高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：109.04.24

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：109.04.24

範 圍

空間直線方程式(2) 三元一次聯立方程組

班級 二年____班 姓 座號 名

壹、填充題：每題十分

1. ^{1 2}

2 3

x− = −y﹐z = − 1 中﹕

(1)上面方程式的圖形是﹕___________﹔（填﹕平面或直線或線段、點、圓、拋物線、無圖形）

(2)方向向量是﹕____________﹔

(3)參數式是﹕____________﹒

解答 (1)直線;(2)(2, − 3,0);(3)

2 1 3 2 1 x t

y t

z

= +

 = − +

 = −



﹐t 為實數

解析 ^{1 2}, 1 0

2 3

x y

− = − z+ =

−

(1)直線﹒(2)(2, − 3,0)﹒(3)過點^{( 1, 2, 1)}− 且方向向量(2, − 3,0)

2 1 3 2 1 x t

y t

z

= +



 = − +

 = −



﹐t 為實數﹒

2.求點 A(1,2,3)在平面 x + y + 2z + 3 = 0 上：

投影點 H 的坐標為________________﹒關於平面的對稱點 A 的坐標為________________﹒

解答 ( − 1,0, − 1)； ( 3, 2, 5)− − − 解析

1

: 2

3 2

x t

AH y t

z t

 = +

 = +

 = +



﹐t 為實數﹐令 H(1 + t,2 + t,3 + 2t)代入平面中﹐

得 1 + t + 2 + t + 6 + 4t + 3 = 0  6t + 12 = 0﹐∴t = − 2﹐∴H( − 1,0, − 1)﹒

( 1 2 1, 0 2 2, 1 2 3) ( 3, 2, 5)

A −  −

 − −  − = − − −

: z

A (1,2,3)

E x+y+2 +3= 0 H

3.求直線 L﹕ ^{1 2 3}

3 3 1

x− = y− = z− 與平面 2x − y + 3z = 3 之交點坐標為____________﹒

解答 (− 2 , − 1 , 2)

解析 令 P(3t + 1 , 3t + 2 , t + 3)為 L 與平面之交點﹐代入平面﹕2(3t + 1) − (3t + 2) + 3(t + 3) = 3

 t = − 1﹐∴交點為(− 2 , − 1 , 2)﹒

公式法

2 2 2

2 2 2

1 2 6 3

: (1, 2, 3) 1 (1,1, 2) ( 1, 0, 1) 1 1 2

1 2 6 3

: (1, 2, 3) 2 (1,1, 2) ( 3, 2, 5) 1 1 2

H

A

+ + +

−  = − −

+ + + + +

 −  = − − −

+ +

4.已知直線 L1與 L2交於點 P(1,0, − 1)且兩直線互相垂直﹐其中 ₁ 1 :

1

x t

L y t z

 = +

 =

 = −



﹐t 為實數﹐

2

1 :

