數學考科

(1)

數學考科

作答注意事項

考試時間：100 分鐘

題型題數：單選題 7 題，多選題 6 題，選填題第 A 至 G 題共 7 題

作答方式：用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案者，其後果由考生自行承擔。

選填題作答說明：選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。

例：若第 B 題的答案格式是，而依題意計算出來的答案是

3

8

_，則考生必須分別在答案卡上的第 18 列的與第 19 列的畫記，如：

例：若第 C 題的答案格式是，而答案是

7 50



時，則考生必須分別在答案卡的第 20 列的與第 21 列的畫記，如：

※試題後附有參考公式及可能用到的數值

3

7

8

2 0 2

1 50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

18 19

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 9 18

21 20

(2)

第壹部分：選擇題（占 6 5 分）一、單選題（占 3 5 分）

說明：第 1 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1. 已知兩個直角三角形三邊長分別為 3, 4, 5 、5, 12, 13 ， , 分別為它們的一角，如下圖所示。試選出正確的選項。

(1) sinsinsin 30 (2) sinsin 30 sin (3) sin sin sin 30 (4) sin sin 30 sin (5) sin 30 sinsin

2. 空間中有相異四點 , , ,A B C D ，已知內積^ ∙^ ^＝^ ∙^ 。試選出正確的選項。 (1) ^ ∙^ ＝ 0

(2) AC AD (3) ^ 與^ 平行 (4) ^ ∙^ ＝ 0

(5) , , ,A B C D 四點在同一平面上

3. 如圖所示， O 為正六邊形之中心。試問下列哪個向量的終點 P 落在 ODE 內部（不含邊界）？

(1) ^ ＝^ ＋^

(2) ^ ＝ 1 4^ ＋

1 2^

(3) ^ ＝ 1

4

 ＋ 1 2^

(4) ^ ＝ 1 4^ －

1 2^

D E

F O C

5 13

12

β 3 5

4 α

(3)

(1) 1 0 0 1

 

 

  ( 2)

6 0 0 6

 

 

  ( 3)

4 1 3 1

  

 

 

(4) 1 1 3 4

 

 

  ( 5)

6 6 18 24

 

 

 

5. 試問數線上有多少個整數點與點 101 的距離小於 5，但與點 38 的距離大於 3？

(1) 1 個 ( 2) 4 個 ( 3) 6 個

(4) 8 個 ( 5) 10 個

6. 連續投擲一公正骰子兩次，設出現的點數依序為 ,a b 。試問發生^log

 

^a² ^^log^b^¹_{的機}

率為多少？

(1) 1

3 ( 2)

1

2 ( 3)

2

3 ( 4)

3

4 ( 5)

5 6

7. 坐標平面上，函數圖形 y  3x³_{上有兩點 ,}P Q 到原點距離皆為 1 。已知點 P 坐標為 (cos ,sin )  ，試問點 Q 坐標為何？

(1) ^cos(^^^),sin(^^⁾

(2) ^^{cos ,sin}^ ^

(3) ^cos(^{), sin} 

(4) ^{cos ,sin(} ⁾

(5) ^{cos , sin}  

(4)

二、多選題（占 3 0 分）

說明：第 8 題至第 13 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

8. 有一個遊戲的規則如下：丟三顆公正骰子，若所得的點數恰滿足下列（ A ）或（ B ）兩個條件之一，可得到獎金 100 元；若兩個條件都滿足，則共得 200 元獎金；若兩個條件都不滿足，則無獎金。

（ A ）三個點數皆為奇數或者皆為偶數

（ B ）三個點數由小排到大為等差數列

若已知有兩顆骰子的點數分別為 1, 3 ，且所得獎金為 100 元，則未知的骰子點數可能為何？

(1) 2 ( 2) 3 ( 3) 4 ( 4) 5 ( 5) 6

9. 在坐標平面上，有一通過原點 O 的直線 L ，以及一半徑為 2 、圓心為原點 O 的圓  。 P Q 為  上相異 2 點，且, OP OQ 分別與 L 所夾的銳角皆為 30 ，試選出內積, ^ ^ _{之值} 可能發生的選項。

(1) 2 3 ( 2) 2 3 ( 3) 0 ( 4) 2 ( 5) 4

10. 考慮多項式 f x( ) 3 x⁴11x² ，試選出正確的選項。4 (1) y f x( )的圖形和 y 軸交點的 y 坐標小於 0

(2) ( ) 0f x  有 4 個實根

(3) ( ) 0f x  至少有一個有理根 (4) ( ) 0f x  有一根介於 0 與 1 之間

(5)

11. 設 , ,a b c 為實數且滿足 loga1.1、 logb2.2、 logc3.3。試選出正確的選項。 (1) a c 2b

(2) 1 a 10 (3) 1000 c 2000 (4) b2a

(5) ^{a b c}^{, ,} 成等比數列

12. 下表是 2011 年至 2018 年某國總就業人口與農業就業人口的部分相關數據，各年度的人口以人數計，有些是以千人計，有些以萬人計，例如 2011 年總就業人口為 1, 070. 9 萬人， 65 歲以上男性農業就業人口為 69. 1 千人。試根據表格資料選出正確的選項。

