摘 要
本研究的主要目的在於比較「GeoGebra 輔助教學模式」與「傳統講述 教學模式」對國三學生學習函數課程之成效，並探討學生經由 GeoGebra 輔 助教學後的態度調查，以便可以作為將來在國中階段發展 GeoGebra 輔助教 學之參考。
研究方法為準實驗研究法，採不等組前後測設計。實驗樣本取自台中縣 某國中三年級兩班共 62 名學生，分派一班為實驗組，另一班為控制組，實 驗組實施 GeoGebra 電腦輔助教學，控制組實施傳統講述教學。本實驗教學 為期三週，內容為國中三年級函數課程，經實驗教學之後，比較兩組學生函 數學習成就及數學學習態度之改變和針對實驗組使用 GeoGebra 輔助學習函 數課程的態度調查，研究結果各項資料經統計處理分析之後獲得下列四項主 要發現：
一、針對函數單元，實驗組與控制組數學在學習成就上的改變達到顯著差異。實 驗組高、中分群學生和控制組高、中分群學生在學習成就上的改變未達顯著 差異；而實驗組的低分群學生和控制組低分群學生在學習成就上的改變達到 顯著差異。
二、針對函數單元，實驗組在成就前後測驗的試題答對率高於控制組。實驗組低 分群在試題答對率明顯高於控制組低分群。
三、針對函數單元，實驗組與控制組數學學習態度的改變並無顯著的差異。而實 驗組高、中、低分群與控制組低分群學生數學學習態度均呈現正成長；唯控 制組的高、中分群學生在數學學習態度上卻呈現負成長。
四、針對函數單元，實驗組各分群學生對於採用 GeoGebra 電腦輔助教學多持正 向的態度。
國三函數課程GeoGebra輔助教學成效之研究
目錄
第一章 緒論
第一節 研究動機………1
第二節 研究目的及待答問題………4
第三節 研究假設………5
第四節 名詞界定………6
第五節 研究限制………7
第二章 文獻探討 第一節 電腦輔助教學之理論基礎………8
第二節 電腦輔助教學與傳統講述教學之比較………23
第三節 GeoGebra電腦輔助學習環境………26
第四節 函數學習的相關研究………32
第五節 電腦輔助學習之相關研究………35
第三章 研究方法 第一節 研究設計………40
第二節 研究對象………43
第三節 研究工具………46
第四節 研究流程………52
第五節 資料處理與分析………55
第四章 研究結果與討論 第一節 函數課程學習成就之比較………56
第二節 函數成就測驗訪談分析………62
第三節 數學學習態度量表之比較………69
第四節 實驗組學生使用 GeoGebra 態度分析………75
第一節 結論………89
第二節 建議………91
參考文獻 中文部分………92
英文部分………97
附表目次 表 2-1 Piaget 的認知發展期………9
表 2-2 內在學習歷程與外在對的教學步驟………13
表 2-3 GSP 及GeoGebra 對照比較表………29
表 2-4 電腦輔助數學教學/學習成效比較表………38
表 3-1 研究實驗變項表………41
表 3-2 實驗組及控制組函數成就測驗前測之獨立樣本T檢定摘要表………44
表 3-3 實驗組單因子變異數分析………44
表 3-4 實驗組分組 Scheffe 法事後比較………44
表 3-5 控制組單因子變異數分析………45
表 3-6 控制組分組 Scheffe 法事後比較………45
表 3-7 數學學習態度量表各題之鑑別度、分層信度、總信度因素分層……47
表 3-8 信度係數值與分層、總量表優劣對照表………48
表 3-9 函數成就測驗試題之難度與鑑別度分析表………49
表 4-1 實驗組和控制組學習成就前後測之平均數與標準差………56
表 4-2 實驗組和控制組學習成就前後測之共變數分析摘要表………57
表 4-3 實驗組和控制組高分群學習成就前後測之平均數與標準差…………58
表 4-4 實驗組和控制組高分群學習成就前後測之共變數分析摘要表………58
表 4-5 實驗組和控制組中分群學習成就前後測之平均數與標準差…………59
表 4-6 實驗組和控制組中分群學習成就前後測之共變數分析摘要表………59
表 4-7 實驗組和控制組低分群學習成就前後測之平均數與標準差…………60
表 4-8 實驗組和控制組低分群學習成就前後測之共變數分析摘要表………61
表 4-9 實驗組和控制組在函數成就測驗之試題答對率………62
表 4-10 函數前、後測第四題兩組分群試題答對率………64
表 4-11 函數前、後測第十五題兩組分群試題答對率………65
表 4-12 函數前、後測第八題兩組分群試題答對率………67
表 4-13 實驗組和控制組數學學習態度量表前後測之成對樣本T檢定表…69 表 4-14 實驗組和控制組數學學習態度量表前後測之共變數分析表………69
表 4-15 兩組高分群數學學習態度量表前後測之成對樣本T檢定表………70
表 4-16 兩組高分群數學學習態度量表前後測之共變數分析表………71
表 4-17 兩組中分群數學學習態度量表前後測之成對樣本T檢定表………72
表 4-18 兩組中分群數學學習態度量表前後測之共變數分析表………72
表 4-19 兩組低分群數學學習態度量表前後測之成對樣本T檢定表………73
表 4-20 兩組低分群數學學習態度量表前後測之共變數分析表………73
表 4-21 GeoGebra 使用態度調查：第一題………75
表 4-22 GeoGebra 使用態度調查：第二題………76
表 4-23 GeoGebra 使用態度調查：第三題………76
表 4-24 GeoGebra 使用態度調查：第四題………77
表 4-25 GeoGebra 使用態度調查：第五題………77
表 4-26 GeoGebra 使用態度調查：第六題………78
表 4-27 GeoGebra 使用態度調查：第七題………78
表 4-28 GeoGebra 使用問卷調查：課程內容………79
表 4-29 GeoGebra 使用態度調查：第八題………80
表 4-30 GeoGebra 使用態度調查：第九題………81
表 4-31 GeoGebra 使用態度調查：第十題………82
表 4-32 GeoGebra 使用問卷調查：師生同儕互動………82
表 4-33 GeoGebra 使用態度調查：第十一題………84
表 4-34 GeoGebra 使用態度調查：第十二題………84
表 4-35 GeoGebra 使用態度調查：第十三題………85
表 4-36 GeoGebra 使用態度調查：第十四題………86
表 4-37 GeoGebra 使用態度調查：第十五題………86
表 4-38 GeoGebra 使用問卷調查：GeoGebra學習態度………87
表 4-39 GeoGebra 使用態度調查：第十六題………88
表 5-1 研究結果整理………89
圖 2-1 電腦輔助學習的位置圖………8
圖 2-2 訊息處理心理歷程圖示………12
圖 2-3 學習與記憶的訊息處理模式………13
圖 3-1 實驗設計圖………40
圖 3-2 實驗學校的電腦教室………46
圖 3-3 函數成就測驗之難度—題數分配圖………50
圖 3-4 函數成就測驗之鑑別度—題數分配圖………51
圖 3-5 研究實施流程圖………54
附錄目次 附錄 A： GeoGebra 輔助學習環境………102
附錄 B： 數學學習態度量表………105
附錄 C： 函數成就測驗前測試題………107
附錄 D： 函數成就測驗後測試題………113
附錄 E： GeoGebra 使用態度調查表………120
附錄 F： 晤談原案………123
第一章 緒 論
第一節 研究動機
研究者於國民中學任教數學科已多年，在教學的歷程中，經常在思考如何使 學生學得更好、更有效率，以函數的學習為例，看似簡單的變數與變數之間的關 係，其實在國中生學習時，有相當多學生感到有些困難，而大多數的學生對函數 的認識都停留在抽象符號的代數觀念，忽略了函數在座標幾何上的意義（林星 秀，2001），然而，許多研究指出與代數表徵相比，學生較擅長處理圖形表徵
