數學考科

(1)

數學考科

作答注意事項

考試時間：100 分鐘

題型題數：單選題 6 題，多選題 7 題，選填題第 A 至 G 題共 7 題

作答方式：用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案者，其後果由考生自行承擔。

選填題作答說明：選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。

例：若第 B 題的答案格式是，而依題意計算出來的答案是 3

8 _，則考生必須分別在答案卡上的第 18 列的與第 19 列的畫記，如：

例：若第 C 題的答案格式是，而答案是 7 50



時，則考生必須分別在答案卡的第 20 列的與第 21 列的畫記，如：

※試題後附有參考公式及可能用到的數值

3 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

18 19

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

7

1 9 18

2 0

2 501

21 20

(2)

第壹部分：選擇題（占 6 5 分） 一、單選題（占 3 0 分）

說明：第 1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1. 設 ( )f x 為二次實係數多項式，已知 ( )f x 在 x 時有最小值 1 且 (3) 32 f  。請問 (1)f 之值為下列哪一選項？

(1) 5 ( 2) 2 ( 3) 3

(4) 4 ( 5) 條件不足，無法確定

2. 請問 sin 73 、 sin146 、 sin 219 、 sin 292 、 sin 365 這五個數值的中位數是哪一個？

(1) sin 73 ( 2) sin146 ( 3) sin 219

(4) sin 292 ( 5) sin 365

3. 坐標平面上兩圖形  的方程式分別為：¹, ² ¹: (x1)² y²  、1 ²: (x y )²  。請問1

1, 2

  共有幾個交點？

(1) 1 個 ( 2) 2 個 ( 3) 3 個 ( 4) 4 個 ( 5) 0 個

4. 放射性物質的半衰期 T 定義為每經過時間 T ，該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛 製容器中有兩種放射性物質 A 、 B ，開始紀錄時容器中物質 A 的質量為物質 B 的兩倍，

而 120 小時後兩種物質的質量相同。已知物質 A 的半衰期為 7. 5 小時，請問物質 B 的 半衰期為幾小時？

(1) 8 小時 ( 2) 10 小時 ( 3) 12 小時 ( 4) 15 小時 ( 5) 20 小時

(3)

5. 坐標空間中一質點自點 (1,1,1)P 沿著方向^ (1,2,2)等速直線前進，經過 5 秒後剛好到達平面x y 3z28上，立即轉向沿著方向^  ( 2,2, 1) 依同樣的速率等速直線前進。

請問再經過幾秒此質點會剛好到達平面x 上？2 (1) 1 秒

(2) 2 秒 (3) 3 秒 (4) 4 秒

(5) 永遠不會到達

6. 設 a 為一等比數列。已知前十項的和為ⁿ

10 1

k 80

k

a



 

，前五個奇數項的和為

1 3 5 7 9 120

a a a a a  ，請選出首項a 的正確範圍。¹ ( 1) a¹80

( 2) 80 a¹ 90 ( 3) 90a¹100 ( 4) 100a¹110 ( 5) 110 a ¹

二、多選題（占 3 5 分）

說明：第 7 題至第 13 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，

得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

7. 下列各方程式中，請選出有實數解的選項。

( 1) x   x 5 1 ( 2) x   x 5 6 ( 3) x   x 5 1 ( 4) x   x 5 6 5 1 x    x

(4)

8. 下面是甲、乙兩個商場的奇異果以及蘋果不同包裝的價格表，例如：甲商場奇異果價格「 35 元/一袋 2 顆」表示每一袋有 2 顆奇異果，價格 35 元。

甲商場售價

奇異果價格 20 元/一袋 1 顆 35 元/一袋 2 顆 80 元/一袋 5 顆 100 元/一袋 6 顆蘋果價格 45 元/一袋 1 顆 130 元/一袋 3 顆 260 元/一袋 6 顆 340 元/一袋 8 顆乙商場售價

奇異果價格 18 元/一袋 1 顆 50 元/一袋 3 顆 65 元/一袋 4 顆 95 元/一袋 6 顆蘋果價格 50 元/一袋 1 顆 190 元/一袋 4 顆 280 元/一袋 6 顆 420 元/一袋 10 顆依據上述數據，請選出正確的選項。

( 1) 在甲商場買一袋 3 顆裝的蘋果所需金額低於買三袋 1 顆裝的蘋果 ( 2) 乙商場的奇異果售價，一袋裝越多顆者，其每顆單價越低

( 3) 若只想買奇異果，則在甲商場花 500 元最多可以買到 30 顆奇異果

( 4) 如果要買 12 顆奇異果和 4 顆蘋果，在甲商場所需最少金額低於在乙商場所需最少金額

( 5) 無論要買多少顆蘋果，在甲商場所需最少金額都低於在乙商場所需最少金額

9. 下列各直線中，請選出和 z 軸互為歪斜線的選項。

(1) ¹ : 0

0 L x

z

 

  ( 2) ² : 0

1 L y

x z

 

  

 ( 3) ³

: 0

1 L z

x y

 

  



(4) ⁴ : 1

1 L x

y

 

  ( 5) ⁵ : 1

1 L y

z

 

 

10. 設 a 、 b 、 c 皆為正整數，考慮多項式 f x( )x⁴ax³bx²cx 。請選出正確的選項。2 ( 1) ( ) 0f x  無正根

( 2) ( ) 0f x  一定有實根 ( 3) ( ) 0f x  一定有虛根 ( 4) (1)f  f( 1) 的值是偶數

( 5) 若a c b   ，則 ( ) 03 f x  有一根介於 1 與 0 之間

(5)

