交性, 最 大行列式值與元素二元性, 因此 Hadamard 矩陣的構造與應用就受到人們的重視。 由 Sylvester 開始一百多年來, 尤其是在電子計 算機迅速發展, 充分普及的今天, Hadamard 矩陣無論是在理論研究方面還是在實際應用 方面都有極大的發展。
本文旨在拋磚引玉, 在 Hadamard 發 表論文 [5]一百週年之際, 概述 Hadamard 矩陣的若干問題及其應用, 博得更多的專家 和業餘愛好者對 Hadamard 矩陣的興趣和 進行更深入廣泛的研究。
一般說來, Hadamard 矩陣的研究可分 為二大類: 存在性問題和應用問題。 存在性問 題又可分為構造性問題和等價類問題。 應用 方面也可分為理論應用和實際應用。
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我們不難證明如果n階 Hadamard 矩 陣存在的話, 那麼n = 1或n = 2 或n是 4 的倍數。 這是 Hadamard 矩陣存在的必 要條件。 一般人猜測這也是充分條件。 雖然 我們已找到許多方法來構造高階 Hadamard 矩陣, 但仍然無法證明這也是一個充分條 件。 至 1993 年 12 月, 仍未知其存在性的 Hadamard 矩陣中, 最低的階數是 428, 因 而構造性問題自然引起人們的極大興趣。
歷史上最有名的構造方法是 Sylvester, Paley 與 Williamson 等 人 的 方 法。
Sylvester的方法 [12]是這樣的: 如果存 在n階 Hada- mard矩陣Hn, 那麼
H2n =
"
Hn Hn
Hn −Hn
#
是 2n 階的 Hadamard 矩陣。 特別的對 2 階 Hadamard矩陣 H2 =
"
+ + + −
#
, 及 任意正整數k我們不難構造出n = 2k 階的 Hadamard 矩陣。
Paley[10]構造 Hadamard 矩陣的方法 極為有用。 對於任意形如2α(pk+1), 其中p為 奇質數且 4 整除2α(pk+ 1), 的正整數, 他用 二次剩餘的方法, 成功地構造了n = 2α(pk+ 1)階的 Hadamard 矩陣。 例如, 下列n = 8階之 Hada -mard矩陣
H=
+ + + + + + + + + + + − + − − − + − + + − + − − + − − + + − + − + − − − + + − + + + − − − + + − + − + − − − + + + + − + − − − +
即可用其方法構造, 詳細情形請參考 [10]。 特 別地, 當k = 1時, 這樣的質數有無窮多, 因 此存在無窮多 Paley 型的 Hadamard 矩陣。
Williamson[15]利用四元數的原理, 探 討了如下形式的 Hadamard 矩陣
H=
A B C D
−B A D −C
−C −D A B D −C B −A
其中A, B, C, D是奇數t階循環矩陣, 且滿足 條件:
A·AT+B·BT+C·CT+D·DT= 4tI。
Williamson型 Hadamard 矩陣的一個簡單 例子是t = 3的n = 12階 Hadamard 矩陣, 其中
A=
+ + + + + + + + +
B = C = D =
+ − −
− + −
− − +
。
Williamson的 方 法 雖 還 不 能 保 證 構 造 出 所 有 階 數 的 Hadamard 矩 陣, 但 是 Williamson 以及後人借助於電子計算機的 探索, 相繼發現了小階數的 Williamson 型 Hadamard 矩陣。 當階數增大時, 僅僅借助 電子計算機的探索就顯得很困難。 但是後人 沿著這個途徑探索, 用理論的方法構造出許 多 Williamson 型的 Hadamard 矩陣。 近 來在這方面取得較大進展的是中國武漢華中 師範大學的夏明遠教授 [16]。 國際上不少人 的工作也很好, 限於篇幅, 不能在此一一介
紹。 有興趣的讀者, 不妨參看最新綜述文獻 [11]。
另一條途徑是用交叉乘積的方法從若 干已知的 Hadamard 矩陣中構造出高階的 Hada- mard 矩陣。 Hadamard[5]證明了:
如果分別存在h1階和h2階 Hadamard 矩 陣, 那麼存在n = h1h2階的 Hadamard 矩 陣。 這 個 結 果 後 來 被 Agaian 和 Sarukhanyan[1]改進為: 如果分別存在4h階 和4k階 Hadamard 矩陣, 那麼存在n = 8hk階 Hadamard 矩陣。 這是一個很大的改 進。 近年來, 這結果又被 Craigen, Seberry 和張顯謨博士 [4]這一步改進為: 如果分別存 在4a, 4b, 4c, 4d階 Hadamard 矩陣, 那麼 存在n = 16abcd階 Hadamard 矩陣。 如果 能繼續在這個方向進行探索, 取得突破的話, 我們有理由期望構造 Hadamard 矩陣就會 像因子分解那樣由基本的 Hadamard 矩陣 來構造任意高階的 Hadamard 矩陣。 因此, 這也是一條很有希望的探索途徑。 其他一些 構造方法有許多都是上述方法的推廣和改進 [11]。