（Markovits , Eylon, & Bruckheimer，1988）。美國數學教師協會（NCTM）在 1989 年的「Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics」中強調數 學教學要使用具體視覺化模型以促進概念的學習；在 2000 年的「Principles and Standards for School Mathematics」中指出利用電腦及計算器繪製函數圖形，並觀 察當參數改變時，圖形的變動關係。
參照戴爾的經驗金字塔(Dale，1969)，愈上層觀念愈抽象，即愈抽象的概念，
學生愈不容易理解。學生必須主動的操作或模擬實際經驗才能得到最好的學習成 效（余酈惠，2002）。數學是一門具有高度抽象性的學科，數學結果大都是以經 驗金字塔頂端的方式來呈現，數學學習在本質上一是探索空間中數、量、形關係 的具體事物，另一是分析邏輯推理的抽象思維。數學的學習可佈置一資訊學習環 境，使學生透過電腦操作實驗，使之從具體事物、圖形表徵中模擬、操作、發展 推理論述的符號語言，對於學習能力的開拓較有幫助(左台益，2002；柳賢，
2003)。教師在實施數學教學時所設計的教學活動，要讓學生從實際操作或主動探 索中學習，穩固金字塔基礎的經驗，避免僅具表面形式的了解，而忽略式子、符 號等具體事實的關聯，否則難以達成概念轉變的成效(陳招池，2001；戴錦秀，
2002)。
圖 1-1 戴爾(Dale)的經驗金字塔
美國聯邦準備理事會（Federal Reserve；Fed）主席葛林史班曾說：「能夠駕 馭數學 — 指數字的掌握與對概念性基礎的了解，會強化一個人處理日常生活中更 模糊與更數量化關係的能力。」（蕭美惠，2001）。可見數學能力的培養十分必 要。1983 年美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics）建議 所有各層次的老師為了教導數學技能與概念，而讓學生達到有效的學習，都應該 使用科技的工具。Thomas（1993）也指出在教育改革中電腦輔助教學對數學成就 之促進尤其有效。而國內的學者（吳鐵雄，1983；陳明仁，1991）亦認為電腦輔 助教學是突破我國傳統班級教學，適應學生個別差異，提高教學品質的有效途徑 之一。1989年美國科學促進協會（American Association for the Advancement of Science）提出 2061 計劃強調科學、數學與科技的整合， 同時強調跨科學學科的 整合，讓學生們所學到的科學能夠應用到日常生活中（Project 2061 AAAS,1989；
Rutherford, F. J. & Ahlgren, A. ,1990）。
部分學者對於把電腦用在教育上抱持正反兩面的觀點，Kulik and Kulik(1991) 與 Khalili and Shashaani(1994)在分析了 254 篇和 36 篇研究論文後，分別都指出以
電腦科技為基礎的教學或輔助教學可提供從小學到大學各年齡層的學生學習成效 正面的助益。Kerr(1996)則透過教育社會學的觀點，探討電腦輔助教學對中小學教 室內的社會組織、個體文化的互動形態，乃至教學實務上性別、年級、少數民族 等之間的新階級型態。華人世界學者張霄亭、單文經（2005）歸納其觀點，主張 既不可忽視科技為教育帶來的正面效益，又不可盲目地迷信科技所造成的負面影 響。雖然學者對於電腦輔助教學尚未有共同的看法，然而以資訊科技融入數學領 域已成為現今的教育改革流行風潮之一（劉光中，2006）；在班級人數居高不下 的台灣，電腦輔助教學具有提供個別化的學習、增進主動的學習，增加感官和概 念的學習、可重複的學習、立即回饋等等特性（溫嘉榮、吳明隆，1999），電腦 經常能吸引青少年族群流連忘返，在以現今教育「以學生為中心」的思維下，進 一步探討如何透過瞭解並善用其對青少年的學習影響如何，實有其必要性。
基 於 以 上 所 言 ， 再 加 上 先 前 相 關 研 究 幾 乎 均 以 GSP 來 設 計 教 材 ， 然 而 GeoGebra較GSP擁有更多優勢，其對於學習成就及態度之成效有其研究之價值。
因此本研究擬透過電腦軟體 GeoGebra 來設計函數輔助課程，利用其具有尺規作 圖、紀錄作圖過程等，將函數概念以圖形的動態方式呈現，可以讓學生的學習藉 著觀察、猜想的過程，加深函數在座標幾何上圖形呈現的印象，對學生學習函數 的方式有輔助觀察的效果，並且可以輔助老師的教學，進而幫助學生的學習。
第二節 研究目的及待答問題
本研究係為針對國三學生學習二次函數而發展的電腦輔助教學設計，以實驗 比較的方式探討在此主動探究學習的教學設計下，學生能不能夠對國中的二次函 數課程有一個通盤的瞭解，進而統整出一個由抽象而直覺的整體概念，以及探究 個別學習與教學設計間的互動情況。而主要目的在於比較「GeoGebra 輔助教學模 式」與「傳統講述教學模式」對國三學生學習函數課程之成效及學習態度之改 變，並探討實驗組學生經由 GeoGebra 輔助教學後的問卷調查，以便作為將來在 國中階段發展 GeoGebra 輔助教學之參考。因此提出以下待答問題：
一、 學生接受「GeoGebra 輔助教學模式」與「傳統講述教學模式」兩種不 同的教學方法之後，在函數課程的學習成就上是否有差異？
二、 學生接受「GeoGebra 輔助教學模式」與「傳統講述教學模式」兩種不 同的教學方法之後，在數學學習態度上是否有差異？
三、 實驗組學生對於用 GeoGebra 輔助學習數學的態度為何？
第三節 研究假設
本研究針對台中縣某國中國三學生，欲比較使用 GeoGebra 輔助教學的實驗 組以及傳統講述教學法的控制組，在學習函數成效的改變，故擬考驗以下的虛無 假設：
一、針對國中數學科函數單元，實驗組與控制組數學學習成就並無顯著的差 異。
二、針對國中數學科函數單元，實驗組與控制組的高分群學生，數學學習成 就並無顯著的差異。
三、針對國中數學科函數單元，實驗組與控制組的中分群學生，數學學習成 就並無顯著的差異。
四、針對國中數學科函數單元，實驗組與控制組的低分群學生，數學學習成 就並無顯著的差異。
五、針對國中數學科函數單元，實驗組與控制組數學學習態度的改變並無顯 著的差異。
六、針對國中數學科函數單元，實驗組與控制組的高分群學生數學學習態度 的改變並無顯著的差異。
七、針對國中數學科函數單元，實驗組與控制組的中分群學生數學學習態度 的改變並無顯著的差異。
八、針對國中數學科函數單元，實驗組與控制組的低分群學生數學學習態度 的改變並無顯著的差異。
第四節 名詞界定
為便利討論分析，茲針對本研究所使用的一些特定名詞，加以說明如下：
一、函數
函數的定義是，對於任意給定的一個 x 值，都恰有一個 y 值與它相對應，則 我們說 y 是 x 的函數。本研究所謂之函數，僅指現今國中數學第四冊第一章一元 二次函數單元的內容，亦即指形如yax2 bxc(a0)之函數。
二、表徵
表徵是「將一種事物，轉換為另一種較為抽象或符號的方式（概念），用以 代表原來事物的心理歷程。」（張春興，1992）本研究中提到的有圖形表徵、代 數符號表徵等。
三、基模(schema,scheme)
個體運用與生俱來的基本行為模式，瞭解周圍世界的認知結構。Piaget 將其 視為人類吸收知識的基本架構。
四、動態幾何環境
係指本研究所採用之動態幾何繪圖軟體 GeoGebra 的幾何學習操作環境。學 習者可以在這個環境中透過軟體的操作，進行幾何圖形的建構，並藉由圖形的變 換、測量、試驗和分析，決定幾何圖形的關係及性質，進而加以驗證。
五、傳統講述教學
係指在班級教學中，教師將教材內容經由黑板的傳統解說式的教學法傳達給 學生，以教師講、學生聽的方式進行（陳英娥，1992）。
六、數學學習態度
係指個人對於數學學習所具有的一種持久又一致的行為取向。本研究以受試 者在研究者改編之「數學學習態度量表」中的得分作為其個人在數學學習態度上 的指標。
第五節 研究限制
本研究屬於準實驗研究，在研究過程中，主要限制有：
（一）就研究樣本而言
本研究由於考量城鄉差距、時間及財力等因素的限制與困難，受試樣本僅限 於教學者所任教的二個班的學生，故研究結果不足以推論至其他縣市之同年齡層 之國三學生。若欲推廣，則需考慮種種因素，如地區、年級等母體差異不大的樣 本。
（二）就研究變項而言
