數字字謎的解謎與字謎產生器的研究
李立中 · 林順喜
摘要: 數字字謎遊戲向來是許多人喜歡作的益智性思考遊戲, 可以讓人應用推理性的 思考, 在解題的過程中得到樂趣, 並得到解開謎題的成就感。 在過去這些字謎都是由專家構思 建構出來的, 在本文中我們考慮結合英文單字及數字的字謎。 在英文單字中代表數字的單字 有許多, 如 one、two、three、twenty、thirty、 hundred、thousand、million 甚至到 billion 等 32 個單字, 在本文中, 我們將先試著解一個字謎, 並嚐試著利用電腦把這些單字作排列組 合, 使其不只在英文意義上符合其數字之值, 而各字母以不同的數字代入也能產生合理的運 算式, 並且利用電腦來驗證產生的字謎是否有解。 除此之外, 這個程式也可以用來解其它的 字謎。 如此一來, 我們也可以由程式產生各式各樣不同的字謎, 可以供人作思考解謎之用。 程 式執行出來的結果, 已經找到了四層以下的所有有解的字謎, 至於五層以上, 由於複雜度太 高且實用性較低, 人腦要解已難以負荷, 所以便不再繼續窮舉, 但是我們的程式仍可產生及 求解。
一、 緒論
甲 . 字謎的介紹:
字謎的花樣是千奇百怪, 例如一個英文 句子 「Give me money.」 我們就可以把它化 成為 「GIVE × ME = MONEY」 這道式 子。這樣的謎語有趣的地方在於, 我們不是隨 便解一道式子, 如此和平常解 x、y、z 的代數 式子豈不是沒有差別, 這樣的式子, 除了在字 面上有它的意義, 而用數字代入之後, 又有它 另一層的意義 (數學上的意義)。 這是字謎有 意思的地方, 人會想要找到它另一層的意義。
再者, 這樣的字謎, 解答通常不只一組, 又因 為光是一道式子所給的資訊並不完全的, 所 以解法更是依各人不同, 當然, 解出來的答案 也會不一樣, 這樣可以考驗及磨練自己的思 考推理能力, 看看自己是不是能夠從有限的 線索裡找出答案。
相信大家或許有見過這樣的字謎, 以每 個英文單字為一行, 排成直式的加法, 如下面 這運算式:
22
FIVE +FOUR
NINE
而若是把式子中的各個英文字母以不同 的數字代入的話, 那麼這個式子也會變成一 個有意義的算式, 如下面的式子:
以 F = 1, I = 2, V = 5, E = 4, O = 9, U= 8, R = 0, N = 3 代入
1254 +1980 3234
當然這只是其中的一組解, 其它還會有 許多組可能的數字代入會使得這式子還是既 符合英文字面上的意義 (FOUR+FIVE = NINE ⇒ 4 + 5 = 9), 也符合代入數字後的 運算式 (1254 + 1980 =3234)。 另外, 雖然 在上例中若是把 F=0代入其中, 也許可以找 到另一組解, 但是這種第一位數為 0 的, 我們 也把它排除在外, 以免猜字謎時產生困擾。 而 本文中所介紹的首先便是找出所有在英文意 義上能符合的組合, 接下來便是利用電腦來 驗證看看是否這些組合都至少有一組數字能 夠代入後仍然得到一個正確的式子。
當然若是 FIVE + FOUR = THREE 也可能可以找到一組數字代入使得數字算式 是正確的, 然而, 在英文上的意義 5 + 4 = 3 顯然是不合理的, 這種的組合, 我們目前不列 入考慮。 在過去這些字謎大都由專家 (稱為出 題者) 以人腦構思建立出來。 在本文中我們設 法讓電腦來 達成這樣的任務。
而在驗證字謎是否有解的演算方法, 便 是電腦解字謎的方法。 因此, 利用這種演算方
法, 即使是任何字句中的單字組合成的一組 式子, 也能馬上求出這種組合是不是也有一 組合理的數字解。
乙 . 人解字謎和電腦解字謎的差別:
人在解這種字謎的時候, 相信有學過基 本代數的人首先都會想到試著利用代數來列 出各個字母間的關係, 當然, 如果只就單純 的各位數字間的算數關係。 如前例 FIVE + FOUR = NINE 中, 我們可以找出 2F = N (在沒有進位的情況) 或2F + 右邊的進位
= N(進位的情況), 其它幾位的數字大概也 可以用這些情況來討論, 列出了這些關係以 後, 再代入一些數字到各個字母裡去, 這樣子 在代入數字的時候便能較快的判斷自己猜測 的數字是不是正確的。
或者更多人反正是為了好玩而猜字, 就 會嚐試著直接將數字代入到式子中, 這樣子 就是用嚐試錯誤的方法, 其實道理和前面的 方法一樣, 只不過他是直接代入來測試合不 合理, 而不是利用關係式求解。 然而這種方 法, 可能會多帶入一些不適合的解而不自知, 較沒有效率。
而電腦在解這些字謎的時候, 大致上就 是以嚐試錯誤的方法, 從 0 開始代入, 全都帶 入之後, 便計算看看合不合理, 如此重複下去, 便能找到解, 當然, 同樣的事情, 電腦作起來 只要短短的幾秒就可以完成了, 不過, 人會在 解謎中得到樂趣和成就感, 這是電腦所沒有 的吧!