1

x t

L y t

z t

 = +

 = −

 = − −



﹐t 為實數﹐現以 L1為軸﹐將 L2旋轉一圈可得一平面﹐求此平面方程式_________﹒

解答 x + y = 1

解析 N V =// _L1 (1,1,0)﹐且平面過 P(1,0, − 1)﹐

∴平面方程式為1 ( − +  −x 1) 1 (y 0)+  −0 (z 0)= 0

x + y = 1﹒

5.設 A(1,1,1)﹐直線 : ^{1 1 2}

2 1 2

x y z

L + = − = −

− ﹐

(1)一平面過 A 點且垂直直線 L﹐求此平面方程式為____________﹔

(2)一直線過 A 點且平行直線 L﹐求此直線之對稱比例式為____________﹔

(3)求 A 點至直線 L 之距離為____________﹔

(4)一直線過 A 點且垂直直線 L﹐求此直線的對稱比例式為____________﹒

解答 (1)2x + y − 2z = 1;(2) ^{1 1}

2 1

x− = y− 1 2

= z −

− ;(3)1;(4) ^{1 1}

2 2

x− = y− =

−

1 1 z −

−

解析 (1) N =(2,1, − 2)﹐∴所求平面﹕ 2(

x

− +1) (

y

− −1) 2(

z

− =  2x + y − 2z = 1﹒ 1) 0

(2) ^{1 1 1}

2 1 2

x− = y− =z−

− ﹒

(3)設 L 上的點 H( − 1 + 2t,1 + t,2 − 2t)﹐

2 2 2 2 2 2

( 2 2 ) (1 2 ) 9 12 5 9( ) 1

AH = − + t + + −t t = t − t+ = t−3 + ﹐當 ²

t =3﹐A 到直線 L 距離 1﹒

(4) ²

t =3代入得 H(^{1 5 2}, ,

3 3 3)  ( ^{2 2}, , ¹) //( 2, 2, 1) 3 3 3

AH = − − − − ∴所求為 ^{1 1 1}

2 2 1

x− = y− = z−

− − ﹒

6.一平面過點(2, − 1,1)且與直線 ^{3 1 0}

2 1 0

x y z x y z

+ + − =

 − + + =

 垂直﹐則此平面的方程式為____________﹒

解答 3x − 2y − 7z = 1

解析 ^{N =}(3,1,1)  (1, − 2,1) = (3, − 2, − 7)

∴平面方程式為﹕ 3(

x

− −2) 2(

y

+ −1) 7(

z

− =  3x − 2y − 7z = 1﹒ 1) 0 10.求兩直線 L1﹕ ^{2 1}

8 2 4

x+ = y = z−

− 與 L2﹕ ^{4 2 4}

2 1 1

x− = y+ = z−

− 的交點坐標為____________﹒

解答 (2 , − 1 , 3)

