1 －8 + 23 －26 1 + 1 － 7 + 16 1 －7 + 16 －10 + 1 － 6 1 －6 + 10 + 1 1 －5

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：107.10.26 範

圍 多項式運算應用(B) 班級 一年____班 姓 座號 名

一、選擇題(每題 5 分)

1. 求2 13 ⁵ 15 13⁴136 13 ³93 13 ²27 13 20  的值為 . 解答 33。

解析 設 f (x) = 2x⁵－15x⁴－136x³－93x²＋27x＋20, 則欲求 f (13)之值, 即 f (x)除以 x－13 之餘數, 由綜合除法得 f (13) = 33.

2 －15 －136 －93 + 27 +20 +26 +143 + 91 －26 +13 +13 2 +11 +7 －2 + 1 +33

2. 若多項式 x³＋4x²＋5x－3 除以 f(x)的商為 x＋2，餘式為 2x－1，求 f(x)＝ _____ . 解答 x²＋2x－1 。

解析 x³＋4x²＋5x－3＝f(x)‧(x＋2)＋(2x－1)

 x³＋4x²＋3x－2＝f(x)‧(x＋2) f(x)＝ ³ 4 ² 3 2 2

x x x

x

  

 x²＋2x－1.

3. 若 f(x)＝x³－8x²＋23x－26＝a(x－1)³＋b(x－1)²＋c(x－1)＋d，求：

(1)c＝ .(2)f(1.001)＝ .（近似至小數第二位）

解答 10 、 －9.99 。

解析 (1)利用連續綜合除法，可得 a＝1，b＝－5，c＝10，d＝－10，

1 －8 + 23 －26 1 + 1 － 7 + 16 1 －7 + 16 －10

+ 1 － 6 1 －6 + 10

+ 1 1 －5

∴f(x)＝(x－1)³－5(x－1)²＋10(x－1)－10，

(2)f(1.001)＝(0.001)³－5(0.001)²＋10(0.001)－10－9.99.

忽略不計 忽略不計

4. 若 3x³－2x²＋ax＋12 能被 x²－2x＋b 整除，求 a＋b＝ . 解答 4 。

解析

3 4

1 2 3 2 12

3 6 3 12

4 ( 3 ) 12

4 8 4

0

b a

b

a b

b



    

  

  

 

 1

3 a b

 

   3 8 12 4 4

a b

b a b

  

   

 

5. 設多項式 f (x)滿足 f ( x＋2 )－f (x)＝4x－2, 且 f ( 0 )＝7, 則 f ( 1 )＝ .

解答 5

解析 設 f (x)＝a_nxⁿ＋a_n^－₁x^n-1＋…＋a₁x＋a₀,

f ( x＋2 )－f (x)＝[a_n( x＋2 )ⁿ＋a_n－1( x＋2 )^n-1＋…]－a_nxⁿ－a_n－1x^n-1－…＝2na_nx^n-1＋…

＝4x－2,

比較次方知 n＝2, 即 f (x)為二次多項式, 因 f ( 0 )＝7, 可令 f (x)＝ax²＋bx＋7,

故 f ( x＋2 )－f (x)＝4x－2  a( x＋2 )²＋b( x＋2 )＋7－ax²－bx－7＝4x－2

 4ax＋( 4a＋2b )＝4x－2  a＝1, b＝－3, 即 f (x)＝x²－3x＋7, f ( 1 )＝1²－3＋7＝5.

6. 設 f(x)為一多項式，degf(x)≧2，若 f(x)除以 x－1 得餘式為 5，f(x)除以 x－2 得餘式為 7，求 f(x) 除以(x－1)(x－2)之餘式為 .

解答 2x＋3 。

解析 設f(x)＝(x－1)(x－2)‧Q(x)＋(ax＋b)，

由餘式定理知 f(1)＝5，f(2)＝7 5

2 7

a b a b

  

  

  2

3 a b

 

   所求餘式為 2x＋3.

7. 設多項式 f(x)除以 x³－1，得餘式為 x²，求 f(x)除以 x²＋x＋1 的餘式為 . 解答 －x－1 。

解析 由除法原理，

f(x)＝(x³－1)‧Q(x)＋x²＝(x－1)(x²＋x＋1)‧Q(x)＋x² ＝(x－1)(x²＋x＋1)‧Q(x)＋(x²＋x＋1)‧1＋(－x－1) ＝(x²＋x＋1)[(x－1)‧Q(x)＋1]＋(－x－1)，

∴餘式為－x－1.

