105707201 鄭昱欣 客家 2
古埃及數學發展 一、報告動機
我會想選這個主題來寫報告，是因為我本身對於埃及的古文明很感興趣，不過 也只有對於像是他們的建築(神廟、金字塔之類)、壁畫、文字、神祈、木乃伊那 種方面的才比較有興趣，數學的演變倒是沒怎麼涉略，所以想藉著這個機會來研 究一下，好讓我對於古埃及有更深入的了解。
二、報告內容和課程之關聯
埃及的數學成就對於整體數學的演進具有重大的意義，例如他們建造的金字 塔，就是凝聚了幾何學與數學的重要建築，金字塔其餘各部位也具有不可忽視的 重要性。因此，簡單來說，報告內容會從古埃及文明的各面向去探討當時數學的 發展，所以當然和課程有所關連。另外報告會提到上課講過的萊因德紙草書，和 他們因為氾濫而常常要重新測量，因此發展出幾何學等等，畢竟這些都是他們數 學和幾何學發展的重要的基礎，所以內容多少會有點重複，但我還會再加入其他 內容。
三、埃及的數字
首先從埃及的數字開始介紹起。古埃及的數字系統在埃及文明中持續地被使 用，直至公元後的第一個千年，並且他們採用的是十進位制，這種進位制是指用 不多於10 個號碼，代表一切數值，不論多大都以進一位表示 10 倍，進二位代表 100 倍，依此類推的十進制數字系統，我們現在也是用這種系統。(但像是電腦就 是二進制)
從這張圖可以看到，數字 1 到 9 都是有多少畫多少，其中埃及也有跟中文一樣 的以3 為多的概念，所以他們會在一個詞之後或之下畫三條線，作為一種代表複 數的方式，他們的象形文字同樣也會用重複三次代表複數。接著，到了10 變成 牛軛，100 是卷繩(我覺得像漩渦)，1000 是蓮花，10000 變成一根手指，十萬是 青蛙或蝌蚪之類的，百萬是他們的神明「胡」(Huh)，祂是八元神之一的無限之 神，所以可見百萬對於當時的埃及人來說是非常龐大的數字。
所謂的八元神，是指在古埃及的創世神話中，人類出現之前就存在的四對創世 之神，祂們更早於太陽神「拉」的出現，分別為納烏涅特（Naunet）和努（Nu）、
阿瑪烏涅特（Amaunet）和阿蒙（Amun）、卡烏凱特（Kauket）和庫克（Kuk）、
哈烏赫特（Hauhet）和 胡（Huh）。前面的名字是女的，後面的名字是男的。其 中女性神均與蛇有關，都長著蛇頭；而男性神均與青蛙有關，都長有青蛙頭。並
且每一對男女神都象徵著一種世界初始狀態，努和納烏涅特象徵宇宙間的原始水 域(水)。阿蒙和阿瑪烏涅特象徵空氣(空氣)。庫克和卡烏凱特負責預見黑暗(光 明)；哈烏赫特和胡則是象徵維持永恆與無限(時間)。
(↓左半邊那八位就是八元神)
另外 雙手上舉的動作，事實上是代表著象徵靈魂根源的「卡」(Kha)，這個 字有擁抱、保護的涵義，在古埃及文化中則代表著每一個人心靈中的精神、生命 力。傳說中，「卡」是由生命女神Heket 所製作，然後在每一個小孩出生的時候 把「卡」注入他們身體，所以也能視為所謂的靈魂，並且在人死之時，「卡」就會 離開人體。除了卡，還有另外兩種靈魂狀態，分別是巴(Ba)和阿赫(Akh)，「巴」也 是人的意識，但只有在死後才會出現；阿赫則是代表永生狀態的靈魂。每一種靈 魂也都有其代表的圖像。
↓卡
↓巴(通常以人頭鳥身的形態出現) ↓阿赫(白鷺鷥的形象)
並且數字 1000 的符號是蓮花，我認為也有他的原因，因為古埃及人非常崇拜 蓮花，他們認為蓮花是神聖而不可侵犯的神靈之花，又因為蓮花具有「夜晚閉合，
白晝綻放」的特質，所以被認為是「再生」及生命的象徵，他們甚至還有名為奈 費爾庭(Nefertem)的蓮花之神，祂是古埃及最知名的植物神之一，而蓮花正是他 的化身；另外也有和太陽神拉、智慧之神托特有關的蓮花傳說。在現代也可以看 出埃及人對蓮花的喜愛，因為他們的國花正是蓮花；甚至可以說整個埃及都和蓮 花息息相關，因為「埃及是尼羅河的贈禮」。