本研究為考量學習者接受實驗教學的成效，然而對於「動態表徵教學」之界 定的內涵尚多，各研究者對其之教學設計方式或有未能完全考量，此為本研究限 制，後續相關研究可考量國內外其他學者相關教學再做進一步探討。
（三）就研究題材、數學內容而言
二次函數等相關教材配置於國中三年級上學期，而本研究中所探究之內容僅 及於教材中之二次函數單元，因此，其他冊其他單元內容是否等同適用本研究結 果並不能推論。由於考慮不影響原班上課及學校電腦教室的排課時間，故實驗教 學僅進行三星期（二次上機），實驗時間尚短，若推廣為長時間使用，仍需再進 一步研究。
（四）就資料蒐集而言
本研究資料蒐集在學生個人的學習紀錄的部分採用問卷寫作方式，其編製內 容，雖係參考相關資料所整理歸納而成，但仍無法涵蓋所有相關資料；此外，問 卷採填答方式，研究者較無法掌握受試者之心境及真實性，且問卷填答是採自陳 方式，無法了解每位受試者是否能誠實以告，是以，本研究均假設受試者都能依 照其實際狀況填答。
第 二 章 文 獻 探 討
第 一 節 電 腦 輔 助 教 學 之 理 論 基 礎
邱貴發(1994)認為電腦輔助學習的核心概念是指在某個文化社會環境中，以 領域知識為主幹，運用合適的學習理論及電腦科技輔助該領域知識的學習。根 據這個概念，學習理論和電腦科技都是依據領域知識而選用的。電腦輔助學習 的研究者應充分了解文化社會環境的前提下，把電腦科技和學習理念整合到領 域知識的學習過程中。
圖 2-1 電腦輔助學習的位置圖(邱貴發，1994)
1960 年代後期，心理學家發現學習者的內在認知結構與建構知識的過程才是 學習成功的關鍵（余酈惠，2002），以下便從認知理論談起。
一、 認知理論
電腦輔助教學的方法與設計深受認知心理學之主要理論的影響(Alessi &
Trollip，1991)。認知學習論的主張，將學習視為演繹(deduction)的歷程(由普遍原 則到特殊事例)，認知心理學家們視學習為個體對事物經由認識、辨別、理解，從 而獲得新知識的歷程，在此歷程中個體所學到的是所謂的認知結構(張春興，
2001)。在這整個學習的歷程中，學習者的角色必須由被動的訊息接受者變為主動 而積極的參與者，以建構自己的知識(沈中偉，1995)。
(一) Piaget 的認知發展論
Piaget 認為人類個體的認知發展可分為感覺動作期、前運思期、具體運思期 和形式運思期等四個主要階段(張春興，2001)，他將認知發展看成一個不斷同化 與調適的歷程，這歷程導致認知結構的重組。其中同化指的是將新訊息納入現有 基模的歷程，而調適則為基模的暫時或永久的修改以使我們更容易與周圍的世界 互動，教師應協助學生瞭解個體認知的現象以達到學習的成效。
由 Piaget 的認知發展理論分析，人類的認知歷程是循序漸進的依據先前的學 習基礎來發展新的學習經驗，以平衡狀態來把握現有的經驗，以作為繼續學習的 準備。應用 Piaget 的理論於教學上的原理有(鍾聖校，1990；王文科，1991)：
1. 配合認知發展順序原理：進行教學前宜診斷兒童認知發展的層次，再進行 教學。
2. 學習是基模的類化、是內在某一階段能力的精緻化。
3. 學習必須引起主體的心靈活動而避免使用外在增強、直接口語指導，以及 剝奪兒童自己發現的機會。
4. 學習不同於訓練，在於充份了解，能適當的解釋支持自己的判斷、可以遷 移所獲運思能力，不會有實驗效果中消弱的情形。
表 2-1 Piaget 的認知發展期(引自張春興，2001) 期 別 年 齡 基模功能特徵
感覺動作期 0~2 歲
1.憑感覺與動作以發揮其基模功能 2.由本能性的反射動作到目的性的活動 3.對物體認識具有物體恆存在概念
2.能使用符號代表實物
3.能思維但不合邏輯，不能見及事務全面
具體運思期 7~11 歲
1.能根據具體經驗思維以解決問題 2.能理解可逆性的道理
3.能理解守恆的道理
形式運思期 11 歲以上
1.能做抽象思維
2.能按裝設驗證的科學法則解決問題 3.能按形式邏輯的法則思維問題
(二) Bruner 的發現學習理論
Bruner 認為人類的學習是一種認知能力發展的過程，他以三個階段來說明個 體認知表徵的過程(張春興，2001)：
1.動作表徵(enactive representation)：三歲以下的幼兒靠動作來認識、了解周 圍世界，獲得知識和經驗，動作表徵是求知的基礎，可從幼兒期使用到終生。
2.形像表徵(iconic representation)：兒童可以運用感官對事物所得的心象，或 靠照片、圖形等，來了解周圍世界，獲得知識，此為具體進入抽象之始。
3.符號表徵(symbolic representation)：兒童能運用語言文字、數字、圖形、符 號等為媒介，求取知識、表達經驗，並可依邏輯思考、抽象推理去解釋周圍事 物、 發現原理原則、解決問題。
發現學習(discovering learing)是指學生在學習情境中，經由自己探索尋求，從 而獲得問題答案的一種學習方式。學生根據自己的知識和經驗，對問題情境作一 番直覺思維(intuitive thinking)，它是發現學習的前奏，學習情境必須具備結構 性， 如此學生才易於理解、不易遺忘，在類似的情境中才能產生正向的學習遷 移，並可以培養學生執簡御繁的能力進而從事獨立研究。Bruner 認為學習者探索 性的反應之後，回饋是學習者發現問題答案時，從錯誤調整到正確的認知歷程，
當學習者發現錯誤而自行改正之後，所產生的回饋作用遠比外在的獎勵更有價 值。教學設計的四大要則為(張春興，2001)：
1.教師必先將學習情境及教材性質，解說得非常清楚，學生在學習情境中，
才能經由主動發現原則而獲得知識。
2.教師在從事知識教學時，必先配合學生的經驗，將所授教材做適當組織，
務使每個學生都能從而學到知識。
3.教材的難度與邏輯上的先後順序，必須針對學生的心智發展水平及認知表 徵方式，做適當的安排，俾能使學生的知識經驗前後銜接，從而產生正向學習遷 移。
4.在教材難易安排上，必須考慮學生學習動機的維持。
將發現學習理論應用在電腦融入教學上，應注意的有(徐新逸，1996)：
1.畫面所呈現的內容是否屬於學生的理解程度，教師應盡量選取適當的教材 設計出適合學生學習的環境。
2.應注意學習環境是否為結構化的組織，如果教材本身缺乏結構性，或是學 生本身缺乏認知結構的基礎知識，則發現學習將不易產生。
3.利用電腦學習，學生必須主動去探索一些節點，如果是被動的學習態度則 所學將有限。
4.電腦學習中學生擁有學習的控制權，給予學生控制權可以幫助學生主動投 入學習活動中，進而達到自我啟發的效果。
(三)訊息處理學習理論
訊息處理學習理論是為解釋人類在環境中，如何經由感官察覺、注意、辨 識、 轉換、記憶等內在心理活動，以吸收並運用知識的歷程。訊息處理的心理歷 程起於環境中的 刺激 ， 經由 個體憑視 、 聽 、 嗅 、 味等 「 感 官收錄 」 (sensory register，SR) 外界刺激時所引起的短暫(三秒鐘以下)記憶；再經「注意」(attention) 而在時間上延續到20秒以內的「短期記憶」(short-term memory，STM)；透過復 習(rehearsal)可保持訊息長期不忘的「長期記憶」(long-term memory，LTM)，若 短期記憶在有限的時間內對感官收錄的訊息適時作出反應，則形成「運作記憶」
息便會遺忘(張春興，2001)。
圖2-2 訊息處理心理歷程圖示
Gagne’(1985)發展的訊息處理模式，如圖 2-3 所示，環境所給予的刺激由學 習者的感受器(receptor)所接收，這些訊息立即轉換為神經化學衝動，送入大腦中 樞的感覺登錄器(sensory register)，作極為短暫的停留，然後這些引起學習者注意 的訊息，經由「選擇性知覺」(selective perception)的歷程，儲存於短期記憶區 (short-term memory)，短期記憶內的訊息需 要進一步經過編碼的過程(encoding process)，轉換成語意(semantic)或心像(mental image)的形式，並和學習者舊有的 相關知識和經驗 結合後，儲存於長期記憶區(long-term memory)內。