8. 設 f (x)＝( x³－4x＋1 )¹⁰, 則 f (x)被( x²－3x＋2 )除之可得餘式為 . 解答 －1023x＋2047

解析 令 f (x)＝( x－1 )( x－2 )Q(x)＋( ax＋b ) ,

則 1023 2047

1 2

) 2 (

1024 )

2 ( )

1

( ¹⁰







 

















 a , b

b a f

b a

f , 故餘式為－1023x＋2047.

9. f (x)之次數為 4, 以( x－1 )³除之餘式為 3, 以 x－2 除之餘式為 6, 以 x＋2 除之餘式為 138, 則 f (－1 )＝ .

解答 27

解析 設f (x)＝( x－1 )³ ( ax＋b )＋3, 又 f ( 2 )＝( 2a＋b )＋3＝6,

f (－2 )＝(－2a＋b )(－27 )＋3＝138,解得 a＝2, b＝－1,

∴ f (x)＝( 2x－1) ( x－1 )³＋3, 故 f (－1 )＝27.

10. 設 f(x)為 x 的多項式，若 degf(x)＝2 且 f(1)＝3，f(－1)＝1，f(2)＝7，求 f(4)＝ . 解答 21 。

解析 ∵f(1)＝3，∴設 f(x)＝a(x－1)(x＋1)＋b(x－1)＋3，∵f(－1)＝1，f(2)＝7，

∴ 2 3 1

3 3 7

b a b

  

   

  1

1 a b

 

  ，

故 f(x)＝(x－1)(x＋1)＋(x－1)＋3 f(4)＝15＋3＋3＝21.

11. 設 f (x)與 g (x)為實係數多項式, 以 x²－3x＋2 除 f (x)得餘式為 3x－4, 以 x－2 除 g (x)得餘式為 5, 則以 x－2 除 f (x)＋g (x)的餘式為 .

解答 7

解析 f (x)＝(x²－3x＋2) q (x)＋3x－4  f ( 2 )＝2, g (x)＝( x－2 ) q2 (x)＋5  g ( 2 )＝5,

∴以 x－2 除 f (x)＋g (x)之餘式為 f ( 2 )＋g ( 2 )＝2＋5＝7.

12. 設 f(x)＝x³＋ax²＋bx－6 有因式 x＋1 與 x－2，求 a²＋b²＝ . 解答 29 。

解析 由因式定理可知 ( 1) 0 ( 2) 0 f

f

  

  

  7

4 2 2

a b

a b

  

   

  2

5 a b

 

  

  ( 1) 0

(2) 0 f

f

  

 

 a²＋b²＝29.

13. 已知 f (x)=x²⁰¹⁰+8x²⁰－4x¹⁰+1,試求：

(1) f (x)除以(x³+1)的餘式為 . (2) f (2)除以(2²－2+1)的餘數為 . 解答 8x²+4x+2 、 0 。

解析 (1)將 x³=－1 代入 f (x)即得餘式 8x²+4x+2.

(2)設 f (x)=(x³+1)Q(x)+8x²+4x+2

=(x²－x+1)(x+1)Q(x)+8x²+4x+2

=(x²－x+1)(x+1)Q(x)+8(x²－x+1)+12x－6 =(x²－x+1)[(x+1)Q(x)+8]+12x－6,

將 x=2 代入, 得 f (2)=(2²－2+1)[3．Q(2)+8]+24－6=3[3．Q(2)+14], 因為 Q(x)為整係數多項式, 故餘數為 0.

14. 設 f (x) = 2x⁴ + x³－5x² + x－3, 則 ( ³)

f 2 的值為 . 解答 －9 。

解析 求 ( ³)

f 2 即為求 f (x)除以 x +³

2之餘式, 由綜合除法得 ( ³) f 2 =－9.

2 + 1 －5 + 1 －3

－3 + 3 + 3 －6 3

2 2 －2 －2 + 4 －9

15. 求以 x＋1 除 f(x)＝2x¹⁴－5x¹²＋3x＋10 之餘式為 . 解答 4 。

解析 由餘式定理知餘式為 f(－1)＝2(－1)¹⁴－5(－1)¹²＋3(－1)＋10＝2－5＋(－3)＋10＝4.

16. 求以 x²＋2x－3 除( x³－5x＋2 )³之餘式為 . 解答 248x－256

解析 因 x³－5x＋2＝( x－2 ) ( x²＋2x－3 )＋2x－4,

∴( x³－5x＋2 )³＝[ ( x－2 ) ( x²＋2x－3 )＋( 2x－4 ) ]³

＝( x－2 )³ ( x²＋2x－3 )³＋3( x－2 )² ( x²＋2x－3 )²( 2x－4 ) ＋3( x－2) ( x²＋2x－3 ) ( 2x－4 )²＋( 2x－4 )³,

前三項皆可被 x²＋2x－3 整除, 餘式來自( 2x－4 )³

又( 2x－4 )³＝8x³－48x²＋96x－64 除以 x²＋2x－3,得商為 8x－64, 餘式為 248x－256.