在下文中我們將會試著用一些方法來解 一個字謎。 讀者可以參考看看, 也許會有更好
更快的解法來解謎。 也可以比較一下, 人腦和 電腦解謎方法上的不同。
二 . 動動腦筋來解題
我們來試試看 「SEND + MORE = MONEY」。 首先我們不打算以列出所有關 係式的方法, 因為關係式並不好列, 再加上考 慮進位的問題, 那列出來的方程組太多了, 反 而容易混淆我們。 另一方面, 這種字謎可能會 有多組解答, 所以我們考慮到這些方程組並 沒有提供完整的資訊, 而且因為有多組解答, 因此我們如果能夠先假設其中一些字母的數 字, 也許就能推出一組合理的答案。
我們打算以代入數字的方法, 但是要從 哪一個字開始代呢? 我們先來統計一下這道 式子的字母吧。
字母 S E N D M O R Y 出現次數 1 3 2 1 2 2 1 1
從這個表格看來,「E」 出現的次數最多, 所以我們要是先由 「E」 開始代入我們假設的 數字的話, 那麼, 剩下的未知字母就會最少。
但是, 我們再看看它們的排列位置:
S E N D + M O R E M O N E Y
我們發現這三個 「E」 在位置上分別在 不同行, 如此一來, 我們並沒有辦法因為代入
「E」 之後, 而能利用這些假設的數字得到其
它的字母可能會是什麼數字。 接下來我們有 二種選擇, 一是繼續代入其它數字到其它出 現次數較多的字母, 另一就是我們改用別的 方法。
我們試著代入 「N 」、「M」、「O」 等出現 過二次的字母, 當我們試著第二個要以 「M」
代入數字的時候我們想到了可以利用另一條 規則。 因此我們決定改走另一條路。
因為式子的每一行的第一個字母不應該 為 0, 所以我們知道 「S」 和 「M」 都應該是大 於0的數字。 接下來我們知道二個一位數字相 加最大是 18, 又因為每個字母要求是不一樣 的數字, 因此我們知道 「S + M」 最多等於 17, 這時候 「M」 的答案已經出現了,「M」 就 只有可能是 1。 既然 「M = 1」, 又由式子裡
「S + M 」(也就是 S + 1) 必須有進位, 才 能符合 「MONEY」 的 「M」 也會等於 1, 所 以 「S」 就一定是8或是9 (但是其實應該是9, 原因在下面一段), 然而同時我們就可以知道,
「O」 必定會是 0。 如下:
9 E N D + 1 0 R E 1 0 N E Y M = 1, S = 9, O = 0。
解出了這幾個字母的數字之後, 我們再 回到之前出現次數最多的 「E」 代入其它沒用 過的數字, 此時, 未知的字母減少了, 剩下的 數字 也減少了, 而我們的線索則更多了。
看到上面的式子, 我們發現 「E + 0 = N 」, 還記得二個字母的數字不會相同嗎? 還
記得二個一位數字加起來最多進位只會是 1 嗎? 所以我們知道 「N = E + 0 + 1(進 位的 1)」。(這也就是為什麼,「S」 一定是 9, 因 為 「E + O = N」 不會再有進位, 所以
「S」 一定要是 9) 有了這條線索, 我們還可以 知道,「N +R = 1E 」 或 「N +R+1 = 1E」。
再看剩下 2到8的數字中, 嚐試用連續的 二個數字放入 「E」 和 「N 」 中, 答案已經呼 之欲出了。 例如以 「E = 2」 和 「N = 3」 代 入, 則我們會發現 「R = 9」, 顯然不對, 因為 9 已經用過了。 這時我們又找到一條線索, 就 是既然 「E + 0 + 1 = N」, 又 「R」 不是 9, 所以我們只能接受 「N + R + 1 = 1E」 這 條路。 如此一來, 「R = 8」 就肯定了。
9 E N D + 1 0 8 E 1 0 N E Y M = 1, S = 9, O = 0, R = 8。
剩下的字母間並沒有什麼特別的關聯性 了, 所以我們可以把 「E」 和 「N」 以連續的 二個數字 (現在只能在 2 到 7 中尋找了) 代 入, 剩下的數字中再找個給 「D」, 最後再看看
「Y 」 所得的數字是不是沒有出現過的數字就 行了。 當然, 我們要記得 「D + E = 1Y 」(因 為必須要有進位才能符合 「N +8 +1 = E」) 既然如此, 我們試著讓 「D」 則由7開始, 如此一來, 顯然 「E」 和 「N」 必須是5和6, 所 得到的 「Y 」 會是 2, 才符合了我們進位和不 重覆數字的要求。 如下:
9567 +1085 10652
S = 9, E = 5, N = 6, D = 7, M = 1, O= 0, R = 8, Y = 2。
這是我們嚐試著以 「SEND + MORE