當個體需要自長期記憶內回憶出所儲存的資料時，需藉助某種回憶線索，在 長期記憶區內「檢索」(retrieval)出相關的資料，送回短期記憶區內，然後視實際 需要從事分析、轉換、整合的工作，隨後送入「反應形成器」(response generator) 組成口語、文字或動作等反應系列，最後引導「執行器」(effector)對外界環境輸 出反應。另外，也可直接由長期記憶區送至反應形成器，而節省反應的時間。在 整 個資訊處理過程中，記憶與檢索是最重要的角色，強調人類心智的「內隱能 力」 (innate ability)，而非表面的「外顯行為(external behavior)。學生在學習時，
透過整個認知歷程有幾個重要任務要達成，(1)集中自己的注意力(2)記起有關的舊 經驗(3) 組織訊息(4)結合舊經驗與新訊息(5)記憶得長久(6)有學習興趣(7)監控自己 的學習狀況等(張景媛，1993)。
圖2-3 學習與記憶的訊息處理模式(Gagne’，1985)
Gagne’將認知理論發揚光大對 CAI 領域產生鉅大影響(Gagne’, Wager &
Rojas，1981)。他主張教師應安排外在教學步驟以支持學習者內在學習歷程， 一 個成功的學習經驗，分析為九項心智歷程，並為每一項心智歷程設計一個教學活 動。上述教學活動應滿足或提供學習的必要條件或將之視為決定教學法和選擇適 當教學媒體的基礎(Gagne’, Briggs & Wager, 1992)。有效教學必須配合學生的心智 能力和心智歷程，在教學中應考慮學生訊息處理能力的特質，並了解訊息處理的 歷程，進而提供學習策略，使學習者成功，教師教學有成效(吳宗立，1998)。
表2-2 內在學習歷程與外在對的教學步驟(Gagne’，1985) 內在學習歷程
(心智歷程)
外在教學步驟 (教學活動) 接受(注意) 引起注意
期望 告知學習目標
檢索回憶 促使回憶先備知識 選擇知覺 呈現刺激 (教材)
譯碼 引導學習
反應 激發表現
增強 提供回饋
檢索增強 評量表現
類化 加強學習保留與遷移
(四)認知學習理論在電腦輔助學習的應用
認知心理學在電腦輔助學習課程軟體設計與發展之原則如下(沈中偉，
1995)：
1.由於短期記憶的容量有限，為避免負荷(cognitive load)過重，應提供功能選 單(menu)與圖示(icon)，以避免記憶很多操作指令。
2.一個畫面只呈現一個重要的概念或資訊，重點部份以不同的顏色將其凸顯 出 來，吸引學習者。
3.呈現重要教材內容，速度不能太快，需留點時間讓學習者編碼或組織新訊 息。
4.提供反覆練習的機會，使學習者能夠將新訊息予以編碼後，轉化成內部表 徵， 以利儲存至長期記憶中。
5.組織教材內容 ，提供語意網路或認知架構，使學習者進行深層處理 (deep processing)，以利於記憶保留(retention)更長久。
6.學習者可依自己的需求控制學習順序與速度。
7.瞭解學習者的思維模式(mental model)與先備知識，以便於教材的設計適合 學生的程度。
8.回饋應提供訊息性的功能，以利學習者進一步思考。
9.提供學習者多重的資訊檢索管道，如圖表、圖形、影像、動畫、音效等視 聽覺元素，以增加學習者選擇性注意及內在聯結的建立。
二、 Vygotsky 認知理論與鷹架學習理論
Vygotsky 認為人類的認知發展過程是經由「內化」或「行動的遷移」，將社 會意義及經驗轉變成個人內在的意義(Vygotsky，1962)，他將認知的發展分成實 際的發展層次(real level of development)以及潛在的發展層次(potential level of development)，前者是指個體能夠獨立解決問題的層次，後者則是需要在他人(教 師、同儕中較優秀者)引導或合作下才能解決問題的層次(Vygotsky，1978)。「潛 在發展區」是 Vygotsky 理論的核心思想(Bruner，1987；Moll，1990)，就教學而 言，「潛在發展區」是個體認知發展的核心區域(Hedegaard，1990)，指學習者經 由師長與同儕的協助下，在認知能力上成長的區域。從學習的觀點來看，學習者 的認知發展，乃是在不同的學習活動中，經由社會化的互動所誘發出來的結果(鄭 晉昌、 李美瑜，1995；Rogoff，l990)。因此，想要真正的瞭解個體學習能力的發 展，必須考慮學習者實際發展層次(the actual development level)與潛在發展層次 (the potential development level)(Vygotsky，1978;沈中偉，1994)；在 CAI 的教材設 計上，則要考慮如何運用此理論來激發學習者的潛力。
「鷹架」(scaffolding)一詞是由 Wood、Bruner 以及 Ross 於 1976 年所提出，
Wood 等三人整理出六種鷹架在學習上所能提供的支援：1.引發學童參與；2.指出 所欲學習事物的關鍵特徵；3.示範；4.減輕學習時的負擔；5.進行學習活動方向管 理及 6.掌控學習過程挫折。這些由成人或專家所提供的學習支援，可以幫助學童 發展學習的能力，進而使學童最後能自行完成學習的工作(Wood , Bruner &
Ross，1976)。
由 Vygotsky 學習理論所提出的鷹架學習理論，主張學習的過程應由教學提供 一個暫時性的支持來協助學生發展學習能力，這個暫時性的支持(鷹架)可能是一 種教學策略或教學工具，在教學設計上，「鷹架理論」(scaffolding)是一個可以透 過教學設計而達到學習者自我建構的教學策略。學習者的角色是必須積極參與學 習活動並且主動思考，非被動的參與學習過程(Greenfield，1984)。主要原則可歸 納為：
(一)在教學活動中，教師扮演學習者能力發展的鷹架。
(二)鷹架支持的程度依學習者現有的能力及工作的能力隨時調整。
(三)學習者的學習能力逐漸成熟後支持程度以逐步漸進與隨時校正的方式進 行。
(四)鷹架的支持以導向內在化為目標，逐漸使學習者能夠獨立自主學習為目 標。
在運用鷹架理論於電腦輔助學習時，電腦必須扮演教師，提供鷹架的角色，
同時電腦介面也必須能夠模擬相關之學習情境，讓學習者能和電腦進行對話、互 動，促成學習者的自我反思，進而自行建構出知識的意義與內涵(沈中偉，1995；
羅豪章，2000)。羅豪章(2000)利用鷹架理論於電腦輔助學習時，學生所建構的知 識比較具有結構化的層次，同時概念間的連結較為靈活且完整，符合的鷹架理論 策略。歸納以鷹架理論為基礎的電腦輔助學習設計策略有(高台茜，1998)：
(一) 在經驗和先備知識上植基；
(二) 在不同的表徵系統間搭建橋樑；
(三) 在動作、影響、與理解之間作連結；
(四) 隨學習者的精熟度增加而淡出；
如此一來，鷹架式教學當中所強調的「輔助的鋪建」與「輔助的撤除」能被充分 使用於電腦輔助學習。
三、 建構理論(Constructivism)
建構主義基本上是在解釋「知識是什麼？」和「學習是什麼？」的一種理論 模式。現代建構主義，特別是社會建構主義的三個基本原理是 (張靜嚳，1995)：
(一) 知識是認知個體主動的建構，不是被動的接受或吸收。
(二) 認知功能在適應，是用來組織經驗的世界，不是用來發現本體的現實。
(三) 知識是個人與別人經由磋商與和解的社會建構。
基於這三項原理和考量傳統教學的缺失， 張靜嚳所建構的建構教學原理有三 (張靜嚳，1996)：
(一)教學在引導學生建構知識，不在也不可能傳輸學生知識；
(二)建構教學的目的在促進學生思考和了解，不在記背知識與技巧；
(三)建構學習是以做中學、談中懂、寫中通等多元互動的社會建構，非以聆 聽、練習等單元單向的任意建構。
建構理論的教學策略簡單地說就是以學生為主的教學活動，在教學過程中強 調學生與學生、學生與情境以及學生與教師的互動關係，讓學生主動參與。在這 種學習歷程中學生以原有的經驗為基礎來進行新事物的學習，亦即透過同化和調 適的認知歷程而達到真正的學習(黃世傑，1994)。
