1-7

































n n

nn n

n

n n

n n

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a































2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

设线性方程组

, ,

, , ₂

1 不全为零

若常数项b b  b_n 则称此方程组为非 齐次线性方程组 ; 若常数项 b₁, b₂,,b_n 全为零,

此时称方程组为齐次线性方程组 .

非齐次与齐次线性方程组的概念

一、克拉默法则

如果线性方程组

) 1 (

2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

































n n

nn n

n

n n

n n

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a































的系数行列式不等于零，即

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a D





















2 1

2 22

21

1 12

11

  0

D . x D

, D ,

x D D ,

x D D ,

x

 D









其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即

Dj D j

n

nn j

, n n

j , n n

n j

, j

,

j

a a

b a

a

a a

b a

a D































1 1

1

1 1

1 1

1 1 11











那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为

 

证明

 

 

 

 



 





























nj n

nj n

nn n

n

j j

n n

j j

n n

A b A

x a

x a

x a

A b A

x a

x a

x a

A b A

x a

x a

x a































2 2 1

1

2 2 2

2 2

22 1

21

1 1 1

1 2

12 1

11

 

依次乘方程组

列元素的代数余子式 中第

用

, 1

, ,

, ₂

1

n

A A

A j

D _{j j}  _nj

在把 个方程依次相加，得n

,

1

1 1

1 1

1





















 



 





 



 





 





n k

kj k

n n

k

kj kn j

n k

kj kj n

k

kj k

A b

x A

a x

A a

x A

a  

由代数余子式的性质可知 ,





D

Dx_j  _j  

D . x D

, D ,

x D D ,

x D D ,

x

 D









, D x_j的系数等于 上式中

 

而其余x_i i  j 又等式右端为D_j.

于是

 

当 时 , 方程组 有唯一的一个解

D  0  

由于方程组 与方程组 等价 ,

 

 

D . x D

, D ,

x D D ,

x D D ,

x

 D









也是方程组的 解 .

 

二、重要定理

定理 1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解 , 且解是唯一的 .

 

 

定理 2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零 .

 

齐次线性方程组的相关定理

  ²

0 0 0

2 2 1

1

2 2

22 1

21

1 2

12 1

11

 



 



























n nn n

n

n n

n n

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a































定理　 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 没有非零解 .

D  0  

 

定理　 如果齐次线性方程组

 

































0 0 0

2 2 1

1

2 2

22 1

21

1 2

12 1

11

n nn n

n

n n

n n

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a x

a































有非零解 .

系数行列式 D  0

例 1 用克拉默则解方程组







































. 0 6

7 4

, 5 2

2

, 9 6

3

, 8 5

2

4 3

2 1

4 3

2

4 2

1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x

x x

x

x x

x x

解

6 7

4 1

2 1

2 0

6 0

3 1

1 5

1 2













D r¹  2r²

2

4 r

r 

12 7

7 0

2 1

2 0

6 0

3 1

13 5

7 0











12 7

7

2 1

2

13 5

7









 c¹  2c²

2

3 2c

c 

2 7

7

0 1

0

3 5

3















2 7

3 3





   27,

6 7

4 0

2 1

2 5

6 0

3 9

1 5

1 8

1













 D

,

 81

6 7

0 1

2 1

5 0

6 0

9 1

1 5

8 2

2











 D

,

108



6 0

4 1

2 5

2 0

6 9

3 1

1 8

1 2

3 



  D

,

27



0 7

4 1

5 1

2 0

9 0

3 1

8 5

1 2

4











 D

,

 27

, 27 3

1 81

1   

 D

x D ^4,

27

2 108

2     

D x D

, 27 1

3 27

3     

D

x D ^1.

27

4 27

4   

D x D

例 2 用克拉默法则解方程组





































. 6 5 2

3

, 6 11 ,

4 4

3

, 3 2

5 3

4 3

2 1

4 3

2 1

4 2

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

解

2 3

1 1

1 1

1 1

4 0

3 0

1 2

5 3







D  67

2 3 1

6 5

1 1

1 6

11

4 0

3 4

1 2

5 3

1







D _,

3

 67

2 3

6 5 1

1 1

6 11 1

4 0

4 0

1 2

3 3

2





D  0,

2 6

5 1

1

1 6

11 1

1

4 4

3 0

1 3

5 3

3





D _,

2

 67

6 5 3

1 1

6 11 1

1 1

4 0

3 0

3 2

5 3

4







D ^{ 67,}

D , x D

3 1 67

673

1

1   

 ,

D

x D 0

67

2 0

2   

D , x D

2 1 672

67

3

3    ^1.

67

4 67

4   

D x D

例 3 问 取何值时，齐次方程组

 

 

 































, 0 1

, 0 3

2

, 0 4

2 1

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x







有非零解？



解

















1 1

1

1 3

2

4 2

1 D





















1 0

1

1 1

2

4 3

1



















 1 ³ 3 4 1 2 1 3









   

齐次方程组有非零解，则

D  0

所以 或 时齐次方程组有非零解 .







1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1) 方程个数等于未知量个数 ;

(2) 系数行列式不等于零 .

2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系 . 它主要适用于理论推导 .

三、小结

思考题

当线性方程组的系数行列式为零时 , 能否用克拉默 法则解方程组 ? 为什么 ? 此时方程组的解为何 ?

思考题解答

不能 , 此时方程组的解为无解或有无穷多解 .