11. 一個 41 人的班級某次數學考試，每個人的成績都未超過 59 分。老師決定以下列方式

調整成績：原始成績為 x 分的學生，新成績調整為 ¹⁰

40log ( 1) 60 10 x 

分（四捨五入到整數）。請選出正確的選項。

( 1) 若某人原始成績是 9 分，則新成績為 60 分

( 2) 若某人原始成績超過 20 分，則其新成績超過 70 分 ( 3) 調整後全班成績的全距比原始成績的全距大

( 4) 已知小文的原始成績恰等於全班原始成績的中位數，則小文的新成績仍然等於調整後全班成績的中位數

( 5) 已知小美的原始成績恰等於全班原始成績的平均，則小美的新成績仍然等於調整後全班成績的平均（四捨五入到整數）

12. 在 ABC 中，已知 A 20 、 AB 、5 BC 。請選出正確的選項。4 ( 1) 可以確定 B 的餘弦值

( 2) 可以確定^^C的正弦值 ( 3) 可以確定 ABC 的面積

( 4) 可以確定 ABC 的內切圓半徑 ( 5) 可以確定 ABC 的外接圓半徑

13. 甲、乙、丙、丁四位男生各騎一台機車約 A_、B_、C_、D四位女生一起出遊，他們約定讓四位女生依照A_、B_、C_、D的順序抽鑰匙來決定搭乘哪位男生的機車。其中除了B認得甲的機車鑰匙，並且絕對不會選取之外，每個女生選取這些鑰匙的機會都均等。請選出正確的選項。

( 1) A抽到甲的鑰匙的機率大於C抽到甲的鑰匙的機率 ( 2) C抽到甲的鑰匙的機率大於D抽到甲的鑰匙的機率 ( 3) A抽到乙的鑰匙的機率大於 B抽到乙的鑰匙的機率 ( 4) B抽到丙的鑰匙的機率大於C抽到丙的鑰匙的機率 ( 5) C抽到甲的鑰匙的機率大於C抽到乙的鑰匙的機率

(6)

第貳部分：選填題（占 3 5 分）

說明：1.第 A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（14–

31）。

2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 考慮每個元（或稱元素）只能是 0 或 1 的 2 3 階矩陣，且它的第一列與第二列不相同且各列的元素不能全為零，這樣的矩陣共有個。

B. 坐標平面上 O 為原點，設^ (1,2)、^ (3,4)。令  為滿足^ x^ y^ _{的所有點}_P_所形成的區域，其中

1 2 x 1

、 3 1

y 2

  

，則  的面積為平方單位。（化成最簡分數）

C. 從橢圓  的兩焦點分別作垂直於長軸的直線，交橢圓於四點。已知連此四點得一個邊長為 2 的正方形，則  的長軸長為  。

D. 線性方程組

2 3 0

2 3 6

6

2 8

x y z x y z x y

x y z

  

   

  

   

 經高斯消去法計算後，其增廣矩陣可化簡為 1 0

0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 a b c d

 

 

  ，則a 、b_、c 、d  。 1

4 1 5

1 7 1 6

2 0

2 1

2 2

2 3

2 4 1

8

19

(7)

E. 設 a 為一實數，已知在第一象限滿足聯立不等式 3 2 14 x y a x y

 

  

 的所有點所形成之區域面

積為 213

5 平方單位，則 a  。

F. 投擲一公正骰子三次，所得的點數依序為 , ,a b c 。在 b 為奇數的條件下，行列式 a b 0

b c 

的機率為。（化成最簡分數）

G. 如右圖所示， ABCD EFGH 為一長方體。若平面 BDG 上一

點 P 滿足^ 1

3

  2^  a^ ，則實數 a  。（化成最簡 分數）

2 5

2 8

2 9 2 6

2 7

A

B C

D

E H

F G

3 1 3 0

(8)

參考公式及可能用到的數值

1. 首項為 a ，公差為d 的等差數列前 n 項之和為

(2 ( 1) ) 2 n a n d S  

首項為 a ，公比為^{r r}⁽ ^¹ ¹⁾的等比數列前 n 項之和為

(1 ) 1 a rn

S r

 



2. 三角函數的和角公式： sin(A B ) sin cos A Bcos sinA B cos(A B ) cos cos A Bsin sinA B

tan tan tan( )

1 tan tan

A B

A B A B

  



3. ABC的正弦定理： 2 sin sin sin

a b c

A B C R

（ R 為ABC外接圓半徑）

ABC的餘弦定理： c² a²b² 2abcosC

4. 一維數據 X x x: , ,...,¹ ² x ，算術平均數_n ¹ ² ¹

1( ) 1 ⁿ

X n i

i

x x x x

n n





     



標準差

2 2 2

1 1

( ) (( ) )

n n

X i X i X

i i

x x n

n n

  

 

     

5. 二維數據( , ) : ( , ),( , ),...,( , )X Y x y¹ ¹ x y² ² x y ，相關係數_n _n

1 ,

( )( )

n

i X i Y

i X Y

X Y

x y

r n

 

 



 



迴歸直線（最適合直線）方程式 ^,

( )

Y X Y Y X

X

y  r  x 

   

6. 參考數值： 2 1.414 , 3 1.732 , 5 2.236 , 6 2.449 ,     3.142

7. 對數值：log 2 0.3010, log 3 0.4771, log 5 0.6990, log 7 0.8451¹⁰  ¹⁰  ¹⁰  ¹⁰ 