總而言之，我在上面會提到卡、八元神和蓮花，是因為我認為古埃及的數字形 象，例如一千的蓮花、十萬的青蛙(青蛙就是男性創世神的外型)和百萬的胡，似 乎都和他們在歷史、社會、地理位置上的重要性及神話傳說有關，所以我覺得可 能是埃及人民出自於內心的崇敬與感恩之心，才演變出當時的那些數字圖像。
★我還有查到代表一千萬的符號， ，雖然書上有寫，但因為只有在一個網站 有看到，所以就沒有把它放在上面一起介紹，但為求完整性，我在這裡還是簡單 的介紹一下。這個符號長的很像數學符號Omega ，這個字用來指事情的終結，
它也代表著一切的開始與終端看似是一個相同的循環，但是最終的結果與最初的 狀態卻又不同，體現了絕對時間不可逆轉的真理。如果這個這個符號在古埃及真 的代表一千萬的話，那我認為這應該就是最後一個數字符號了，畢竟它代表著事
情的終結，而且當時可能也用不著更大的數字了。
還有另一種說法是，這個符號很像「繩環」(Shen Ring)，它是一枚由兩端繩索 打結所組成的圓圈戒指，在古埃人的信仰及文化中，圓形是無盡的，並象徵著「完 整」和「無限」。此圖形最常見於禿鷲女神聶克NEKHBET 的石板雕刻中。所以 如同上面的推論，如果這個數字符號真的存在，那麼從中可以推知，古埃及人認 為到了這個數字就是完整的了，它已經代表無限，不會再有更大的數字了。
★計算舉例
1. 4622 2. 3244、21237 3. 1333330
四、萊因德紙草書、莫斯科紙草書
要研究古埃及數學，可以從遺留在世上的莎草紙文獻中尋找線索。莎草紙是 將一種生長於尼羅河畔溼地，名為紙莎草的植物切為薄片，交相重疊並強力壓平 後製成的紙；所謂的紙草書，就是指用莎草紙書寫並裝訂起來的書卷。那麼我們 至今所了解的關於古埃及人的數學知識，主要是依據兩部紙草書，一部是在底比 斯廢墟發現的《萊因德紙草書》，它是以一位蘇格蘭律師兼古董商人萊因德的名
字命名的，現藏於大英博物館。另一部叫《莫斯科紙草書》，由俄國貴族戈列尼 雪夫在底比斯購得，現藏於莫斯科普希金藝術博物館。
萊因德紙草書又被稱為阿姆士紙草書，以紀念西元前 1650 年左右一位抄錄此 書的書記官。並且值得一提的是，阿姆士是人類歷史上第一個因為對數學做出貢 獻而留名的人。這兩部紙草書均用僧侶體(為方便在紙草書上書寫，而發展出的 一種草書，相對於碑文上的聖書文)書寫，年代已十分久遠，手稿內容據說描寫 的是距當時至少1000 年前的事了，可見埃及早在四千數百年前的上古時代便開 始研究數學了；並且這兩部書也堪稱是流傳至今，用文字記載的最古老的數學典 籍。
萊因德紙草書 莫斯科紙草書
其中萊因德紙草書，根據阿姆士在前言中的敘述，內容是抄自法老阿美涅納 姆赫特三世時期（西元前1860 年至前 1814 年）的另一部更早的著作。紙草書的 內容分兩部分，前面是一個分數表，後面是84 個數學問題和一段無法理解的話
（也稱為問題85）。問題涉及算數、代數和幾何等概念，其中還有對π 的簡單 計算，所得值為3.1605。除此之外，裡面也記載著埃及人在生產、生活中遇到的 實際問題，如對勞動者酬金的分配、面積和體積的計算、不同穀物量的換算等等。
而莫斯科紙草書則由25 個問題組成。書中的問題也大多來自日常生活，比如麵 包的成分和啤酒的濃度，牛和家禽的飼料比例以及古物儲存等。
■接著來看看萊因德紙草書較細部的內容:
第一部份:
紙草書的卷首載錄了一組分數分解表，把 2/n﹝n 為 3 到 101 之間的奇數﹞分 解為單位分數﹝分子為1 的分數﹞之和，如將 2/33 寫為 1/22 +1/66。接著列出了 87 個問題，每個問題都給出了解答。