17. 求 16x¹⁴＋12x⁷－10x⁴＋5x²＋3 除以 2x³－1 之餘式為 . 解答 6x²－2x＋3

解析 當除式

2 0 1

1

2x³  x³ 代入被除式

16( x³ )⁴．x²＋12( x³ )²．x－10( x³ )．x＋5x²＋3 3

2 5 10 1 2)

(1 12 2)

(1

16 ⁴ ² ²     ² 

 x x x x ＝6x²－2x＋3.

18. 已知 f (x)為三次多項式且 f (0) = 1, f (1) = 9, f (2) = 8, f (3) = 4, 請求 f (4) = . 解答 3 。

解析 由拉格朗日插值法得

f (x) = ( 1)( 2)( 3) ( 0)( 2)( 3)

1 9

(0 1)(0 2)(0 3) (1 0)(1 2)(1 3) x x x x x x

  

     

( 0)( 1)( 3) 8 (2 0)(2 1)(2 3)

x x x

  

  

( 0)( 1)( 2) 4 (3 0)(3 1)(3 2)

x x x

   

故 f (4) = ¹ 3 2 1 ⁹ 4 2 1 4 4 3 1 ² 4 3 2

6 2 3

                =－1 + 36－48 + 16 = 3.

19. 解f(x)(x¹⁰¹ 10x¹⁰⁰ 9)²除以x² 1所得的餘式為 . 解答  x2 2。

解析 設 f(x)(x² 1)g(x)axb, , 2

2 4

) 1 (

0 )

1 (









 



















 

b a b

a f

b a

f 故餘式為 x2 2.

20. 已知 f (x)=(x²－x－6)Q(x)+4x－5；g(x)=(x+2)S(x)+3, 則 (1) f (x)．g(x)除以 x+2 的餘式為 .

(2)若 g(3) =－2 試求 f (x)+5g(x)除以(x+2)(x－3)的餘式為 . 解答 －39 、 －x 。

解析 (1)以 x=－2 代入得 f (－2)．g(－2) = (－13)．3=－39.

(2)設 g(x)=(x+2)(x－3)S'(x)+ax+b 則

g(－2)=－2a+b=3, 又 g(3)=3a+b=－2, 解聯立得(a, b)=(－1, 1),

所以 f (x)+5g(x)=(x+2)(x－3)[Q(x)+5S'(x)]+[4x－5+5(－x+1)], 故餘式為－x.

21. 設 f (x) = g(x)．q(x) + r(x), 已知 g(x)=(x+1)(x－2)(x－3), deg g(x) > deg r(x), 且 f (3) =1, f (－1)=5, f (2) =2, 則 (1) r(x) = .(2)若 deg f (x)=3 且 x 為 f (x)的因式, 則 f (1)= . 解答 －x + 4 、 ¹

3 。 解析 (1)【方法一】

設 r(x)=ax²+bx+c,

則解聯立方程式 r(3)=1, r(－1)=5, r(2)=2, 解得 a=0, b=－1, c=4. 故 r(x) =－x+4.

【方法二】

r(3)=1, r(－1)=5, r(2)=2 取 r(x)=1．( 1)( 2)

(3 1)(3 2) x x

  +5． ( 2)( 3) ( 1 2)( 1 3)

x x

    +2．( 1)( 3) (2 1)(2 3)

x x

  , 整理得 r(x) =－x+4.

(2)∵deg f (x)=3, ∴設 q(x)=k,

∵x 為 f (x)的因式, f (0)=0, ∴1．(－2)(－3)．k+4=0, 得 k= ²

3, 故 f (x)=－

3

2(x+1)(x－2)(x－3)－x+4，得 f (1)=

3 1.

22. 已知 deg f (x) > 3, 若 f (x)被( x－1 )²除得餘式( 2x＋1 ),被( x＋2 )²除得餘式( 3x－2 ), 則 f (x)被 ( x－1 )( x＋2 )²除之餘式為 ________ .

