∂-Neumann ¯ 問題簡介
程守慶 · 張清煇
一般複變函數書中都會提到兩種研究複 變函數的方法, 一種是 Weierstraβ 的級數 展開法, 另一為 Riemann 的偏微分方程的 方法, 即所謂的 Cauchy-Riemann 方程 (C- R equation), 但在初級的複變書中, 主要的 工具其實是 Cauchy 積分, 看不到偏微分方 程的影子, 深入些的複變書又被勢論 (poten- tial theory), 調和分析 (harmonic analy- sis) 所佔住, 還是不清楚 C-R 方程的所扮演 的角色, 一直到多元複變分析 C-R 方程的角 色才明朗化。
複空間 (Cn) 和R2n 的差別在於R2n中 加了一個複結構 J, 亦即 J 為R2n 的一個自 同構映射, 定義如下:
J :R2n→R2n
(x1,. . ., x2n) → (−x2, x1,. . .,−x2n, x2n−1) 由此引入複數, 簡化為Cn空間而得到更大的 方便。 (所以當在 Rm 中討論數學問題時, 很 有可能還是藏有複結構在裡面。) 單複變和多 複變最大的差別就在 Cn, n > 1, 時它的低 維子集仍然帶有一些複結構, (如Cn, n > 1, 中的 (2n − 1) 維子空間必然有 (n − 1) 維
的複結構。) 這就令多複變的解析函數迥異於 單複變。 比如在單複變, 任意域 (domain) D 都存在僅能定義於 D 上的解析函數, 而在多 複變就不然, 為此人們引入擬凸性 (pseudo- convexity) 這個概念。 簡略的說 (當 D 的 邊界為二次可微分時) 就是要對 D 的邊界 點的切空間中的複子空間有所限制, 滿足這 些限制的域 D, 叫做擬凸域 (pseudoconvex domain), 人們才可以合理的在 D 上做分析, 而了解 D 的性質就成為多複變分析中主要的 問題之一。
單複變中的解析函數 f 滿足 C-R 方 程, 用複座標 z = x + iy 將微分寫成
∂z = 1 2( ∂
∂x − i ∂
∂y),
∂¯z = 1 2( ∂
∂x + i ∂
∂y)時, 我們有 ∂f
∂¯z = 0。 多複變時, 把座標寫成 z1 = x1 + iy1, . . . , zn = xn + iyn, 這 時 f (z1, . . . , zn) 為解析的條件是滿足方程 組 ∂f
∂¯z1 = · · · = ∂¯∂fzn = 0。 相應於 ∂zi, ∂z¯i, 有 其對偶 dzi, d¯zi, 很自然的人們就定義 (p, q) 形 (form) Ω(p,q)(D), 0 ≤ p, q ≤ n, 即所
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有 f = P|I|=p
|J|=q
fI,JdzI ∧ d¯zJ 所成的集合, 其中
I = (i1, . . . , ip), J = (j1, . . . , jq),
I ∈ {1, . . . , n} × · · · {1, . . . , n}
| {z }
p個
J ∈ {1, . . . , n} × · · · {1, . . . , n}
| {z }
q個 而 fI,J 為定義於 D 上的函數。
平行於實空間的 de Rham 叢 (com- plex), Dolbeault 叢寫成
0 −→ Ω(p,0)(D) −→ Ω(p,1)(D) −→ · · ·
−→ Ω(p,n)(D) −→ 0
¯
∂ ∂¯
¯
∂
此處我們先假定 f 為夠光滑的形 (form), f ∈ Ω(p,q)(D), ¯∂f 的定義如下:
∂f¯ =X∂f¯ I,J ∧ dzI∧ d¯zJ
∂f¯ I,J=
Xn
j=1
∂fI,J
∂z¯j dz¯j.
而 f 為 D 上解析函數就等同於 f ∈
Ω(0,0)(D), 且 ¯∂f = 0, 從複變觀點對於
f ∈ Ω(p,q+1)(D), 解下列 ¯∂-方程 (亦即 C-R 方程)
∂u¯ = f u∈ Ω(p,q)(D),
∂f¯ = 0
(因為 ¯∂2 = 0, f 必須滿足 ¯∂f = 0 的相容 條件) 成為主要問題, 這是由於解的存在, 其 正則性 (regularity) 等等提供了非常豐富的 訊息。
解 ¯∂-方程的一種方法就是所謂的 ¯∂- Neumann 問題。 這是模仿實變數的 Lap- lace-Beltrami 算子 ∆ = dd∗ + d∗d (d∗ 是 d 的伴隨 (adjoint) 算子)。 人們考慮算子
= ¯∂ ¯∂∗+ ¯∂∗∂¯: L2(p,q)(D) → L2(p,q)(D).