Von Glasersfeld (1991)曾針對如何應用建構主義於教學，提供許多非常好的 建議，張靜嚳特予精選並加工成為十項祕訣或原則(張靜嚳，1996)：(一)了解學生 有什麼；(二)認真聆聽和應對學生的回答；(三)了解學生怎麼想；(四)問得很建 構；(五)造勢讓學生對解題有食髓知味的經驗；(六)獎勵耕耘甚於收穫；(七)欣賞 學生的思考；(八)給學生有獨自搏鬥成功的機會；(九)了解與熟練並重；(十)壯麗 失敗的經驗 。
建構教學的特徵是「做、談、說、寫」，在教師的引導下，學生做問題、談 解法、說結果、寫心得，目標是建構知識，目的是了解和思考。歸納其學習和教 學觀念如下(林星秀，2001)：
(一)角色的調整：在教學的過程中，學習者在教學情境中應扮演主動的角 色，自行統整與建構完整知識。教師則由主導的地位轉變為學習的診斷者、促進 者與提供補救措施的處方者 (沈中偉，1995；楊坤原，2000) 。
(二)重視學習者的經驗：教學者在教學前應考慮學習者已存在許多先前的知 識 (prior concept)，此即所謂個別差異。新知識的學習須與舊有經驗緊密結合，
原有的知識，而穩固的成為學習者知識的一部份(郭重吉，1992)。
(三)製造良好的學習環境：教師是學習環境的建構者(Millar，1989)，因此，
教師應注重調整現有教材、佈置適當的問題情境，製造學習者在認知的衝突 (cognitive conflict) 或 不 平 衡 (disequilibration) 時 基 模 所 做 改 變 的 機 會 (Driver ， Asoko， Leach，Mortimer，＆ Scoti，1994)，以引起學習者的反省及思考解決問 題的途徑。由此可知，個體的學習並非是新概念的堆疊，而是已有概念與新經驗 交互作用的成果。
(四)注重互動的學習方式：在教學活動的過程中，藉著師生、同儕的溝通互 動， 辯證協調、澄清以及再建構的過程，引導個體反省思考，因而能逐漸形成正 確的知識。
許多學者認為以建構主義為基礎而發展電腦輔助學習是時勢所趨(楊坤原，
2000)，將建構理論應用來設計多媒體電腦輔助學習環境的原則，可歸納如下(沈 中偉，1995)：
(一)設計豐富而真實的情境或模擬情境，鼓勵學習者主動而積極地詮釋知 識，而不是被動地獲得知識。
(二)應給予學習者適當的操控權，由學習者自行控制學習的順序、內容、速 度， 以利學習者主動操弄、探索以及重組知識。
四、 視覺思考(Visual Thinking)理論
傳統的教科書對較為抽象的數學的學習有其限制，尤其教科書無法以外在動 態表徵(dynamic external representation)的方式，來詮釋抽象的概念。由於電腦可 以動態圖像的方式呈現，提供學習者強有力的學習與知覺經驗，可以讓學習者形 成動態的內在表徵(dynamic internal representation)，使學習者對抽象的概念，能夠 更具知覺的能力(鄭晉昌，1997)。在概念學習的過程中，學生視覺化的過程非常 重要，尤其科學與數理方面，藉由電腦輔助學習環境可提供機會學習概念、培養 觀察與思考的能力(Noss，Healy，＆ Hoyles，1997)。透過視覺，可以擴大個人的 知覺經驗，對學習者的學習有以下三點益處(鄭晉昌，1997)：
(一) 視覺經驗較為具體，尤其是動態的視覺經驗可以讓人瞭解整個事件發生 的歷程，協助學習者進一步瞭解文字訊息的內容。
(二) 視覺思考可以讓學習者在學習的過程中，容許有更多短期記憶的空間進 行資訊處理。
(三) 視覺經驗較具可探索性，讓學習者更具想像空間，擴展學習的深度。
一個有效的視覺學習環境，以下有幾個原則必須掌握(鄭晉昌，1997)：
(一) 鄰近原則(principle of contiguity)：視覺訊息的出現在時間與空間上能立 即反應文字碼的意義，讓學習者馬上可以透過視覺碼來理解文字碼，同時又能用 文字碼來解釋視覺碼。
(二) 深層結構原則(principle of deep-featured structure)：視覺訊息必須能清楚 的直接反應知識的深層結構。在設計過程中，必須對知識本身進行結構的分析，
才能將訊息直接且正確的表徵該知識的基本結構。
(三) 區辨原則(principle of discrimination)：視覺訊息的設計必須能讓學習者能 夠區辨不同的情況與現象，如：交通號誌的設計。
視覺圖像在電腦輔助教材上提供以下幾個功能(林麗娟，2000)：
(一) 具提示的作用，引導學習者將注意力集中於重要概念。 電腦各種視覺特 效，呈現動態的圖像與文字，以引導學習者注意力。透過邊看邊學(learning-by- viewing approach)，以反映出螢幕上所提供的之重要概念 (Mayer & Anderson，
1992)。
(二) 提供刺激來源，增進自我探索與自我學習之樂趣。 Rieber(1994)將視覺 性的刺激定義為外來的動機(extrinsic motivators)。在電腦 輔助教材的設計上，應 利用這個外來的動機引發學習者深入探索知識內容。
(三) 提供多重意念之表達方式，以鼓勵學習者以不同層面與角度觀察問題。
達，對訊息所傳達的概念進行更多必要的聯結(林麗娟，2000)。
(四) 釐清概念，解說比照。 在解說科學性概念中，藉由圖像的描繪，學習者 能將文字與圖像的意義加以比較與對照，使得概念更為透明化(Paivio，1990)。
(五) 依學習所需，提供整體性概念或分項解說重點。
設計者可安排開放式或引導式的思考空間，而學習者可依其學習模式的不 同，自我調適與教學內容互動的方式(Large，1996)
(六) 營造情境引發思考之動機。 圖像的作用在於製造一特定的氣氛，讓學習 者感覺到環境的切身性，並進而對於該情境所引出的問題產生主動探索的意願。
(七) 滿足學習者視覺上與認知上的好奇心，幫助空間概念的學習。 學習者的 想像空間能經由出奇不意的呈現方式，而強化視覺上的精研(visual elaboration)，
有助於進一步的認知活動。
Dugdale 與 Kibby 所設計的「Green Globs」電腦教學軟體(Dugdale，1994)，
利用電腦繪圖的功能來協助學習者學習函數的概念，透過電腦傳達視覺經驗，使 學習者易於吸收較為抽象複雜的數學概念。
五、 情境學習(Situated Learning)理論
情境學習論強調知識是學習者與情境互動的產物，且在本質上受活動及文化 與社會脈絡的影響，知識在真實情境中建構，不能與情境脈絡分離 (Brown ， Collins，& Duguid，1989)。當學習發生於有意義的情境時便會產生有效的學習 (Choi & Hannafin，1995)。情境學習理論的主要特點包括(吳宗立，2000)：(一)人 具有主動建構知識的能力；(二)學習是個人與情境互動的歷程；學習是從真實活 動中主動探索；(三)學習是共同參與的社會化過程；(四)學習是從週邊參與擴展至 核心。
情境學習理論亦強調模擬情境(simulated situation)(邱貴發、鍾邦友，1993)，
在電腦畫面上呈現模擬情境，可讓學生在接近真實的情境中進行學習活動。在設
計電腦輔助學習環境的原則如下(邱貴發、鍾邦友，1993；沈中偉，1995)：
(一) 實用情境原則：設計多媒體電腦輔助學習環境，使教學活動與實際情境 相結合，把數學知識整合在實用情境中，使數學知識的實用性隱含在情境學習過 程中。經由模擬實際的學習情境，以供學習者主動操弄、探索與整合知識。
(二) 真實活動原則：情境 學習強 調由真實 的活動中學 習(learning through authentic activities)，學習者可實際運用知識，有助於提高學習動機與促進學習遷 移。
(三) 主動學習原則：情境學習主張經由學習者主動的探索與思考解決問題 中，以建構個體的實用知識。所以應在電腦畫面上佈置可讓學習者主動探索的學 習環境，使學生從主動探索和主動解決問題的過程中，學到真實的知識。
(四) 邊際參與原則：情境學習強調從邊際往核心逐步參與的學習方式 (Lave
& Wenger，1991)。先觀察與模仿學習簡單的知識與技能後，再逐漸學習較艱深 的知識與技能。電腦化學習情境的設計，要使學習者能以自我主動探索方式，逐 步認識知識的全貌。鄭晉昌與李美瑜(1995)探討國中生在情境學習的多媒電學習 環境中學習物理與數學知識的實徵性研究，在問題解決能力與學習遷移上得到良 好成效。