解答

9 10 9

35 9

2x2  x

解析 f (x)＝( x－1 )²Q1(x)＋( 2x＋1 )＝( x＋2 )²Q2(x)＋( 3x－2 )  f ( 1 )＝3, f (－2 )＝－8, 設 f (x)＝( x－1 ) ( x＋2 )²Q(x)＋a( x＋2 )²＋( 3x－2 ),

則 f(1)＝9a＋1＝3, ∴ 9

 2

a , 故餘式為

9 10 9

35 9

) 2 2 3 ( ) 2 9(

2 x 2  x  x2  x .

23 設 f (x)為一多項式, 若( x－2 ) f (x)除以 x²＋x＋1 的餘式為^－11x＋1, 試求 f (x)除以 x²＋x＋1 的 餘式 .

解答 3x－2

( x－2 ) f (x)＝( x－2 ) (x²＋x＋1) Q (x)＋( x－2 )( ax＋b )

＝( x－2 ) (x²＋x＋1) Q (x)＋a(x²＋x＋1)＋( b－3a )x－( 2b＋a ) ＝(x²＋x＋1)[ ( x－2 ) Q (x)＋a ]＋( b－3a )x－( 2b＋a ),

所以













1 ) 2 (

11 3

a b

a

b , 解得a3, b2, 故餘式為 3x－2.

24. 設以 x³－8 除 2x⁵－5x³ + a 之餘式為 r (x), 若 r (x)可被 x－2 整除, 則 a 的值為 . 解答 －24 。

解析 由題意知

f (x) = 2x⁵－5x³ + a = (x³－8)Q(x) + r (x)且 r (2) = 0,

以 x = 2 代入 f (x)得 f (2) =2 2    ⁵ 5 2³ a (2³ 8) Q(2)r(2)

 64－40 + a = 0 a =－24.

25. f (x)為一多項式, 以 x－1, x－2, x－3 除 f (x)之餘式分別為 3, 7, 13, 試求以( x－1 )( x－2 )( x－3 ) 除 f (x)的餘式為 _______ .

解答 x²＋x＋1

解析 設f (x)＝( x－1 )( x－2 )( x－3 ) q(x)＋a( x－2 )( x－3 )＋b( x－3 )＋c, f ( 3 )＝13  c＝13,

f ( 2 )＝7 －b＋c＝7 b＝6, f ( 1 )＝3  2a－2b＋c＝3 a＝1,

故餘式＝( x－2 ) ( x－3 )＋6( x－3 )＋13＝x²＋x＋1.

26. 設多項式 f (x)之首項係數為 2, 其 deg( f (x) )＝3, 若 f (x)分別除以 x²－2x－4, x＋1 的餘式依次 為 5x＋2,－6, 試求 f (x)＝ .

解答 2x³＋x²－13x－18

解析 依題意, 設 f (x)＝( 2x＋k ) ( x²－2x－4 )＋5x＋2, 又 f (－1 )＝－6 代入得 k＝5,

∴ f (x)＝( 2x＋5 )( x²－2x－4 )＋5x＋2＝2x³＋x²－13x－18.

27. 設三次多項式 f (x)除以 x²－1 餘 3x－4；除以 x²＋1 餘 x－6, 則 f (x)＝ . 解答 x³＋x²＋2x－5

解析 由題意令：f (x)＝( x²＋1 )( ax＋b )＋( x－6 ), 又 f ( 1 )＝－1, f (－1 )＝－7,

∴2( a＋b )＋1－6＝－1, 2(－a＋b )－1－6＝－7  a＝1, b＝1, 故 f (x)＝( x²＋1 )( x＋1 )＋( x－6 )＝x³＋x²＋2x－5.

28. 設 f (x)除以( x－1 )², ( x－2 )², 其餘式分別為 2x－4, 7x－12, 試求 f (x)除以( x－1 )²( x－2 )²的餘 式 .

解答 x³－2x²＋3x－4

解析 設 f (x)＝( x－1 )² Q₁ (x)＋2x－4, f (x)＝( x－2 )² Q2 (x)＋7x－12,

令 f (x)＝( x－1 )² ( x－2 )² Q (x)＋( ax＋b ) ( x－1 )²＋2x－4 ＝( x－1 )² ( x－2 )² Q (x)＋( ax＋c ) ( x－2 )²＋7x－12, 因為( ax＋b ) ( x－1 ) ²＋2x－4＝( ax＋c ) ( x－2 )²＋7x－12, 故 x＝1 代入得－2＝( a＋c )＋(－5 ), ∴ a＋c＝3,

x＝2 代入得 2a＋b＝2,

x＝0 代入得 b－4＝4c－12, ∴ b－4c＝－8, ∴ a＝1, b＝0, c＝2, 則所求餘式為 x ( x－1 )²＋2x－4＝x³－2x²＋3x－4.