向心力

實驗二

向心力

目的

　 研究物體做等速率圓周運動時，其所受之向心力與 質量、半徑及轉速的關係。

原理

在等速率圓周運動裡，因質點的速率不隨時間改 變，故質點對圓心的角速度 為一常量。設質點在 時的位置在 x 軸上，則在時間 t 時，質點的位置 向量

ω

=0 t

rv 與 x 軸的夾角為θ =ωt(圖1)，故用直角座標表

示時 rv 可被寫成 圖1

j ωt r i ωt r t

rv( )= cos ˆ+ sin ˆ (1) 因為圓的半徑 r 為常量，故微分(1)式，可求得質點的速度為

ˆ) ˆ cos

sin

( ωti ωt j

rω r

vv = &v= − + (2)

故速度的大小為^v=

[

]

r ω j ωt r i ωt r ω v

av= &v=− ²( cos ˆ+ sin ˆ)=− ²v (3)

由(3)式可看出質點加速度的方向永遠沿著半徑指向圓心。由於這原因，等速率 圓周運動的加速度被稱為向心加速度。

ω

v

M

r 0 F

圖2 考慮一隻高智商之昆蟲（質量為 M）在一個

以角速度 ω 旋轉的轉盤上的一個由圓心通往邊 緣的隧道中運動。若此蟲欲維持不動，它和隧 道壁之間的摩擦力必須足夠提供它做等速率圓 周運動所需之向心力，即

M r r

M

f _{= ⋅ ⋅ω}² _{= ⋅}

v

其中 f 為摩擦力（方向為向心方向），r為其離盤心之距離，

v

若這時轉盤的速度加快，摩擦力再也不能維持這隻蟲不動了，它為了避免飛 出隧道，馬上拋出條繩子繞在一固定在盤心的柱子上。繩子上的張力 F 也提供 了部分向心力，亦即

M r r

M f

F_{+ = ⋅ ⋅ω}² _{= ⋅}

v

儀器與裝置

SW750介面匣 (A)、力檢測器 (B)、纜線 (C)、滑軌 (D)、滑輪座 (E)、待測滑 塊 (F)、平衡滑塊 (G)、光電閘 (H)、馬達 (I)、直流電源供應器 (J) 、水平儀 (K)、砝碼 (L) 。

B

C

G D E F

H I J

A L K

圖3 儀器裝置圖

本實驗當然不可能要求同學去抓一隻高智商的昆蟲來，我們利用一滑軌 (D) 上可移動的一滑塊 (F) 權充昆蟲，昆蟲的智商就由同學的智商來代替了。

步驟

注意事項：

a. 旋轉轉台前，務必確認所有固定螺絲已鎖緊。並應與轉台保持至少30公分 的距離，且切勿平視轉台，以避免砝碼或滑塊因旋轉拋出而造成傷害。

b. 切勿用力按推拉扯力檢測器，以免損壞儀器。

c. 電壓調整不可超過8伏特，否則馬達容易燒毀。

d. 實驗過程中，兩個滑塊必須維持等質量、等半徑以平衡轉台。並應確保轉 台能360度自由轉動，不受任何物體影響。

　 為探討等速圓周運動中，繩子張力F與質量M、半徑r、轉速ω之關係，我們 設計出三組實驗，分別是固定r及ω、固定M及ω，以及固定M及r，以測量其餘 兩個變數之關係。並由你的實驗結果中推測出F、M、r、ω四者的關係。

第一組：固定半徑及轉速求 F – M 關係式

1. 如圖 3，將儀器裝置完畢後，將水平儀平放在轉台上，調整儀器基座支腳，

使其保持水平。

2. 將滑輪座固定於滑軌的中心，待測滑塊置於距中心15公分處，平衡滑塊則固 定於另一側對稱處以平衡轉台。並將力檢測器置於滑輪的正上方，纜線穿過 滑輪連接力檢測器與待測滑塊。