六、 電腦輔助學習的設計理念
為了讓電腦輔助學習有效的發揮其特性，在設計軟體時，就必須依循一些設 計的原則，而有助於提高電腦輔助學習軟體的品質與功效。黃美珠(1997)的研究 中指出，編寫電腦輔助學習軟體的原則包括以下九點：(一)訂定明確的教學目 標；(二) 確定教學對象；(三)創造交談式學習環境；(四)強調個別化教學；(五)吸 引學習者注意力；(六)提供適當的回饋；(七)評估學習成效；(八)重視 CAI 畫面設 計；(九) 以教學設計原則為依據。
Reusser(1996)研究指出，設計任何以電腦為基礎的教育系統應該建立在學習 與理解的特定內容上、學習者的教學模式(Pedagogical model)和學習的過程。 並
(一) 和科技導向的系統比較，認知工具應被用來作為達成教育目標的一個方 法。
(二) 藉著提供程序性(Procedural)和知識領域的概念性(conceptual)輔助來刺激 與幫助學生進行知識領域的建構、了解和技能的獲得。現代電腦中，可直接操作 的圖形介面很適於提供學生表徵上和程序上的支持。
(三) 提供學生易懂的表徵工具來使學生思考和溝通。
(四) 提供一個能盡量由學習者控制的系統或者一個可以多樣控制且最小輔助 的系統，只有當學生真正需要幫忙時才介入。
(五) 電腦應允許學生表達和溝通他們的心智模型，反映他們的過程和學習的 成果。
(六) 以電腦為基礎的教學，應從個別學習漸進的擴充到合作的學習，因此，
電腦應該漸進的整合到教室的教學環境中。綜合以上電腦輔助學習的相關理論，
透過 Piaget、Bruner、建構主義、Vygotsky的理論，可得知學習者的認知發展歷 程，訊息處理理論、鷹架理論、情境學習理 論、視覺思考理論則有助於瞭解教學 與學習過程的互動，配合電腦輔助學習的一般設計理念，將有助於本研究
GeoGebra 輔助學習環境的設計與教學實施，以提昇學習成效。
由於電腦輔助教學是要建立一個適當的學習環境給學習者學習，因此，在設 計電腦輔助學習課程時，必須參考相關的學習理論與教學理論，方能設計出真正 有益於學生學習的電腦學習環境（郭重吉，1997）。邱貴發 (1994)亦主張研究發 展者的教育信念與學習理念是電腦輔助學習產品成敗的關鍵。
第二節 電腦輔助教學與傳統講述教學之比較
一、傳統講述教學
講述式教學法由來已久，為目前最常見的教學方法，自有教學活動以來，教 學者就習於採用此種教師講、學生聽的教學方法。這種教學方法之所以長久以來 普遍為教師所歡迎，主要是其進行的過程極為簡單、方便，多數的教師只要依照 教科書來說明即可（林寶山，1992）。此教學法的優缺點如下：
（一）優點
1. 使用的對象、時限、教材、教具或設備富於彈性。
2. 節省學生獲取知識的時間。
3. 經濟實惠，容易實施。
4. 施教較能控制秩序。
5. 滔滔不絕，既講又演，刺激智慧，引起注意與分享觀念，給予教師精神上 的激勵與職責上的增強。
6. 學生因教師解說時所表現的熱忱、幽默、戲劇性、邏輯性與關切而樂於聽 講與學習。
7. 教師可以把學生所學習的教材，組織成系統的知識，使學生獲得完整的概 念。
8. 適用於人數較多的班級。
（二）缺點（溫世頌，1997）
1. 消極與依賴：學生只知消極的聽講或作筆記，依賴老師的講解，缺乏主動 學習習慣。
2. 非人人適用：有效的講演需要特有的人格素養，例如聲調、姿態、 流暢、
秩序井然等，並非人人能演能講。
4. 易忽視學生的個別差異，高成就學生覺得言詞過淺而乏味，低成就學生則 是一知半解，無所是從。
5. 不易培養學生解決問題的能力。
6. 講述方式缺乏變化，時間過長，易使學生失去興趣和注意力。
二、電腦輔助教學
電腦輔助教學是利用電腦作為教學的媒介，其重點在於強調適性學習。在使 用電腦的過程中，仍有一些限制，例如學生一些偶發性的問題、 學生解題步驟的 偵錯等等。是故，電腦輔助教學雖越來越普及，但卻依然無法取代教師的角色。
以下提出電腦輔助教學的優缺點：（陳英娥，81；楊家興，82）
（一）優點
1. 個別化的學習，可依自己的程度控制學習的進度。
2. 趣味化的畫面，可增進學生的學習意願。
3. 增加雙向溝通的機會。
4. 從嘗試錯誤中，學習如何在不同情況下，選擇不同的答案。
5. 降低學習的壓力。
6. 保存學習的紀錄，可以立即回饋。
（二）缺點
1. 比一般教學媒體價格昂貴。
2. 通用課程軟體編寫困難。
3. 本身缺乏人性化，易受人為因素影響。
4. 學習的效果不易分析。
5. 師資缺乏。教材內容一成不變，缺乏創造力。
根據調查（Burns & Bozeman,1981），電腦輔助教學比傳統教學優越，但若
電腦輔助與傳統教學混合使用，其效果特別顯著。(Dalton & Hannafin, 1988）。
因此，兩者截長補短，以傳統講述教學為主，電腦輔助教學為輔，將可以適當的 在國中數學科教學中使用（林星秀，2001）。
第三節 GeoGebra電腦輔助學習環境
數學概念包括一系列有意義的情境、由基本關係組成的不變性、以及用表徵 形式所呈現的符號(Vergnaud，1987)，數學的學習涵蓋數值的、代數的、圖型的 及語意的各種表徵(representation)的交互應用(Kaput，1992)。電腦視窗環境同時 包含文字、圖形、圖案、靜態畫面、動畫、影像等，在適當的設計下，將數學概 念用這些表徵方式來呈現，將教學內容以動態的畫面呈現出來，而使得數學概念 中的基本關係外顯出來，不同表徵間的變化情形用連結的方式一起變化，並在視 窗中展現多重表徵間的連結(蔡志仁，2000)。
電腦提供強大的計算與繪圖能力，使個體可使用真實數據以進行模擬或建模 (modeling)的活動並可直接地操弄數學物件與關係，以鏈結真實經驗與數學形式 (Balacheff & Kaput，1996)。函數概念受限於過去工具的功能，其呈現方式是靜態 的抽象符號式，少有直觀的(intuitive)、數值的(numerical)動態想法(謝哲仁，
2001)， 動態幾何是一個允許使用者建構、操作幾何基本圖形的工具視窗環境(全 任重，1996； 林保平，1998)，加上度量、計算器及函數運算的功能，隨著動態 幾何軟體工具和教學觀念的發展，幾何和代數的教學可以從較直觀的、動態的圖 形著手(林保平，2000)。
Rahim(2000)以 14 名職前教師為對象，施以每週 80 分鐘的研習，共 12 週。
在研習最後的回饋中，學員表示對於將來在數學教學中使用動態幾何軟體從存疑 到充滿自信；他們同意可運用動態幾何軟體於幾何、代數和三角學的教學中，加 拿大安大略省的教育部也強烈建議融入動態幾何軟體於高中數學課程中(Rahim，
2000)。
以下將探討動態幾何軟體的功能與特質，以作為本研究設計GeoGebra輔助學 習環境的重要參考。
一、 符合尺規作圖原理(Euclidean constructions)
利用動態幾何軟體中所提供的作圖工具，仿照直尺或圓規的作圖方法，可容 易地製作出精確的幾何圖形，如：畫點、直線、線段、射線、圓、圓弧、平行
線、垂直線、角平分線⋯等。線與線、線與圓、或圓與圓可立即產生交點，並能 利用這些基本功能的組合，製作較複雜的幾何圖形。而這些作圖工具均依照幾何 的定義而設計，因此圖形精確適合幾何教學(林保平，1997；Rahim，2000)。
二、 圖形可操作，具幾何變換(transformation)功能
利用動態幾何軟體工具所得的圖形整體或其構成部份，均可在螢幕上，利用 滑鼠指標直接依作圖時的定義，移動其位置或改變形狀，或利用軟體提供的幾何 變換(Geometric Transformation)功能，選出變換的基準，如：平移向量、鏡射軸、
旋轉或相似中心、放縮的比例、旋轉的角度等等，再作平移、旋轉、鏡射、相似 等變換。幾何作圖及圖形可操作及變換的功能，是動態幾何軟體能成為臆測、探 索幾何性質工具的原因之一(林保平，1997；Rahim，2000)。
三、 提供解析幾何(Analytic Geometry)的坐標系統