解析 令 P(8t − 2 , − 2t , 4t + 1)為 L1與 L2交點﹐代入 L2﹕ (8 2) 4 ( 2 ) 2 (4 1) 4 1

2 1 1 2

t t t

− − = − + = + −  =t

− ﹐∴交點為(2 , − 1 , 3)﹒

7.若兩直線 L1﹕ ^{8 6 3}

1 2 2

x− = y+ = z−

− − 與 L2﹕ ^{3 2 5}

1 2 2

x− = y+ = z−

− ﹐求

(1)L1與 L2的距離為____________﹒(2)包含 L1與 L2的平面方程式為____________﹒

解答 (1)6;(2)2x + 2y + z − 7 = 0

解析 ∵( − 1 , 2 , − 2) // (1 , − 2 , 2)﹐∴L1 // L2﹒

(1)取 P(8 , − 6 , 3)L1﹐令 P 在 L2上之投影點為 Q(3 + t , − 2 − 2t , 5 + 2t)﹐

∵PQ⊥L₂﹐∴(t − 5 , 4 − 2t , 2 + 2t)  (1 , − 2 , 2) = 0  t = 1  Q(4 , − 4 , 7)﹐

∴d(L1 , L2) =PQ = ( 4)− ²+2²+4² =6﹒ (2)L1﹕ ^{8 6 3 2 10 0}

2 13 0

1 2 2

x y

x y z

x z + − =

− = + = −   − − =

− −  ﹐

令所求平面為(2x + y − 10) + k(2x − z − 13) = 0﹐

取 L2上一點(3 , − 2 , 5)代入﹕− 6 − 12k = 0  ¹

k = −2 所求平面﹕2x + 2y + z − 7 = 0﹒

8.求過點 A (2 , 1 , − 3)﹐且包含直線 L﹕ ^{6 1 1}

1 1 2

x− = y− = z− 之平面方程式為____________﹒

解答 x + y − z − 6 = 0

解析 在 L 上取一點 B (6 , 1 , 1)﹐AB =(4,0, 4)﹐V =_L (1,1,2)﹐

( 4, 4,4) 4(1,1, 1) AB V L = − − = − − ﹐

所求平面(x − 2) + (y − 1) − (z + 3) = 0  x + y − z − 6 = 0﹒

9.設 L 為 x − y + z = 1﹐x + y − z = 1 兩平面的交線﹐則 L 上與點 P (1 , 2 , 3)距離最近的點 Q 為____﹒

解答 (1 ,⁵ 2,⁵

2) 解析 L﹕ ¹

1 x y z x y z

− + =

 + − =

 L﹕

1 x y t z t

 =

 =

 =

﹐t  ﹐

∵L 上與點 P 距離最近點為 Q﹐∴PQ⊥L之方向向量(0 , 1 , 1)﹐

令 Q (1 , t , t)﹐則PQ=(0,t−2,t−3)(0 , t − 2 , t − 3)  (0 , 1 , 1) = 0 ⁵

t =2﹐∴ (1, , )^{5 5} Q 2 2 ﹒ 10.已知平面 E：ax + by + 2z = 3 包含直線 L： ^{1 2 3}

1 1 3

x− = y− = z− ﹐則數對(a,b)為____________﹒

解答 ( − 9,3)

解析 將(1,2,3)代入 a + 2b + 6 = 3﹐又(a,b,2)(1,1,3) = 0a + b + 6 = 0﹐

2 3 0 9

6 0 3

a b a

a b b

+ + = = −

 

 + + =  =

  ﹐故(a,b) = ( − 9,3)﹒

P (1,2,3)

L Q

11.設 L1﹕ ^{1 1 1}

2 4

x y z

a

− = − = − ﹐L2﹕ ^{1 3 7}

1 2 3

x+ = y− = z− 交於一點﹐則 (1)a = ____________﹒(2)含 L1﹐L2的平面方程式____________﹒

解答 (1)3;(2)x − 2y + z = 0 解析 (1)

1 2 1

1 3 2

1 4 7 3

x t s

y at s

z t s

= + = − +

 = + = +

 = + = +



﹐

解﹐得 t = − 6﹐s = − 10﹐代入  1 − 6a = 3 − 20  a = 3﹒

(2)N =₁ (2,3, 4)﹐N =₂ (1, 2,3)﹐N₁N₂= −(1, 2,1)﹐

所求平面為(x − 1) − 2(y − 1) + (z − 1) = 0  x − 2y + z = 0﹒

12.試求包含 y 軸且與平面 2x − y + z = 0 垂直之平面方程式為____________﹒

解答 x − 2z = 0

解析 設所求平面方程式的法向量 n ﹐且 n ⊥(0,1,0)﹐ n ⊥(2, 1,1)− ﹐則

/ /(0,1,0) (2, 1,1) (1,0, 2)

n  − = − ﹐

設平面方程式為 x − 2z = d 且過(0,0,0)  d = 0﹐故所求平面方程式 x − 2z = 0﹒

13.已知二歪斜線 ₁: 1 ^{3 4}

2 2

y z

L x− = − = − 與 ₂: ⁴

2 2 x y

L y z

 + =

 + =

 為一正方體某兩邊的方程式﹐則此正方體體

積為_______﹒

解答 27

解析 二歪斜線 ₁: 1 ^{3 4}

2 2

y z

L x− = − = − 與 ₂: ⁴

2 2 x y

L y z

 + =

 + =

 之距離即正方體邊長

找出包含 L1平行 L2的平面 E﹐設法向量 n =(1,2,2) (2, 2,1) − =(6,3, 6)− ﹐ 設平面 E：6x + 3y − 6z = d 包含(1,3,4)﹐求得 d = − 92x + y − 2z + 3 = 0﹐