= MONEY」 為例來解謎, 我們可以發現, 有些時候一開始的直覺不一定正確 (例如一 開始我們嚐試用關係式來解代數、 或是一開 始想由出現最多次的 「E」 開始解起之類的直 覺), 不妨由其它方向試著來解決問題。
「GIVE + MORE = MONEY」 是 另一個類似的字謎也是很有趣, 解法雖然和 上面的例子相似, 但是其中也會因為字母不 一樣而有不一樣的地方, 讀者不妨試試。
三 . 電腦解題之演算法
字謎的種類當然是各式各樣的、 無所不 有。 例如上文中的例子 SEND + MORE = MONEY, 是以一個有意義的英文句子組成 的。 有字面上的意義, 並且能夠把字母代入數 字, 讓它有另一層意義, 這是字謎有趣也是它 吸引人的地方。 但是有意義的句子非常的多, 所以我們先從其中的一個子集開始作起, 這 也是下文所將討論的, 以英文數字為範圍, 來 產生有意義的字謎。
甲 . 產生數字字謎的演算法:
1. 列出所有英文數字單字, 不包含複合單 字, 共 32 個, 列表如下: ONE、TWO、
THREE、 FOUR、 FIVE、SIX、SE-
VEN、EIGHT、NINE、TEN、ELE- VEN、 TWELVE、 THIRTEEN、
FOURTEEN、 FIFTEEN、 SIX- TEEN、 SEVENTEEN、 EIGH- TEEN、 NINETEEN、 TWEN- TY、THIRTY、 FORTY、 FIFTY、
SIXTY、 SEVENTY、 EIGHTY、
NINETY、 HUNDRED、 THOU- SAND、 MILLION、 BILLION 共 32 個單字。
2. 決定要產生 N 層的字謎。 其中 N 共用 到 N 個單字, 形成加法或乘法之數謎。
例如:
FIVE +FOUR
NINE 此例即為 N = 3
3. 前 (N − 1) 層分別選出 (N − 1) 個單 字作出各種組合。 在排列時, 第 k 個英文 字代表數大於等於第 (k + 1) 個數。 所 以有了 FIVE + FOUR =NINE 的組 合, 便不會再重複選出 FOUR + FIVE
= NINE 的組合, 因為這兩組其實是一 樣的, 沒有必要重複的驗證。
4. 依照 2. 中選出的單字的對應的數值作 運算, 看看加起來或乘起來會等於多少, 若是這數值正好對應到某一個單字, 那麼 便找到一組可能的組合。(例如:FIVE + FOUR = NINE) 若是找不到對應的 單字, 那麼這組便不是我們要的。(例如:
THREE × SEVEN = TWENTY-
ONE, TWENTY-ONE 為複合單字, 不在 32 個單字中, 所以放棄這種組合。) 5. 找到 3 中的組合後, 便開始判斷在這種
組合裡, 是不是小於等於十個英文字母 (如 FIVE + FOUR = NINE 中有 F、I、V、E、O、 U、R、N 等 8 個), 因為大於 十個字母, 就會有字母必須代入重複的數 字, 這便不合我們字謎的要求。
6. 在排除了 4 中不合理的組合之後, 仍可 以經由單字的長度來判斷這些組合是否 有可能。 例如: 4 位數加 4 位數得到的 和也必定是 4 位數或者是 5 位數。 所以若 是和的單字長度太長太短都不對。 而像 3 位數乘以 3 位數, 所得的積必定是 5 位 或 6 位數字。 (因為其乘積必大於 100 × 100 = 10000, 而小於 1000 × 1000 = 1000000) 相同的,3 位數乘以 4 位數再乘 以 3 位數的積則可能是 8 位、9 位、10 位。
(原因類似前面所述)。 如此便又可以除去 許多不可能的組合。
7. 最後以下一節所述之猜字謎的演算法, 來 判斷剩下的組合, 這樣便可以最快的時間 找到有解的組合。
乙 . 猜字謎的演算法:
以 FIVE + FOUR = NINE 為例。
1. 找出這組字謎有幾個字母。(找到 F 、I、
V 、E、O、U 、R、 N 等8 個)
2. 將數字代入字母。(從 0, 1, 2, . . . , 9, 分別 代入各個字母)
3. 判斷這個數字是否和其它字母相同, 又若 是這個字母是第一位, 則不能為 0。
4. 重複 2、3 的作法, 直至所有加數和被加數 的字母 (或者所有乘數、 被乘數的字母), 已經都有代入數字。(如這裡代到 F 、I、
V 、E、 O、U 、R 都有值即可。)
5. 將剛才代入的數值從最低位到最高位作 運算, 運算出來的結果, 再看看最後一行 的單字, 若是這一位的字母已經在上面幾 行出現過 (如I、E在 FOUR、FIVE 中 出現過), 則可以直接比對這個算出來的 值是否相同, 相同就繼續作下去, 不同就 表示這組數字不合。 若是這一位字母未在 上面出現過 (如 N), 再把計算的結果比 對看看這數字是否有被用過, 如果沒有就
直接代入, 作為這字母的值。 若是有的話, 則表示這組數字不合。