動態幾何軟體提供直角坐標與極坐標平面，可給定點坐標後描點，或利用度 量工具，求得任意點的坐標、量測距離、斜率等，並擁有畫多項式函數、三角函 數、 指數函數、對數函數…等圖形的功能。給定特定參數，可觀察函數圖形與對 應係數的關係；量測數值精確，適合解析幾何教學(Rahim，2000)。
四、 動態連續變化及不變性
動態係指在該環境下，圖形及數值可以做連續的變動，當圖形或其某一構成 元素改變位置、形狀或被變換時，其改變的過程是漸進及連續的。不只圖形的最 終狀態呈現出來，其位置改變過程中的圖形，也連續呈現出來，使用者看到的是 一個連續的變動過程。使得學生能觀察圖形的連續變換，並由度量工具，如：量 角度、長度、面積、周長、弧長⋯，顯示點的坐標，直線的斜率等之輔助來發現 幾何的不變性質(invariant)(林保平，1997)。
五、 同時具手動操作及自動化功能
動態幾何軟體具拉曳(dragging)及動態模擬(animate)功能，經由適當設計後，
程式會呈現動態過程，可隨意停止、繼續，十分方便；也可以手動操作，控制速 度，方便觀察、比較、臆測。使用者可於恰當的時刻暫停程式之自動運作，思考 情境問題，或重複畫面上的動態過程，以進一步觀察數學性質。在手動操作不易 精準 (如：重合或疊合兩圖形)，可透過設計動作按鈕(action button)使電腦自動操 作，增加準確度(林保平，1995)。使用者可隨心所欲操控程式，符合杜威「做中 學」，也方便使用者隨個人差異建構概念。
六、 動態互動、視覺化、情境化及數值化並結合圖像和文字的多重表徵視 窗環境
動態幾何軟體可以互動係指圖形的變動或符號式參數之變動將帶動符號式或 圖形做相應的變動，而某點之坐標也會隨著點位置之改變而改變。圖形或符號式 的改變可由使用者經由滑鼠直接操作。這種動態可操作及多重表徵的環境，提供 了探討函數平移、放縮及函數或方程式參數變換與圖形間的相互關係(林保平，
1996)。視窗中可同時呈現(1)文字模式(text mode)－問題情境的呈現，(2)數值模式 (numerical mode)－探索函數、參數、測量值等各種可能數值的變化，(3)圖形模式 (graphical mode)－對應數值更動的圖形變化。各模式之間是動態連結的；亦即使 用者可以更改文字模式的數值(探索各種不同的情境，確定了解問題)，其相關的 數值及圖形模式就會快速地更動。把圖形的意涵從被動的層次提升至較為主動的 層次，並可透過連結(link)的設定及程式的設計達到課程間的橫向連結(謝哲仁，
2001)。
七、 特殊即一般(保持結構)
通常我們因證明需要而畫一個幾何圖形時，我們畫的是一個「特殊」的圖 形，但證明過程中一直將它想成「一般」的圖形，證完之後，我們也認定所證明 的是具有相同「已知」的任意圖形所擁有的性質。許多學生習於這種特殊圖形，
對於證明過程中，圖形所代表的「一般化」性質並不了解(Balacheff，1988)，若 將圖形改變形狀之後，可能就認為它們是不同的問題。Williams(1979)發現 20﹪
的學生不明瞭演繹證明的結論係對所有符合「已知」的幾何圖形均成立的，並且 只有 31% 的學生了解這個證明的一般化原則，Fischbein(1982)也曾描述相似的結 果，只有 24.5% 的學生認為證明過後，對其他特例不必重新檢驗。在動態幾何軟 體下所作的幾何圖形，使用者可任意移動圖形的構成元素，而圖形因其構成元素 改變相對位置而改變形狀以後，其構成元素間的「幾何結構」保持不變，因此，
所得到的是「一般化」的任意圖形(能保持某種固定特質的多種圖形)，能幫助學 生了解具有這種「特徵性質」的圖形在證明過程的「代表性」，是教學時能提供 學生觀察、比較、臆測、 驗證幾何圖形性質的重要工具(林保平，1997)。
傳統教材靜態的文字、圖形陳述實不易導引出探索的情境，因此不容易引導 學生主動式的學習（余酈惠，2002）。適當運用各種學習理論、教學理論、配合 動態幾何軟體的特質與功能，學習環境的設計可讓學生透過圖形概念連結基本函 數概念、探測與驗證教材內容，發現數學結果的變動與不變動、經歷知識的過程 與成果，符合 NCTM(2000)「數學原則與標準」對幾何教學、科技工具運用的主 張。
以下對 Geometry Sketch pad (簡稱 GSP)及 GeoGebra 功能性作個對照比較，並列 表於表 2-3。
表 2-3 GSP 及 GeoGebra 對照比較表
項目 GSP GeoGebra
Ａ 價格
校園版 50000 元 個人版 6000 元 學生版 1600 元
免費
自行至網站下載
Ｂ 繪圖
工具 基本的線及圓作圖
有較多的繪圖工具如:
半圓,切線,中垂線,角平分線, 過 5 點的圓錐曲線等
Ｃ 輸入 方程 式
畫函數方程式的圖形步驟較繁 雜難記
有輸入欄位可用，能快速的輸入 函數方程式或繪圖指令
Ｄ 相關 書籍 資源
中文書如 :
聯 經 出 版 社 ： 國 中 幾 何 動 動 動；各教科書出版社所提供的 教學光碟及範例
網站如 :
師大陳創義教授,
宜蘭高中官長壽等有豐富的範 例檔案
中文書: 各教科書出版社所提供的 教學光碟及範例
網站:
錦和高中數學教學網
GeoGebraWiKi : 任何人均可上傳 提供檔案, 分享教育資源
E
輸出 為網 頁
轉換為 JavaSketchPad, 但對於某 些繪圖指令不支援
GeoGebra 是以 Java 語言設計 的,100%可轉換為網頁，可跨平 台及作業系統
F
文字
工具 可加入簡單文字
可在圖形上加入文字及數學符號 (支援 Latex 語法, 可顯示 2, 1
3 , 根號及分數)
在表 2-3 中的項目分述如下：
A. 想要進行資訊化教學會碰到最實際的問題。
B. GSP 的作圖是利用滑鼠，選取適當的指令，6 個簡單的 icon 孤零零的掛在 左邊，畫面略顯單調；GeoGebra 的畫面上有一連串的大型彩色 icon，按每個 icon 的右下方小三角形，則有更多的工具可供選擇，右邊還有一些簡單的文字說明，
省去了查閱使用說明的麻煩，這個體貼的設計使得學習數學繪圖不再那麼困難。
C. 在 GSP 中若要輸入方程式，可要翻箱倒櫃佈置一下才可輸入，先要設定坐 標軸，再來是Ｘ軸上找一點，點選 度量/計算……，繁複的操作步驟，令人望而 卻步。反觀 GeoGebra 的畫面簡單明瞭，只要在輸入欄位輸入即可，讓人一看便 知如何操作。
D. GSP 及 GeoGebra 相關繪圖的書不多，許多有用的資源都在網路上。而各 教科書出版社也都有提供 GSP 及 GeoGebra 的教學光碟及範例。
E. 在網路上討論數學問題若有個圖形來說明，讓討論的雙方都能看的明白，
是個很好的輔助方式，以 GeoGebra 所畫出的圖可完全轉換成網頁，而 GSP 則需 要有軟體的支援才行。
F. 畫出來的圖免不了要文字說明，GeoGebra 支援 Latex 語法，很容易可顯示 出數學的符號，當然轉換成網頁之後，這些數學符號一樣可以顯現出來。
基於以上功能性分析，本研究採用 GeoGebra 設計動態幾何輔助教學環境，
並將成果轉成網頁放在學校網站，不僅能用以輔助教學，學生更能隨時隨地自己 上網學習，部分 GeoGebra 電腦輔助教學環境截圖置於附錄 A。
第四節 函 數 學 習 的 相 關 研 究
函數概念在數學的學習中佔有極重要的地位，而在中學的函數課程中，二次 函數是相當重要的主題之一（林星秀，2001）。今就函數概念以及二次函數學習 的相關研究分述如下：
一、 函數概念的相關研究
十七世紀科學家們研究單擺運動等物理現象，產生了在數學中具極重要地位 的「函數概念」，而「函數」一詞最早出現是在德國數學家萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Freiherr Von Leibniz, 1647~1716）的研究作品中。早期僅用幾何語言來討 論兩種量之間相互對應的觀念，一直到萊布尼茲的學生白努利（James Bernoulli, 1654~1705）給函數作了定義：「一個變量的函數是一種量，這種量是由變量和 常數，根據某種關係而建立的。」才使得函數探討的幾何領域拓展到代數的範 疇。
許多學者提到函數概念是數學領域當中一個相當複雜的概念。Dreyfus &