取 A(4,0,1)L2d(A,E) = 3﹐正方體體積為 3³ = 27﹒

14.已知直線 : ^{1 6 1}

2 3 5

x y z

L + = − = +

− ﹐E : x − 3y + 2z + 4 = 0﹐則包含直線 L 且與平面 E 垂直的平面為 ____﹒

解答 x + y + z − 4 = 0

解析 V =_L (2,3, − 5)﹐N =_E (1, − 3,2)﹐設所求平面法向量 ^N ﹐ N =V_LN_E=− 9(1,1,1)﹐

又平面過( − 1,6, − 1)  x + y + z = − 1 + 6 − 1 = 4﹐∴x + y + z − 4 = 0﹒

15.已知直線 : ²

1 2 2

x y z

L = − = ﹐試在包含直線 L 與 y 軸的平面上﹐求出直線 L 與 y 軸的角平分線方程 式為____________﹒

解答 ²

1 5 2

x= y− = z﹐ ²

1 1 2

x= y− =z

−

解析 設 y 軸方向向量以V = (0,1,0) , | V =| 1﹐

設交點

0

: 2 2

2 0 x t

P y t s

z t

 = =

 = + =

 = =



﹐s﹐t 為實數 解得 t = 0﹐s = 2﹐

∴L 與 y 軸交點 P(0,2,0)﹐

L 的方向向量為

V_L =( 1, 2, 2), |V_L | 3= ﹐

角平分線 L1﹐L2之方向向量為V_L+3V =(1,2,2)+3(0,1,0) = (1,5,2)﹐(菱形邊長為 3)

3 (1,2,2)

VL− V = −3(0,1,0) = (1, − 1,2)﹐

所求 L1﹕ ²

1 5 2

x= y− = z﹐ ₂: ²

1 1 2

x y z

L = − =

− ﹒

VL= (1,2,2)

V = (0,1,0) L1

L2

P

16. ₁: ^{5 7 1}

3 6 2

x y z

L − = + = −

− − 與 ₂: ^{1 5}

3 2 2

x y z

L − = = + 為歪斜線﹐P 在 L1上﹐Q 在 L2上﹐當PQ有最小值時﹐

(1)P 點坐標為____________﹔(2)Q 點坐標為____________﹒

解答 (1)(2, − 1,3);(2)(4,2, − 3)

解析 設 P(3t + 5, − 6t − 7, − 2t + 1)﹐Q(3r + 1,2r,2r − 5)﹐t﹐r 為實數

PQ =(3r − 3t − 4,2r + 6t + 7,2r + 2t − 6)﹐V =₁ (3, − 6, − 2)﹐V =₂ (3,2,2)﹐

PQ V 1 =0  9r − 9t − 12 − 12r − 36t − 42 − 4r − 4t + 12 = 0  − 7r − 49t − 42 = 0  r + 7t + 6 = 0……﹐

PQ V 2 =0  9r − 9t − 12 + 4r + 12t + 14 + 4r + 4t − 12 = 0 17r + 7t − 10 = 0……﹐

解得 r = 1﹐t = − 1﹐ ∴P(2, − 1,3)﹐Q(4,2, − 3)﹒

17.兩歪斜線 ₁: ^{5 7 1}

3 6 2

x y z

L − = + = −

− − ﹐ ₂: ^{1 5}

3 2 2

x y z

L − = = + 試求﹕

(1)公垂線段長為____________﹔(2)公垂線方程式為____________﹒

解答 (1)7;(2) ^{2 1}

2 3

x− = y+ 3 6

= z −

−

解析 設 P(3t + 5, − 6t − 7, − 2t + 1)﹐Q(3r + 1,2r,2r − 5)﹐t﹐r 為實數

PQ =(3r − 3t − 4,2r + 6t + 7,2r + 2t − 6)﹐

1 2

V =V V =(3, − 6, − 2)  (3,2,2) = ( − 8, − 12,24) = − 4(2,3, − 6)﹐

∵ V //PQ﹐∴^{3 3 4 2 6 7 2 2 6}

2 3 6

r− −t = r+ +t = r+ −t

−

 ^{9 9 12 4 12 14 5 21 26}

4 12 14 2 2 6 6 14 8

r t r t r t

r t r t r t

− − = + + − =

 

 

− − − = + −  + = −

 

r = 1﹐t = − 1﹐∴P(2, − 1,3)﹐Q(4,2, − 3)