6. 找到一組合的就表示這組字謎有解, 否則 就是無解的字謎。
四、 程式執行結果與分析
本程式使用 C++語言寫的, 在Tur- bo C++或Borland C++ Builder等編譯器下編 譯皆可, 將這程式在 Pentiumn 100、32MB RAM 的電腦上試著跑了一遍, 經過產生字 謎程式部分所產生有可能的字謎, 產生的結 果如下表: (其中最後一層為和或積)
加法 乘法
層數 可能有解組數 有解組數 執行時間 可能有解組數 有解組數 執行時間 3 69 6 5 分 50 秒 10 1 4 分 30 秒 4 137 36 11 分 25 秒 3 0 1 分 15 秒 5 209 61 17 分 15 秒 0 0 小於 1 秒
其中可能有解的組合的意思是, 經過初 步簡單的條件, 即在前面提到的 (甲) 產生字 謎的演算法中的判斷後, 所產生的組合, 但是 尚未經過實際求解, 所以可能會有如 FIVE + THREE = EIGHT 在產生字謎的演算 法中無法判斷其是否無解的組合。 經過實際 的求解過程, 除去這種無解的可能, 則是我們 真正要的字謎, 也就是上表中 「有解組數」 之 值。
至於解出來有解的這些字謎, 附在本段 的結尾, 供大家參考, 從表中看出加法要符合 條件比較容易, 而乘法則是到5、6層連有可能
的組合都找不到了, 因此只發現了一組乘法 數謎有解! 話說回來, 要猜出乘法的字謎可 比加法麻煩多了。 而大家也許會發現, 不是本 來說有加減乘除的, 但是怎麼這裡只有作加 法和乘法, 這是因為加法的順序改變, 便可以 成為連減的組合 (把和當成被減數, 其它的則 是減數, 剩下一個就是差了), 而乘法的順序 改一改, 也是可以成為除法 (積作為被除數, 乘數或被乘數都可以當除數和商)。
以下就是我們所列出來所有有解的字謎 組, 讀者可以向自己的思考推理能力挑戰。
乘法: (只有一組)
(1)
SIX 965
×TWO ×218 TWELVE 210370
加法:
三層的組合: 共 6組
(1) (2) (3) (4) (5)
FIVE 1254 FOUR 5238 FOUR 2503 FOUR 1230 TWO 734
+ FOUR + 1980 + FOUR + 5238 + THREE + 69311 + ONE + 256 + TWO + 734 NINE 3234 EIGHT 10476 SEVEN 71814 FIVE 1486 FOUR 1468 (6)
ONE 206 + ONE + 206
TWO 412
四層的組合: 共 36組
(1) (2) (3) (4) (5)
FIFTY 76749 FORTY 83457 FORTY 96342 FORTY 37984 FORTY 29786 TWENTY 485149 FORTY 83457 THIRTY 410342 FIFTEEN 3238550 TEN 850 + TEN + 451 + ZERO + 2143 + TEN + 458 + FIFTEEN + 3238550 + TEN + 850 EIGHTY 562349 EIGHTY 169057 EIGHTY 507142 SEVENTY 6515084 SIXTY 31486
(6) (7) (8) (9) (10)
FORTY 21346 FORTY 31206 FORTY 12834 THIRTY 593250 TWENTY 185710
NINE 5750 SIX 958 FIVE 1650 TWENTY 546750 TEN 157
+ ONE + 150 + FOUR + 3142 + FIVE + 1650 + TWENTY + 546750 + ZERO + 6543 FIFTY 27246 FIFTY 35306 FIFTY 16134 SEVENTY 1686750 THIRTY 192410
(11) (12) (13) (14) (15)
TWENTY 120416 TWELVE 126406 ELEVEN 858682 NINE 3538 SEVEN 68782
FIVE 8750 NINE 5756 SEVEN 78682 EIGHT 85291 SEVEN 68782
+ FIVE + 8750 + NINE + 5756 + TWO + 930 + THREE + 19488 + SIX + 650 THIRTY 137916 THIRTY 137918 TWENTY 938294 TWENTY 108317 TWENTY 138214
(16) (17) (18) (19) (20)
SEVEN 91316 SEVEN 82524 SIX 206 FIVE 3025 FIVE 5091