Eisenberg（1982）指出函數概念不是單一的概念，而是有其他相關的子概念，例 如變數、定義域、值域和極值等，且函數可用多種不同的表徵表示之，如
Dreyfus & Eisenberg（1982）提出表格、集合映射圖（arrow diagram）、圖形、式 子、和語意敘述等五種表徵；Leitzel（1989）提及函數的三種表徵：表格的、圖 形的、代數的。各種表徵的知識並非是各自獨立，而是以不同方式處理函數的相 關知識、表徵脈絡相關的知識、及使用符號的相關知識，三者相互聯結。因此，
Dreyfus & Eisenberg（1982） 建議學生在首次學到函數概念時，教師應根據學生 直觀之心理順序的知識背景進行教學，以促進學生對函數概念的理解。
目前學校函數教學多採從方程式到圖形的邏輯順序的教學流程，造成學生有 所偏好（Leinhardt, Zaslavsky & Stein（1990）。但Markovits,Eylon, & Bruckheimer
（1988）指出初期的學習中，學生在函數圖形表徵的表現比代數表徵好，因圖形 是一種視覺化的表徵，函數圖形的呈現，對函數性質的討論有輔助觀察的效果，
不僅可以輔助教師的教學，更可以幫助學習者的學習。將函數概念圖形化，在圖
形與函數之間形成視覺化聯結，故從函數圖形入門學習函數概念是較適當的。
有關函數概念學習的研究，Schoenfeld（1987）利用動態的電腦繪圖情境
（point grapher,black blobs, dynamic grapher ）幫助學生探究函數概念與函數圖 形，並做成解題錄影帶的原案分析，結果發現學生對直線的斜率和截距的認識，
會因為點和直線在電腦螢幕上的改變而搖擺不定，顯示斜率和截距概念絕不是簡 單且單一的概念。
有關函數概念學習困難方面的研究，Dreyfus & Eisenberg（1982）指出學生 通常不了解變數的概念和函數符號f (x) 。而顏啟麟、羅昭強（1993）提出造成函 數學習困難的原因之一是函數概念把幾何和代數兩個似乎不相關的數學概念聯結 在一起。因此，若能將視覺化的函數圖形表徵與代數符號表徵做緊密的聯結將可 以使學生對函數的概念有更深入的了解。
二、 二次函數學習的相關研究
二 次 函 數 是 中 學 數 學 課 程 的 主 題 之 一 ， 許 多 學 者 （ Janvier, 1987 ； Kaput,1985；Schoenfeld,1987；Yerushalmy & Gafni, 1992）針對學生在二次函數所 學各種表徵以及相互之間轉換進行研究。傳統教學中，學生在學習線性函數及求 解二次方程式的問題之後，才能進行學習二次函數。Matz（1982）認為大部分代 數的錯誤來自於學習者對於該問題特徵膚淺的先備認知。因此 Zaslavsky（1997）
認為先學習線性函數及二次方程式後再學習二次函數的傳統教學順序會妨礙二次 函數的學習。
根據 Zaslavsky（1997）的研究發現，學生在學習二次函數時最常發生阻礙概 念發展的障礙有：
（一）以視覺上所看到的圖形解釋幾何圖形
學生在學習二次函數時，只考慮到函數中可以看到的圖形部分，而未考慮到 所呈現的圖形祇是圖形的一部份而已；同時認為二次函數 的圖形有兩條垂直的漸 近線，但事實上沒有漸近線的存在，任何 x 值 皆可存在於拋物線中。
（二）二次函數與二次方程式關係的錯誤類推
因為學生先學習二次方程式在學習二次函數，以致混淆兩者的關係，例如
者視兩個函數為相同函數。
（三）二次函數與線性函數關係的錯誤類推
例如在線性函數中任三點皆為共線性，學生將之推到二次函數的拋物線中，
認為拋物線可經過三個共線性的點，因而導致以兩點來估計二次函數的斜率進而 估計函數的參數。
（四）不了解二次函數的代數形式可能會轉變
從上述研究得知，學生對二次函數的學習存在許多錯誤概念，而Zaslavsky
（1997）更進一步指出學生在學習二次函數的過程中，代數與幾何圖形表徵間成 功的轉換，將是促進函數概念有效的學習策略。
第五節 電腦輔助學習之相關研究
有許多學者對於電腦輔助學習與學習成效作研究，其結果均指出電腦輔助學習 可有效增進學生的學習成效及其對所學科目之態度(Cavin , Cavin & Lagowski，
1981)。本節從學習成就及學習態度兩方面，先探究國外電腦輔助學習之成效，再就 國內數學電腦輔助學習的相關研究加以探討，最後了解學者所建議關於電腦輔助學 習的適當實施方式。
一、 有關學習態度的研究
在國外的研究中，Bangert-Drowns,Kulik & Kulik (1985)的研究發現電腦輔助教 學會影響學生對電腦及學科的態度，並使使用者受到新奇效應的影響。
Roblyer,Castine & King (1988)的研究結果發現電腦輔助學習對自我、學科及電腦態 度都有影響。
國內研究方面，根據國內多位學者的研究(陳英娥，1992；陳建蒼，1995；郭文 金，1999；林星秀，2001；胡凱華，2001；戴錦秀，2002；陳建安，2002；余酈 惠，2002)，學習者對於電腦輔助學習的態度與反應均是正向肯定的，電腦輔助學習 可以引起學生的學習動機、並提供學生充分學習的機會。
二、 有關學習成就的研究
在國外的研究中，Bangert-Drowns,Kulik & Kulik (1985)選擇1968至1982年間相 關電腦輔助教學的研究進行綜合分析，發現電腦輔助教學對國中及高中生的學業成 就有正向影響，且對小學生及低成就學生的學習成效較佳。Roblyer,Castine & King (1988)對1980至1987年間82篇關於電腦輔助學習的文獻進行研究，結果發現對低成 就學生學習成效的提昇高於一般學生。Blackett & Tall(1991)對於來自兩個學校的15 歲學生作關於電腦輔助學習三角函數的研究中指出，接受電腦輔助學習的學生在學 習成就表現上優於傳統學習的學生。
發現接受電腦輔助學習的學生學習成就顯著優於接受傳統教學者；戴錦秀(2002)、
吳鳳萍(2002)分別針對國小面積單元運用動態幾何軟體進行電腦輔助學習(實驗組)的 研究，戴錦秀的研究發現在學習成就上，實驗組顯著優於控制組，且對於中分群學 生，其在三角形面積學習成就上，實驗組顯著優於控制組；然而吳鳳萍的研究則發 現在學習成就上實驗組與控制組無顯著差異，同時兩組的高分群、低分群之間亦無 顯著差異。陳建安(2002)針對分數和小數單元、另外蕭登仲(2002)針對等值分數運用 電腦輔助學習之研究結果，顯示實驗組與控制組均無顯著差異。曾振家(2002)對於 國小分數加法概念之研究，發現接受多重表徵情境之電腦輔助學習學生的學習成就 顯著優於控制組。邵美雀(2002)針對國小除法概念透過網路電腦輔助教學設計之研 究發現在處理除法問題的學習成就測驗上，接受網路建構式電腦輔助教學的實驗組 學生顯著優於接受教室教學的控制組學生，且對於低分群學生，實驗組學生顯著優 於控制組學生。
陳英娥(1992)就國中數學科之相似形及二次函數單元，比較採用電腦輔助教學 之實驗組學生與解說式教學方式之控制組學生之學習成效，研究主要發現為數學科 學習成就上兩組學生並無顯著差異，但針對兩組低分群學生，實驗組顯著優於控制 組。梁勇能(2000)研究國二學生之空間能力，分析在動態幾何環境下，學生空間能 力的學習。實驗組接受利用GSP設計的空間課程，控制班則沒有，得到的結果為實 驗組的學生在後測的空間能力測驗顯著優於控制組。林星秀(2001)針對國二函數課 程所進行的研究發現，接受GSP輔助教學模式之實驗組學生的學習成就與接受傳統 講述教學模式的控制組學生學學習成就並無顯著的差異，但實驗組高、中分群學生 在數學學習成就上優於控制組高、中分群學生；而兩組的低分群學生，在數學學習 成就並無顯著的差異。胡凱華(2001)研究國中學生在動態幾何環境下，學習圓形概 念的學習成效並與傳統教學的控制組學生作比較，得到的結果為在圓形概念的學習 成效上，實驗組與控制組無顯著差異，而實驗組高分群學生顯著優於控制組高分群 學生；但實驗組中低分群學生與控制組中低分群學生並無顯著差異。
陳建蒼(1995)以高一學生為對象，研究高中三角函數圖形個別化電腦輔助教學 之成效，得到主要結論為採取個別化電腦輔助教學之實驗組學生無論高分群或低分