(1)PQ = 4+ +9 36=7﹒(2) : ^{2 1 3}

2 3 6

x y z

L − = + = −

− ﹒

L1

L2

P L

Q

17.空間中二直線 ₁: ^{1 3 6}

4 1 1

x y z

L + = + = −

− ﹐ ₂: ^{5 1 8}

2 1 3

x y z

L − = + = − ﹐求 L1與 L2的公垂線方程式______﹒

解答 ^{3 2}

2 7

x− = y+

−

5 1

= z − 解析 先求 L1與 L2的交點

1 2

4 1 2 5

3 1

6 3 8

L L

x t s

y t s

z t s

= − = +

 = − = −

 = − + = +



解得 t = 1﹐s = − 1﹐代入合﹐∴交點( 3, − 2, 5 )﹐

1 2

L L

V =V V =( 4, 1, − 1 )  ( 2, 1, 3 ) = 2( 2, − 7, 1 )﹐公垂線方程式﹕ ^{3 2 5}

2 7 1

x− = y+ =z−

− ﹒

18. 方程組

3 4 0

2 5 3 4

2 4

x y z

x y z

x y z

− + =

  + − =

  + + =



之解 ( , , )

x y z

=________.

答案： (1,1,1)

解析：

3 4 0

2 5 3 4

2 4

x y z

x y z

x y z

− + =

  + − =

  + + =



，

^{3 11 7 4}

3 5 11 16

x y

x y

 +  − =

+   + =

5 11

y

1

 −   = ，代回 得

x = 1

代回 得

z =

1

19. 一個三位數的十位數字等於個位數字與百位數字的和，而它的個位數字與十位數字的和是 10，如果個位數字與百位數字互換，這個數就減少 99，則此數為 .

答案： 473

解析： 設此三位數之百位數字，十位數字，個位數字分別為

x y z , ,

，則 0

10 10

100 10 100 10 99 1

y x z x y z

y z y z

z y x x y z x z

= + − + =

 

 + =  + =

 

 + + = + + −  − =

 

解聯立可得

x = 4, y = 7, z = 3

，故此三位數為473

20. 已知二次多項式

f x ( )

滿足

f (0) = 3, (1) 1, (3) f = f = 9

，則

f x = ( )

________ . 答案：

2 x

²

− 4 x + 3

解析： 設

f x ( ) = ax

²

+ bx + c

，依題意可得

3 2

1 4

9 3 9 3

c a

a b c b

a b c c

= =

 

 + + =  = −

 

 + + =  =

 

故

f x ( ) = 2 x

²

− 4 x + 3

21. 過

(1,1), (1, 1), ( 2,1) − −

三點之圓方程式為 ______________ . 答案：

x

²

+ y

²

+ − = x 3 0

解析： 設

x

²

+ y

²

+ dx + ey + = f 0

過

(1,1), (1, 1), ( 2,1) − −

三點

1 1 0

1 1 0

4 1 2 0

d e f d e f d e f

+ + + + =



 + + − + =

 + − + + =

 由

−

得 2

e

=  = 0

e

0

代回○¹ ,○³ 得 2 1

2 5 3

d f d

d f f

+ = − =

 

− + = −  = −

  圓方程式為

x

²

+ y

²

+ − = x 3 0

22. 設 x, y, z 為非零實數，且 0

2 3 0

x y z

x y z

− + =

 − − =

 ，則

2 2 2

2 4

x y z

xy yz zx

− +

+ + =

_____________.

答案：

⁸ 5

解析： 0

2 3 0

x y z x y z

− + =

 − − =



1 1 1 1 1 1

: : : :

3 1 1 2 2 3

x y z

− −

 =

− − − −

^{= 4 : 3 : 1 −}

令

x

=4 ,

t y

=3 ,

t z

= − 所求

t

16₂² 9₂^{2 2}₂ 8 ²₂ 8

24 3 16 5 5

t t t t

t t t t

− +

= = =

− − 23. 試解下列各方程組：

(1)

1 1 1 0 4 3 2

5 3 2 4

4

x y z

x y z

x y z

 + + =

 

 + + =

 

 + + = −

 

的解為 ____________ ．(2)

2( ) 3 6( ) 5 3( ) 4

x y xy

y z yz

z x zx

+ =

 + =

 + =



的解為_____________ ．

答案：

(1)( ,1, ^{1 1} )(2)(0, 0, 0)

2 − 3

或

(1, 2,3)

解析： (1)

1 1 1 0 4 3 2

5 3 2 4

4

x y z

x y z

x y z

 + + =

 