第二部分:
就是 85 個問題。問題 1─6 似乎是分數表的應用，如第 3 題是問 10 個人分 6 個麵包，每個人各得多少個。7 到 20 題是分數的乘法運算。21 到 23 題分別是將 一已知分數變為單位1 和 2/3。問題 24 到 38 的內容，在今天可歸為一元一次方
程式，其解法使用了假位法。後半部份35 到 38 題則是關於量器海克特(hekat) 的使用問題，39 到 40 是關於麵包分配的問題，涉及等差數列。如第 40 題為：「把 100 個麵包分給 5 個人，使每人所得成等差數列，且使最大的三份之和的 1/7 是 最小的兩份之和，問各得多少？」問題41 到 46 是體積問題。48 到 55 題為面積 問題，其中有圓、正方形、等腰三角形、等腰梯形等。56 到 60 題是金字塔問題，
從中可看到三角學的初步知識。問題61 以後是雜題，涉及許多實際問題，其中 69 到 78 題是關於食物中所含原料的比例問題。79 題是一個等比數列問題。84 題是牲畜飼料的分配問題。其他問題則不甚完整。
■其中萊因德紙草書的79 題非常有名:
一個人，他的財產包括七個房間，每個房間飼養七隻貓，每隻貓捕捉七隻老鼠，
每隻老鼠吃七串麥穗，每串麥穗能生產七赫克特（古埃及的容量單位）的麥。請 問在這份財產中，房子、貓、老鼠、麥穗和穀物總共有多少？
(↓萊因德紙草書原文)
(↓後人解讀版本) ★數字是從右讀到左邊!
書中其他的題目都有解答，唯獨這題沒給答案，因此引發了一段長時間的爭論。
最後，大家都傾向認同著名數學史研究專家康托爾的說法，他認為左半邊記載的 五個數字各代表房子、貓、老鼠、麥穗和穀物的量，也就是:
7 7x7=49 49x7=343
343x7=2401(文獻上寫 2301 後人認為應該是抄錯了) 2401x7=16807
(最下面的 19607 就是和，也就是此題答案)
具有這種性質的列數，在數學上稱為等比數列，而此題正是世界上最古老的等比 數列問題。右半邊則是另一種求和算法:
7 + 49 + 343 + 2401 + 16807 = 7*(1 + 7 + 49 + 343 + 2401 ) = (1+2+4)*2801
這樣子就清楚地解釋為什麼圖上會有1、2、4 和 2801 了。並且下面的 5602 就是 2*2801，11204 則是從 4*2801 而來，然後再把 2801+5602+11204 全部相加就是 和了。最後結論就是，左邊是硬算的，右邊是分解出7 再另外算的。
■再來看看第40 題，這部分是等差數列的問題。
把100 個麵包分給 5 個人，使每人所得成等差數列，且使最大的三份之和的 1/7 是最小的兩份之和，問各得多少？
五、埃及分數
根據《萊因德紙草書》的記載，埃及人很早就知道分數了，但他們的分數和我 們現在用的不一樣，而是所謂的「單位分數」，即形如1/n 的分數。他們可以把 任意一個真分數(小於 1 的有理數)表示成若干不相同的單位分數之和，例如
或是 。除了分子為1 的例子外，
尚有2/9、2/11、2/15 等分子為 2、分母為 99 以下的分數計算，例如
。
有數學史家將埃及人計算分數的方法稱為「埃及方法」，他們也提出了一個定理:
他們也提出證明: 。 並且如果以r=2，p=1 和 q=2n+1 來代入定理，可得以下結果:
若n 為正整數，則 。
◎例:把 2/91 分解成兩個單位分數之和
◎解: 或
接著來看看數學史家推斷出的古埃及分數較具體的分解法。
■埃及分解法
設 n 為奇正整數。形如 2/n 的真分數可採用以下步驟分解成若干個相異單位分 數之和。
◎步驟一:選取一整數 m 使得 m>n/2，且 2m–n 可分解成若干個 m 的因數之和。