3. 以USB線連接SW750和電腦。並將光電閘的接頭連接至SW750的Channel 1接 孔，力檢測器的接頭連接至SW750的Channel A接孔。

4. 先將SW750的電源打開後，再把電腦的電源打開。並於電腦桌面上開啟＂向 心力＂的檔案，點選＂校正感應器＂顯示力檢測器所感應到的力量大小。

5. 按一下力檢測器的歸零鍵［Tare］，此時測量值會減小。（力檢測器所感應 之力量有正負兩種可能：『正』代表對檢測器的推力，而『負』代表對檢測 器的拉力。）

6. 以 約 莫 5 伏 特 的 電 壓 驅 動 馬 達 。 待 轉 台 有 穩 定 轉 速 後 ， 用 滑 鼠 按 一 下

鍵開始讀取數據，並拖曳 鍵到 反白處

放掉，此時螢幕上將會顯示出不同時間下之力測量值的表格，約20秒後按 鍵，再按一下表格下方工具列的 鍵以顯示統計後的平均值。

（你可以按一下表格下方工具列的 鍵以提高測量值的精密度。）

7. 維持上述的固定半徑長及固定轉速，每次增加10克砝碼，重複步驟5~6。

8. 以滑座質量與力測量值各為 x 及 軸在全對數紙上繪成 F – M關係圖，以分 析等半徑、等轉速的情形下，繩子張力和質量間之關係 。

y

第二組：固定質量及轉速求 F – r 關係式

1. 維持載重50克砝碼的固定滑塊質量及固定轉速，半徑以每次增加2公分的方 式，重複第一組步驟5~6。

2. 以半徑與力測量值各為x 及 軸在全對數紙上繪成 F – r關係圖，以分析等 質量、等轉速的情形下，繩子張力和半徑間之關係 。

y

第三組：固定質量及半徑求 F – ω 關係式

1. 維持載重50克砝碼的固定滑塊質量及15公分的固定半徑長。

2. 按一下力檢測器的歸零鍵［Tare］，再以3伏特的電壓驅動馬達。待轉台有 穩定轉速後，用滑鼠按一下 鍵開始讀取數據，並拖曳 鍵到 反白處放掉以顯示不同時間下之轉速測量值的

表格，拖曳 鍵到 反白處放掉以顯示不同時間下

之力測量值的表格，約20秒後按 鍵，再按一下表格下方工具列的 鍵以顯示統計後的平均值。（你可以按一下表格下方工具列的 鍵 以提高測量值的精密度。）

3. 增加驅動馬達的電壓，以每次增加0.5伏特的方式，重複步驟2。

4. 以轉台轉速與力測量值各為x 及 y 軸在全對數紙上繪成 F – ω關係圖，以分 析等質量、等半徑的情形下，繩子張力和轉速間之關係 。

預習問題

1. 實驗中是否受摩擦力的影響？若是，如何找出三組實驗中所受的摩擦力？

2. 假如兩個滑塊並未維持等質量、等半徑以平衡轉台的話，會有什麼問題？

記錄 第一組

1. 半徑長： 公分。

實驗數據：

滑座質量 力測量值 滑座質量 力測量值

2. 以滑塊質量與力測量值各為 x 及 軸在全對數紙上繪成 F – M關係圖，由圖 中估算出F=αM

y

β中之β值，β取最接近的整數。

第二組

1. 滑座質量： 公克。

實驗數據：

半徑長 力測量值 滑座質量 力測量值

2. 以半徑與力測量值各為x 及 軸在全對數紙上繪成 F – r關係圖，由圖中估 算出 F=αr

y

β中之β值，β取最接近的整數。

3. 由上面我們得知了F 與r 的次方關係，而其實在估算的過程中，我們忽略了滑 塊與滑軌的摩擦力 f，現在請你以 F 對 r ^β作圖，由圖中估算出 f 值。

第三組

1. 滑座質量： 公克，半徑長： 公分。

實驗數據：

轉台轉速 力測量值 轉台轉速 力測量值

2. 以轉台轉速與力測量值各為x 及 軸在全對數紙上繪成 F – ω關係圖，由圖 中估算出 F=αω

y

β中之β值，β取最接近的整數。

3. 由上面我們得知了F 與ω的次方關係，而其實在估算的過程中，我們忽略了滑 塊與滑軌的摩擦力 f，現在請你以 F 對ω^β作圖，由圖中估算出 f 值。

思考問題

1. 綜合三組實驗結果，推測出F、M、r、ω四者的關係。

2. 摩擦力的存在使得β值較理論值大或小？為什麼？

3. 假如轉盤不是水平的（例如有 3^o 的傾斜偏差），對實驗結果有何影響？

4. 纜線具彈性與否對實驗結果有無影響？試討論之。

5. 討論本實驗可能之誤差來源，並估計其影響。