就業人口男性農業就業人口按年齡別分

年別總就業人口

（萬人）

農業就業人口

（萬人）

男性農業就業人口

（千人）

39 歲以下

（千人）

40-49 歲

（千人）

50-64 歲

（千人）

65 歲以上

（千人）

2011 年 1,070.9 54.2 386.3 67.6 85.4 164.2 69.1

2012 年 1,086.0 54.4 394.9 67.5 87.0 169.5 70.9

2013 年 1,096.7 54.4 391.5 66.6 83.9 171.3 69.7

2014 年 1,107.9 54.8 391.2 65.8 79.8 173.0 72.6

2015 年 1,119.8 55.5 403.1 71.7 76.9 181.3 73.2

2016 年 1,126.7 55.7 404.5 77.4 77.4 176.4 73.3

2017 年 1,135.2 55.7 405.1 73.9 78.1 178.3 74.8

2018 年 1,143.4 56.1 415.1 72.0 78.8 184.9 79.4

( 1) 從 2013 年至 2018 年，65 歲以上的男性農業就業人口逐年遞增 ( 2) 從 2013 年至 2018 年，50 歲至 64 歲之男性農業就業人口逐年遞增

( 3) 上表中，每一年的男性農業就業人口占總就業人口的比率都小於百分之五

( 4) 上表中，每一年 50 歲至 64 歲之男性農業就業人口都少於 49 歲以下之男性農業就業人口

( 5) 就 65 歲以上之男性農業就業人口而言，2018 年比 2011 年增加了不到一萬人

(6)

13. 如示意圖，四面體 OABC 中， OAB 和 OAC 均為正三角形，BOC  。試選出正確30 的選項。

(1) BC OC

(2) OBC 是等腰三角形

(3) OBC 的面積大於 OAB 的面積 (4) CAB 30

(5) 平面 OAB 和平面 OAC 的夾角（以銳角計）小於 30

第貳部分：選填題（占 3 5 分）

說明：1.第 A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（14–

36）2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 網路賣家以 200 元的成本取得某件模型，並以成本的 5 倍作為售價，差價即為利潤。

但過了一段時間無人問津，因此賣家決定以逐次減少一半利潤的方式調降售價。若依此方式進行，則調降三次後該模型的售價為元。

B. 有一按鈕遊戲機，每投幣一枚，可按遊戲機三次。第一次按下會出現黑色或白色的

機率各為 1

2 ；第二或第三次按下，出現與前一次同色的機率為 1

3 ，不同色的機率為 2 3 。今某甲投幣一枚後，按三次均出現同色的機率為。（化為最簡分數）

C. 設 S 為坐標平面上直線 2x y 10被平行線x2y15 0 與 x2y 所截的線段（含端0 點）。若直線 3x y c  與 S 有交點，則^c的最小值為。

O

C

B A

(7)

D. 平面上有一箏形 ABC D，其中AB BC  2，AD CD  ，2 BAD135 。 則 AC  !語法錯誤, 50。（化為最簡根式）

E. 空間中有三點 (1,7,2)A 、 (2, 6,3)B  、 (0, 4,1)C  。若直線 L 通過 A 點並與直線 BC 相交且 垂直，則 L 和直線 BC 的交點坐標為 (, , )。

F. 坐標平面上有一條拋物線  ，其上有四個點構成等腰梯形，且等腰梯形的對稱軸與  的對稱軸重合。已知該等腰梯形的上底為 4 、下底為 6 、高為 14 ，則  的焦距為。

（化為最簡分數）

G. 設計師為天文館設計以不銹鋼片製成的月亮形狀，其 中有一款設計圖如右圖所示：圖中，圓弧 QRT 是一個 以 O 點為圓心、 QT 為直徑的半圓，QT2 3。圓弧 QST 的圓心在 P 點， PQ PT  。圓弧 QRT 與圓弧2 QST 所圍出的灰色區域 QRTSQ 即為某一天所見的月亮 形狀。設此灰色區域的面積為 a  b ，其中  為圓周率，^a為有理數， b 為整數，則^a^（化為最簡分數），

b 。

Q

O

P S R

T

(8)

參考公式及可能用到的數值

1. 首項為^a，公差為 d 的等差數列前ⁿ項之和為

² ⁽ ¹⁾ 

2 n a n d

S  



首項為^a，公比為 (r r 的等比數列前1) ⁿ項之和為



¹



1 a rn

S r

 



2. 三角函數的和角公式： sin(A B ) sin cos A Bcos sinA B cos(A B ) cos cos A Bsin sinA B

tan tan tan( )

1 tan tan

A B

A B A B

  



3.  ABC 的正弦定理： 2

sin sin sin

a b c

A B  C  R

（ R 為ABC 外接圓半徑）

ABC 的餘弦定理：c²a²b²2abcosC

4. 一維數據 X x x: , , ,¹ ²  x_n，算術平均數 ¹ ² ¹

1 1

( )

n

X n i

i

x x x x

n n





  ^  

標準差

2 2 2

1 1

( ) ( )

n n

X i X i X

i i

x x n

n n

  

 

 

     

 

 

5. 二維數據( , ) : ( , ),( , ), ,( , )X Y x y¹ ¹ x y² ²  x y_n _n _{，相關係數}

1 ,

( )( )

n

i X i Y

i X Y

X Y

x y

r n

 

  

 



迴歸直線（最適合直線）方程式 ^,

( )

Y

Y X Y X

X

y  r  x 

   

6. 參考數值： 2 1.414 , 3 1.732 , 5 2.236 , 6 2.449 ,  3.142

7. 對數值：log 2 0.3010¹⁰  _,log 3 0.4771₁₀  _,log 5 0.6990₁₀  _,log 7 0.8451₁₀ 

數學考科

3

8

第 壹 部 分 ： 選 擇 題 （ 占 6 5 分 ） 一 、 單 選 題 （ 占 3 5 分 ）

 

二 、 多 選 題 （ 占 3 0 分 ）

第 貳 部 分 ： 選 填 題 （ 占 3 5 分 ）





第壹部分：選擇題（占 6 5 分）一、單選題（占 3 5 分）

二、多選題（占 3 0 分）

第貳部分：選填題（占 3 5 分）