FOUR 4872 THREE 19722 TWO 394 FOUR 3496 THREE 78411
+ ZERO + 5128 + TWO + 106 + ONE + 415 + ZERO + 1564 + THREE + 78411 ELEVEN 101316 TWELVE 102352 NINE 1015 NINE 8085 ELEVEN 161913
(21) (22) (23) (24) (25)
FIVE 1329 FIVE 1036 FIVE 9021 FOUR 1650 FOUR 2657
THREE 86499 TWO 495 TWO 846 FOUR 1650 FOUR 2657
+ZERO + 5940 + TWO + 495 + ONE + 671 + ONE + 632 +ZERO + 8176
EIGHT 93768 NINE 2026 EIGHT 10538 NINE 3932 EIGHT 13490
(26) (27) (28) (29) (30)
FOUR 1765 FOUR 8637 FOUR 8925 THREE 32066 THREE 23577
THREE 39544 TWO 946 TWO 739 THREE 32066 THREE 23577
+ ONE + 784 + TWO + 946 + ONE + 940 + TWO + 391 + ONE + 817 EIGHT 42093 EIGHT 10529 SEVEN 10604 EIGHT 64523 SEVEN 47971
(31) (32) (33) (34) (35)
THREE 29600 TWO 108 TWO 235 TWO 172 TWO 207
TWO 254 TWO 108 TWO 235 TWO 172 ONE 764
+ TWO + 254 + TWO + 108 + ONE + 576 + ZERO + 3862 + ONE + 764
SEVEN 30108 SIX 324 FIVE 1046 FOUR 4206 FOUR 1735
(36)
TWO 145
ONE 586 + ZERO + 9635 THREE 10366
五層的組合: 共 61組
(1) (2) (3) (4) (5)
SIXTY 31650 SIXTY 45783 SIXTY 0763 SIXTY 56237 FIFTY 64682 TWELVE 582742 NINE 6561 EIGHT 10286 SEVEN 51819 FORTY 69582
ELEVEN 272429 EIGHT 15028 SIX 907 SEVEN 51819 ZERO 3759
+ SEVEN + 32429 + THREE + 82911 + SIX + 907 + SIX + 562 + ZERO + 3759 NINETY 919250 EIGHTY 150283 EIGHTY 102863 EIGHTY 160437 NINETY 141782
(6) (7) (8) (9) (10)
FIFTY 34351 FIFTY 93958 FIFTY 86810 FIFTY 76734 FIFTY 75732 THIRTY 564051 THIRTY 523458 THIRTY 176410 TWENTY 301534 TWENTY 364832
SEVEN 92827 FIVE 9371 ZERO 3245 ELEVEN 181215 NINE 8584
+ THREE + 56022 + FIVE + 9371 + ZERO + 3245 + NINE + 5651 + ONE + 984 NINETY 747251 NINETY 636158 EIGHTY 269710 NINETY 565134 EIGHTY 450132
(11) (12) (13) (14) (15)
FIFTY 87840 FIFTY 30316 FIFTY 40439 FORTY 46823 FORTY 73092 TWENTY 425940 TWENTY 172516 FOUR 4687 FORTY 46823 FORTY 73092
EIGHT 57134 FIVE 3042 FOUR 4687 TEN 291 FIVE 7654
+ TWO + 426 +FIVE + 3042 + TWO + 326 +ZERO + 7986 +FIVE + 7654 EIGHTY 571340 EIGHTY 208916 SIXTY 50139 NINETY 101923 NINETY 161492
(16) (17) (18) (19) (20)