我們下面談談等價類問題, 顯然 Hada- mard 矩陣經過行交換、 列交換、 行乘−1, 列乘-1 後仍是 Hadamard 矩陣。 如果 Hadamard 矩陣H1 經過若干這樣的變換後 得到 Hadamard 矩陣H2, 則稱H1和 H2是 等價的。 若記 H(n) 為 n 階 Hadamard 矩 陣等價類的個數, 目前已知 H(1) = H(2) = H(4) = H(8) = H(12) = 1, H(16) = 5, H(20) = 3, H(24) = 60, H(28) ≥ 487, H(32) ≥ 66, 104, H(36) ≥ 110 (參
看 [9]), 當n ≥ 32, 等價類數增長很快, 即使 是借助於電子計算機也很難進行完整的分類。
但是等價類問題的研究能促進構造方法的研 究, 也能促進應用方面的研究。 因此這是一個 很有意義的研究方向。
在這方面, 有兩件事可以做。 第一, 對給 定的階數, 至少要有一種方法可以構造出一 定數量的 Hadamard 矩陣; 第二, 要有簡 單有效的分類方法對這些 Hadamard 矩陣 進行分類處理。 中國蘇州大學朱烈教授等人 [9]對 32 階 Hadamard 矩陣的產生和分類做 了有意義的工作。 總的說來, 等價類問題還有 待人們深入研究。
在理論應用方面, Hadamard 矩陣是 同 Hadamard 組合設計、Hadamard 差 集、 二元序列相互連繫的 [11],[7]。 此外 Hadamard 矩陣可以用來構造 Walsh 函數 [11], Williamson型 Hadamard 矩陣可以 用來構造若干 PCS 序列 [7]。
另外, 大 家 已 知 大 於4階 的 循 環 Hadamard 矩陣的存在性問題是同長度大 於 13 的 Barker 序列連結在一起的。 普遍猜 測是不存在大於4階的循環 Hadamard 矩 陣。 這個有三十多年歷史的猜想引起不少人 的興趣。 迄今為止, 大家只知道當n ≤ 12, 100 時, 不存在n階循環 Hadamard 矩陣。
猜想的真正解決還有待於人們的進一步努力 [8]。
在實際應用方面, Hadamard 矩陣 已 經 有 應 用 在 影 像 處 理 和 編 碼 方 面 的 例 子 [11][13]。 但是, Hadamard 矩陣在 圖 像處 理 方 面 的 效 果 不 是 最 好 的。n =
8t + 4階的 Hadamard 矩陣可以用來 構造自對偶[2n, n, d]糾錯碼, 這裡最小距 離d ≥ 8(參看 [13])。 這是一個很好的 性質。 一個很有名的編碼問題是: 是否存 在自對偶 [72,36,16]糾錯碼。 大家自然想 到用 36 階 Hadamard 矩陣來構造自對偶 [72,36,16]糾錯碼, 但是現有已知的 100 多類 36 階 Hadamard 矩陣的等價類都只構造出 自對偶 [72,36,8], [72,36,12]糾錯碼, 自對 偶 [72,36,16]糾錯碼的存在性問題仍未獲解 決 [6]。 目前在這方面可以做的有兩件事。 第 一是至少要有一種新的構造方法產生大量的 新的 36 階 Hadamard 矩陣等價類, 然後看 能否找到自對偶 [72,36,16]糾錯碼, 第二是 證明對 36 階 Hadamard 矩陣, 不存在自對 偶 [72,36,16]糾錯碼。 然而從現有的研究結 果看來, 似乎任何一件事都不容易在短期內 解決。
Hadamard 矩陣在科技日益發達的今 天已經受到高度的重視。 我們經常可以看到 來自美國國防部和國家安全局的研究人員、
來自澳大利亞國防部和密碼科研機構的研究 人員活躍在國際組合數學和離散數學會議的 講臺上報告 Hadamard 矩陣在組合設計、 編 碼和密碼方面的應用和研究。 從 Sylvester 起 126 年來, Hadamard 矩陣的研究已有不 少成果。 但是許多老問題還沒有解決, 又有大 量的新問題提出來, 等待我們去研究。 我們可 以發現 Hadamard 矩陣的研究是一個值得 繼續開發的領域。
參考文獻
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17. X.M. Zhang, Semi-regular sets of ma- trices and applications, Australasian J.
of Comb. 7(1993), 65-80.
後記: 本文作者感謝審稿人細心閱讀本文稿並提
出寶貴建議。
—本文作者任教於美國Nevada大學, Las Vegas校區數學系—