應 用 以 下 的 恆 等 式 把 2/n 分 解 成 兩 個 相 異 分 數 : ， 若 2m-n=1，則分解完成。如果不是，則要進行步驟二。
◎步驟二:把 2m-n 分解成若干個 m 的因數之和，約簡後便可將(2m-n)/mn 分解成 單位分數之和。
例❶:把 2/13 分解成單位分數之和。解:取 m=8，得
例❷:把 2/89 分解成單位分數之和。解:取 m=60，得
■埃及分數表示法
埃及人的分數，由於分子(大部分)都是 1，所以只須寫上分母的數字，並在上 面標上小黑點就代表它是分數了，如下圖↙
雖然畫的很醜，但還是可以勉強看出左邊代表211，右邊
則是1/3+1/2 的意思，又 1/3+1/2=5/6，所以這整個圖案就等於 211 又 5/6。除了 黑點外，尚有其他代表幾分之1 的圖案，
就是這個嘴巴圖形 ，它在這裡的意思是「一部份」，它搭配什麼數字就是 多少分之一的意思。如上面左邊畫三條槓就是1/3，右邊加個 10 就等於 1/10。
然而，如上所述，並不是全部的分子都是1，所以遇到分子為 2 的時候，他們當 然有相應的圖形:
可以看到就算分子是2 或 3，但圖形仍然是紅嘴巴的應用，下方加兩條線是 2/3，
加兩短一長的線則是3/4，這兩個可以說是唯二不是多少分之一的分數符號。最 後的1/2 符號，則是一個發音為 m 的未知符號。這三組分數據說是因為很常用到，
所以才有獨立的符號，其他的就只能用湊的了。
另外還有一些分數單位符號是跟神話有關，例如古埃及人會用荷魯斯之眼來計 數↓
其由來為荷魯斯在與殺父仇人塞特的搏鬥中，他的左眼被塞特奪走並被撕成碎 片。但他的眼睛非同尋常，因為他的左眼代表的是月亮，右眼代表的是太陽。現 在左眼被奪走了，月神自然要出手相助。於是在一個月圓之時，荷魯斯在月神孔 蘇的幫助下，終於打敗了塞特，將左眼奪回。後來，荷魯斯將這只失而復得的眼 睛獻給了父親冥神歐西里斯。自此之後，荷魯斯之眼就成為辨別善惡、捍衛健康 與幸福的護身符。而這個被撕成六部分的荷魯斯之眼也成為古埃及數學中最早的
分數，被當作長度和容積單位計數使用。
補充:荷魯斯(Horus)是古埃及神話中法老的守護神，為王權的象徵，他也是傳說 中的天神或太陽神，通常被描繪為「隼頭人身」的形象。
荷魯斯雕像↓ 荷魯斯和他的老婆↓
有時，「展翅的太陽」(Winged Sun)也是荷魯斯的象徵符號。
接著來看看被撕碎的六部分各代表的分數值
眼頭為二分之一，眼珠為四分之一，眉毛為八分之一，眼尾為十六分之一，眼 下的長卷尾為三十二分之一；眼珠之下「著地的腳」為六十四分之一。這六個部 分構成一個等比級數，相加起來便是一個荷魯斯之眼，象徵完整的 1。
等比級數:
但是其實算一下就知道，這幾個數加起來並不是1，怎麼算都少了 1/64，關於這 部分，是因為古埃及人相信缺少的部分會由（修復荷魯斯之眼的）神力來補足。
另外眼睛的每個部位都有其象徵意義:眉毛 1/8 代表「思緒」(Thought)，眼尾 1/16 代表「耳朵、聽覺」(Hearing)，長卷尾 1/32 代表穀物的萌芽，故象徵「食 物」與味覺」(Taste)，眼珠 1/4 代表「視覺」(Sight)或光明的感受，眼頭 1/2 代表
「嗅覺」(Smell)，著的的腳 1/64 則為「觸覺」之意。
總之，上面提到的分數題目，以今天方便的數學計算法來算的話，就跟吃一 塊蛋糕一樣簡單，但從上面的介紹可以看到古埃及人以極為不便的數字與符號，
進行著這樣的數學研究，不管哪方面都相當令人佩服。
六、幾何學
最後要談的是幾何學，它起源於土地的丈量。古代埃及的尼羅河經常氾濫，並 沖毀了人們劃分的地界，把土地沖得奇形怪狀。洪水退去後，人們必須準確地恢 復原來的地界，為此，他們需要丈量土地，埃及的幾何學也就這樣逐漸發展起來。