FORTY 42756 FORTY 56031 FORTY 34782 FORTY 15946 FORTY 23570 FORTY 42756 THIRTY 378031 THIRTY 860782 TWENTY 430846 TEN 794
ZERO 9172 EIGHT 48273 FIVE 3059 TWENTY 430846 ZERO 1953
+ ZERO + 9172 + TWO + 396 + FIVE + 3059 + TEN + 408 + ZERO + 1953 EIGHTY 103856 EIGHTY 482731 EIGHTY 901682 NINETY 878046 FIFTY 28270
(21) (22) (23) (24) (25)
FORTY 12390 FORTY 10542 THIRTY 418943 THIRTY 159018 THIRTY 128915 SIX 856 FOUR 1065 THIRTY 418943 THIRTY 159018 THIRTY 128915 TWO 972 FOUR 1065 TWENTY 407543 TWENTY 176418 TWELVE 174364 + TWO + 972 + TWO + 470 + TWENTY + 407543 + TEN + 164 + EIGHT + 48021 FIFTY 15190 FIFTY 13142 HUNDRED 1652972 NINETY 494618 EIGHTY 480215
(26) (27) (28) (29) (30)
TWENTY 109416 TWENTY 126913 ELEVEN 303538 ELEVEN 696563 ELEVEN 797275
TEN 194 NINE 9596 ELEVEN 303538 NINE 3436 NINE 5057
ZERO 8953 ONE 896 FIVE 4953 NINE 3436 FIVE 4027
+ ZERO + 8953 + ZERO + 7608 + THREE + 67133 + ONE + 836 + FIVE + 4027 THIRTY 127516 THIRTY 145013 THIRTY 679162 THIRTY 704271 THIRTY 810386
(31) (32) (33) (34) (35)
ELEVEN 151814 ELEVEN 494046 NINE 3239 EIGHT 64391 EIGHT 68071 EIGHT 17602 THREE 73544 SEVEN 49793 EIGHT 64391 EIGHT 68071
EIGHT 17602 THREE 73544 SEVEN 49793 EIGHT 64391 TWO 135
+ THREE + 20311 + THREE + 73544 + SEVEN + 49793 + SIX + 842 + TWO + 135 THIRTY 207329 TWENTY 714678 THIRTY 152618 THIRTY 194015 TWENTY 136412
(36) (37) (38) (39) (40)
SEVEN 60902 SEVEN 35752 SIX 124 SIX 358 SIX 109
SEVEN 60902 SEVEN 35752 TWO 308 ONE 721 ONE 285
FIVE 7590 THREE 16855 ONE 879 ONE 721 ZERO 7532
+ ONE + 820 + THREE + 16855 + ZERO + 5968 + ONE + 721 + ZERO + 7532 TWENTY 130214 TWENTY 105214 NINE 7279 NINE 2521 SEVEN 15458
(41) (42) (43) (44) (45)
FIVE 1409 FIVE 1235 FIVE 2601 FIVE 8061 FIVE 2743
THREE 87399 TWO 740 TWO 358 ONE 731 ONE 653
ZERO 2935 TWO 740 ONE 841 ONE 731 ONE 653
+ ZERO + 2935 + ZERO + 6580 + ONE + 841 + ONE + 731 + ZERO + 9386 EIGHT 94678 NINE 9295 NINE 4641 EIGHT 10254 SEVEN 13435
(46) (47) (48) (49) (50)
FOUR 1408 FOUR 2839 FOUR 8769 FOUR 1256 THREE 63511
FOUR 1408 FOUR 2839 THREE 45911 TWO 972 THREE 63511