 + + =

 

 + + = −

 

−  2

得2 1

x

+ =

y

5

 − 4

得1 2

x

+ =

y

4

 − 2

得

³ 6 ¹ x 2 x =  =

代入 得 1

4 5

y

1

+ =  =

y

代入 得

2 1 ¹ 0 ¹

z 3 + + =  = − z

∴

( , , ) ( ,1, ^{1 1} )

2 3

x y z = −

(2)

2( ) 3 6( ) 5 3( ) 4

x y xy

y z yz

z x zx

+ =

 + =

 + =



(Ⅰ) xyz

=0

(i)若

x = 分別代入

0 得

y = 0, z = 0

(ii)若

y = 0

，同理可得

x

= =

z

0 (iii)若

z = ，同理可得

0

x = = y 0

(Ⅱ) xyz  0

則原方程組可化為

1 1 3 2 1 1 5 6 1 1 4 3

x y

y z

x z

 + =



 + =



 + =



+ +

得 1 1 1 22

( )

6

x

+ +

y z

= 1 1 1 11

( )

6

x y z

 + + =

−

得

¹ 1 x 1 x =  =

−

得1 1 2

y

2

y

=  =

−

得

^{1 1} 3

3 z z =  =

∴

( , , ) x y z = (1, 2,3)

由(Ⅰ)(Ⅱ)得

( , , ) x y z = (0, 0, 0)

或

(1, 2,3)

24. 設 a 為實數，已知方程組 3

2 0

4

y z ax x y

x y ax

− = −

 + =

 + = −



有異於 0 0 0

x y z

 =

 =

 =

之解，則 a = .

答案： 7 解析： Sol 一

原方程組即

3 0

2 0

( 1) 4 0

ax y z

x y

a x y

+ − =

 + =

 + + =



，方程組有異於 0 0 0

x y z

 =

 =

 =

之解方程組有無限多組解

^{2 1} 1 8, 7

1 4 a a

a =  + = =

+

Sol 二

3 1

0 2 1 0 7 0 7

1 4 0

a

a a

a

−

 =  = − =  =

+

25. 已知 x ,

y

,

z

滿足三元一次聯立方程式

2 3

2 3

2 0

x y z

x y z

x y z

− + =

 + + =

 + − =



，則

x + + y z

²的最小值為 .

答案： 1

解析： 原式：

2 3

2 3

2 0

x y z

x y z

x y z

− + =

 + + =

 + − =



由

−  2

及

−

消去 x 得 3 3 3

3 3 3

y z y z

− = −

 − = −

 由

^{3 3 3}

3 3 3

− −

= =

− −

，得

y

− = − 即 z t

z

1 = ，

y = − + 1 t

1 ,

y = − + t z = t

代回，得

x

= − 即解為2

t

2

1

x t

y t

z t

 = −

 = − +

 =



（ t 是實數）

則

x + + y z

²

= +  1 t

²

1, t 

，故最小值為1

26. 空間中四平面

E

₁

: x + 2 y − 3 z = − 9, E

₂

: 4 x − − y 2 z = 3, E

₃

: 3 x + 4 y − = − z 1,

4

: 2

E x − − = y z a

恰交於一點，則 a = . 答案： 2

解析： 將

E E E

₁

,

₂

,

₃三平面的交點求出後再代入

E

₄

2 3 9 2

4 2 3 1

3 4 1 3

x y z x

x y z y

x y z z

+ − = − =

 

 

 − − =  = −

 + − = −  =

 

得交點

(2, 1,3) −

代入

E

₄

: 2 x − − = y z a

中 得

a =

2

27. 解下列各方程組：（若恰有一解，請將解寫出；若無解，請回答「無解」；若有無限多組解，

請用參數表示）

(1)

2 3 1

7 5 15

x y z

x y z x y z

− − =

 + + =

 − − =



的解為 ___________ ．(2)

2 1

2 1

2 1

x y z

x y z

x y z

− + + =

 − + =

 + − =



的解為 ________ ．

答案： (1) 5 3 , (2) 4 2

x t

y t t R

z t

 =

 = − 

 = − +



無解

解析：

(1)