這裡 ¯∂∗ 是 ¯∂ 的伴隨算子 (adjoint opera- tor), 而 (p, q) 形的係數是 D 上的 L2 (即平 方可積) 函數, 我們首先觀察到 寫開時和 一般的 Laplace 算子並無不同, 然而當定義
∂¯∗ 時, 它的定義域中的 (p, q) 形自然而然的 要滿足一些邊界條件, 因此考慮 u= f 時, u 及 ¯∂u 就必須滿足這些邊界條件, 它們和 傳統的 Dirichlet 條件或 Neumann 條件都 不一樣, 這就是 ¯∂-Neumann 這名稱的由來。
另外, 要從這個方向解 ¯∂, 在u= f 中就得 限制 f 滿足 ¯∂f = 0, 這樣很容易證明 ¯∂∗∂u¯ 這一項為零, 所以 v = ¯∂∗u 就給出 ¯∂v = f 的解, 這個解一般稱做典型 (canonical) 解, 因為 ¯∂ 方程的解不唯一, 而這個解和所有滿 足 ¯∂v = 0 的 (p, q − 1) 形 v 垂直。 (這可 由 < ¯∂∗u, v >=< u, ¯∂v >= 0 得到。) 比如 q= 1 時, 典型解會和 D 上所有 L2 的解析 函數垂直, 所以 ¯∂-Neumann 問題得到的 ¯∂- 解是所有解中 L2 範數 (norm) 最小的。 正 式的 ¯∂-Neumann 問題就寫成
u= f, f ∈ L2(p,q)(D), ∂f¯ = 0.
注意在解偏微分方程的邊界值問題時, 不但 尋求解的存在, 明白解在邊界的正則性 (reg- ularity) 也一樣重要。
∂¯-Neumann 問題是 D. C. Spencer 1950 年代提出, 起先人們想用積分算子來解, 但這新的邊界條件不是傳統的方法處理得了
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的, (用積分方法解 ¯∂ 的做法要到1970 年代 由 G. M. Henkin 等人做出)。 後來 C. B.
Morrey 引進了次橢圓估計 (subelliptic es- timate), 而由 J. J. Kohn 在1960年初期解 決了當 D 為強擬凸 (strongly pseudocon- vex) 域時的 ¯∂-Neumann 問題。 D 是強擬凸 域的一種定法是 D 的每一個邊界點都存在一 個局部雙向正則 (local biholomorphic) 座 標變換, 使得這點附近的邊界變成一般的強 凸 (strongly convex) 域的邊界。 很快的 L.
H¨ormander 得到一般擬凸域 (pseudocon- vex domain) 上 ¯∂-Neumann 解的存在。 但 它的邊界正則性則懸疑了很長一段時間, 也 就是說, 當 D 的邊界是無窮可微分, f 也在 C(p,q)∞ ( ¯D), 那麼典型解是否也在 C(p,q)∞ ( ¯D) 中? (p, q) = (0, 1) 的情形尤其引人關注, 這從典型解的特性可見端倪, 明白的說, 令 N(p,q) 代表對 u = f , f ∈ L2(p,q)(D) 的 逆算子, 我們有
P = Id − ¯∂∗N(0,1)∂¯: L2(D)
→ L2(D) ∩ H(D)
H(D) 代表 D 上解析函數, P 是 D 上 L2 函數到 D 上平方可積分且解析的函數子空間 (即 L2(D) ∩ H(D)) 的投影算子 (projec- tion operator), 稱為D的 Bergman 投影算 子。 這個算子的核 (kernel) 叫做 Bergman 核, 由此可定出D上的 Bergman 度量 (met- ric), 這些都是D上的雙向正則不變量 (bi- holomorphic invariant)。 了解它們的性質, D上相關的複變性質也大致明白了。
為了解 ¯∂-Neumann 問題解的邊界正 則性, 人們尋找比強擬凸鬆些的條件, J. J.
Kohn 在 1972 年引進了所謂有限邊界型 (fi- nite type), 滿足這條件的 D, ¯∂-Neumann 解的邊界正則性也是對的。 不過 1996, M.
Christ 證明在 C2 中的“worm”域上, ¯∂- Neumann 問題解不具正則性, 而在有無正 則性之間尚有許多待解的問題。
當 ¯∂-Neumann 問題解的邊界正則性 保持時, 有許多應用, 如常態解析 (proper holomorphic) 映射的邊界延拓或邊界 C-R 方程 ( ¯∂b) 的解等等, 由於 J. J. Kohn 在這 個問題上的投入與貢獻, 有些人把b 算子稱 為 Kohn Laplacian, 有興趣的讀者可由參 考文獻找到更多資料。
參考文獻
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—本文作者程守慶任教於清華大學數學系, 張清煇任職於中研院數學所—