ONE 453 ZERO 5198 THREE 45911 TWO 972 THREE 63511
+ ZERO + 2384 + ZERO + 5198 + ONE + 721 + ONE + 230 + TWO + 684 NINE 5653 EIGHT 16074 ELEVEN 101312 NINE 3430 ELEVEN 191217
(51) (52) (53) (54) (55)
THREE 20944 THREE 12644 THREE 29733 THREE 16955 THREE 29611
THREE 20944 THREE 12644 TWO 248 TWO 103 TWO 245
TWO 217 ONE 794 TWO 248 TWO 103 ONE 581
+ ZERO + 3497 + ZERO + 8467 + ONE + 863 + ZERO + 8593 + ONE + 581 EIGHT 45602 SEVEN 34549 EIGHT 31092 SEVEN 25754 SEVEN 31018
(56) (57) (58) (59) (60)
TWO 102 TWO 109 TWO 138 TWO 102 ONE 326
TWO 102 TWO 109 ONE 856 ONE 295 ONE 326
ONE 235 ZERO 2369 ONE 856 ONE 295 ONE 326
+ ONE + 235 + ZERO + 2369 + ONE + 856 + ZERO + 6542 + ONE + 326
SIX 674 FOUR 4956 FIVE 2706 FOUR 7234 FOUR 1304
(61)
ONE 423
ONE 423
ONE 423
+ ZERO + 9364 THREE 10633
五 . 結論
1. 目前的結論:
目前在五層以下的單純的加乘運算的所 有組合已經全部計算過了, 總共就只有附表 列出來的那些單字的組合, 能有合理的數字 解法, 而單純的減算和除算的單字組合則可 以由加乘運算得到 (這之間是 1對 1而且映成 的對應, 所以作完加乘運算的組合, 等於作完 減和除的運算), 所以說這部分的組合已經全 部找出來了。
2. 未來發展方向:
將來的發展方向不在於往五層以上的字 謎發展, 因為五層以上的字謎已經不大可能 由人來解, 所以將來可以發展低層數的, 大 約二、 三層的, 而改由有意義的英文字句組合 (例如: HE × WAS = HERE), 甚至可以 由中文的詩句組合 (例如: 年年×歲歲=花相 似, 歲歲/年年=人/不同, 二個式子聯立), 或 者是四則混合運算的字謎來發展, 如此一來, 相信猜這些字謎會更加的有趣的。 而應用這 種方式, 我們可以找出很多種字謎來作為大
家娛樂及磨練自己思考推理能力之用。 也可 以自己出謎, 利用我們的程式, 來驗證看看自 己出的字謎是不是有解, 可以拿去給同學、 朋 友動動腦。
六 . 參考文獻
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2. Wackerly & Mendenhall & Scheaffer, Mathematical Statistics with Applica- tions, 5th Edition, Wadsworth Publish- ing Company, 1996.
3. Richard E. Neapolitan & Kumarss Naimipour, Foundations of Algorithms,
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4. Ellis, Horowitz & Sartaj Sahni, Funda- mentals of Data Structures in Pascal, 4th Edition, Computer Science Press, 1994.
5. Otto Bretscher, Linear Algebra with Applications, Prentice Hall, 1997.
6. Stephen Prata, C++ Primer Plus, 2nd Edition, The Waite Group, Inc, 1995.
7. 冼鏡光, 名題精選百則技巧篇 — 使用 C 語 言, 格致圖書公司, 1990。
8. 李維, 精通 Borland C++Builder — 視覺 化 C/C++ 程式設計 「基礎篇」, 博碩顧問股 份有限公司, 民國86 年 3 月。
—本文作者任教於國立臺灣師範大學資訊教 育系—