據說，他們在作土地測量時發現，劃一個邊長比例為3、4、5 的三角形，與長度 為5 的邊相對的角是直角，並且利用這個方法在地面上劃出了直角。後來巴比倫 人也知道這個方法，並發現5、12、13 的三角形定理；在這之後，希臘人畢達格 拉斯來到這兩國學到了這些知識，他發現邊長為3、4、5 時，3 乘 3 等於 9，4 乘4 等於 16，9 加 16 好正等於 5 乘 5 的積 25；5、12、13 也是以此類推。
總之，畢達格拉斯發現不限於 3、4、5 或 5、12、13，用 a、b、c 三個數代表
三角形的三條邊長，如果a 乘 a 加 b 乘 b 正好等於 c 的話，那麼 c 邊相對的內角 就是直角。這樣就產生了眾所皆知的畢氏定理，也就是中國古時候所發現的勾股 定理。另外幾何這個詞最早來自於希臘語「γεωμετρα」，由「γα」（土地）和「μετρε ν」（測量）兩個詞合成而來，指土地的測量；後來拉丁語演變成「geometria」，
英文則是「geometry」；中文叫做幾何，有人說這是 geo 的音譯，或是音譯意譯 皆有。以上就是幾何學的簡單介紹，接著將介紹萊因德和莫斯科紙草書裡的幾何 觀念。
■圓面積
想了解古埃及圓面積的算法，可以研究萊因德紙草書的第 50 題:假設一個圓的 直徑為 9，則其面積為何?當時古埃及人的解法是把圓面積改以正方形計算，邊 長取直徑之 8/9，就是答案(左下圖)；意即古埃及人認為圓面積等於邊長為直徑 之8/9 的正方形面積(=平方)。至於他們是怎麼求出此算法，仍是一個未解之謎。
並且如果比較圓面積的計算公式，就會發現古埃及人心目中的圓周率(如果他們 有這個概念的話)是 ，即相當於π≈3.16，這也是非常厲害的。直到 1600 年後，阿基米德才證實了π為常數。
阿基米德在估計 π 的近似值時，採用了「窮盡法」來慢慢逼近圓周長。根據
「內接正 n 邊形的周長小於圓周，外切正 n 邊形的周長大於圓周」的定理，若 使 n 任意大，則兩個正多邊形的周長會接近圓，而圓周率就介於兩者之間。於 是阿基米德從正六邊形出發(右上圖)，先個別計算內接正六邊形與外切正六邊形 的周長與圓的直徑的比值，再計算正12 邊形的周長與圓的直徑的比值，然後逐 次加倍邊數，計算至96 邊時，即得圓周率的近似值為： ，改寫成 小數形式可得：3.14084＜π＜3.142858，即 3.14。
■體積
古埃及人在體積計算(其目的是為了儲存糧食)問題上達到了相當高的水準，例 如他們已經知道柱體的體積是底面積乘高。又例如，對高為h，上下底面分別是 邊長a 和 b 的正方形平截頭方椎體而言，古埃及人得到的體積公式是
(這個公式出現在莫斯科紙草書第 14 題中)
這是個完全正確的結論，也是一項非常了不起的成就，要知道這可是將近4000 年前的成就!美國數學史家 E‧T‧貝爾更稱其為「最偉大的金字塔」。(在英文裡，
錐體和金字塔是同一個單字，即pyramid) 七、結語、心得
萊因德紙草書是了解埃及數學的最主要依據，它準確反映了埃及當時的數學知 識狀況，更有多道題目都鮮明地體現了埃及數學的實用性；另外莫斯科紙草書也 有記載了不少數學公式的起源；總之，這兩者都讓我對於古埃及數學的整體發展 脈絡有了更深一層的認識。
我在做報告的時候一直覺得會不會講太多和數學無關的東西，但是又覺得不提 到那些神祇和埃及的傳統文化有點可惜，所以最後盡量控制了篇幅，還是講了一 堆和數學無關的故事；但也因為加入了這些介紹，內容比較沒那麼乏味啦!而且 我在找資料的同時，也真的吸收了許多新知識，不管是歷史方面的，還是數學方 面的。總之，這好像是我做過最有意義的報告了。