2 3 1

7 5 15

x y z

x y z

x y z

− − =

 + + =

 − − =



+

得 2

x

− =  =

z

4

z

2

x

−4 + 得

8 x − 4 z = 16

2 1 4

8 4 16

= − = 

−

原方程組有無限多組解

令

x

=  = − +

t z

4 2 ,

t y

= − 得解為5 3

t

5 3 , 4 2

x t

y t t

z t

 =

 = − 

 = − +



(2)

2 1

2 1

2 1

x y z

x y z

x y z

− + + =

 − + =

 + − =



−

得 3

x

−3

y

=0 +  得 32 − +

x

3

y

=3

,

代入 得

^{3 3 0}

3 3 3

= −  

−

原方程組無解

28. 若

2 3 9

4

2 8

x y z

ax y z x y z

+ − = −

 + + =

 − + =



與

2 1

2 3 13

2 12

x by z

x y z

x y cz

+ − =

 − + =

 + − =



為同義方程組，且恰有一解，則

( , , ) a b c =

.

答案：

(1, 0, 3) −

解析： 由題意，方程組的解即為

2 3 9

2 3 13

2 8

x y z

x y z

x y z

+ − = −

 − + =

 − + =



的解

 ( , , ) x y z = (2, 1,3) −

代入

4 2 1 3 4

2 1 4 3 1

2 12 4 1 3 12

ax y z a

x by z b

x y cz c

+ + = − + =

 

 + − =  − − =

 

 + − =  − − =

 

得

( , , ) a b c = (1, 0, 3) −

29. 若

2 4 3 2 11

x y z

ax y z

x y z

− + = −

 + + =

 + − =



與

2 6

2 2

3 2 9

x by z x y z x y cz

+ − =

 − + =

 + + = −



有共同的解，且恰有一組解，則：

(1)此解為 . (2)序組

( , , ) a b c =

. 答案： (1)

(4, 5, 11) − −

(2)

(5, 4,1)

解析： (1)

2 4 3 13

3 2 11 2 6

2 2 3 5

x y z y z

x y z y z

x y z y

− + = − −  − =

 + − =  −   − =

 − + = −   = −



代回○⁵ 得

z = − 11

，再代回○¹ 得

x = ，故

4

( , , ) x y z = (4, 5, 11) − −

(2)將解代回得

4 5 11 4

4 5 22 6 ( , , ) (5, 4,1) 12 10 11 9

a

b a b c

c

− − =

 − + =  =

 − − = −



30. 設向量 a

= (1, 2,1),

b

= (1,3, 1), −

c

= (1, 1, 2), −

d

= (4, 2,9) −

，若 d

= x

a

+ y

b

+ z

c ，其中

, ,

x y z

為實數，則

( , , ) x y z =

. 答案：

(2, 1,3) −

解析：

(4, 2,9) − = x (1, 2,1) + y (1,3, 1) − + z (1, 1, 2) −

4 3 4 2

2 3 2 2 3 1

2 9 3 5 5 1

x y z x y

x y z x y

x y z y y

+ + = +  + =

 + − = −   −  + = −

 − + =  −  = −  = −



代入○⁵ 得

x = − − 1 3 y = 2

，代入○¹ 得

z = − − = 4 x y 3

所以

( , , ) x y z = (2, 1,3) −

31. 有一工程，如甲，乙，丙三人合作，10 天可完成﹒如甲，丙合作 15 天可完成﹒如乙做 15 天，餘下工程由丙來做，要再30 天才做成，則甲一人獨做需 天完成.

答案： 20

解析： 設甲、乙、丙獨作各需 x 天，

y

天，

z

天完成 則

1 1 1 1 10 1 1 1

15 15 30

1

x y z

x z

y z

 + + =



 + =



 + =



1 1 30

y

30

−  =

y

 =

代入

^{30 1} 60

2 z

 z =  =

代入

^{1 1 1 1} 20

15 60 20 x

 = x − =  =

故甲一人獨做需 20 天完成